CC BY
354
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИВУЧЕСТИ СЕТЕЙ СВЯЗИ
Птицын Герман Александрович,
к.т.н., профессор кафедры Информационная безопасность и автоматизация МТУСИ, Москва, Россия, mtuci@mtuci.ru
Ключевые слова: топология сети связи, атаки на сеть, детерминированный и вероятностный методы, математические модели связности сети, структурной и функциональной потоковой живучести
Модели количественной оценки живучести и вероятности связности сети разрабатывались с середины прошлого века и затем получили многочисленное развитие. При определении вероятности связности сети предполагается, что в сети имеются избыточные (по сравнению с деревом) дуги, допускающие их разрыв. любые повреждения древовидной сети приводят к потере связности и живучесть становится равной нулю. Но анализ атак на сети показывает, что сети продолжают действовать, даже если они распались на фрагменты. Появилась потребность в развитии методов, моделей живучести сетей, учитывающих современные условия эксплуатации.
Рассматриваются задачи проектирования сетей связи, работающих как в нормальных условиях, так и в чрезвычайных ситуациях, приводящих к потере дуг, узлов, и продолжающих действовать, если размер выжившего связного фрагмента равен двум узлам и более. Выбранный вариант топологии оценивается по ряду показателей: вероятности связности, структурной, функциональной и потоковой живучести исходя из структуры, графически введенной с терминала. Используется детерминированный и вероятностный методы, получены математические модели живучести, отмечены особенности каждой модели.
Структурная живучесть, выраженная через математическое ожидание числа погибших узлов, отображает топологию сети. Функциональная живучесть, выраженная через математическое ожидание числа выживших соединений (межузловых потоков), является отображением характеристик потока в сети: распределения длин путей, общей и средней длины пути, средней нагрузки дуг, общего числа соединений. Потоковая живучесть позволяет оценить нагрузку дуг как до, так и после атаки на избыточные дуги, установить необходимый запас пропускной способности на случай потери избыточных дуг.
Для цитирования:
Птицын Г.А. Методы оценки и математические модели живучести сетей связи // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. -Том 10. - №4. - С. 47-51.
For citation:
Ptitsyn G.A. Estimation methods and mathematical models of communication networks survivability. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.4, pp. 47-51. (in Russian)
1. Введение. Важность сетей связи, телекоммуникаций для предприятия, города, государства заставляет владельцев сетей (или их доверенных организаций-операторов связи) заботиться об их живучести. Живучесть сетей связи, телекоммуникаций — способность оказывать услуги по перемещению сообщений в полном объеме или частично в условиях стихийных бедствий, при боевых или террористических атаках, при преднамеренных и случайных повреждениях, связанных с человеческим фактором, а также восстанавливать свои структуру и функциональные качества [2, 5, б]. Сеть связи это динамическая система как но структуре (топологические характеристики могут получать положительные или отрицательные приращения), так и по потокам, которые нестабильны по интенсивности, случайны по местам зарождения и погашения. Значительный вклад в разработку теории живучести систем различного назначения внесли работы как отечественных 12-9], так и зарубежных [2, 10] авторов. Вместе с тем в монографии [8] отмечается, что живучесть - свойства систем, которые оцениваются нерасчетными характеристиками: неуязвимостью, адаптивностью и восстанавливаемостью.
2. Оценка живучести по вероятности связности. Одна из задач заключается в том, чтобы установить, как меняется вероятность связности при увеличении размера ячеек в сети, имеющей одинаковое число избыточных дуг при равной вероятности рабочего состояния или разрыва дуг, и, наоборот, как меняется вероятность связности в сети постоянного размера при увеличении в ней числа избыточных дуг. Это потребовало разработки программы, с помощью которой можно менять исходные данные: размер и структуру сетей, вероятности рабочего состояния или разрыва дуг и исследовать динамику вероятности связности. Алгоритм [11,12] позволяет графически вывести на дисплей терминала топологию сети, сформировать иеприведенное уравнение связности, определить числовые коэффициенты членов приведенного полинома. Интерфейс программы выводит граф сети, определяет полином связности, строит таблицу результатов и рисует графики связности для каждой их сетей.
Установлено, что с увеличением размера ячеек, сети при одинаковом числе избыточных дуг и равный рабочей вероятности живучести (вероятность связности) уменьшается в диапазоне 0<р< 1. Так для кольца Рс-пр"~'-(п-1)р",для «мостика» (п=4, г-5) Рс=4р1-11р4+8р3, для песочных часов (п=5, г=6) Р<~4рл-12р +9р\ где п-число узлов в сети, 0<р<1. При любом (но постоянном) числе избыточных дуг (ячеек) и одинаковой вероятности р увеличение размера ячеек приводит к уменьшению Рс, снижению ее прочности. Верхнюю границу Рс дает сеть, состоящая из треугольных ячеек. Число членов полинома связности на единицу больше числа избыточных дуг (ячеек) и не зависит от размера сети. Минимальная степень характеризует число дуг связного дерева этого же размера, размер. Размер (число узлов в сети равно /-„;„+1). В полиноме, члены которого расположены в порядке возрастания степеней, знаки чередуются начиная с плюса. Сумма коэффициентов в полиноме (полином прир—0 обращается в ноль, при р=1 в единицу) любого размера с любым числом избыточных дуг равна единице. Существенное влияние на вероятность связности оказывает число избыточных дуг. Последовательное их прибавление приво-
дит к росту числа членов полиномов связности, увеличению значений Рс при одинаковых р. Так, в сети размером п=5 узлов возможно 7 связных состояний (не принимая во внимание с верх избыточность): дерево (т=4), кольцо (г, „5=1, г=5), домик (г,„6.-9, г=6), кораблик (гт6 -3, Г =7), конверт -пирамида {гшб =4, г=8), звезда без одной дуги (гт6 -5, г=9), полносвязная сеть {г1об=6, г—10), С увеличением числа избыточных дуг при одинаковом размере сети вероятности связности возрастают. Не отрицая значимости оценки живучести по методу связности, необходимо отметить его недостатки: вероятность связности не допускает атаки на узлы, что означает гибель сети, а это противоречит практике эксплуатации. Вероятность связности сети не допускает распада сети па связные фрагменты, которая продолжают действовать, если их размер два узла или более. Вероятность связности не отвечает на вопрос: насколько и где повышается нагрузка дуг после удаления избыточности. Устранить отмеченные недостатки позволяет (в какой то мере) структурная живучесть, которая основана на том, в сети могут быть атакованы как дуги, так и узлы. Если в сети после атаки остался хотя бы один связный фрагмент размером два узла или более, то сеть может продолжать действовать, ее структурная живучесть выше нуля,
3, Оценка структурной живучести сетей связи. Возможны два подхода к оценке структурной живучести сети размером пузлов, гдуг: детерминированный и вероятностный, Первый предполагает, что задано т — число пораженных элементов (дуги или узлов), О-^т^г, 0<т<п. Узел считается погибшим, если смежные с ним дуги разорваны или в результате прямой атаки на узел. Принимаем, что каждый узел в выжившем фрагменте г;>2 имеет независимое управление и питание.
При использовании вероятностного подхода к исследованию структурной живучести задается вероятность выживания элемента сети (дуги или узла).
При заданном числе т пораженных элементов анализ распада сети размером п-узлов, г-дуг ведется по следующим показателям:
Ш= С"„г - число вариантов поражения т элементов из «-узлов или г-дуг.
- число погибших узлов для /-го варианта поражения шэлемеятов.
(У, — число выживших узлов для /-го варианта атаки на тэлементов сети. Очевидно, что 5',+и,=п
1Л - общая сумма выживших узлов для Ж вариантов потери т элементов сети.
11 р, Ь'у = У (У/УЖ - среднее число выживших узлов при поражении т элементов по всем И' вариантам.
Однако, для сравнения сетей различных размеров и структур по живучести на одном графике удобнее использовать относительные величины:
с1(иР), [сК11у)] = иР, иу/п=Гн'<чШп*1У - средняя доля выживших узлов при поражении т элементов сети. Средняя доля выживших, погибших узлов должна удовлетворять следующим условиям:
1. ¿(Ц)=1, <1(8)=0, если т=0.
2. (1(11)=0, ¿ф)=1, если т=г, п
3. ¿(Ц)=[Щ, ¿(8)=[0,1] при 0<т<п
Т-Сотт Том 10. #4-2016
Расклад звездообразной сети размером пузлов при атаке на т дуг, узлов
с1(и/!)=(п-т)/п; ¿(Щ=(п-т)2/п2.
Рас пал линейной (разомкнутой) сети размером п узлов при поражении шэлементов.
с/(ир)=1-т(т+1)/п(п-1); (¡(Уу)= с1(Ур)*(п-т>/п. Распад кольцевой сети размером п узлов при поражении гп-эле ментов
с!(ир)-1-т(т- 1)/ф-]): <1(иу)= с1(ир)*(п-т)/п. Для других структур получить аналитические зависимости достаточно сложно. Ьолее широкие возможности открывают вероятностный подход.
При стохастическом подходе задается вероятность выживания структурного элемента 0<р<1, но удобнее пользоваться q - вероятностью гибели элемента, очевидно, что р+с/=1. Оценка структурной живучести ведется по следующим показателям:
М(1]р)-математическое ожидание числа выживших узлов при атаке на дуги.
М(11у)-математическое ожидание числа выживших узлов при атаке на узлы сети,
М<УР), выраженное через с/, равно разности между размером сети и суммой произведений числа узлов, имеющих одинаковую связность на с/ в степени равной связности узла.
К примеру, для линейной (разомкнутой) сети размером п=5, М(ир) будет иметь вид:
Последние два члена характеризуют, во-первых, математическое ожидание числа погибших узлов, а во-вторых, топологию сети: для всяческих узлов со связностью - единица и три промежуточных узла со связностью две дуги, В общем случае для линейной сети размером п - узлов математическое ожидание числа выживших узлов при атаке на дуги: М(ир) =н-АЩ,)=п-2д-(п-2)д:: М(иуМ1-фМ(ир).
Для изображения на одном графике зависимости живучести от ц удобнее пользоваться относительными величинами: долей выживших узлов - с1(ир) - М(ир)/п или долей погибших узлов 'р)= М(5р)/п.
С увеличением размера сети доля погибших узлов уменьшается от прямолинейной зависимости и приближается к квадратной
КпиЩ^=(2с{+(п-2)ц2)Ы=4.
В кольцевой сети все узлы имеют одинаковую связность, равную двум, поэтому М(Бр) =гщ ; аЩ,)=<?. При гибели узлов
Эти свойства справедливы и для других структур. Детерминированные и вероятностные модели распада сетей имеют разный подход к анализу живучести, однако связаны друг с другом, поскольку ц=т/п или т/г и дают примерно одинаковые значения характеристик распада.
4. Модели функциональной живучести сетей.
Детерминированный подход.
Сеть связи с п полнодопустимыми узлами с любым количеством избыточных дуг (г1п6>0) в нормальных условиях эксплуатации обеспечивает передачу у=п(п-1) межузловых потоков. Тем самым выполняются ее основные задачи и функции. В процессе эксплуатации возможны случаи, когда
по разным причинам сеть теряет т-дуг. Если после атаки сеть остается связной, то в ней возрастает нагрузка на дуги, узлы, но насколько неизвестно. Любая атака на древовидную сеть приводит к потере части функций (межузловых потоков), уменьшение нагрузки на дуги, узлы.
Различают два подхода к оценке функциональной живучести (ФЖ): детерминированный и вероятностный. При детерминированном подходе атака на сеть задается заранее числом т - погибших узлов или разорванных дуг. После атаки сеть продолжает передавать сообщения, если в ней остался хотя бы один связный фрагмент размером 2 узла или более. При этом значение ФЖ больше нуля. ФЖ линейной (разомкнутой) сети при атаке на 0<т<?г, г дуг узлов равна:
Dmg(a) =2(п-т-1)/((т+2) (n-1)^-средняя доля выживших МУП при атаке на дуги.
D„,y(a)=2(n-m)(n-m-l)/((m+2)n(n-l)) - средняя доля выживших МУП при атаке на узлы.
ФЖ кольцевой сети при атаке на ()<т<п дуг, узлов равна:
D„,K(а)~2(п-т)/((т+¡)(п-})) - с ре л н я я доля выживших МУП при атаке на дуге.
Dmy(a)=2(n-m)(ff-m-l)/((m+l)n(n(n-l)) - средняя доля выживших МУП при атаке на узлы.
ФЖ звездообразной сети при атаке 0<m<ti, г узлов, дуг равна:
Dmgfa) (n-m)(n~m~l)/((n(n-l)) - средняя доля выживших МУП при атаке на дуги.
Вщ,(а)=(п-т) (п-т-1)/((п~(п-1)) - средняя доля выживших МУ1! при а гаке на узлы.
Из ряда древовидных структур одинакового размера наибольшей живучестью обладает звезда, наименьшей - линейная (разомкнутая), произвольное дерево тем ближе снизу к звезде, чем больше в нём висячих узлов. Для того, чтобы на одном ¡рафике можно было сравнить по ФЖ сети разного размера, целесообразно откладывать D(a) в зависимости от доли поражения рёбер т/г или узлов - т/п. С увеличением пФЖ линейной сети уменьшается, стремясь к нулю в диапазоне d„=m/(n-{j¡от 0 до 0,7-0,8, затем резко возрастает до единицы, ФЖ звезды также уменьшается, но не менее dev*dep. Однако получить аналитические выражения для других структур оказалось затруднительным. Для оценки живучести произвольных структур потребовалась разработка и программная реализация алгоритма решение задачи.
Алгоритм основан на использовании метода полного перебора повреждений дуг, узлов. Это означает, что ЭВМ должна просчитать 2"+г вариантов размещений повреждений.
Вероятн ости ый подход.
Более широкие возможности для построения моделей и исследования живучести открывает вероятностный подход, когда задаются вероятностью р выживания дуги или узла, одинаковой для всех элементов сети. Линейная (разомкнутая) сеть с полнодоступными узлами имеет самый большой спектр соединений от одной до (п-1) дуги. Последнее является одновременно диаметром сети.
MW = 2Z4V; D(ar) = M(ap)/r.
i=\
(t + Aj) = const = n
M^H/'SUV; D(ay)=pD{al)ly t=i
Здесь Mjfetp) и A/i"«,;) - математическое ожидание числа выживших МУП при атаке на дуги и узлы; D(ap) и D(av) -доля выживших МУП при атаке Fia дуги и узлы.
Звездообразная сеть имеет минимальный из числа древовидных сетей диаметр равный двум дугам.
М(а1,)=2р(п-1)+р~(п-1)(п-2): D(alJ=M(al,)/y - при атаке на дуги.
M{av ) = рМ [ар) ; D(at ) = M (а, ) / / - при атаке на узлы.
Древовидные сети независимо от размера и структуры имеют функции живучести, обладающие следующими свойствами; число членов в формуле равно диаметру сети и все они положительны.
-d ~ диаметр сети в дугах (число дуг в соединении
максимальной длины).
д— распределение длин путей по сети (число соединений
длиной / дуг, !<¡<d).
д. — у —общее число соединений по сети у - п{п-\)
/Y"' i/\ = У " У"] d -общая сумма длин путей посети,
¿—ti=\ ¿—И=\¿—t j=\ У
1 — условная (средняя) длина дуги.
Dij = У" : Üa Iу — средняя длина пути по сети.
^ = \ D>¡ Л"-1} ~~ средняя ншрузкадуги сети в МУП.
A/fer, ) = — математической ожидание числа
выживших МУП при атаке на узлы (0<р<1).
ЫщА = м{аЛ1у, р{аЛ = м{аЗу - функциональная
живучесть сети при а таке на дуги или узлы.
Л/(/>';, ),D( Д ) - математическое ожидание числа потерянных МУП при атаке на дуги или узлы M(a)+M(p) = y = n{n-1)
J- уязвимость (потери МУП) при атаке на
дуги илн узды.
Очевидно, что £>(«) + £>{/7} = 1
Итак, формулы живучести древовидной сети позволяет одновременно найти характеристики потоков, такие как общее число соединений (МУП) в нормальных условиях эксплуатации, распределение, общая сумма и среднее значение длин путей по сети, средняя нагрузка луг, диаметр сети, живучесть и уязвимости сети. Эти свойства позволяют использовать более простой, экономичный алгоритм составления формул живучести произвольного дерева, основанный на построение деревьев кратчайших путей для каждого из узлов. Итоговая таблица распределения длин путей дает значения коэффициентов A¡, что позволяет составить функции М(Ор), D(ap) и М(ау), D(ay,
При начичии в сети избыточных дуг, перечисленные выше свойства, теряются, формула живучести меняется, в ней появляются отрицательные слагаемые (но в сумме коэффициенты A¡ дают 7).
Так, для кольцевой сети размером п узлов:
при атаке на дуги.
при атаке на узлы.
Для сети вида мостик п-4. г-5, у=п(п-1)=!2. М{ар)=Щ+16р2-ШрА+\Ар*,о{ар)=м{ар)1Ш
при атаке на дуги
Итак:
1. Из ряда древовидных сетей одинакового размера минимальное значение функциональной живучести имеет линейная сеть, максимальное - звездообразная; произвольное дерево по живучести тем ближе к звезде, чем больше в нем висячих (тупиковых) узлов, и, наоборот.
2. Функциональная живучесть древовидной сети произвольной структуры при гибели узлов в 0<р<} раз меньше, чем при атаке на дуги.
3. Вероятностная модель функциональной живучести древовидной сети любой структуры при атаке на дуги является носителем информации о потоках в сети: общем числа соединений, распределении, общей сумме и среднем значении длин путей, средней нагрузке дуг, диаметре сети.
Однако это свойство не распространяется на сети с избыточными дугами. Удаление (разрыв) избыточной дуги оставляет сеть связной, показатели функциональной живучести оказываются нечувствительными к атаке, то есть 0(0.,,) остается равным единице. Но в сети меняется нагрузка дуг, она возрастает. Но сколько и где неизвестно. Огветить на этот вопрос поможет потоковая живучесть.
5. Модели потоковой живучести.
Вероятность связности предполагает возможность атаки на избыточные дуги сети сообщений. Как влияет структура, размер, число избыточных дуг сети, место атаки на характеристики потоков? Предполагаем, что известны размеры движения транспортных средств; ¡V - вместимость и Г-период их движения, которые остаются неизменными после атаки. Пусть в сети имеется одна избыточная дуга, и она охватывает все п узлов сети, то есть имеем кольцо, в котором узлы соединены ненаправленными дугами. Узлы сети полнодоступны как в исходном состоянии, так и после атаки на избыточные дуги. Таким образом, сеть размером п узлов обслуживает у = п (п-1) межузловых потоков.
Зависимости нагрузки дуг ¡3 и средней длинны пути Ду от числа узлов п кольца представлены в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Нагрузка дуг ¡i в МУИ
п 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13
к, 1 2 3 4,5 6 8 10 12,5 15 18 21
к„ 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78
Лин. 2 4 6 9 12 16 20 25 30 36 42
Таблица 2
Средняя длина пути Дув дугах
В 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
к. 1 4/3 6/4 9/5 12/8 16/7 20/8 25/9 30/10 36/11 42/12
К„ 3/2 2 10/4 3 21/6 36/8 5 5,5 6 5,5
Лин. 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 i j 10/3 11/3 4 13/3 14/3
COMMUNICATIONS
Где п - число узлов сетей, К„ - кольцо однонаправленное, Кд— кольцо двунаправленное, Лин. - линейная разомкнутая сеть.
рк-п2/Н; (пг-1)/80и= 1(п-1)/4
После атаки на избыточную дугу сеть превращается в линейную разомкнутую р,= ¡(п-О: ртШ= п/4; (№-1)/4; Вц= 1(п-1)/3.
Виртуально атакована может быть любая дуга, а это означает, что пара узлов смежных с этой дугой должна обеспечить их работу в оконечном режиме. Теоретически сделать это можно, но практически требует больших затрат. Если транспортные средства снабжены двумя ведущими головками, то каждый узел должен иметь несколько тупиков. расположенных веером с обеих сторон узла. Для транспортных средств с одной ведущей головкой каждый узел должен иметь петлевые поворотные устройства. Нагрузка, образовавшаяся в разомкнутой сети, возрастает вдвое по сравнению с кольцом. Па практике применяется Другой более дешевый способ ликвидации чрезвычайных ситуаций на дугах (перегонах) кольца, которое из двунаправленного превращается однонаправленное. Автор неоднократно был участником таких событий в Московском метрополитене.
Несмотря на то что Московское метро имеет шесть диаметров и хорды, дискомфорт пассажиры ощущают очень сильно. Зависимость нагрузки дуг ¡' и средней длины пут и
0 у от размера п однонаправленного кольца даны в таблицах
1 и 2 (вторая строка снизу). Нагрузка дуг возрастает от 3 раз при «=5 до 4 при п—юз. р-п(п-1)/2; Оу=п1/2.Увеличивается средняя длина пути от 1,5/ при п=3 до п1/2. при п—»оо. Время поездки будет зависеть от времени обмена на станциях, узлах. Если пассажиров будут перевозить в «резиновых» вагонах, т.е. заталкивают всех, то время обмена увеличивается и, соответственно возрастает время перевозки. Если же вместимость транспортного средства постоянна, то возникают отказы на предоставление услуг перевозки, объем которых необходимо определить.
Литература
1. Tinte WT. A Contribution to the Theory of Chromatic Polynomials // Canadian Jornal of Matematics. - 1954. Vol.6. Pp.80-91.
2. Надежность и живучесть систем связи / Под ред. Дудкина Б.Я. — М.: Радио и связь, 1984. - 216 с.
3. Птицын Г.А. Поиск способов уменьшения активного транзита // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2015, — №5. — С, 74-78.
4. Воробьев В.И., Мешковшт К.А. Способ определения живучести связи//Электросвязь, 1988, № 12. С. 12-14.
5. Громов Ю.Ю.. Драчев В О.. Набатов К.А., Иванова О.Г. Синтез и анализ живучести сетевых систем. — М.: «Изд. Машиностроение-! », 2007. - 152 с.
6. Войлоков В. И. Взаимосвязь показателей живучести м но го полюсных сетей без убыточности // Труды учебных институтов связи ТУИС/ЛЭИС. 1990, №151.С. 171-177.
7. Войлоков В.И.. Птицын Г.А. Оценка живучести многополюсных сетей связи // Сборник материалов по проектированию. - М.: Гипросвязь, 1989.— 4.1.
8. Флейшман B.C. к др. Исследование живучести экосистемы на основе математической модели. — Владивосток: Институт проб л M управления, 1972.
9. Стеколъников Ю.И. Живучесть систем. - Спб.: Политехника, 2002,- 156 с.
10. Птицын Г.А. Живучесть динамических сетей связи. Учебное пособие/Под редакцией Петракова A.B. - М.: МТУСИ, 2008. — 96 с.
11. Zoïfaghari A. Kandel FJ. Framework tor network survivability performance if I REE J / Selec, Areas, Commun, 1994, 12, No 1. Pp. 46-51.
12. Свидетельство о государственной регистрации программ на ЭВМ. Птицын Г.А., Данилина A.B. Исследование динамики распада ячистых сетей, №2012615229 -2012, Рссстр программ для ЭВМ.
13. Свидетельство о государственной регистрации программ по ЭВМ. Птицын Г.А. Расчет связности сетей, -№2012615326- 2012. Реестр программ на ЭВМ.
ESTIMATION METHODS AND MATHEMATICAL MODELS OF COMMUNICATION NETWORKS SURVIVABILITY Ptitsyn G.A., professor, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia, mtuci@mtuci.ru
Abstract. We consider problems of communication networks design for normal and emergency conditions, which can destroy the arcs and nodes. Networks continue the active work if the size of survived segment was two or more. Probability of connectedness, functional survivability, block survivability, stream survivability are criteria for network topology selection. Used deterministic and probabilistic methods, obtain mathematical models of survivability, obtain models features. Structure survivability expressed by mean value of destroyed nodes illustrates network topology. Functional survivability expressed by mean value of survived connections illustrates stream characteristics: allocation of path lengths, max and mean path length, mean load of arcs, number of connections. Stream survivability shows us arcs load before and after attack on excessive arcs and helps us to set a stock of bandwidth.
Keywords: network topology, deterministic and probabilistic methods, mathematical models, network connectivity, structural and functional stream survivability. References
1. Tutte W.T. A Contribution of the Theory of Chromatic Polyno - mials / Canadian Journal of Mathematics. 1954. Vol. 6. Pp. 80-91.
2. Reliability and survivability of communications systems / Editor Dudnik B.Y. Moscow. Radio and Communication. 216 p. (in Russian)
3. Ptitsyn G.A. Research in active transit reducing / T-Comm. 2015. No. 5. Pp. 74-78. (in Russian)
4. Vorobyev V.I, Meshkovsky K.A. The method of determining the survivability of communica-tions / Telecommunications, 1998, No. 12. Pp. 12-14. (in Russian)
5. Gromov Y.Y, Drachev V.O, Nabatov K.A, Ivanova O.G. Synthesis and analysis of survivability network systems. Moscow. Mashinostroenie-1. 2007. 152 p.
6. Voylokov V.I. Indicators relationship of survivability multipolar networks without redun-dancy // Proceedings of educational Institutes of Communication / LEIC, = 1990, N151. Pp. 171-177. (in Russian)
7. Voylokov V.I., Ptitsyn G.A. Assessment of survivability multipolar networks / Collection of materials for engineering. Moscow. Giprosvyaz, 1989. Vol. 1.
8. Fleischman B.S. Research of survivability ecosystem based on a mathematical model. Vladivostok: Institute of Control Problems. 1972. (in Russian)
9. Strekolnikov Y.I. Systems survivability. SPb.:Politechnika, 2002. 156 p. (in Russian)
10. Ptitsyn G.A. Survivability of dynamic networks, Tutorial. Moscow. MTUCI. 2008. 96 p. (in Russian)
11. Zolfaghari A, Kaudel FJ. Framework for network survivability performance / IEEE J. Selec. Areas. Commun, 1994, 12. No.1. Pp. 46-51. (in Russian)
12. Ptitsyn G.A., Danilina A.V. State registration certificate of programs on a computer. Research of dynamics of the collapse of cellular networks. N2012615229 - 2012. Register of Computer Programs. (in Russian)
13. Ptitsyn G.A. State registration certificate of programs on a computer. Calculation of network connectivity. N2012615326 - 2012. Register of Computer Programs. (in Russian)
