Адаптивное формирование объёма локальной выборки в псевдоградиентных процедурах оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таблица 1

Сравнение алгоритмов кластеризации_

Алгоритм Применимость к сильно сгруппированным данным Необходимость указания количества кластеров Чувствительность к входным параметрам Применимость к неравномерно распределённым данным

Гибридный алгоритм Да Нет Нет Да

к-средних Да Да Да Да

Субстракти вн ы й Да Нет Да Нет

Maxmin Да Нет Да Да

Fuzzy c-means Нет Да Да Да

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ярушкина, Н. Г. Нечёткие нейронные сети (Часть 1) / Н. Г. Ярушкина // Новости ИИ. -2001.-№2-3.

2. Ярушкина, Н. Г. Нечёткие нейронные сети (Часть 2) / Н. Г. Ярушкина // Новости ИИ. -2001,- №4.

3. Bosk, P., Pivert О. Extended functional dependences, redundancy and update management // EUFIT-98.

4. Cubero, J. C., Cuenca F., Vila M. A. // EUFIT-98.

УДК 621.391

5. Fuller R. Hybrid systems. Tutotium.

http://www.abo. fi/' fuller/

6. Zadeh, L. A. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centrality in human reasoning and fuzzy logic. Fuzzy sets and systems. 1997, Vol. 90, №2.

Вельмисов Александр Петрович, аспирант кафедры «Информационные системы» УлГТУ. Имеет публикации в области генетических алгоритмов, нейронных сетей, нечёткой логики.

А. Г. ТАШЛИНСКИИ, Г. Л. МИШИНА, Г. В. ДИКАРИНА

АДАПТИВНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ ОБЪЁМА ЛОКАЛЬНОЙ ВЫБОРКИ В ПСЕВДОГРАДИЕНТНЫХ ПРОЦЕДУРАХ ОЦЕНИВАНИЯ МЕЖКАДРОВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Объём локальной выборки отсчётов изображений, используемый для нахождения псевдоградиента при псевдоградиентном оценивании параметров изображений, влияет как на характер сходимости оценок, так и на вычислительные затраты. Известна методика априорной оптимизации объёма выборки, однако вопросы оптимизации в процессе выполнения процедуры оценивания параметров исследованы явно недостаточно. В работе для задачи оценивания параметров межкадровых геометрических деформаций изображений предложен алгоритм адаптивного апостериорного формирования объёма выборки, способствующий выводу процедуры из локальных экстремумов целевой функции, что позволяет повысить точность оценивания.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-08-65472-а). Ключевые слова: геометрические деформации, локальная выборка, целевая функция, псевдоградиент.

Оценивание параметров межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ)

© А. Г. Ташлинский, Г. J1. Минкина, Г. В. Дикарина, 2006

- одна из задач обработки последовательностей изображений [2-4], при решении которой используются псевдоградиентные процедуры

(ПГП) вида [5]

?

(1)

и

(2) .

^..-лд^Д.,)), (1)

где а = (а,,а2,...,ат)/ - вектор оцениваемых параметров мгди г(,) = {.у'} и г(2) = {-12)};

(5 - псевдоградиент целевой функции (ЦФ) , характеризующей качество оценивания; Л, -

матрица усиления размера т х т, задающая приращение оценки параметров на /-й итерации; I, - локальная выборка отсчётов изображений Ът и Ъ{2), используемая для нахождения Р на /-й итерации; ] = (;Х,1})Т О, - сетка

отсчётов изображений Л - ]у = 1, А7у - размер кадров изображений.

Объём локальной выборки (ОЛВ) во многом определяет как характер сходимости оценок ос, так и вычислительные затраты. В работах [6-10] предложена методика оптимизации ОЛВ, используемой для нахождения псевдоградиента на каждой итерации ПГП оценивания МГДИ. Однако найденные оптимальные ОЛВ обеспечивают выполнение соответствующих критериев лишь в среднем. Связано это с тем, что для конкретного изображения из-за случайного характера изображений и шумов оценка ЦФ не является унимодальной и содержит, кроме глобального экстремума, ещё и ложные локальные экстремумы.

Локальные экстремумы вызваны коррелиро-ванностью отдельных протяжённых объектов на изображении и существенно проявляются, если большая часть отсчётов локальной выборки попадает в эти области, т. е. связаны с ограниченностью ОЛВ. При увеличении или смене локальной выборки вероятность проявления этого эффекта резко снижается. В связи с этим представляет интерес проверка на каждой итерации оценивания признаков локальных экстремумов ЦФ и при их наличии увеличение объёма или смена выборки. При этом ОЛВ становится адаптивной величиной.

Рассмотрим несколько примеров построения ПГП оценивания параметров МГДИ, в которых ОЛВ |л в ходе выполнения процедуры регулируется на каждой итерации. При этом очередная итерация оценивания параметра осуществляется при выполнении некоторого условия. Если при минимальном ОЛВ условие не выполняется, то ОЛВ ц последовательно увеличивается до тех

пор, пока условие не будет выполнено. Это даёт минимальный объём локальной выборки, сложившейся на данной итерации, обеспечивающий условие выполнения итерации.

В предлагаемых ниже алгоритмах для нахождения численных величин, применяемых в усло-

виях выполнения итерации, используются значения оценок ЦФ, получаемые при соответствующих ОЛВ. Так, при минимизации среднего квадрата межкадровой разности (СКМР) оценку значения ЦФ на / итерации можно найти как

1

ГШ/7

И Л-П,

(Л, <*/-.)/ >

(2)

где ц - ОЛВ 1, на I -й итерации; - отсчёты

деформированного изображения , попавшие в локальную выборку на / -й итерации;

?0) (/,, а,_,) - отсчёты, взятые в локальную выборку на /-й итерации из интерполированного изображения га) (непрерывного изображения,

полученного из г0)); ], е О., е О. - координаты отсчётов ; а,_, -оценка вектора параметров

МГДИ на (/-1)-й итерации; П, - план локальной выборки на / -й итерации

Если в качестве ЦФ выбран выборочный коэффициент межкадровой корреляции (ВКМК), то оценку ЦФ можно найти как оценку коэффициента корреляции:

1 I да'^Д.,)-

я, =

1

¿еП,

141' I ?'"(/,. ¡У

(3)

где

1

=

х ИМ^-^М,.,))1

и

=

—— X (¿;,2) ~ ? ~ оценки дисперсий

М- - 1 ],ей,

изображений Х{2) и ? сделанные по локаль-

й выборке; -.1 (/„«,-,) и

НОИ

-(2) _

Ц и еп,

1

_ = — 1>(-2) - средние значения яркостей от-

М уеП

счётов 2(1)(/,,а,_,) и гФ соответственно.

Для определённости будем считать, что используется ПГП релейного типа [5]. Тогда в общем виде оценка /-го параметра на /-й итерации определяется соотношением

ам / = 1,7', Ы\щ (4)

где знак «-» соответствует задаче минимизации ЦФ, а «+» - максимизации; т - число оцениваемых параметров; Т - заданное число итераций. Пусть задан некоторый начальный (наименьший) ОЛВ ц/тЬ, минимальное значение которого при максимизации ВКМК может быть равно 2, а при минимизации СКМР - 1. Кроме того, введём следующие обозначения:

<7,(ц,) = ц,) - оценка значения ЦФ на г ите-

и

рации, вычисленная по отсчетам

г(1)(/,,а,_,) локальной выборки объёма ц,; ^(ц,) - оценка значения ЦФ на /-й итерации при том же ОЛВ, вычисленная по отсчётам и

а,,а^+Д^.,... ат,_,), т.е. при задании оценке параметра а, некоторого положительного приращения Д^О; ^(ц,)-оценка значения ЦФ на I -й итерации, вычисленная по

_(2)

отсчетам гу/ и ?_0)(У;,а,,а,,., -Дш,... ат/_,)

при задании а, отрицательного приращения.

В первой из предлагаемых ПГП с адаптивным регулированием ОЛВ на каждой итерации реализуется следующее условие выполнения итерации. Итерация нахождения очередной оценки а, , параметра а, не выполняется, а ОЛВ ц,

Ш1П

увеличивается на 1 (в локальную выборку добавляется новая пара отсчётов г™ и ¡^(/„а,.,)),

в двух случаях:

1. Если на очередной / -й итерации оценка ^(Мшш) ЦФ ПРИ локальной выборке с объёмом

И,™ «лучше» обоих значений ?/(цт1п) и

яГКш,)-

2. Если на очередной / -й итерации оценка 9/(Итт) ЦФ ПРИ локальной выборке с объёмом

Игтш «хуже» значений <?;(нтп), ^г(^тт) и при

этом ^;(цтп)=^г(цт1п).

Приведённые условия поясняются рис. 1, а, где левый рисунок отражает первое из условий, а правый - второе.

я,

ч,

л

я,

9/

Я,

Л

Ч,

Я,

Л

Л

Л

а-Да а+Да а-Да а + Да а-Да а+Да а-/5а а+Да

а б

Рис. 1. Условия увеличения ОЛВ (а) и выполнения итерации ПГП (б)

Затем условия 1 и 2 проверяются с ОЛВ, увеличенным на единицу, - (ц/тш+1). Если одно из

них вновь выполняется, то ОЛВ увеличивается ещё на единицу и т. д., вплоть до значения цтах,

достигнув которого выполняется следующая итерация оценивания параметра а,. Если же при

очередном ОЛВ условия 1 и 2 не выполняются, то проводится очередная, (/ + 1)-я итерация формирования оценки а, , параметра а,. При этом

Р„+, =

в случае максимизации ЦФ псевдоградиент р/ ы формируется в соответствии с правилом:

1, если <7Г (ц,) < Ц) л

0, если )=<?," (ц,) (5) -1, если <?Г(м,)><7Г(м,)л

а при минимизации ЦФ:

1, если <?;(ц,)<<7,"(н,)л

(3, ,+1 = \ 0, если <?; (ц,) = (ц, >, (6)

-1, если <?;(ц,)><?Г(ц,)д

Возможные соотношения <7, (ц,), и

<7~(ц,), соответствующие условиям, при которых

итерация псевдоградиентного оценивания выполняется, поясняются на рис. 1, б.

В частности, при минимизации ЦФ процедуру оценивания параметра МГДИ можно записать как

Иг =

Р/.М =

\1к +1, если (д, (ц,) < ц, (цА) д <?; (и,.

в другом случае; 1, если д;^,)<д;{и,)А

о, если

-1, если <7,+((1,)> <7,~(ц,)л

V

(7)

Блок-схема алгоритма (БСА) (7) при использовании в качестве ЦФ СКМР приведена на рис. 2. Здесь в качестве исходных величин в

блоке 1 задаются: закон X,, г = 1 ,Т, приращения оценки а, как функции числа итераций, начальное значение ОЛВ на каждой итера-

ции, максимально допустимое значение ц

тах

ОЛВ на итерации, начальное приближение а

о

оцениваемых параметров, а также присваивается нулевое значение переменной номера итерации (/ = 0). В блоке 2 переменной ОЛВ ц,

присваивается начальное для текущей итерации значение ц,т1п. Блок 3 осуществляет формирование локальной выборки 2, объёма цш(п. При

этом в соответствии заданным правилом формирования плана локальной выборки выбираются координаты у, е £2, для ц отсчётов г(-(2)

деформированного кадра Ъ(2\ для которых на интерполированном кадре Iм с использованием модели МГДИ, координат у, и начального

_ А

приближения параметров а0 ищутся оценки

отсчётов, вошедших в план локальной выборки. По сформированной 7, в блоке 4

по формуле (1) вычисляется оценка <7,(^1,) = и,) значения ЦФ и, кроме того,

оценки <7,+(ц,) и ЦФ, рассчитанные по

модели МГДИ при изменении оценки а,,_, исследуемого параметра на величину ±ДШ, где Д^ > 0 - наперёд заданное приращение оценки

параметра а,.. Если д, (ц,тп)< я;(ц,тп)*д;(р,, т. е. оценка ЦФ больше обоих значений

^(ц,™) и <?;(ц,тш) (что проверяется в блоке 5),

то ОЛВ увеличивается на 1 (блок 11), и в локальную выборку добавляется новая пара отсчётов 42) и 2П)(/,,а,_,), после чего операторы 1-5 повторяются. Если же

то С помощью блО-

ка 6 проверяется условие

«?,(^тш)>9Г(й,гшп)='?,+ (ц,т1п)! т.е. что оценка \Цтт) меньше равных между собой значений

<7,"(ц,™)> ^"(Ипйп)- Если условие блока 6 выполняется, то ОЛВ ц, вновь увеличивается на единицу и повторяются операторы 1-6.

Если условие блока 6 не выполняется, то происходит переход (блок 7) к выполнению следующей итерации оценивания (в данном случае по ходу рассмотрения алгоритма - к первой). Блок 8 служит для проверки выполнения условия заданного числа итераций Т. Если пороговое число итераций ещё не достигнуто (¿<7"), то в соответствии с формулой (6) рассчитывается псевдоградиент (3,, для текущей

итерации оценивания параметра, которая выполняется в блоке 10. При этом, учитывая условия выполнения алгоритма, формулу (6) можно

упростить: (<?;_,(цм)-<?;_,(ц,_,)). Кроме

того, поскольку псевдоградиент (3,, уже носит «знаковый» характер, то sgn -функцию в (4) можно упустить - тогда а,, = а,- (3,,. Если

же I > Т , то процедура оценивания параметра а, заканчивается формированием оценки а,7,

которая является окончательной.

Рассмотренный алгоритм, БСА которого приведена на рис. 2, является упрощённым, поскольку раскрывает оценивание только одного параметра. Однако очевидно, что в пределах итерации алгоритм нахождения ОЛВ для оценивания остальных параметров МГДИ аналогичен приведённому. При этом в качестве |u,+lmin для

каждого последующего параметра целесообразно брать |ijmin предыдущего, а не исходный

fi0min. Объясняется это тем, что больший ОЛВ в

среднем обеспечивает большее значение КУО. Вычислительные же затраты при этом возрастают крайне незначительно.

Отметим, что величина ji.mm при увеличении

/ изменяется по некоторому заранее заданному закону, определяемому решаемой задачей, в частности, в простейшем случае n(min = const. Условия блоков 5 и 6 при рандомизированном выборе отсчётов на каждой итерации способствуют выходу ПГП из локальных экстремумов ЦФ, т. к. приводят либо к увеличению совокупности отсчётов в локальной выборке, либо (при достижении ) - к новой совокупности отсчётов.

На рис. 3 и рис. 4 приведены экспериментальные результаты, полученные при реализации предложенного выше алгоритма. В эксперименте использовалось реальное изображение оптического диапазона с радиусом корреляции, рав-

Начало

Конец

Рис. 2. БСА с регулируемым ОЛВ при минимизации СКМР

ном примерно 5 шагам сетки отсчётов. Оцениваемым параметром МГДИ являлся параллельный сдвиг И = (л, = 10, Иу = 0.5^.

О 500 1000 1500 2000

Рис. 3. Зависимость OJ1B от числа итераций

Сдвинутое изображение дополнительно за-шумлялось независимым гауссовским шумом (О-) с нулевым математическим ожиданием и

дисперсией cvg. Параметры матрицы усиления ПГП задавались в соответствии с соотношением = ^hyt - l/(l + 0.05i). Усреднённые по 50 реализациям зависимости OJIB ц, от числа итераций при оценивании параметра hx Iii 11 (7) показаны на рис. 3. Здесь кривая 1 соответствует отношению сигнал/шум <з]/<jg, равному 100, а

кривая 2 - отношению =50. Видно, что при

aj/ag=100 в начале оценивания (при больших

рассогласованиях оценки) ОЛВ сравнительно небольшой (при t =10 - примерно 2, при t =500 -примерно 2.3), а с ростом числа итераций t в среднем монотонно увеличивается, достигая при t =2000 примерно 6.

На рис. 4 приведены зависимости рассогласо-

А

вания гь=Их1- Их от числа итераций, усреднённые по 250 реализациям. Здесь кривая 1 соответствует результатам, полученным с помощью предложенного алгоритма формирования ц,,

кривая 2 - при постоянном = ц , где

2000

= Ей* -средний ОЛВ при изменении t от 1

до 2000. Видно, что при небольшом числе итераций наблюдается проигрыш в точности оценивания (на 100 итерации примерно в 1,05 раза). Это объясняется большей скоростью сходимости алгоритма с постоянным ОЛВ за счёт в среднем большего ОЛВ в начале оценивания. Однако при равных вычислительных затратах (к 2000 итерации) обеспечивается выигрыш в точности уже приблизительно в 2,4 раза.

ю 8 б 4 2

Таблица 1 Точность оценок сдвига изображений при регулируемом и постоянном ОЛВ ПГП

В табл. 1 приведён выигрыш в точности в процентах предложенной ПГП с регулируемым ОЛВ по отношению к ПГП с постоянным ОЛВ при нескольких одинаковых суммарных ОЛВ, равных 200цся, 400цс/,, 600, 800цс/>, 1000ц,,, 1500цф

и 2000 .

Таким образом, при равных вычислительных затратах предложенная ПГП с регулируемым ОЛВ позволяет существенно увеличить скорость сходимости оценок параметров МГДИ по сравнению с ПГП с постоянным ОЛВ, поскольку способствует выходу процедуры из локальных экстремумов ЦФ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ташлинский, А. Г. Оценивание параметров пространственных деформаций последовательностей / А. Г. Ташлинский. - Ульяновск : УлГТУ, 2000.

2. Ташлинский, А. Г. Псевдоградиентное оценивание пространственных деформаций последовательности изображений / А. Г. Ташлинский // Наукоёмкие технологии. - 2002. - № 3 (т. 3).-С. 32-43.

Суммарный ОЛВ Рассогласование оценки Выигрыш в точности, %

Ц/ =var ц, =consi

200 8,63 8,62 3

400 цср 7,22 8,12 12

600 цс/, 5,54 7,16 29

800(1^ 3.96 6,06 53

Ю00цс, 2,56 4,79 87

1500 ^ 0,68 1,35 99

2000 цср 0,23 0,55 139

0 4-г-,-'

0 500 1000 1500 2000

Рис. 4. Зависимость рассогласования оценки сдвига

от числа итераций

3. Tashlinskii, A. G. Pseudogradient estimation of image sequence spatial deformations / A. G. Tashlinskii // Automation, Control and Inror-mation Technology - A Publication of The International Association of Science and Technology for Development - IASTED. - Anaheim-Calgary-Zurich: ACTA Press, 2002. - Pp. 382-385.

4. Tashlinskii, A. G. Computational Expenditure Reduction in Pseudo-Gradient Image Parameter Estimation / A. G. Tashlinskii // Computational Scince - ICCS 2003. Vol. 2658. Proceeding, Part II. - Berlin : Springer, 2003. - Pp. 456-462.

5. Цыпкин, Я. 3. Информационная теория идентификации / Я. 3. Цыпкин. - М. : Наука. Физматлит, 1995. - 336 с.

6. Минкина, Г. JI. Выбор величин, характеризующих сходимость оценок при псевдоградиентном оценивании параметров межкадровых деформаций изображений / Г. Л. Минкина, М. Ю. Самойлов, А. Г. Ташлинский // Вестник УлГТУ. - 2005. - № 4. - С.32-37.

7. Ташлинский, А. Г. Минимизация вычислительных затрат в алгоритмах псевдоградиентного оценивания параметров изображений / А. Г. Ташлинский, М. Ю. Самойлов; под ред. Д. В. Андреева // Электронная техника: межвузовский сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2005.-С. 13-17.

8. Minkina, G. L. Employment of the Objective Functions in Pseudogradient Estimation of Inter-frame Geometric Deformations of Image / G. L. Minkina, M. U. Samojlov, A. G. Tashlinskii // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2005. -No. 1 (vol. 15).-Pp. 247-248.

9. Самойлов, M. Ю. Оптимизация процедур псевдоградиентного оценивания параметров межкадровых геометрических деформаций изображений / М. Ю. Самойлов // Радиолокация, навигация, связь: труды XII междунар. науч .-техн. конференции. - Воронеж : Саквоее, 2006. -С. 162-167.

10. Ташлинский, А. Г. Скорость сходимости оценок параметров межкадровых деформаций изображений, формируемых псевдоградиентными алгоритмами / А. Г. Ташлинский, М. Ю. Самойлов // Труды научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А. С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и её применение. - М. : Инсвязьиздат, 2006. - Выпуск VIII-2. - С. 424-428.

о©©©®©©©©®©©©*©©©©©©

Ташлинский Александр Григорьевич, доктор технических наук профессор кафедры САПР УлГТУ.

► V