Взаимодействие преобразований Пуассона с операторами Ли надгруппы для тензорных произведений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

Взаимодействие преобразований Пуассона с операторами Ли надгруппы для тензорных

произведений 1

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: пара-эрмитовы пространства; канонические представления; надгруппы; преобразования Пуассона.

Для группы С = 8Ь(2, М) мы пишем явные формулы для композиций операторов Ли надгруппы б х б с преобразованиями Пуассона м£'т\ сплетающими неприводимые конечномерные представления группы С с тензорными произведениями Т/ ®Тт.

Мы продолжаем тематику, начатую в нашей работе [3], см. также [1], [4] и библиографию там же. Ее основная цель состоит в том, чтобы изучить взаимодействие преобразований Пуассона для однородного пространства С/Я с операторами Ли надгруппы О. В предыдущих работах мы рассматривали представления группы С в бесконечномерных пространствах функций на (?/Я, в данной работе мы имеем дело с конечномерными представлениями. А именно, для группы С = 8Ь(2,Е) мы пишем явные формулы для композиций операторов Ли надгруппы С = С х (3 с преобразованиями Пуассона сплетающими неприводимые конечномерные представления Тд. группы (7 с тензорными произведениями Т/ ® Тт. Тензорное произведение Т/ ® Тт эквивалентно представлению группы С в функциях на однополостном гиперболоиде С/Н в М3. индуцированному характером диагональной подгруппы Н, см. [2]. Однако сейчас мы не будем использовать эту реализацию представления Т} ® Тт.

'Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952 и Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011.

Группа G = SL(2, К) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:

*)> Oiö — ßq/ = 1.

Всякое конечномерное неприводимое представление Т) группы G задается числом I (старшим весом), таким, что 21 £ N = {0,1,2,...}. Оно действует в пространстве Vi многочленов <р(х) от х степени ^ 21 (так что dim Vi = 21 + 1) по формуле

(Ti(g) <р) (х) = ф -д) (ßx + 5)21, х-д = ,

мы считаем, что G действует справа.

Пространство Wim = Vi®Vm (тензорное произведение) состоит из многочленов <£>(ж, у) от х, у степени ^ 21 по х и степени ^ 2т по у. В этом пространстве Wim действует представление Rim группы ("надгруппы") G = G х G:

(Rim(9i,92)<p) у) = ф-91,у-9г) (ßi* + ¿if (ft 2/ + S2)2m.

В группе G естественно выделяются три подгруппы, изоморфные G. Первая из них, обозначим ее Gd, есть диагональ, состоящая из пар (д,д), д £ G. Еще имеются две компонентные подгруппы, обозначим их G\ и G2, состоящие, соответственно, из пар (д, Е) и (Е,д), где Е - единичная матрица, д 6 G.

Ограничение представления Rim на группу G'1 есть тензорное произведение Rim — Ti®Tm представлений Т/ и Тт группы G:

{Rim(g)<p) (х, y) = <p(x-g,yg)(ßx + б)21 (ßy + 5)2™

Обозначим

г = т — I.

Известно, что тензорное произведение R ;.„, раскладывается в прямую однократную сумму:

Rim = Т\г| + 7]г|+1 + • ■ • + Т/+тгг_! + Tl+m , (1)

соответственно пространство Wirn разлагается в сумму подпространств:

Wim - УУИ + УУ\г\+1 + ■ ■ ■ + l+m—1 + Wl+m i

инвариантных и неприводимых относительно R /т. Ограничение представления R¡пг на W^'™^ эквивалентно Т^. В [2] мы нашли в явном виде операторы (мы называем их преобразованиями Пуассона), сплетающие представления 71 из правой части (1) с представлением 72/т, см. теорему 1 ниже. Оказывается, что они являются дифференциальными операторами порядка к + г. Мы будем использовать следующее обозначение для "обобщенных степеней" (мы предпочитаем его символу Похгаммера):

a[s] =a(a + l)...(a + s-l).

здесь а - число или оператор, s G N.

Теорема 1 ([2]) Сплетающие операторы М£т) : 14 И^'1™^ даются следующей формулой:

(_ \ _^

ь) (2)

Отметим, что эти сплетающие операторы можно записать в виде композиции дифференциальных операторов первого порядка:

М1Ы) = (у - х)1+т~к |(у - х) ~ + к - г + 11

[к+г]

Алгебра Ли д группы С состоит из вещественных матриц второго порядка со следом 0. Базис в ней состоит из матриц:

( * -V» )■■ (3)

Соотношения коммутации таковы:

[Ь+,Ь-] = -21*, [Ь+,Ь1] = -Ь+, \LbL-\~-L-.

Представление алгебры Ли д, порождаемое представлением группы С, мы обозначаем тем же символом, что и само исходное представление группы С. Для базисных элементов (3) из д имеем

Т1(Ь1)=х±-1,

71(1,+)= 1х. (4)

Алгебра Ли надгруппы С? есть прямая сумма д = д + д, а алгебры Ли д^ дь д2 подгрупп С1, С1, состоят соответственно из пар (X, X), (X, 0), (0,Х), где

Хбд.

Мы хотим найти явные формулы для композиций Ягт(Х)М^'т\ где X Е д. Для X 6 д^ ответ прост, поскольку преобразование Пуассона М^'™^ - сплетающий оператор. В самом деле, тогда X = (X, X), Я/т(Х) = и потому

Я1т{Х,Х)М^т) = мЧ'т]Тк{Х). (5)

Поэтому достаточно брать X из какого-нибудь подпространства в д, дополнительного к д'1. В качестве такового мы сначала возьмем подалгебру д2- Обозначим

(1,т) {2т — к — г)(к — г + 1) = (I + т — г)(1 — т + /с + 1) ак ~ 2{к + 1)(2к +1) 2(к + 1)(2к +1) ' И

пт) = к{к + 1) + г(2т — г + 1) = к(к + 1) + (т - 1)(1 + т + 1) Рк 2к(к + 1) 2к(к + 1) ' И

м _ (2т + к — г + 1)(к + г) _ (I + т + к + 1)(к + т - I) 1к ~~ 2к(2к + 1) ~ 2к(2к + 1) ' ' '

Теорема 2 Пусть X Е д. Оператор Д;т(0,Х) взаимодействует с преобразованием, Пуассона Мк'т\ где к — |г|, + 1,...,/ + т, следующем образом:

Щт(0 ,Х)м11'т) = 4'т)М^Ак{Х) +

+ рЦ'т)м11'т)Тк(Х) +^т)М^)Ск{Х),

где Ак{Х), Ск(Х) - дифференциальные операторы на М, линейно зависящие от X Е д. Для базисных элементов (3) мы имеем:

Ак(Ь.) = 1, Ск(Ь_) = ^ ,

Ак(Ь+) = ж2, С*(1,+) = х2~ - 2(2/с - + 2к(2к - 1).

ааг аж

Приведем набросок доказательства. Для краткости мы не пишем верхние индексы /,т. Сначала в качестве X возьмем Мы имеем Л/т(0,1/_) = д/ду. Применим это дифференцирование по у к (2). Предположим, что полученная функция (д/ду)Мк(р есть линейная комбинация трех функций Мк+\^р, Мк1р'. Мк-\(р", штрих означает дифференцирование по ж, т. е. существуют числа ак, (Зк, -ук такие, что

д

— Мкр = акМк+11р + ркмку' + 7 кМк<р". (9)

ду

Сравнивая коэффициенты при старших производных ^к+г\ 1р(к+г~1\

мы получим систему трех линейных уравнений для ак, /Зк, 7к. Заметим, что первое из этих уравнений есть ак + /Зк + — 0. Решая систему, мы получаем (б), (7), (8). Дальше проверяем, что соответствующее равенство справедливо для коэффициентов при каждой производной в (9).

Для X = Ь\ и X = Ь+ мы используем соотношения коммутации. Так как [£+,£-] = -21а, то [(Ь+,Ь+),(р,Ь-)] = —2(0,Ь\). Поэтому

-2Л;т(0,1а) = Дгт([(£+,£+),(0,!,_)])

= Д/т(1+)Д1т(0,1_)-Д,т(0,Ь_)Д,т(1,+). (10)

Применим (10) к Mkip. Используя (5) и полученные выражения для L_, получаем

-2Д/т(0, Lx)Mk(p = ак Мк+1 {Tk+1(L+)<p - Tk(L+)ip} + + ßk Мк {Tk(L+)ip' - (Tk(L+)tp)'} + + 7кМк_г {Tfc_i{L+)<p" - (Tk(L+)<p)"} ■

Подставляя сюда (4), получаем формулы теоремы для Ьг. Аналогично поступаем с L+, используя коммутационное соотношение [L+1 Ьг] = — L+, из которого следует [{L+, L+), (0, L,)} = -(0, L+). □

Литература

1. В. Ф. Молчанов. Канонические представления и надгруппы для гиперболоидов. Функц. анализ и его прил., 2005, том 39, вып.4, 48-61.

2. В. Ф. Молчанов. Преобразования Пуассона для тензорных произведений представлений группы матриц второго порядка. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2013, том 18, вып. 5, 2613— 2616.

3. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups. Amer. Math. Soc. Transi., Ser. 2, 2003, vol. 210, 213-224.

4. V. F. Molchanov. Canonical representations on Lobachevsky spaces: an interaction with an overalgebra. Acta Math. Appl., 2007, vol. 99, No. 3, 321-337

Поступила в редакцию 16 ноября 2013 года

V. F. Molchanov. Interaction of Poisson transforms with Lie operators for tensor products

For the group G = SL(2,M), we write explicit formulae for compositions of Lie operators of the over group G x G with Poisson transforms M^'"1^ intertwining irreducible finite-dimensional representations Tk of G with tensor products Т/ ® Tm.

Keywords: para-Hermitian spaces; canonical representations; overgroups; Poisson transforms.

Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа, e-mail: v.molchanov@bk.ru

Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of physics and mathematics, Professor, Head of mathematical analysis chair, e-mail: v.molclianov@bk.ru