CC BY
17
УДК 37.01
Сидоров Александр Васильевич
кандидат физико-математических наук, доцент
Марголина Наталия Львовна
кандидат физико-математических наук, доцент
Матыцина Татьяна Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент
Ширяев Кирилл Евгеньевич
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет kaf_algeo@ksu.edu.ru, nmargolina@yandex.ru, tnmatytsina@yandex.ru, Shiryaev4@yandex.ru
ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКИХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ОЦЕНКИ
Данная работа посвящена изучению формирования и развития логических универсальных учебных действий при решении нестандартных уравнений методом оценки. Проанализирован ряд причин, мешающих формированию образовательных навыков, предпринята попытка систематизации этих причин и способов их устранения. В качестве одного из способов предложена методика нестандартных задач, проиллюстрированная рядом примеров решения методом оценки.
Ключевые слова: нестандартные задачи, стандартные задачи, метод оценки, универсальные учебные действия, формирование образовательных навыков.
Важным аспектом Федерального государственного образовательного стандарта является формирование универсальных учебных действий (УУД). В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность обучающегося к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного нового социального опыта. Это является особенно важным в современном обществе, которому требуются люди способные к самостоятельному мышлению, творчески подходящие к решению возникающих перед ними задач. Логические УУД формируются в основном на уроках математики и включают в себя обобщение и систематизацию имеющихся знаний, а, кроме того, являются средством выведения новых знаний.
Современный мир нуждается в грамотных профессионалах, способных предложить быстрое и эффективное разрешение любой появившейся проблемы, незамедлительно и адекватно реагирующих на любую возникшую ситуацию. Разумеется, чем богаче «арсенал» возможных способов поиска решения, чем больше «кругозор» известных и отработанных до совершенства методик, тем мудрее и грамотнее действия профессионала. Поэтому овладение такими методами и способность применения их в стандартной ситуации, а также умение адаптации к ситуациям нестандартным, является одной из главных целей современного образования.
К сожалению, на пути формирования образовательных навыков встречаются препятствия.
Во-первых, это элементарная лень, в «обловом-ском» смысле этого слова. Человек с такой ленью вроде бы и не отрицает важности образования вообще, но ... «не сегодня». Причем «завтра» носит
тоже не конкретный - того-то числа, в такое-то время - характер, а абстрактный, что-то вроде «некоторого обозримого (или необозримого) будущего». Впрочем, обломовщина живет в каждом из нас, и другого способа борьбы с ней, кроме внутренней самоорганизации плюс некоторого внешнего стимула, до сих пор еще не придумано. Забавно, что тот же эффект и чрезмерная занятость, когда учиться некогда из-за «неотложных, очень неотложных и уж совсем неотложных» дел. Тогда тоже все реальные дела откладываются на пресловутое «завтра». Поистине, крайности сходятся.
Второй тип преград на пути образования - агрессивное и молчаливое отрицание такового как необходимого. Подобные рассуждения можно встретить в блистательной комедии Д.И. Фонвизина «Недоросль» (действие III, явление IV) [11, с. 121].
«Госпожа Простакова: ... Лишь тебе мученье, а всё, вижу, пустота. Денег нет - что считать? Деньги есть - сочтём и без Пафнутьича хорошохонько».
Увы, рассуждения подобного рода можно встретить и сегодня. Правда, пользы диплома не отрицает никто, а вот необходимость обеспечения его реальными навыками и знаниями некоторыми до сих пор оспаривается.
Третий «играющий против» настоящего образования фактор, как ни странно, заключается в затянувшемся ученичестве. Многие сталкивались с такой ситуацией, когда стандартные задачи решаются быстро и правильно, но стоит дать задачу посложнее, а не просто «по аналогии», как начинается нытье, что «мы этого не проходили» и т. п. Вообще, для каждого этапа обучения существует камкой-то конкретный предел, когда ученика подводят к определенной черте и говорят: «Ну всё, дальше сам». И совершенного неважно, будет ли этой чертой вручение диплома в Вузе или пере-
© Сидоров A.B., Марголина H.JL, Матыцина Т.Н., Ширяев К.Е., 2017 Педагогика. Психология. Социокинетика J №2
145
вод из младших в старшие классы в школе - везде действует один и тот же принцип. Очередной этап образования завершен, и в дальнейшем от счастливого (или не очень) выпускника ждут, по меньшей мере, умения выполнять стандартные действия в типичных случаях.
Но если в следующих за начальными классами задачи на применение сформированных навыков будут ставиться специально (скажем, школьнику, не «проходившему» отрицательные числа, никто не задает вопрос, сколько будет три минус девять), то выпускнику Вуза придется иметь дело с реальностью и многие из возникающих проблем будут разрешаться в рамках заранее неизвестных методик.
Собственно, выбор правильного способа решения задачи определяет если и не девяносто девять, то уж точно пятьдесят процентов успеха. Научиться применять именно нужный метод можно, конечно, и постепенно, с опытом «шишек, синяков, проб и ошибок». Но всё же учиться лучше на ошибках чужих, поэтому одной из целей образования является формирование некой методологической интуиции, позволяющей делать правильный выбор способа решения.
Разумеется, такая интуиция должна быть рациональной, а не каким-то «гаданием на кофейной гуще». Вообще же, интуиция и опыт взаимно обогащают друг друга, образуя со временем ту самую компетентность, которая и отличает истинно образованного человека.
Иными словами, умение адаптировать полученные навыки, знания и методики составляют не меньшую задачу образования, чем собственно и овладение ими. В плане формирования такого умения всё большую и большую роль приобретают задачи, отличающиеся от стандартных.
Век нынешний - век регламента. Все мыслимые и немыслимые стандарты качества, услуг, поведения и т. д. всё прочнее и прочнее входят в повседневность. Можно увидеть в этом и плюсы, и минусы, но факт остаётся фактом - регламентация прочно вошла во все сферы жизни, в том числе и в образование. Естественно, разработаны типовые задачи, осуществляющие контроль за качеством образования, и усилия учителей направлены на то, чтобы ученики могли свободно решать эти задачи. При этом умение адаптации методов, о котором говорилось выше, как-то упускается из вида (возможно, по объективным причинам недостатка выделенного времени). Если проанализировать результаты единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике в Костромской области в течении последних нескольких лет (см. [1-4; 15]), то можно сделать однозначный вывод об ориентированности учеников на решение лёгких и среднего уровня задач, то есть как раз типовых. Задачи же, требующие нестандартных подходов, творческой в том или ином смысле работы, особой популярностью не пользуются.
Та же ситуация сложилась не только среди выпускников школ, но и среди студентов. Показателен пример. Двум примерно равным по успеваемости подгруппам студентов дали контрольную работу, заранее предупредив о ее тематике. В первой подгруппе задачи были расположены в том порядке, в каком они разбирались на занятиях, а во второй порядок был произвольным. Таким образом, студентам второй подгруппы нужно было сначала определить тип задания и метод его решения. Уровень сложности задач был невысоким, но разница в баллах, средних по подгруппе, была существенной (3,8 в первой подгруппе и 2,4 - во второй). Таким образом оказалось, что если в ситуации стандартной студент демонстрирует владение предметом на «твёрдую четверку», то стоит чуть запутать ситуацию, то оценка снижается до «трех с минусом». А если возникнут более серьезные осложнения? Неутешительный вывод очевиден.
Обозначим проблему. Как, в условиях недостатка часов, отпущенных (стандартом!) на обучение решению типовых задач, ухитриться привить ученику навык хотя бы творческого анализа (не говоря уж о подлинной креативности)?
Разумеется, авторы данной статьи далеки от мысли о разрешении этой проблемы в целом (да это, заметим, и не в их компетенции - столь глобальные решения). Однако, было бы несправедливо обозначить проблему и не предложить никаких хотя бы шагов на пути ее разрешения. Хотя бы в узкой области, профессионально близкой авторам. В математике.
Для многих людей математика непонятна и скучна, причём последнее является следствием первого. Такое отношение часто возникает еще в школе. Подмечено, что в младших классах математика часто бывает любимым предметом, дети охотно складывают, вычитают, делят и умножают, с удовольствием решают простые задачки. А вот когда уровень абстрактности повышается и начинается рассмотрение непривычных «функций», «параллелограммов» (одно слово чего стоит!) и т. д., то даже небольшое невнимание ученика приводит к потере понимания, непонимание - к рассеянности, рассеянность - к скуке, скука - к невниманию и далее по кругу.
При этом еще выходить к доске для решения заданных учителем задач. Вот и приходится или списывать у товарищей, или с помощью подсказок учителя вымученно решать «по аналогии», терпеливо дожидаясь учительского «ясно?», чтобы быстро кивнув, услышать наконец вожделенное «садись».
Понятно, что умение правильно и быстро решать задачи является важным стимулом к формированию интереса к математике, что, в свою очередь, окажет позитивное влияние на развитие логического мышления и речи. Однако, попав в па-
146
Вестник КГУ ^ 2017
утину рутинных, но, увы, необходимых стандартных задач, живой интерес может смениться скукой.
Несколько разнообразить монотонные уроки поможет обращение к нестандартным задачам. Термин довольно ёмкий, поэтому нуждается в пояснении. Так, нетиповыми (И.К. Андронов, А.С. Пчелко) или нестандартными (Ю.М. Колягин, К.И. Нешков, Д. Пойа) называют задачи, решение которых не укладывается в рамки той или иной системы методов решения задач курса.
Внедрять нестандартные задачи в школе можно в любом классе (чем раньше, тем, конечно, лучше). Замечено, что в младших классах нестандартные задачи вызывают повышенную активность учащихся. (О специфике использования в старших классах будет сказано ниже).
Классифицировать нетиповые задачи довольно сложно. Сама нестандартность делает выделение типов таких задач и методов их решения делом довольно затруднительным. Опытные учителя знают, что часто какой-нибудь удачно подмеченный фактик, случайное словечко и т. д. могут привести к остановке блестящей задачи с красивым и в то же время простым решением. Тем не менее, авторами статьи предпринята попытка структурировать нестандартные задачи по методике решения и, не в последнюю очередь, по возрасту обучаемых. Конечно, группы сформированы довольно условно и данная классификация не претендует на исчерпывающую полноту (если таковая вообще возможна в оценке чего-то нестандартного).
Первый тип. Задачи на смекалку. Это, как правило, текстовые задачи. (Например, у семи братьев по одной сестре. Сколько всего детей в семье?) Они похожи на обычные загадки или на каламбуры, использующие игру слов (Летела стая, сов семь, небольшая. Сколько было птиц, и каких?); и всё-таки для их решения необходимо применить логику. В младших классах такого рода задачи вызывают сложность, бывает, что понравившаяся задача независимо от учителя «обойдёт» весь класс.
Второй тип. Занимательные задачи. (Например, как расставить 6 стульев у 4 стен, чтобы у каждой стены было по 2 стула.) Главное преимущество этой задачи - вовлечение ученика в некий эксперимент. Рисуя на доске квадрат (4 стены) и в нём маленькие квадратики (6 стульев), ребенок учится мыслить логически, выбирая те способы размещения, которые кажутся ему более правильными. В то же время задача формирует и абстрактность мышления (переход к квадратикам). Кроме того, процесс решения напоминает игру, что, конечно, тоже привлекательно в младших классах. К этому же типу можно отнести задачи со спичками и арифметикой с римскими цифрами.
Третий тип. Геометрические задачи. (Например, раздели пирог прямоугольной формы двумя разрезами на части так, чтобы они имели треуголь-
ную форму. Сколько получилось частей?) Тот же процесс игры, что и во втором типе задач, но объект - чистая геометрия. Сюда же относятся геометрические задачи со спичками.
Четвертый тип. Логические квадраты. (Например, заполни квадрат (4 х 4) числами 1, 2, 3, 6 так, чтобы сумма чисел по всем строкам, столбцами и диагоналям была одинаковой. Числа в строках, столбцах и диагоналях не должны повторяться.) Тоже игровые задачи. Само заполнение квадрата позволяет, варьируя способы, выбирать оптимальный вариант из множества других. Изначально такие задачи были очень популярны на средневековом арабском востоке, где их называли «математическими квадратами». Вероятно, своё происхождение они ведут из античности, от пифагорейцев.
Пятый тип. Комбинаторные задачи. (Например, сколько разных слов можно образовать при помощи букв слова «соединение»?) Другой, более быстрый вариант, восстановить слово из его перемешанных букв. Задачи хороши для 5-7-классников, легко воспринимаются, не занимают много времени и не только развивают комбинаторные навыки, но и обогащают лексикон.
Шестой тип. Задачи на переливание. (Например, можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды.) Данный тип задач очень хорошо развивает пространственное воображение, логическое мышление. Учащиеся могут дома поэкспериментировать с емкостями и водой.
Все виды перечисленных задач - текстовые, и поэтому более характерны для младшего или среднего школьного звена. Заинтересовать задачами подобного рода старшеклассников, скорее всего, не удастся. Связано это с тем, что в старших классах уже достаточно сформировано умение читать математические абстракции, т. е. решать довольно сложные уравнения и неравенства, говорить о свойствах функций и т. д.
Итак, для старшеклассников можно выделить еще один тип задач - седьмой - уравнения и системы, при решении которых используется свойства, присутствующих в них функций.
Такого типа решение задач предполагает исследовательскую деятельность, умение выдвигать и проверять гипотезы, требует внимания и уверенного владения материалом курса математики. Уравнения, в записи которых встречаются выражения, не позволяющие свести их к стандартным или функции из разных разделов алгебры (многочлены и показательные функции, многочлены и тригонометрические функции, многочлены и логарифмические функции и т. д.) требуют особых методов решения. Одним из таких методов является метод оценки. Использование этого метода требует от ученика не только знаний об областях значений из-
ученных функций, но и способности к логическому предвидению и анализу ситуации.
Ниже приведено несколько примеров решения уравнений методом оценки.
Пример 1. Решить уравнение sin4x+sin7 7x=2.
Решение. Применение известных учащимся тригонометрических формул не приводит к успешному решению данного тригонометрического уравнения. Однако, оценив выражение в левой части, получаем 0 < sin4 x < 1, -1 < sin7 7x < 1, откуда -1 < sin4x + sin7 7x < 2. Таким образом, равенство левой части двум возможно, только при одновременном выполнении условий sin4x = 1 и sin7 7x = 1. Значит нужно решить систему
I sin x = 1, I sin7 7x = 1;
sin x = ±1, sin 7 x = 1;
- —-nk, 2
n 2nn 14 7 '
Найдем условия совпадения решений
21n
k, n e Z.
2nn 1 1
-^ —+ k =--1--
2 14 7 2 14 7
n , n —+ nk =-
^ 2n = 7k + 3.
2 ч ч Из второго уравнения получаем х = 3
Из неравенства cos3z < 1 следует
13
чит 12 -
13
> 25.
cos z
Равенство обеих частей уравнения возможно, только если они равны по 25. Значит, к решению уравнения приводит система:
Левая часть равенства - четная, значит должна быть четной и правая. Это выполняется при k = 2m + 1, то есть нечетном.
Ответ: x = П + п(2m +1), m е Z.
Пример 2. Решить уравнение
cos(hx) + х2 - 6x + 10 = 0. -1 < cos(hx) < 1, х2 - 6x + 10 = (x - 3)2 + 1 > 1. Равенство возможно только при выполнении условий
icos(nx) = -1, |( х - 3)2 +1 = 1
и подставляем в первое уравнение cos(3^) = -1. Значит х = 3 - решение системы. Ответ: х = 3.
Пример 3. Решить уравнение
13
(4 - cos2 х )(2 + 3sin y) = 12 +-—.
cos z
Вид этого уравнения, содержащего три неизвестных, заведомо отпугнет от попыток его решения любого школьника, привыкшего действовать «по образцу». Между тем, идея решения идентична изложенной в предыдущих примерах - нужно найти множества значений левой и правой части. -1 < -cos2x < 1, 3 < 4 - cos2x < 5; -1 < siny < 1, -3 < 3siny < 3, -1 < 2 + 3siny < 5. Из приведенных выкладок следует оценка левой части:
-5 < (2 + 3siny)(4 - cos2x) < 25.
- > 1, а зна-
2 + 3sin y = 5 4 -cos2x = 5 12 + = 25
cor z
Пример 4. Решить уравнение
x +1 - 2x sin(ny) + ^Jyz—2z^—64 = = (41 - yz )(cos(2ny) + cos(nz))2. Оценка обеих частей уравнения связана с преобразованиями
x2 + 1 - 2x sin(ny) =
=x2 - 2x sin(ny) + sin2(ny) + 1 - sin2(ny) = = (x - sin(ny))2 + 1 - sin2(ny) = = (x - sin(ny))2 +cos2(ny) > 0; Jyz - 2z2 - 64 > 0, значит левая часть уравнения неотрицательна.
Учитывая неотрицательность подкоренного выражения yz - 2z2 - 64 > 0, получаем yz > 2z2 + 64 > 64, следовательно 41 - yz < 0, а (cos(2ny) + cos(2nz))2 > 0, значит правая часть уравнения неположительна. Равенство левой и правой частей уравнения возможно если обе они равны нулю, то есть при выполнении условий: x - sin(ny) = 0, cos(ny) = 0, yz - 2z2 - 64 = 0, cos(2ny) + cos(nz) = 0;
n 1
cos( ny) = 0 ö ny = — + nk ö y = — + k, k e Z;
cos(nz) = -cos(2ny) = -cos(n + 2nk) = 1 ö ö nz = 2nl ö z = 2l.
Подставляя полученные выражения y и z,
в третье уравнение получаем диофантовоуравне-
ние l + 2kl - 8l2 = 64 ö l(1 + 2k - 8l) = 64. Учитывая,
что 1 + 2k - 8l - нечетное, имеем два случая
Í1+2k-81 = 1, Í1 + 2k -81 = -1,
■í или i
[l = 64; [l = -64.
1. Если l = 64, то k = 256, поэтому z = 128, y = 256-2 и из первого уравнения x = sin(ny) = sin (256-2 n) = 1.
2. Если l = -64, то k = -256, поэтому z = -128, y = -256-2 и из первого уравнения
x = sin(ny) = sin (-256-2 n) = -1.
Ответ: x = 1, y = 256-2, z = 128 или x = -1, y = -256-2, z = -128.
Пример 5. При каких значениях параметра a уравнение 4x + 2 = a • 2x • sin(nx) имеет одно решение.
Прежде чем приступить к оценке левой и правой частей, разделим обе части уравнения на 2x:
2
2x +— = a • sin( nx).
2 I 2х л/2 I Оценимлевуючасть 2x + — = -s/21 -j=+— I > 2 VI .
Значение 2л/2 достигается при —¡= = 1, то есть
i V2
Вестник КГУ i 2017
cos z
x
2
148
Оценим функцию, стоящую в правой части: sin(sx) < 1, значение правой части наибольшее при
sin(sx) = 1, откуда x = —+2n, n е Z. 1 2
При x = — значение левой части наименьшее,
а правой - наибольшее. Эти значения совпадают при a = 2л/2. При a < 2-J2 система решений не имеет, при a > 2^2 решений не меньше двух. Ответ: a = 2V2.
Пример 6. Решить систему при всех значениях параметра a
2 X
(a -a)sin— + 2cosy = a + 5,
о ■ x
3sin—+ cos y = 4. 2
Эту систему можно решить обычным способом: выразить, например, cos y из второго уравне-
. X
ния, подставить в первой, выразить из него sin—.
<1, подставить
Затем решить неравенство
- = z + 4,
Так как 1 + (x - y)2 > 1, то
1
¡1 + (x - y)2 I z + 4 = 1.
max {2 - 3y, y +1} < 5,
i
a -— arccos-í п
> y2 + 2ay +17.
лА - X -16--- ■ (arcsin x) ■ (п + 2 arcsin x) >
имеет одно решение.
Первое неравенство равносильно системе
[2 - 3y < 5, Iy +1 < 5;
откуда -1 < y < 4.
Второе неравенство имеет видfx) - g(y). Единственное решение такое неравенство может иметь только при условии min fx) = max g(y).
Обозначим arcsinx = а, тогда и arccos-v/l - x2 = а. Имеем
П 6 2
a +---а-16----а-(ж + 2а) =
полученное выражение для sin — в выражение для
cos y, решить неравенство |cos y| < 1 и выбрать общую часть решений этих неравенств. Очень долгий путь, дающий возможность решающему много раз запутаться в преобразованиях.
Если же оценить левую часть второго уравнения, то нетрудно увидеть, что равенство возможно только при одновременном выполнении условий
sin X = 1 и cos y = 1. При этих условиях первое
уравнение принимает вид a2 - a + 2 = a + 5 или a2 - 2a - 3 = 0, откуда получаем значения a = -1 и a = 3. При найденных значениях параметра х = п +4nk, y = 2nl, l, k e Z, при остальных значениях параметра решений нет. Пример 7. Решить систему 1
= \a2 - 4 4 п а2 -16
п
té ■а- ■1) + a2 -15
1 + (х - у)2
>/й+3 + 2 х = 8.
Два уравнения, три неизвестных, обычные приемы решения не приведут к чему-то хорошему. Учитывая область допустимых значений второго уравнения, получаем г + 3 > 0, значит г + 4 > 1.
- < 1. Значит
1 + (х - у)2
первое равенство возможно только при выполнении условий:
' 1 = 1,
Получаем г = -3, х = у и, учитывая первое уравнение исходной системы, х = у = 4. Ответ: (4, 4, -3).
Пример 8. При каких значениях параметра а система
g(y) = У2 + 2ay + 17 = (y + a)2 + 17 - a2 > 17 - a2.
Решая уравнение %/a2 -15 = 17 - a2, получаем a = ±4.
При a = 4 находим y = -4, что не удовлетворяет первому неравенству. При a = -4 находим y = 4.
Ответ: a = -4.
Кстати заметим, что используемое выше свойство ограниченности синуса или косинуса как-то «бледнеет» в школьном курсе на фоне свойства «периодичности». И в самом деле при попытке охарактеризовать график синуса большинство старшеклассников отметят его периодичность. Хорошо, конечно, что школьники наглядно могут представить периодическую функцию, но это не повод забывать об ограниченности, которая, как видим, бывает весьма полезной для решения задач.
К слову сказать, сформировавшееся в школе «пренебрежение» свойством ограниченности переносится и в Вуз, несмотря, на то, что в Вузовских курсах ограниченность (или неограниченность) как понятие активно используется фактически в любой дисциплине и научных работах [7; 10; 13].
Вообще от школьных навыков, будь то неправильная, но удобная запись или какие-то не до конца верные определения, в Вузе оказывается отказаться довольно сложно. Приходится не только строить, но и перестраивать, а это всегда сложнее. В то же время привитое в школе умение логически мыслить, анализировать условие и т. д. способствует развитию научно-исследовательских навыков студента. Ну, а о научно-исследовательской деятельности в Вузах писалось и пишется достаточно [5; 8; 14].
Таким образом, с маленьких простеньких задач «на смекалку», через «логические квадраты» и «за-
дачи на оценку» могут начаться серьезные научные труды [6; 9; 12]. Главное на этом пути - не упустить время и открыть ребенку удивительный мир математики.
Библиографический список
1. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Анализ результатов проверки заданий с развернутым ответом единого государственного экзамена по математике за 2015 год // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. - 2016. - Т. 22. - № 2. - С. 14-16.
2. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н. Анализ структуры заданий единого государственного экзамена по математике за 2016 год по Костромской области // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. - 2016. - № 4. - С. 34-37.
3. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н. Динамика результатов единого государственного экзамена по математике за 20142016 годы по Костромской области. // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. -2017. - № 1. - С. 28-30.
4. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н. Особенности подготовки экспертов по проверке заданий с развернутым ответом единого государственного экзамена по математике // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. - 2016. - Т. 22. - № 3. - С. 177-178.
5. Марголина Н.Л. Из опыта преподавания математической статистики студентам физико-математического факультета // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: Материалы IX Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2015. - С. 82-83.
6. Марголина Н.Л. Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Кострома, 2009. - 81 с.
7. Марголина Н.Л. О формулах показателей равномерной устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2014. - Т. 20. - № 4. - С. 10-11.
8. Матыцина Т.Н. Об одной форме проведения контрольных мероприятий // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественно научных дисциплин: Материалы IX Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2015. - С. 83-86.
9. Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства модулей стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Ярославль, 2007. - 75 с.
10. Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства некоторых модулей стабильных векторных расслоений определенного ранга // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2005. - Т. 11. -№ 6. - С. 8-14.
11. Фонвизин Д.И. Драматургия, поэзия, проза. - М.: Правда, 1989. - 430 с.
12. Ширяев К.Е. Некоторые показатели Ляпунова и их классификация по Бэру: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 1996. - 9 с.
13. Ширяев К.Е. Об интегральной разделен-ности функций // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. -2014. - Т. 20. - № 4. - С. 8-9.
14. Ширяев К.Е. Об универсальном подходе к оценке уровней компетенций, формируемых математическими дисциплинами // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественнонаучных дисциплин: Материалы IX Всерос. науч.-метод. конф. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2015. - С. 99-101.
Вестник КГУ А 2017
150
