Эквивалентные параметры кольцевой однородной мембраны Текст научной статьи по специальности «Физика»

КУСТИКА

шашг

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2015, 12

В. И. Кезик

Федеральный медицинский биофизический центр им. А. И. Бурназяна Россия, 123182, Москва, ул. Живописная, 46, e-mail: vladimirik57@mail.ru

Эквивалентные параметры кольцевой однородной мембраны

С помощью энергетического метода определены эквивалентные параметры кольцевой однородной мембраны. Под эквивалентными параметрами понимаются параметры замещающей мембрану системы, представляющей собой линейный осциллятор (система груз-пружина), массовым элементом которого является плоский кольцевой поршень тех же размеров, что и рассматриваемая мембрана. Замещающая мембрану система используется для расчета акустических колебательных систем, составной частью которых являются мембраны. Оценена точность определения резонансной частоты кольцевой мембраны (при различных значениях внешнего и внутреннего радиусов) с помощью эквивалентных параметров, которая, как и для круглой мембраны, оказалась достаточно высокой. Это позволяет использовать эквивалентные параметры кольцевой однородной мембраны для расчета акустических колебательных систем, включающих в свой состав эту мембрану. Могут рассматриваться как свободные (слабозатухающие), так и вынужденные колебания систем с малым затуханием.

Ключевые слова: кольцевая мембрана, круглая мембрана, эквивалентные параметры, вынужденные колебания, кинетическая энергия мембраны, потенциальная энергия мембраны, акустическая колебательная система.

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория колебаний мембран различной формы была разработана еще в XIX веке (Пуассон (Simeon Denis Poisson), Рэлей (John William Strutt - Lord Rayleigh), Хладни (Ernst Chladni) и др.). Тем не менее, и до настоящего времени интерес исследователей к мембранам не угасает. Появляются новые подходы к решению задач, связанных с колебаниями мембран [1, 2], проектируются и создаются технические устройства, в состав которых входят мембраны [3, 4].

В начале XX века, когда появилась необходимость в расчете электроакустических устройств, содержащих круглые мембраны, исследователи пошли по пути упрощения этих расчетов с помощью замены мембраны эквивалентным поршнем. Параметры эквивалентного поршня (эквивалентные параметры) определялись с помощью

Получена 23.11.2015, опубликована 22.12.2015

энергетического метода [5, 6]. Эта замена существенно упрощала расчет устройств, позволяя избегать решения интегро-дифференциальных уравнений.

Кольцевые мембраны также используются в технике в различных электроакустических устройствах. Для расчета этих устройств также может быть использовано замещение кольцевой мембраны эквивалентной системой с сосредоточенными параметрами с одной степенью свободы (осциллятор). Дальнейший расчет содержащей кольцевую мембрану акустической системы проводится уже с участием заменяющего мембрану кольцевого эквивалентного поршня, благодаря чему расчет существенно упрощается.

В данной работе определяются параметры эквивалентной системы для кольцевой однородной мембраны, закрепленной по внешнему и внутреннему круговому контуру.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПАРАМЕТРОВ КОЛЬЦЕВОЙ МЕМБРАНЫ

Для нахождения эквивалентных параметров кольцевой мембраны используем тот же метод (энергетический), который использовался для нахождения эквивалентных параметров круглой мембраны [5].

Рассмотрим сначала мембрану под действием статического равномерно распределенного по площади мембраны давления Р. Отклонение точек мембраны от положения равновесия в этом случае описывается (для малых отклонений) дифференциальным уравнением:

Т

С ё 2п 1 ёп ^

- + —

ёг2 г ёг J

= ~Р, (1)

где п = п(г) — поперечное отклонение кольцевого элемента мембраны радиуса г в

направлении оси п, Т — натяжение мембраны, Р — величина статического давления. Сила давления действует в направлении, совпадающем с направлением оси п. Параметр Т считаем константой, не зависящей от г .

Граничные условия для рассматриваемой задачи записываются следующим образом:

п(г)|г=*1 = 0, п(г)|г=д2 = 0, (2)

где Е1 и Е — внутренний и внешний радиусы кольцевой мембраны.

Уравнение (1) решается общими методами. Решение может быть записано в виде:

Рг 2

п(г) = -— + С2 ( +1йг), (3)

где С1 и С2 — постоянные интегрирования.

Постоянные С1 и С2 находятся из граничных условий (2):

C =

R2ln R2 - R2ln R

1_ R2 - R2

2

с = РК 2 4Г (С1 + 1П К2 )'

Найдем объем под мембраной (объем V, заключенный между поверхностью мембраны, деформированной действием статического давления Р, и плоскостью невозмущенной мембраны).

V = 2ж^п (r)rdr = ,

2T

\

dr.

где I = Г [ -г3 н--—-г 1п г н--2— г с

1 ЛI с + 1П Л С1 + 1П Л /

После интегрирования и несложных преобразований выражение для интеграла 11 = 11 (к1,л) можно записать в виде:

J?4 Т?4 т?2

i = R-+Rl — r2

4 4 C1 + ln R

Т?2 T?2 Т?2

RL (C1 + ln R )-+ rL 2 v 1 4 4

В качестве показателя величины отклонения кольцевой мембраны от нейтрального положения возьмем среднее отклонение up, определяемое по формуле:

%((-R2) = 2T((P(1-R2), (4)

Видим, что up пропорционально статическому давлению P с коэффициентом

пропорциональности, который можно определить как показатель формы отклонения кольцевой мембраны.

Пусть теперь давление меняется по гармоническому закону с частотой c и амплитудой p0. Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания мембраны.

Предположим, что пропорциональность up и p (мгновенное значение давления)

сохраняется при колебаниях на частотах вплоть до основного тона колебаний мембраны (т.е. показатель формы мембраны не меняется). Тогда среднее отклонение мембраны также будет меняться по гармоническому закону. Амплитудное значение среднего отклонения up обозначим как up0 (т.е. up (t) = up0 cos cot).

Будем считать, что up0 равно среднему отклонению кольцевой мембраны при некотором статическом давлении P0 , тогда вместо выражения (4) можем записать:

ир0 2Т(„2 _ Я(5)

РI

0"Ч

2Т ( _ Я )'

А вместо уравнения (3) запишем:

и0(г)=

Р

(

4Т

_Г2 +

С, + 1п Р2

(6)

Теперь выражение (6) определяет форму кольцевой мембраны в положении ее максимального (амплитудного) отклонения при вынужденных гармонических колебаниях. Величина и0(г) определяет также амплитуду колебаний кольцевого элемента мембраны с радиусом г и шириной ёг .

На частоте, близкой к резонансной частоте мембраны, будет иметь место соотношение Р0 » р0.

Все эти рассуждения справедливы для колебаний без учета сопротивления (незатухающих колебаний). Однако их можно распространить на случай колебаний с малым затуханием.

В случае наличия сопротивления свободные колебания, строго говоря, нельзя считать гармоническими, а при рассмотрении установившихся вынужденных колебаний мембраны, колебания кольцевых элементов мембраны не являются синфазными. Однако для систем с малым затуханием свободные колебания можно приближенно считать гармоническими, а при рассмотрении установившихся вынужденных колебаний мембраны, колебания кольцевых элементов мембраны можно приближенно считать синфазными.

Эквивалентный поршень поместим на место среднего отклонения мембраны. При этом обеспечивается сохранение воздействия эквивалентного поршня на окружающую среду, т.к. объем воздуха, вытесняемый при колебаниях поршня, не будет отличаться от объема, вытесняемого при колебаниях мембраны [6].

Таким образом, эквивалентный поршень совершает колебания с амплитудой ир0 .

Массу эквивалентного поршня тр определим из условия равенства максимального

значения кинетической энергии эквивалентного поршня и колеблющейся мембраны.

Вынужденные колебания поршня являются гармоническими, следовательно, максимальное значение кинетической энергии ЕШп определяется квадратом

амплитуды скорости и 0, которая, в свою очередь, определяется амплитудой колебаний

поршня ир0 :

ир0 = тир0 ,

1 1 Р212

7~> 1 - 2 1 2 -М) ,

Е=— т и 0 =— т а -—-т-. (п\

кт,р 2 Р Р0 2 Р „2 / „2 п2\2 (7)

4Т2 ((2 _ Я2)

Аналогичным образом определим максимальное значение кинетической энергии мембраны Еш т . В данном рассмотрении сопротивление движению мембраны считаем

малым и, следовательно, считаем, что все кольцевые элементы мембраны движутся синфазно. Максимальное значение кинетической энергии ёЕШт кольцевого элемента

радиуса г определяется квадратом амплитуды скорости ио(г) этого элемента, которая,

в свою очередь, определяется амплитудой колебаний элемента мембраны и0(г),

определяемой формулой (6):

1 2

¿ЕЫпт = 2®2 [и0 (г)] йт ,

где ёт = 2жртгёг - масса кольцевого элемента мембраны радиуса г, рт -поверхностная плотность материала мембраны.

Максимальное значение кинетической энергии ЕШт всей мембраны определяется

выражением:

Я2 2 р2 Т

Е^ = Рт®1 [ио (г)]2 гёг = 12 , (8)

где 12 = Г {-г2 +-Я-1п г + —^^—1 гёг . (9)

2 л С1 + 1п Я2 С1 + 1п Я2 w

Я

После интегрирования и несложных преобразований выражение для интеграла 12 = 12 (Я,,Я) можно записать в виде:

12 =

Я-Я,6 3Я26 +ЯХ [1 -4(С, + 1пЯ,)] Я-ЯХ [1 -2(С, + 1пЯ,) + 2(С, + 1пЯ,)

8 (С, + 1п Я,) 4 (С, + 1п Я2 )2

Приравнивая правые части уравнений (7) и (8), найдем массу эквивалентного поршня кольцевой мембраны тр :

2 р (( - я,2 )2

тР =

Жесткость эквивалентного поршня кр (жесткость пружины осциллятора) определим

из условия равенства максимального значения потенциальной энергии эквивалентного поршня и колеблющейся мембраны.

Вынужденные колебания поршня являются гармоническими, следовательно, максимальное значение потенциальной энергии ЕрЫ поршня определяется квадратом

амплитуды колебаний поршня ир0:

Е

= 1к 2 = 1

рог, р 2 Крир0 2 тр

Р 212

1 0 -м

4Т2 ((2 _ Я2 )2

(10)

Потенциальная энергия мембраны Ерог т может быть вычислена по работе,

произведенной при ее растягивании [5]. Максимальное значение потенциальной энергии, запасенной кольцевым элементом мембраны [6], может быть вычислено по формуле:

ёЕр0,т (г ) = яТ\

ёи0 ёг

гёг .

Производная функции и0(г) по г равна:

ёи0 Р(} ёг ~ 4Т

_2г +

Я2

(С, + 1п Я2 )г

Максимальное значение потенциальной энергии всей мембраны определяется интегралом (здесь мы также учитываем, что при малом сопротивлении все кольцевые элементы мембраны движутся синфазно):

Е

рог ,т

жТ /

ёи0 V , ^Р0213

0 1 гаг = ■ 03

Я

ёг

16Т

(11)

где -3 =

1^2

13 =I

_2г +

Я2

(С, + 1п Я )г

гёг.

После интегрирования и несложных преобразований выражение для интеграла 13 = 13 (Я,,Я) можно записать в виде:

13 = Я2 _ Я, +

Я

-1п Я _.

2 Я22

(С, + 1п Я2 )2 Я, С, + 1п Я2

(Я2 _Я2).

Приравнивая правые части уравнений (Ю) и (П), найдем жесткость эквивалентного поршня кольцевой мембраны кр :

кр= 2яТ(Я2 _Я2)

2 I

I

3_ 2 '

Теперь мы можем найти частоту основного тона кольцевой мембраны, которая определяется резонансной частотой осциллятора:

а0 р=.

т„

\ТТЬ_

Рт-12

Имеет смысл сравнить полученное с помощью эквивалентных параметров значение резонансной частоты кольцевой мембраны а0 с точным значением частоты,

определяемым последовательной теорией мембран (в случае круглой мембраны значение резонансной частоты, вычисленное энергетическим методом, превышало точное значение на !,86% [7]).

Резонансные частоты кольцевой мембраны с граничными условиями (2) определяются из частотного уравнения [8]:

Jo (кЯ, )¥0 (кЯ,)_ Jo (кЯ,) 70 (Щ ) = 0, (!2)

где J0 и 70 — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка,

7 а рт

к = — = аЛ-^т — волновое число, описывающее распространение поперечной волны

Ст V Т

на поверхности мембраны, а — соответствующая этой волне частота, ст — скорость распространения поперечной волны на поверхности мембраны.

Минимальное значение а, удовлетворяющее уравнению 02), является частотой основного тона кольцевой мембраны. Обозначим это значение как а0т .

Погрешность определения резонансной частоты кольцевой мембраны с помощью эквивалентных параметров в процентах определим по формуле:

а _ ап Б = -— Ю0%.

а0т

В отличие от круглой мембраны, когда погрешность определялась одним числом, в случае кольцевой мембраны погрешность будет зависеть от соотношения радиусов Я,

и Я2 .

На рис. ! представлен результат расчета погрешности определения резонансной частоты кольцевой мембраны с помощью эквивалентных параметров в зависимости от отношения Я, к Я2. Расчет сделан для Я2= 0Д м.

Как видим из графика, значение резонансной частоты, вычисленное с помощью эквивалентных параметров так же, как и для круглой мембраны, превышает точное значение (П > 0). Величина же погрешности Б всюду меньше ^54%, а в наиболее важном случае, когда 0Ш < Я,/Я2 <!, погрешность не превышает !,42%.

При практическом использовании метода эквивалентного поршня для расчета акустических колебательных систем, составной частью которых являются мембраны, желательно также учесть диссипативные потери при колебаниях мембран, хотя бы в виде малой поправки. Ситуация, когда диссипативные потери малы, является к тому же достаточно распространенной, по крайней мере, при рассмотрении колебаний в газовой среде.

1.5

0.5

/

1x10

1x10

1x10

0.01

0.1

Ю/Я2

Рис. 1. Зависимость погрешности определения резонансной частоты кольцевой мембраны с помощью эквивалентных параметров от соотношения радиусов Е1 и Е . По оси абсцисс - отношение Е1 к Е2, по оси ординат - погрешность Б в процентах.

Силы сопротивления движению элементов мембраны будем считать, как обычно, пропорциональными скорости этих элементов (вязкое трение). Определим гр как

коэффициент сопротивления движению эквивалентного поршня (коэффициент пропорциональности между силой сопротивления, действующей на эквивалентный поршень, и скоростью его движения). Величину коэффициента сопротивления гр

определим из условия равенства работы, производимой силами трения за один период колебаний эквивалентного поршня и колеблющейся мембраны. Работу силы трения за один период колебаний эквивалентного поршня определим по формуле (см. [9], стр. 80):

2ш

Ю 2 Жр = гР | [иР )] л = шиР0гР .

(13)

Работу, производимую силами трения за один период колебаний над кольцевым элементом мембраны, определим по той же формуле:

= ш [и0 (г)]2 гт 2жтйт,

где гт - коэффициент сопротивления движению мембраны, отнесенный к единице ее поверхности.

Работа, производимая силами трения за один период колебаний над всей мембраной:

2

1

0

5

4

3

1

К,= ¡¿К =^8^ , (М)

Я

где 12 - интеграл, определенный по формуле (9).

Подставив в правую часть уравнения (!3) вместо ир 0 его значение из формулы (5) и приравняв полученное выражение правой части уравнения (!4), определим г :

I л(( - Я,2 ) £ Гт= РР^Гт.

^ "Ч Ут

Гр =

Это выражение можно записать по-другому:

тр

ГР=—Гш^т, (!5)

тт

где тт — масса мембраны, равная рт$т, $т — площадь мембраны, равная площади

эквивалентного поршня $р.

Это означает, что сила сопротивления (и, соответственно, коэффициент сопротивления), действующая на эквивалентный поршень, должна быть во столько же раз больше суммарной силы сопротивления, действующей на мембрану, во сколько раз масса эквивалентного поршня больше массы мембраны. Этот вывод можно было сделать и исходя из общих соображений о механике колебательного движения.

Если сделать аналогичный расчет для круглой мембраны радиуса Я0, мы

4 2

получим [7] Гр =3 ЛГтЯ . Напомним, что масса эквивалентного поршня для круглой

42

мембраны равна тр =3лртЯ0 . Таким образом, формула (!5) оказывается справедливой и в этом случае, что подтверждает наш общий вывод.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эквивалентные параметры кольцевой мембраны определены. Замещение мембраны эквивалентным поршнем позволяет с определенной точностью рассчитывать акустические системы, включающие кольцевые мембраны. Недостатком такого подхода является то, что верхняя граница частотного диапазона, который может быть рассмотрен, лишь немного превышает частоту основного тона мембраны. Другим недостатком является условие малости диссипативных потерь. Тем не менее, в большом числе практически важных случаев этот метод может быть с успехом применен.

ЛИТЕРАТУРА

1. Костин Г. В., Саурин В. В. Метод интегродифференциальных соотношений для анализа собственных колебаний мембран // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, Вып. 3. С. 459-473.

2. Ахтямов А. М. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. МММИУ (Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление.). 2001. Т. 5. № 3. С.103-110.

3. Легостаев В. П., Субботин А. В., Тимаков С. Н., Черемных Е. А. Собственные колебания вращающейся мембраны с центральной жесткой вставкой (применение функций Хойна) // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 224238.

4. Смирнов И. П., Бурдуковская В. Г., Кошкин А. Г., Хилько А. И. Нелинейные колебания кольцевых мембран низкочастотного акустического излучателя // Изв. вузов. Радиофизика. 2008. Т. 51, № 3. С. 199-215.

5. Крендалл И. Б. Акустика. М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. 168 с.

6. Вахитов Я. Ш. Теоретические основы электроакустики и электроакустическая аппаратура. М.: Искусство, 1982. 415 с.

7. Кезик В. И. Эквивалентные параметры круглой однородной мембраны // Электронный журнал "Техническая акустика", http://ejta.org, 2014, 8.

8. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1979. 686 с.

9. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. Л. Г. Корнейчука; Под ред. Э. И. Григолюка. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.