CC BY
44
УДК 621.833 + 621.8.024.4 DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-492-497
ВЫБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЗУБЧАТО-ПОВОДКОВЫХ ПЕРЕДАЧ
Б. П. Тимофеев, М. Ю. Сачков
Университет ИТМО, 197101, Санкт-Петербург, Россия E-mail: Urie2006@yandex.ru
Исследована приближенная передача на параллельных осях, для которой получены функция положения, координаты точек контакта, ошибка функции положения и зависимость передаточного отношения от угла поворота. Решена задача выбора геометрических параметров из условия ограничения циклической погрешности зубцовой частоты и величины удара при пересопряжении. Обоснован выбор числа поводков по условию отсутствия кромочного контакта и обеспечению минимизации кинематической погрешности приближенной передачи на параллельных осях. Определены минимальные числа поводков исходя из математического моделирования зубчато-поводковой передачи с передаточным отношением, равным единице, обладающей наибольшей длиной активной действующей линии. Проанализировано влияние передаточного отношения на ошибку функции положения для области рациональных передаточных отношений. Разработка защищена патентом РФ.
Ключевые слова: зубчато-поводковая передача, ошибка функции положения, кромочный контакт, активная действующая линия, ошибка по скорости, геометрические параметры, характеристики зацепления.
Введение. Зубчатые передачи используются не одну тысячу лет, исторически первые передачи были несопряженными, поскольку основная теорема зацепления (теорема Виллиса) была сформулирована в 1841 г. Многие приближенные передачи были получены еще в начале ХХ века. В частности, для производства конических зубчатых колес дифференциалов задних мостов автомобилей Э. Вильдгабером был предложен один из самых производительных и по сей день способ кругового протягивания Revacycle [1, 2]. Передачи с приближенным зацеплением принципиально не могут передавать вращательное движение с постоянным передаточным отношением в процессе зацепления одной пары зубьев.
Важной задачей синтеза приближенного зацепления является локализация пятна контакта на поверхности зубьев. В случае приближенного зацепления (для жесткой модели) контакт точечный, для упругой модели зацепления точка контакта преобразуется в мгновенную площадку, совокупность таких площадок представляет собой пятно контакта.
Локализация пятна контакта приводит к снижению нагрузочной способности сопряженных передач. Вследствие интерференции (при обработке и эксплуатации) может быть образовано пятно контакта неприемлемой формы: „диагональность", „мостовой контакт", „рыбий хвост" и т.д. Применительно к коническим передачам этот вопрос рассматривался, например, в работах В. Н. Кедринского и К. М. Писманика [3].
В различных приборах применялись поводковые передаточные механизмы, их расчету посвящены работы Ф. В. Дроздова, С. И. Пантелеева, П. А. Лебедева, Ф. Л. Литвина [4] и Е. И. Гутмана.
Для механизмов, кинематическими элементами передачи которых являются плоскость и цилиндр, цилиндр и цилиндр, были получены качественные характеристики передачи с параллельными осями [5]. Такая приближенная передача может быть использована как повышающая, так и как понижающая.
В настоящей работе решается задача выбора геометрических параметров передачи из условия ограничения циклической погрешности зубцовой частоты и величины удара при пересопряжении.
Геометрия зубчато-поводковой передачи. Рассмотрим зубчато-поводковую передачу, состоящую из зубчато-поводковых колес. На рис. 1 представлена схема расположения осей координат, связанных с зубчато-поводковыми колесами (рассматривается частный случай, когда колеса расположены на параллельных осях, а оси поводков пересекаются под углом 90°) [6].
Определение функции положения в неявном виде. Для получения функции положения зубчато-поводковой передачи используем равенство радиусов-векторов и ортов нормалей в точках касания поверхностей £1 и £2 . Эти поверхности образуют высшую кинематическую пару, элементами которой являются цилиндрические поверхности поводков.
Уравнения поверхностей £1 и £2 в системах координат 82 и ¿6 можно записать как
где p¿ — радиус i-го поводка.
Орты нормалей поверхностей £1 и £2 запишем в виде:
еХ2 =cos01; V = sinеь ег2 =0; ех6 =cos02; ^6 =sin02; ez6 =
Для преобразования координат воспользуемся следующими матричными уравнениями:
Рис. 1
x2 = u\; У2 =p1sin01; z2 =p1cos01; x6 = u2; У6 =P2sin02; z6 =p2cos02 ,
На основании рис. 1 получим следующие матрицы перехода из одной системы координат в другую:
С cos ф1 - sin s1 sin Ф1 - cos s1sin Ф1 -^sin Ф1 ^ sin ф1 cos ф^т s1 cos ф1cos s1 R1cos ф1
M
02
0 0
- cos(s1) 0
sin(s1) 0
R1tg 81 1
f
M
06
cos ф2 - sin 82 sin ф2 sin ф2 cos ф 2sin 82
0 0
cos 82 0
cos 82 sin ф2 А + R2 sin ф2
- cos ф2 cos 82 L - R2 cos ф2
sin 82 R2tg 82 - В
0 1
Л
где 81 = 90 - аг-.
Проекции ортов нормалей в системе O0 определяются с помощью матричных равенств:
e( 1 = L01L12e2 = L02e2; 1 = L03L34L45L56e6 = L06e6 .
Матрицы L01, L12, L03, L34, L45, L56 получены из матриц M01, M12, M03, M34, M45, M56 „зачеркиванием" четвертого столбца и четвертой строки. Следует отметить, что из трех уравнений для проекций ортов нормалей два являются независимыми, поскольку нало-
"(1) -(2 )| , жена связь: e = e | = 1.
После всех преобразований поверхностей Е1, Z2 и ортов нормалей получим следующую систему уравнений:
p1 cos ф1 cos 01 - u1 cos 81 sin ф1 - R1 sin ф1 - p1 sin ф1 sin 81 sin 01 -
- (А + R2 sin ф2 + u2 cos ф2 sin 82 + p2 cos ф2 cos 02 - p2 sin ф2 sin 82 sin 02 ) = 0,
R1 cos ф1 + u1 cos ф1 cos 81 + p1 cos 01 sin ф1 + p1 cos ф1 sin 81 sin 01 -
-(L - R2 cos ф2 - u2 cos ф2 cos 82 + p2 cos 02 sin ф2 + p2 cos ф2 sin 82 sin 02 ) = 0,
R1tg81 + u1 sin 81 - p1 cos 81 sin 01 - (R2tg82 - В + u2 sin 82 + p2 cos 82 sin 02 ) = 0,
cos ф1 cos 01 - sin ф1 in 81 sin 01 + (cos ф2 cos02 - sin ф2 sin 82 sin 02 ) = 0,
cos 01 sin ф1 + cos ф1 sin 81 sin 01 + (cos 02 sin ф2 + cos ф2 sin 82 sin 02 ) = 0,
- cos 81 sin 01 + cos 82 sin 02 = 0.
В пять независимых уравнений системы (1) входят шесть неизвестных ф1, ф2, u1, u2, 01, 02. Варьируя параметр ф1, получим значения для остальных неизвестных системы. С использованием численных методов программной оболочки MathCad были получены графики зависимостей ф2 = f (ф1) , Аф2 = f2 (ф1) , где Аф2 = ф2д - ф2н = ф2д - ф1'12 (индекс „д" обозначает действительную величину ф2 , „н" — номинальную), /'21 = /3 (ф1), А/21 = /4 (ф1). Зависимости А/21 = г21д - г21н и u1 = /5 (01), u2 = /6 (02 ) описывают графики координат точек контакта на поверхностях Е1, Z2 (рис. 2—4). Для получения численных значений функции положения, функций /21 и Л/21, а также координат точек контакта на поверхностях были при-
(1)
к
няты следующие значения основных параметров: т = 2 мм, а! =а,2 = — рад, Р2 = Р1 = 1,171 мм,
число поводков — 15.
На рис. 2, а приведена зависимость ф2 = /1 (ф1) , б — /21 = /3 (ф1).
а)
ф2(ф1), рад 0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
\
\
ч \
\
б) ^21 (ф1)
—0,98 -1 -1,02
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 ф1, рад
-1,04
/
/
У
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 ф1, рад
Рис. 2
На рис. 3 представлены координаты точек контакта на поверхностях Е1 (а), Е2 (б).
а) 6)
2,25 т
и1(ф1) 0,25 т
2,25 т
4
3
2 1
и1(ф1)
0,25 т
-0,4 -0,2 0
0,2 01(ф1), рад
2,8 3 3,2 02(ф1), рад
Рис. 3
На рис. 4, а приведена зависимость Д/21 = /4 (ф1), б — Дф2 = /2 (ф1) .
а)
-Д/21(ф1), рад
0,1 к к
0 0,5 1
-0,1
б)
-Дф2(ф1), рад
0
-0,02
' 1
Точки пересопряжения поводков
ф1, ф1+8, ф1+25, рад Рис. 4
Как можно заметить, функция положения близка к линейной, а координаты точек сопряжения на поверхности поводков не выходят на кромку, это является свойством зубчато-поводковой передачи.
1
Выбор геометрических параметров зубчато-поводковых колес. Как видно из рис. 3, координаты точек контакта не выходят на верхнюю кромку поводка и нижнюю линию (границу радиального зазора). Однако с уменьшением числа поводков, в пределах одного передаточного отношения, увеличивается угловой шаг и как следствие — длина линии контакта на поверхностях поводков. Для определения рационального числа поводков в пределах одного передаточного отношения был проведен расчет значений качественных характеристик зубчато-поводковых передач с различным числом поводков. Полученные расчетные данные для
m = 2
к
мм,
а1 =а2 = 4 РаД, Р2 =Pi = 1,171
мм,
wmin = 0,25m = 0,5
= (0,25 + 2 • 1) m = 4,5 мм, ^ = 1 представлены в таблице.
мм,
Число поводков
8 15
Ф1 ф2(ф1) Дф2(ф1) Дг'21(ф1) и1(ф1) и2(ф1) Ф1 ф2(ф1) Дф2(ф1) Д'21(ф1) и1(ф1) и2(ф1)
-0,393 0,414 0,022 -0,104 2,773 1,563 -0,349 0,364 0,015 -0,084 2,587 1,495
-0,313 0,327 0,014 -0,087 2,288 1,295 -0,269 0,278 9,342-10-3 -0,068 2,116 1,252
-0,233 0,241 7,94-10-3 -0,067 1,896 1,14 -0,189 0,194 4,667-10-3 -0,049 1,742 1,123
-0,153 0,156 3,442-10-3 -0,045 1,585 1,082 -0,109 0,111 1,559-10-3 -0,029 1,456 1,095
-0,073 0,073 7,794-10-4 -0,021 1,35 1,109 -0,029 0,029 1,103-Ю"4 -7,598-10-3 1,253 1,157
7,301-10-3 -7,293•Ю-3 7,792-10-6 2,133-10-3 1,188 1,212 0,051 -0,051 3,348-Ю-4 0,013 1,132 1,3
0,087 -0,086 1,097-10-3 0,025 1,099 1,385 0,131 -0,129 2,172-10-3 0,033 1,094 1,519
0,167 -0,163 3,938 10-3 0,046 1,084 1,622 0,211 -0,205 5,5-10-3 0,05 1,141 1,811
0,247 -0,239 8,364 10-3 0,064 1,148 1,923 0,291 -0,281 0,01 0,066 1,28 2,179
0,327 -0,313 0,014 0,08 1,296 2,29 0,371 -0,355 0,016 0,078 1,519 2,627
0,407 -0,386 0,021 0,093 1,536 2,73 0,451 -0,428 0,023 0,088 1,868 3,164
0,487 -0,458 0,029 0,103 1,88 3,252 0,531 -0,501 0,03 0,096 2,342 3,807
0,567 -0,53 0,037 0,109 2,341 3,872 - - - - - -
u
Как видно из таблицы, при восьми поводках линия контакта не выходит за верхнюю границу поводка, но меньше чем при пяти поводках некоторые значения выходят из интервала [umin; umax ]. Данные расчеты производились для различных передаточных отношений в
пределах одного модуля, их результаты подтвердили, что с увеличением передаточного отношения минимальное теоретическое значение числа поводков ведущего колеса можно снизить за счет уменьшения длины активной линии зацепления. При этом уменьшается ошибка функции положения и передаточного отношения. Минимальное число поводков ведущего колеса зависит от требований изготовителя привода.
Следует отметить, что при увеличении передаточного отношения циклическая погрешность и скачок скорости в момент пересопряжения уменьшаются. Следовательно, минимальное рациональное число поводков ведущего колеса также уменьшается с увеличением передаточного отношения.
список литературы
1. Pat. 2 267 181 USA. Gear cutter / E. Wildhaber. Patented Dec. 22, 1937.
2. Pat. 2 357 153 USA. Method of cutting gears / E. Wildhaber. Patented Aug. 27, 1944.
3. Кедринский В. Н., Писманик К. М. Станки для обработки конических зубчатых колес. М.: Машиностроение, 1967. 584 с.
4. Литвин Ф. Л. Проектирование механизмов и деталей приборов. Л.: Машиностроение, 1973. 696 с.
5. Тимофеев Б. П., Уланов А. А. Кинематика традиционных передач // Теория механизмов и машин. СПб: СПбГПУ, 2013. Т. 11, № 2(22). С. 73—88.
6. Пат. 146159 РФ. Колесо для передачи вращательного движения / Б. П. Тимофеев, М. Ю. Сачков. Заявл. 19.05.2014; опубл. 10.10.2014. Бюл. № 28.
Михаил Юрьевич Сачков
Борис Павлович Тимофеев
Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Университет ИТМО, кафедра мехатроники; E-mail: timofeev@mail.ifmo.ru
аспирант; Университет ИТМО, кафедра мехатроники; E-mail: Urie2006@yandex.ru
Рекомендована кафедрой мехатроники
Поступила в редакцию 27.01.15 г.
Ссылка для цитирования: Тимофеев Б. П., Сачков М. Ю. Выбор геометрических параметров зубчато-поводковых передач // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 6. С. 492—497.
THE CHOICE OF GEOMETRIC PARAMETERS OF A ROD-TOOTHED TRANSMISSION
B. P. Timofeev, M. Yu. Sachkov
ITMO University, 197101, Saint Petersburg, Russia E-mail: Urie2006@yandex.ru
A parallel-axis toothed gear with approximate tooth profile is studied. The problem of optimal choice of geometric parameters in the absence of edge contact is solved with the use of calculations performed on the base of developed model of rod-toothed transmission.
Keywords: rod-toothed transmission, number of rods, edge contact, active action line, speed error, engagement characteristics and geometrical parameters.
Reference for citation: Timofeev B. P., Sachkov M. Yu. The choice of geometric parameters of a rod-toothed transmission // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 6. P. 492—497 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-6-492-497
Boris P. Timofeev
Mikhail Yu. Sachkov
Data on authors
Dr. Sci., Professor; ITMO University, Department of Mechatronics; E-mail: timofeev@mail.ifmo.ru
Post-Graduate Student; ITMO University, Department of Mechatronics; E-mail: Urie2006@yandex.ru
