Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. V. F. Molchanov. Canonical representations on Lobachevsky spaces: an interaction with an overalgebra. Acta Appl. Math. 2007, vol. 99, 321-337.

V. F. Molchanov. Canonical representations for hyperboloids: an interaction with an overalgebra. For canonical representations on hyperboloids, an interaction of Poisson transforms with an overalgebra is determined explicitly (the overalgebra is the Lie algebra of SL(n, R)). Keywords: hyperboloids, overgroups, canonical representations, Poisson and Fourier transforms.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.

УДК 517.98

Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде 1

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Болотова

Ключевые слова: гиперболоид, тензорные произведения, преобразования Пуассона и Фурье, формула Планшереля.

Тензорное произведение двух неприводимых конечномерных представлений группы О = 8Ь(2, К) реализуется как представление группы О в функциях на однополостном гиперболоиде в К3. Дается разложение этого представления в терминах гиперболоида.

В построении [2] полиномиального квантования на однополостном гиперболоиде X в М3 существенную роль играл конечномерный анализ на этом гиперболоиде, то есть разложение на неприводимые составляющие представлений группы С? сдвигами в многочленах на X. Эти представления могут быть рассматриваемы как конечномерный аналог канонических представлений. Такие представления появляются, когда мы умножаем тензорно неприводимые конечномерные представления 7ГI группы (7 = SL(2, М) на их контраградиент-ные представления щ. В настоящей работе мы хотим изучить в таком же духе тензорные произведения 7Г; <Э 7гт, I ф т.

Группа (7 = ЭГ(2,М) состоит из вещественных матриц

9 = ( 7 б ) ’ а6~Р'У = 1-

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.

Всякое конечномерное неприводимое представление 7Гі группы С задается числом I (старшим весом), таким, что 21 Є N = {0,1,2,...}. Оно действует в пространстве Ц многочленов от £ степени ^ 21 (так что сІітТ^ = 21 + 1) по формуле

(тггЫ/Н*) = /(*)(#+ <У)2‘, Ї = г • д = , (1)

Меняя в(1)ас<5и/5с7, мы получим контраградиентное представление тт; (оно эквивалентно -кі):

(*) = /(*)(7* + а)2г,

где

^ ^ 6Ь + р Л ( й 1

Алгебра Ли д группы С состоит из вещественных матриц X со следом 0. Базис в ней состоит из матриц:

0 о \ / 1/2 0 \ /01

1 0 ) ’ 1 I 0 -1/2 J ’ + I 0 0

Для базисных элементов из д имеем

7гг(1а) = =г^-1,

7г,(£+) = тгг(£_) = -£2 + 2И,

аъ

7Г,(£_) = 7Г/(£+) = ^ .

Одночлены 1 и являются соответственно минимальным и максимальным векторами относительно представления 7Г;, т. е. аннулируются соответственно элементами и Ь+, относительно представления 7гI таковыми являются одночлены ^ и 1.

Представление 7г* сохраняет следующую невырожденную билинейную форму Д на V;: на базисных элементах она задается формулой (6^ - дельта Кро-некера):

Bi(tm, tp) = (—l)m

2Г _1

ш

Пусть 21, 2т £ N. Предположим, что число г = т — / - целое. Для определенности возьмем I ^ т, так что г G N. Пространство = Vi®Vm состоит из многочленов /(£, г/) от двух переменных £, 77 степени ^ 2/ по £ и степени ^ 2т по г]. Представление Rim = щ ®тгт группы G действует в Wim по формуле

v) = /(£, + £)2'Ы + a)2m.

Представление Rim и пространство W/m разлагаются в прямые суммы Rim — ^m-l “Ь ^m—l+1 "Ь • • • “Ь 7Гт+/,

w,„ = +...+

7гк действует в \Уь , к — т — I,... ,тп + I. Минимальный и максимальный векторы в \У1кт - это многочлены (мы не указываем зависимость от I, т)

дгт+1-к ^к+т-1; Ук = дТт+1-к ^к-т+1? дг = І - £77.

Билинейная форма Дт = Вт на И7/™ инвариантна относительно подпространства ортогональны относительно нее. Обозначим

В1т(ик,ук) = Л(/,ш; /с).

Вычисление дает

(А: — т + /)! (к + т — 1)\ (т + I — к)\ (т + I + к + 1)!

Х(1, гп', к)

(21)\ (2т)! (2к + 1)!

Пусть X обозначает гиперболоид —х% + х\ 4- = 1 в!3. Реализуем его как

множество матриц

х=-( 1~Хг ХУХ' ) (2)

2 \ х2 + хг 1 + х3 )

с определителем равным нулю. Группа (? действует х д~1хд на нем транзитивно. Стационарная подгруппа точки х° = (0, 0,1) - подгруппа Н диагональных матриц /г = diag((!>~1, <5). Введем на X орисферические координаты £,77:

•-И7Т) я

Действие группы С в этих координатах разделяется: если х имеет координаты £,77, то д~гхд имеет координаты £, г/. Базисная точка х° имеет координаты

£ = 0, г] = 0. Элемент д Є С? переводит х° в точку с координатами £ = 7/5,

г] = /3/а, так что N = (а5)-1. В частности, таковым является элемент

Отображение

1/ІУ г7/ЛГ \

£ і 1

/ ІГ = N /, / Є И^т, (4)

переводит И^т в пространство Міт некоторых рациональных функций .Р от £, г]. В силу (2) и (3) эти рациональные функции являются многочленами от Х\, Х2, Хз на X. В частности, функции / = 1 отвечает многочлен

' і і \ 2т

Л(х) ' 13 + 1

Отображение (4) сплетает і?/т и представление 11г группы Є, индуцированное характером к ь-» 6~2г подгруппы Н. В орисферических координатах представление иг есть

(имгж, ч) = ? (I ч) (К+*)~2г■

Обозначим через образ подпространства при отображении (4).

Возьмем в пространстве Ук одночлен вк<г(Ъ) = £*~г. В представлении тгк он является собственным вектором для Л 6 Н с собственным числом 52г. Он порождает ядро, назовем его ядром Пуассона:

РкЛх'Л) = («Л;1 )«<,,) («)

Ядро Рк<г определяет преобразование Пуассона

СРк,г<р){х) = {’Рк,г<р){£,ч) = Вк(Рк,г(х, ■), <р)-

Это преобразование отображает Ук на и сплетает тгк и 11г. Базис ts в Ук

переходит при отображении РкуГ и умножении на (—1)А:~Г в базис

м=я- (2*у е (*;!г) (*:;) е- .

Минимальный и максимальный векторы

= (~)"г (^)2Г отвечают и*, ук при отображении (4). Базисный вектор Я?к = Рк,к+г зависит только от хз, он выражается через многочлены Якоби [1] 10.8:

Мы имеем разложение:

тп+1

А= ^2 Л(1,т;к)~1Фк.

к=т—1

Эту формулу можно рассматривать как аналог разложения дельта-функции по сферическим функциям (аналог формулы Планшереля).

Литература

1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

2. V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

V. F. Molchanov, N. В. Volotova. Finite dimensional analysis on a hyperboloid of one sheet. The tensor product of two irreducible finite dimensional representations of the group G — SL(2, M) is realized as a representation of G on functions on the hyperboloid of one sheet in R3. A decomposition of this representation is given in terms of the hyperboloid. Keywords: hyperboloid, tensor products, Poisson and Fourier transforms, Plancherel formula.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.

УДК 517.98

Инварианты аффинной группы в пространстве многочленов 1

© В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок

Ключевые слова: аффинная группа прямой, орбиты, инварианты, результант.

Дано описание инвариантов группы х ах + /5, действующей сопряжениями в пространстве многочленов.

В настоящей работе мы даем описание инвариантов аффинной группы прямой, действующей сопряжениями в пространстве многочленов: мы пишем различные формулы для инвариантов этого действия в терминах коэффициентов многочлена и в терминах корней его производных. Наши результаты дают простые и прозрачные доказательства формул, полученных в [1], [2].

Пусть Уп - пространство многочленов /(ж) степени ^ п над полем М:

/(х) = а0 + ахх + ... + апхп,

переменная х пробегает Е. Оно имеет размерность п + 1. Пусть (7 - группа аффинных преобразований (р прямой Е:

х ь-> ц>(х) = ах + /?,

где а, (3 € К, а > 0. Она действует в пространстве Уп сопряжениями:

Т{ф)1 = ^ о/о<р.

1Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.