CC BY
15
УДК 621.391
А. Г. ТАШЛИИСКИИ, А. В. КОЧКАДАЕВ, Г. Л. МИШИНА
ВЫБОР ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИИ И ПСЕВДОГРАДИЕНТА ПРИ ОЦЕНИВАНИИ МЕЖКАДРОВЫХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИИ
Рассмотрены подходы к выбору целевых функций и вида псевдоградиента при псевдоградиентном оценивании межкадровых геометрических деформаций изображений,, проанализированы подходы к сокращению вычислительных затрат при нахождении псевдоградиента.
)
Пусть два исследуемых кадра Z^=:{zJ)} и
гу(2) с (2)-!
— / двумерного изображения, определенного на сетке отсчетов О ; {/ = (/] 5 У? )}, представляют собой аддитивную смесь информационного изображения {Ху} и изображения {0у} независимого гауссовского шума:
г?>=х,+9Ф,
7 ) У '
0)
где ОС - вектор неизвестных параметров геометрического преобразования /*(ос) изображения {х!^} в г2\
{X^ } . Модель межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ) определена с точностью до набора параметров СС и сформулирована
целевая функция (ЦФ) оценивания
Оценку
- -7(1)
а можно найти на основании анализа кадров £ и
(2)
7, изображений, между которыми ищутся МГДИ. Например, задача может быть сформулирована как
задача минимизации 1(ос) =
а, =ам
где 0СГ - следующее за 0С/_| приближение точки
А/ - матрица усиле-
определяющая (1) 7(2)
длину
шагов;
- градиент функции
минимума ния,
У1(ам,2(1и(2))
. Градиентные алгоритмы вида
(1) при обработке изображений практически нереализуемые т. к. требуют громадных вычислительных ресурсов.
Анализ подходов к синтезу алгоритмов оценивания МГДИ показывает, что требованию простоты, быстрой сходимости и работоспособности в различных реальных ситуациях удовлетворяют рекуррентные псевдоградиентные алгоритмы (ПГА) [1]. ИГА может быть представлен в виде
а, = аг_, -АД,
(2)
где (3, - псевдоградиент (ПГ); ОС0 - начальное приближение параметров;
Очень важным этапом при синтезе ПГА оценивания МГДИ является выбор ЦФ оценивания и получение соответствующего этому выбору ПГ для (2). Рассмотрим подходы к нахождение ПГ ЦФ
Я •
В работе [2] показано, что при оценивании ОС ЦФ ПГА можно найти из оптимальных алгоритмов оценивания, полученных методом максимального правдоподобия, получив градиент
V](а, У) = VI"(7« -Х(У,2))Г V,- (г? - ЦТ,а))
,(3)
где V.. 1 - ковариационная матрица условного рас-
оп-
пределения Iа}); Х(/,а)-
тималъный прогноз деформированного изображения. Выражение (3) можно записать в виде
"м -1
(4)
где К-- - соответствующий элемент ковариацион-
но и
матрицы
условного
распределения
^({г^}/^1^«}). Например, если Х^=Х]-отсчеты детерминированного процесса — X
/ Г\ \
2 • = X • (ос) + 0 •, то ковариационная матрица
принимает вид = Оц5 у , где <3$ - дисперсия шума. Тогда (4) упрощается:
7,/ео аа
л у- __—1 Л _
Если произведение
а можно
считать не зависящим от параметров деформаций СХ , то, как показано в работе [2], градиент ЦФ можно найти как
vj(äJr)=-vx(ä)v;'z(2)
(5)
или
Vj(a,r) = - I
JJeCl
дх
'a 1„(2)
да
v^.m
Заметим, что в последнем случае при нахождении оптимальных оценок МГДИ осуществляется максимизация ЦФ. Это требует выполнения шагов рекуррентного алгоритма не в направлении антиградиента, а в направлении градиента, чему в (6) соответствует знак минус. Таким образом, при минимизации ЦФ Г1Г может быть получен за счет упрощения градиента (4)> а при максимизации ЦФ - градиента (5). Соотношения (4) и (5) соответствуют градиентам для оптимальных ЦФ, требуют громоздких вычислений [2]. Уменьшения объема вычислений в (4) и (5) можно достичь при переходе к ПГ. Например, вместо
V 1(а, ,, можно использовать его
усечение и заменить оптимальный
прогноз значений деформированного кадра х( 7, ОС
,где Z, = {z^, £, (/, a)j-
оолее простой оценкой локальная выборка ЦФ на / -й итерации;
Г 1
(2) _ v(2)
ß
eZ{Z>, jt eQt eQ).
Заметим, что выражение (4), определяющее ПГ ЦФ, соответствует задаче минимизации среднего квадрата межкадровой разности (СКМР). Выражения (6), служащие той же цели, соответствуют задаче максимизации выборочного коэффициента межкадровой корреляции (ВКМК).
Таким образом, в практических задачах оценивания параме тров МГДИ основными ЦФ могут являться СКМР и ВКМК. При этом в работе [2] показано, что в отличие от (4) ПГ (6) инвариантен к общему
изменению яркости отсчетов изображения .
Выбор в качестве ЦФ СКМР целесообразен при отсутствии в принятых моделях изображений и
у (2)
Z • мультипликативных искажении и нецентриро-ванных помех.
Если предположить, что изображение от кадра к
/7(2)
кадру изменяется незначительно (т. е. Z и А, -
это зашумленные реализации одного и того же изображения), то можно принять, что
У .. и (Т м5 - -
где г = J.J
lj = /;
- - символ Кронекера; CJq -
О
дисперсия аддитивного шума в соответствии с моделью наблюдений (1). При этом вычислительные затраты резко сокращаются, т.к. отпадает необходимость вычисления громоздкой ковариационная мат-
рицы
V
условного
распределения
Тогда выражения (4) и (6) для ПГ можно представить в виде
2 V (2),
Рг = ае 1—г:=—4(7)
да ]
— 0 дх (/,а)
ß,=-1.—^г-Ь?* ■
Jen( да J
Вычисление оптимального прогноза
(3)
Ж (j, а)
при больших размерах изображения требует матричных операций [4] и предполагает большие вычислительные затраты. Сокращения их можно добиться заменой прогноза значений деформированного кадра
jc(7,a) = M|x(/,ä)/Zcl),a
более простой оценкой, сформированной, например, на основе ограниченной локальной области, используемой для прогнозирования.
Большее упрощение вычислений может быть получено на основе некоторой интерполяции [3], для получения которой на каждой очередной итерации
л
алгоритма используются оценки СХ, полученные на предыдущей итерации. При этом на / -й итерации алгоритма локальная выборка ЦФ будет представлять собой
_ <1(2) ~0) I. „(2) е ¿(2)
z = )z - z-lu •
' Г/, >zy, Ь
Jl
g-U) = ~(D
Jt
__/4
OV,aM)eZ,
где X - непрерывное изображение, полученное из гу( 2)
Z с помощью интерполяции. Учитывая сказанное, соотношения (7) и (8) для ПГ с точностью до постоянного множителя примут соответственно вид
ß,=
i
J't еП!
да
a=aM
Jt&nt
с а
В ряде случаев [1] в качестве ПГ ЦФ можно выбрать вектор
р, = Ф(У 1(ам, г,)), где (р - векторная функция той же размерности, что
и V „Кос, | ^ ) . Например, очень простые и в то же время хорошо сходящиеся алгоритмы оценивания параметров получаются при выборе в качестве ф знаковой функции [1]
(3, =sgn(y(yl{at_],Zí)))> (9)
где sgn(x) = (sgn(xl), ... , 8§п(хт) ) . Отметим, что алгоритмы, использующие ПГ вида (9), нашли широкое применение в различных задачах, требующих оценивания МГДИ в условиях сложного комплекса помех [5,6].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Цыпкин ЯЗ. Информационная теория идентификации / Я. 3. Цыпкин. - М.: Наука. Физматлит, 1995. - 336 с.
2. Васильев К. К., Ташлинский Л. Г. Оценивание параметров деформаций многомерных изображений, наблюдаемых на фоне помех // Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии: Тр. IV Всеросс. конф. 4.1. - Новосибирск: СО РАН, 1998. - С 261-264.
3. Ташлинский А. Г. Оценивание параметров пространственых деформаций последовательностей изображений. - Ульяновск: УлГТУ, 2000. - 131 с.
4. Васильев К. К. Методы фильтрации многомерных случайных полей / К. К. Васильев, В. Р. Крашенинников. - Саратов: СГУ, 1990. - 128 с.
5. Tashlinskii A.G. Pseudo^radient estimation of
d1
image sequence spatial deformations / Automation, Control and Information Technology // A Publication of The International Association of Science and Technology for Development - 1ASTED. - Anaheim-Calgary-Zurich: ACTA Press, 2002. - Pp. 382-3S5. (9)
6. Tashlinskii Alexandr. Computational Expenditure Reduction in Pseudo-Gradient Image Parameter Estimation / Computational Science - ICCS 2003. Vol. 2658. Proceeding, Part II - Berlin, New York, London, Paris, Tokyo: Springer, 2003. - Pp. 456-462.
Ташлинский Александр Григорьевич, доктор технических наук, профессор кафедры САПР Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации в области статистического анализа и обработки изображений.
Кочкадаев Альберт Владимирович, адъюнкт Ульяновского филиала Военного университета связи
Минкина Галина Леонидовна, студентка Ульяновского государственного технического университета.
Поддержано грантом РФФИ 03-01-00370
#
