Вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны, являющейся элементом акустической колебательной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2G13, 9

В. И. Кезик

Федеральный медицинский биофизический центр им. А. И. Бурназяна Россия, 123182, Москва, ул. Живописная, 46, e-mail: vladimirik@mailfrom.ru

Вынужденные осесимметричные колебания круглой

V ~У-Г

мембраны, являющейся элементом акустической колебательной системы

Получена 19.09.2013, опубликована 29.10.2013

Рассмотрены вынужденные осесимметричные колебания круглой мембраны с учетом диссипативных потерь. Предложен метод расчета акустической колебательной системы, в состав которой входит круглая мембрана. Идея метода заключается в том, что при расчете системы мембрана заменяется так называемым эквивалентным поршнем с параметрами, зависящими от частоты возбуждения вынужденных колебаний системы. Параметры эквивалентного поршня определяются из условия тождественности законов движения «усредненной» мембраны и эквивалентного поршня, помещенного на место мембраны. Под «усредненной» мембраной мы понимаем здесь плоскую поверхность, находящуюся в положении среднего отклонения точек мембраны (от положения равновесия), которое может быть вычислено в каждый момент времени. В качестве примера использования метода решена задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны барабана.

Ключевые слова: круглая мембрана, вынужденные колебания,

акустическая колебательная система, барабан.

ВВЕДЕНИЕ

Мембраны имеют широкое распространение во многих отраслях техники, являясь при этом, как правило, частью акустических колебательных систем. Разработка простого и эффективного метода расчета таких систем представляется достаточно актуальной задачей.

Предлагаемый в статье метод был развит в процессе решения задач, связанных с колебаниями подвижных элементов в системе среднего уха человека, включая барабанную перепонку. Нас интересовали резонансные свойства системы, а также импедансные характеристики и общее поглощение акустической энергии системой среднего уха. Стратегической задачей была разработка новых видов диагностического оборудования с использованием акустического зондирования.

Построенная теория была проверена на макроскопических моделях, содержащих мембраны, и дала хорошее согласие с экспериментальными данными. Представляется,

что метод имеет право на самостоятельное существование (вне связи с конкретными первоначальными задачами).

Изложение метода начинается с рассмотрения колебаний собственно мембраны в удобном для последующего анализа ракурсе, а затем представлен расчет акустических колебательных систем, в состав которых входит круглая мембрана.

1. ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ

Рассмотрим вынужденные колебания круглой закрепленной по контуру мембраны под действием приложенного к одной стороне мембраны равномерно распределенного по площади избыточного (звукового) давления, меняющегося по гармоническому закону. Другая сторона мембраны соприкасается с невозмущенной воздушной средой. Такие условия возбуждения могут быть реализованы, если мембрану вставить в круглое отверстие тонкого бесконечно протяженного жесткого экрана, делящего пространство на две полусферы. Учтем также сопротивление движению элементов мембраны, которое, как обычно, будем считать пропорциональным скорости этих элементов.

Поперечные осесимметричные колебания рассматриваемой мембраны описываются дифференциальным уравнением в частных производных гиперболического типа [1]:

д и ди

о-----------V г--------1

т дл2 т дл

д и 1 ди

----2 Н--------

удг г дг

где рт — поверхностная плотность материала мембраны, и = и (г, I) — поперечное отклонение кольцевого элемента мембраны радиуса г в момент времени I, гт — коэффициент сопротивления, отнесенный к единице поверхности, Т — напряжение в сечении мембраны, р0 — амплитуда звукового давления, а> — круговая частота

вынуждающей силы, / — — мнимая единица. Параметры рт, гт и Т считаем

константами, не зависящими от г и I.

Заметим, что потери энергии, связанные с излучением мембраны, могут быть учтены с помощью параметра гт , а наличие так называемой присоединенной массы, также

связанной с излучением, можно учесть с помощью параметра рт .

К уравнению (1) необходимо добавить граничное условие и условие ограниченности функции и (г, I), справедливые при любых I:

и(г,гХ| г—д0 = ^ I u(г, *) 1< * (при г < (2)

где Я0 — радиус мембраны.

Для рассматриваемых ниже установившихся колебаний начальные условия не требуются.

Будем искать решение уравнения (1) с граничными условиями (2), описывающее установившиеся вынужденные колебания мембраны, которые происходят с частотой вынуждающей силы.

Воспользуемся методом разделения переменных и запишем искомое решение в виде: и(г, I) = ^(г)вш . (3)

Граничные условия для амплитудной функции и1 (г) совпадают с граничными условиями для функции и (г, I) (см. (2)).

Подставив (3) в исходное уравнение (1), получим выражение:

*2.+1 +к 2„ (4)

дг г дг Т

,2 РпР1 - ггт

где к =^-—т—-— • Параметр к имеет смысл постоянной распространения

поперечной волны на поверхности мембраны.

Член, стоящий справа в уравнении (4), не является функцией радиуса г. Если бы этот член равнялся нулю, то решением этого уравнения (превратившегося в уравнение Бесселя) было бы выражение:

и1 = AJ0 (кг) + БУ0 (кг),

где А и В — не зависящие от г постоянные, J0 и У0 — функции Бесселя первого и

второго рода нулевого порядка от комплексного аргумента кг .

Решением же уравнения (4), очевидно [2, 3], является выражение:

и1=- кТ+^о(кг)+В¥о(кг).

Применим граничные условия (2) для функции и1 (г). Условие ограниченности функции и (г, ^) (а, следовательно, и функции и1 (г) ) требует положить постоянную В равной нулю, т.к. У0(кг) ^-оо при г ^ 0. Постоянная А находится из граничного условия (2) и определяется выражением

А = ■

Ро

В результате решение уравнения (4) с граничными условиями (2) можем записать в виде:

"■(г)=крт

Ло(кг)

-1

Соответственно, решение уравнения (1) (с учетом (3)) запишется в виде:

и (г, г) = Ро

к 2т

Ло(кг ) /о(к/о)

-1

Это выражение полностью определяет поведение мембраны в условиях возбуждения.

2. МЕМБРАНА В СОСТАВЕ АКУСТИЧЕСКОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Далее решаем задачу определения свойств акустической колебательной системы, в состав которой входит описанная выше мембрана. Задача решается в три этапа.

2.1. Первый этап

На первом этапе определим среднее отклонение точек мембраны от положения равновесия в каждый момент времени. Для этого проинтегрируем и (г, г) по площади мембраны и получим:

1 Р

итгС (г) = —2 |и (г, 1) • 2ЖгФ = —Р. — о

к 2т

2 •/,№)

к/о Ло(к/о)

-1

где J1 (кЯ0) — функция Бесселя первого рода первого порядка.

При вычислении интеграла выражения (5) использовалось соотношение между функциями Бесселя:

(5)

интегральное

где 2 — комплексное число (аргумент функций Бесселя).

Зависимость среднего отклонения точек мембраны от времени, определяемая формулой (5), представляет собой гармонические колебания, амплитуда и фаза которых зависят от частоты возбуждения а>. Эти колебания мы можем рассматривать как колебания плоской поверхности «усредненной» мембраны.

Выражение (5) мы можем записать в виде итШ (г) = итШвш, где

к 21

2 /1(к/о) к/о /о(к/о)

-1

(6)

— комплексная амплитуда колебаний «усредненной» мембраны.

Амплитуда колебаний «усредненной» мембраны равна модулю комплексной амплитуды итЫ, а фаза колебаний «усредненной» мембраны равна аргументу комплексной амплитуды итЫ.

В качестве иллюстрации на рис. 1 представлена зависимость амплитуды колебаний «усредненной» мембраны от частоты возбуждения / (Гц) для мембраны с определенными параметрами, близкими к параметрам реальной мембраны, используемой в экспериментах (рт =0.063 кг/м2, гт = 5 кг/м2с, Т=10 Н/м, Я0 =0.027 м).

Расчет сделан для р0 =20 Па (120 дБ).

ІЮІ

Є

f

f, Hz

Рис. 1. Зависимость амплитуды колебаний «усредненной» мембраны от частоты возбуждения. По оси абсцисс — частота в Гц, по оси ординат — амплитуда колебаний

«усредненной» мембраны в метрах

В представленном диапазоне частот мы наблюдаем четыре резонанса с частотами

з

178.3, 411.0, 644.5 и 878.1 Гц и соответствующими им амплитудами 2.468*10" , 2.117*10"4, 5.857*10"5 и 2.498*10"5 м. Потери при расчете определяются заданным параметром rm = 5 кг/м2с.

2.2. Второй этап

Далее (второй этап решения задачи об акустической колебательной системе) рассмотрим линейный осциллятор (система груз-пружина), массовым элементом которого является плоский круглый поршень той же площади, что и рассматриваемая нами мембрана. Определим параметры этого осциллятора, при которых поршень, будучи помещенным на место мембраны, при тех же условиях возбуждения двигался бы по тому же закону, что и «усредненная» мембрана.

Движение поршня описывается дифференциальным уравнением:

тр х + грх + крх = ро Бреш, (7)

где тр — масса поршня, гр — коэффициент сопротивления движению поршня, кр —

жесткость пружины осциллятора, х — отклонение поршня от положения равновесия,

Бр — ---площадь поршня, равная площади мембраны.

Решение уравнения (7) для установившегося режима может быть найдено методом комплексных амплитуд [4] и записано в виде:

Р0 Б пе

х(і) - к р2 . . (8)

кр - тр + ігрю

В соответствии с изложенным выше (тождественность законов движения поршня и «усредненной» мембраны), приравниваем правые части уравнений (5) и (8) и после несложных преобразований получаем:

кр - трр + ігр = Брк Т

2 МЩ))

^о(к^о)

-1

(9)

Считая массу поршня равной массе мембраны, из уравнения (9) определяем искомые параметры осциллятора:

тР =Рт^г, (10)

кр = трр + БрТЯе

к2 2 А(Щ) 1 -1'

_ Щ, Jо(kRо) _

(11)

гр ='

БрТ 1 ——1т<^ к2 2 А(Щ) 1 -1'

р _к^ Jо(kR) _

(12)

РтР - іГтР ъ т „

где к = А------т------, Яе и 1т — действительная и мнимая составляющие

комплексного числа, стоящего в фигурных скобках.

В результате мы определили параметры осциллятора, при которых поршень эквивалентен «усредненной» мембране в любых условиях возбуждения с равномерно распределенной по поверхности мембраны силе. С одной стороны, поршень эквивалентен «усредненной» мембране по реакции на внешнее воздействие, с другой стороны, благодаря кинематической идентичности, он тождественен «усредненной» мембране по воздействию на окружающее пространство (если мембрана окружена полостями конечного объема).

Таким образом, мы можем помещать поршень на место мембраны, где бы она ни находилась в акустической системе, при этом акустические системы с мембраной и с заменяющим ее поршнем будут эквивалентны.

Этот поршень в дальнейшем мы будем называть эквивалентным поршнем, а найденные параметры осциллятора — параметрами эквивалентного поршня (в частности, параметр кр будем называть жесткостью эквивалентного поршня).

На рис. 2 и 3 представлены зависимости параметров эквивалентного поршня от частоты возбуждения / (Гц) для той же мембраны, амплитудно-частотная

характеристика которой представлена на рис. 1. Стоит обратить внимание на то, что жесткость эквивалентного поршня в некоторых областях частот имеет отрицательные значения.

Е

о,

м

кр(ґ)

Рис. 2. Зависимость жесткости эквивалентного поршня кр от частоты возбуждения. По оси абсцисс - частота в Гц, по оси ординат - жесткость эквивалентного поршня в кг/с2

Г

Г Н

Рис. 3. Зависимость коэффициента сопротивления эквивалентного поршня гр от

частоты возбуждения. По оси абсцисс - частота в Гц, по оси ординат - величина коэффициента сопротивления эквивалентного поршня в кг/с

2.3. Третий этап

И, наконец, на третьем этапе решения задачи об акустической колебательной системе сформулируем идею предлагаемого метода. Идея заключается в том, что каждую мембрану, входящую в состав акустической колебательной системы, мы заменяем эквивалентным поршнем с частотно зависимыми параметрами,

определяемыми формулами (10) - (12), и составляем дифференциальные уравнения движения элементов системы, совершающих колебания под действием вынуждающей силы, в соответствии с этой заменой. Решив систему дифференциальных уравнений, описывающих движение элементов системы, получим законы движения каждого из элементов системы (в том числе и эквивалентного поршня — одного или нескольких), в которые будут входить параметры эквивалентного поршня (одного или нескольких). Тем самым задача описания движения системы (частотные свойства, соотношение амплитуд колебаний элементов системы на разных частотах, а также фазовые соотношения этих колебаний) будет полностью решена. При необходимости могут быть найдены и импедансы элементов системы.

3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ БАРАБАНА

В качестве примера применения предлагаемого метода рассмотрим простейшую из акустических колебательных систем, в которую входит мембрана, — барабан [5, 6].

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях круглой мембраны, натянутой на отверстие замкнутого сосуда объема V (барабан), считая скорость распространения поперечных волн на поверхности мембраны малой по сравнению со скоростью звука в прилегающей среде. Размеры барабана считаем малыми по сравнению с длиной рассматриваемых звуковых волн. В качестве мембраны барабана рассмотрим ту же мембрану, что использовалась ранее (см. комментарии к рис. 1). Возбуждение колебаний мембраны производится, как и ранее, действием приложенного к внешней стороне мембраны равномерно распределенного по площади избыточного (звукового) давления, меняющегося по гармоническому закону с амплитудой р0.

Заменяем мембрану эквивалентным поршнем с параметрами, определяемыми формулами (10) - (12). Схематическое изображение барабана, в котором мембрана заменена эквивалентным поршнем, приведено на рис. 4.

Рис. 4. Схема барабана с эквивалентным поршнем вместо мембраны

Считая процесс в объеме V адиабатным, а колебания поршня малыми, можем определить силу, действующую на поршень со стороны воздушного объема V при малых смещениях поршня [7]. Отношение этой квазиупругой силы к величине смещения поршня, ее вызвавшей, определяет жесткость ( kV ) системы поршень-объем:

2 о2

К = р^, (13)

где р — плотность воздуха, с — скорость звука.

С учетом дополнительной жесткости, создаваемой присоединенным объемом V, уравнение движения эквивалентного поршня может быть записано в виде:

шРх + грх + (К + кр )х = Ро5реШ . (14)

Решением уравнения (14) для установившегося режима, полученным с помощью метода комплексных амплитуд [4], является функция:

о і 2

Р0 Ьре

Х(Ґ) = к ^ к Р 2 ^ . (15)

К + кр - шрю + ігрю

которую можно записать как х(і) = Хєш,

р0

где X =----------------------- — комплексная амплитуда колебаний эквивалентного

К + кр - шра + ігр2

поршня.

Амплитуда и фаза колебаний эквивалентного поршня равны модулю и аргументу комплексной амплитуды X соответственно.

Давление в полости барабана можно определить по формуле [7]:

рт 0) = --ргр х(і ^

которую запишем в виде

ргп ($) = Рєш, рс2

где Р =------у~Х — комплексная амплитуда колебаний давления в полости барабана.

Амплитуда и фаза колебаний давления в полости барабана равны модулю и аргументу комплексной амплитуды Р соответственно.

На рис. 5 представлены расчетные зависимости амплитуды и фазы колебаний давления в полости барабана от частоты возбуждения для четырех значений объема V . Расчет сделан для р0 =20 Па (120 дБ).

Дополнительно к этим данным в таблице 1 приведены значения первых четырех резонансных частот £, а также значения амплитуд колебаний эквивалентного поршня

Х0 и амплитуд давления в полости барабана Р0 на этих частотах для четырех значений объема полости барабана V . Приведены также £ и Х0 (£) для V =ю.

Таблица 1. Значения первых четырех резонансных частот, а также значения амплитуд колебаний эквивалентного поршня Х0 и амплитуд давления в полости барабана Р0 на этих частотах для пяти значений объема полости барабана V, включая значение V =ю

V, л Ґ1, Гц мм Р0№), Па Ґ2, Гц Х)^2) мм Р0Й), Па Ґ3, Гц Х)&) мм Р0Й), Па Ґ4, Гц ад) мм Р0№), Па

ю 178.3 2.468 - 411.0 0.212 - 644.5 0.059 - 878.1 0.025 -

10 201.3 2.116 67.51 413.0 0.237 7.559 645.0 0.062 1.967 878.3 0.026 0.819

1 317.4 0.702 223.8 448.0 0.580 185.0 651.2 0.104 33.22 880.3 0.034 10.71

0.2 370.0 0.027 42.78 601.6 0.086 137.0 777.3 0.369 588.7 912.6 0.200 319.0

0.15 371.7 0.017 35.12 609.3 0.038 79.99 820.9 0.167 355.4 957.6 0.324 689.4

По этим данным легко проследить, как меняются резонансные частоты с уменьшением объема полости, а также как меняются амплитуды колебаний давления в полости барабана на резонансных частотах. Интересно проследить также за изменениями фазы колебаний давления (по отношению к фазе возмущающего воздействия) с изменением объема полости.

Можно сказать, что приведенные данные полностью описывают вынужденные колебания рассмотренной колебательной системы.

Следует отметить, что определение массы эквивалентного поршня по формуле (10) в рамках представленного метода является избыточным. Рассчитываемые величины смещений (или давлений) и фаз колебаний любых элементов акустических колебательных систем рассматриваемого типа от этого параметра не зависят. Формулой (10) мы вводим этот параметр просто для определенности и для того, чтобы построить полезный для наглядности изложения график на рис. 2.

а) V=10 л.

і і

Ь) V=1 л.

с) V=0.2 л.

ё) V=0.15 л.

Рис. 5. Зависимость амплитуды и фазы колебаний давления в полости барабана от частоты возбуждения для четырех значений объема барабана (а, Ь, с и ё). По оси абсцисс — частота в Гц, по оси ординат — амплитуда колебаний давления в Па и фаза колебаний давления в радианах. Объем полости определен в литрах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение, еще раз поясним идею предлагаемого метода (назовем его методом эквивалентного поршня).

Если мы имеем акустическую колебательную систему, в состав которой входит круглая мембрана с определенными параметрами (Я0, рт, гт и Т), то расчет этой

системы можно существенно упростить, заменив мембрану эквивалентным поршнем с параметрами, определяемыми формулами (10) - (12) через параметры мембраны для каждой частоты возбуждения. Осуществив эту замену, составляем дифференциальные уравнения движения элементов системы, совершающих колебания под действием вынуждающей силы. Например, для системы, представляющей собой резонатор Гельмгольца, частью стенки которого является круглая мембрана, подвижными элементами являются эквивалентный поршень и воздушная пробке в горле резонатора. Задача сведется к решению системы из двух дифференциальных уравнений, которая с помощью метода комплексных амплитуд легко превращается в систему двух алгебраических уравнений с двумя комплексными неизвестными, решаемую методом Крамера. Решение будет отражать свойства системы с двумя степенями свободы, а также через параметры эквивалентного поршня будет описывать особенности, присущие мембране. Учет диссипативных потерь (т.е. сопротивления движению элементов системы) не приводит к значительному усложнению анализа. В результате задача решается аналитически.

Метод эквивалентного поршня может быть применен и для расчета вынужденных колебаний акустических колебательных систем, в состав которых входят круглые пластины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1972. 735 с.

2. Лэмб Г. Динамическая теория звука. М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1960. 372 с.

3. Крендалл И. Б. Акустика. М.: Книжный дом “ЛИБРОКОМ”, 2009. 168 с.

4. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 440 с.

5. Морз Ф. Колебания и звук. М.-Л.: Государственное издательство техникотеоретической литературы, 1949. 496 с.

6. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1979. 686 с.

7. Фурдуев В. В. Электроакустика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 515 с.