Влияние погрешностей монтажа в зубчато-поводковых передачах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 01. С. 1-11.

Б01: 10.7463/0115.0754787

Представлена в редакцию: 08.01.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 621.833 + 621.8.024.4

Влияние погрешностей монтажа в зубчато-поводковых передачах

Сачков М. Ю.1*, Тимофеев Б. П.1

" Ше 2 0 0 б £ *■.' апс!е;{ .ги

1 Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики,

Санкт-Петербург, Россия

В работе получена функции положения зубчато-поводковой передачи, состоящей из двух колес с числом поводков равном пятнадцати. Так же получены координаты точек контакта и рассчитаны ошибки функции положения при пересопряжении. Передача обладает высокой технологичностью (для ее изготовления не требуется специального оборудования), а функция перемещения близка к линейной. Данная статья характеризует влияние погрешности межосевого расстояния на качественные характеристики передачи. В работе представлены графические зависимости и табличные расчетные данные для номинального межосевого расстояния и смещения в пределах _10,2 мм. Для решения полученной системы уравнений применялись численные методы программного пакета МаШСАЭ.

Ключевые слова: зубчато-поводковая передача, функция положения, ошибка передаточного отношения, ошибка положения, погрешности монтажа

Введение

В настоящее время, как и тысячи лет тому назад зачастую требуются передачи, где элементы кинематических пар представляют собой простые поверхности - плоскости, цилиндры, конусы, сферы, торы, гиперболоиды вращения и т.д. В этом случае для изготовления таких передач не требуется дорогостоящее зубообрабатывающее оборудование. Однако передачи получаются несопряженные, с точечным локализованным контактом и переменным передаточным отношением в ходе зацепления одной пары зубьев, либо их аналогов. В данной работе решается задача выбора геометрических параметров новой передачи из условия ограничения циклической погрешности зубцовой частоты и величины удара при пересопряжении.

1. Приближенные передачи

Передачи с приближенным зацеплением принципиально не могут передавать вращательное движение с постоянным передаточным отношением в процессе зацепления

одной пары зубьев. Отклонения передаточного отношения от номинального может быть минимизировано. Одной из задач теории приближенных зацеплений заключается в получения закона передачи вращения.

Важной задачей синтеза приближенного зацепления является локализация пятна контакта на поверхности зубьев, как по высоте зуба, так и по ширине зубчатого венца. В случае приближенного зацепления контакт точечный (рассматривается жесткая модель). При рассмотрении упругой модели зацепления точка контакта преобразовывается в мгновенную площадку контакта, совокупность которых и представляет собой пятно контакта. Стремление локализовать пятно контакта приводит к снижению нагрузочной способности передачи.

Минимизация кинематической погрешности достигается при приложении определенных нагрузок, фиксированных погрешностях изготовления и монтажа.

В поводковых механизмах используются кинематические пары другого вида. Их элементами могут являться сфера и плоскость, два цилиндра, цилиндр и плоскость и т.д. Поводковые механизмы нашли применение в приборах и их расчету посвящены работы Ф. В. Дроздова, С.И. Пантелеева, П.А. Лебедева, Ф.Л. Литвина[ 1,2,3].

В своей работе Ф.Л. Литвин рассматривает общий случай поводкового механизма. Всем подобным механизмам свойственна нелинейность функции положения и функции передаточного отношения. Но для потребителя, зачастую, важно ограничить отклонения от линейности в некотором диапазоне углов поворота звеньев.

Для механизмов у которых кинематическими элементами передачи являются плоскости и цилиндр, цилиндр и цилиндр, были получены качественные характеристики передачи с параллельными осями.[4] Данная приближенная передача могла быть использована как повышающая, так и как понижающая.

2. Геометрия зубчато-поводковой передачи

Рассмотрим зубчато-поводковую передачу, изображенную на рисунке 1 и состоящую из зубчато-поводковых колес.[5]

Здесь представлена схема расположения осей координат связанных с зубчато-поводковыми колесами. В работе рассматривался частный случай, когда колеса расположены на параллельных осях, а оси поводков скрещиваются под углом 900.

Рис. 1. Взаимное расположение систем координат передачи на параллельных осях

3. Функция положения зубчато-поводковых передач

Для получения функции положения такой передачи используем равенство радиус-векторов и ортов нормалей в точках касания поверхностей ^ и Е2. Данные поверхности

образуют высшую кинематическую пару и образованы цилиндрическими поверхностями поводков.

Уравнение поверхностей ^ и Е2 (соприкасающиеся поверхности цилиндрических поводков) в системах координат и можно записать как:

х2 = ы{, у2 =р1-ътв1; z2 х6 = и2; у6 = р2-ътв2; z6 =р2-соъв2.

Орт нормали поверхности ^ запишем в виде:

ех2 = еу2 = ^п^; е2 =

Орт нормали поверхности Е2:

ехб = ^^ еу6 = вт^; е6 = °.

Для преобразования координат воспользуемся следующими матричными уравнениями:

г(1) = М • М -г = М -г • Г(2) = М • М • М • М -Г = М -Г

' М°1 М12 '2 М°2 '2; ' М°3 М34 М45 М56 '6 М°6 '6 .

В данных уравнениях г, г - столбцевые матрицы радиус-векторов поверхностей

(1) Л 2)

Г , г

- столбцевые матрицы радиус-векторов этих же поверхностей в

неподвижной системе координат . На основании рисунка 1 получим следующие матрицы перехода из одной системы координат в другую:

^ООБ^ ) - )-вт(^) - СОБ^ )-вт(^) -^ )л ) соб(^ ) • ) СОБ(^ ) • СОБ(^ ) ^ • СОБ(^ )

М°2 =

° °

-соб^) °

)

°

• tg (¿) 1

М °6 =

Соб(^2) - ) • )

° соб(£2 )

° °

Соб(^2) • вШ^ А + ^ - ^Ч^

"Соб(^2) • Соб(^2) Т - ^2 • Соб(^2)

Б1п(^2) Я2 ^(^2) - В ° 1

Проекции ортов нормалей в системе О0 определяются с помощью матричных равенств:

е(1) = Т •Т -е = Т -е ; е^ = Т •Т •Т •Т •е = Т •е

е Т°1 М2 е2 Т°2 е2; е Т°3 Т34 Т45 Т56 е6 Т°6 е6 .

Матрицы Т01, Т12, Тз, Т4 , Т5, Т56 получены из матриц

М01, М12, М03, М34, М45, М56 «зачеркиванием» четвертого столбца и четвертой строки. Следует отметить, что из трех уравнений для проекций ортов нормалей независимые

два, т.к. наложена связь:

-(1)

= 1.

После всех преобразований поверхностей Zi, Z2 и ортов нормалей получим следующую систему уравнений: рх • cos(щ)'cos(6)-u'cos(£i)'sin(щ)-R 'sin(щ)-Р'sin(щ)'sinsin6)-

"(А + Д2 ' sin (щ ) + U2 ' cos (щ )' sin (^ ) + Р2 ' COs (^2 )' COs (62 ) - Р2 ' sin (^2 )' sin (S2 )' sin 6 )) = 0

R ' cos (щ ) + u ' cos (щ )' cos (£j) + p ' cos (6j ) ' sin (щ ) + Р ' cos (щ )' sin (^ )' sin (6) -

-(Z-R 'cos(щ)-u 'cos(щ2)'cos(г2) + Р 'cos(62)'sin(щ) + р 'cos(щ)'sin(г2)'sin(62)) = 0 (1)

R 'tg(^) + u 'sin(^)-pi'cos(^)'sin(61 )-(R'tg(s2)-В + U2'sin(^2) + Р2'cos(^2)'sin 62 )) = 0

cos (щ)' cos (6) - sin (щ)' sin (si)' sin (6 ) + (cos (щ2)' cos (62) - sin (щ2)' sin (s2)' sin (62 )) = 0

cos (6)' sin (щ) + cos (щ)' sin (si)' sin (6) + (cos (62)' sin (щ2) + cos (щ2)' sin (s2)' sin (62 )) = 0

- cos (ffj) - sin (6 ) + cos (г2)' sin (62) = 0

В системе (1) пять независимых уравнений с шестью неизвестными <, <, щ, и2, вх, в2. Задавая параметр <, получим значения для остальных неизвестных данной системы уравнений. Используя численные методы программной оболочки МаШСЛБ, были получены графики зависимостей < = /(<), А< = / (<), где

Ащ = щД - Н =щД -щ ' ~ , *2i = /3 (щ ) , A2i = f4 (<И ) > ГДе Ai2i = i2i Д - hiE и Ui = f5 (6i)

2 = / (02) - графики координат точек контакта на поверхностях ^, Е2. (Рис. 2 - Рис. 4)

Для получения численных значений функции положения, функций ¡21 и А121, а также координат точек контакта на поверхностях были приняты следующие значения основных

Л,

параметров: m = 2 [мм], ^ = z2 = i5, с^ = а2 = — [р2 = р = i,i7i [мм].

0 1

о

[рад]

0.1

\ \

\ \

\ \

ч \

О 0.1

[рад]

Ыч>0 -1

/ -

У s

У

У /

О

*>i[pa/i]

02 03

Рис. 2. Зависимости щ = / (щ ) и /21 = / (щ )

2

Рис. 3. Координаты точек контакта на поверхностях ^, Е2

Рис. 4. Зависимости Дщ = /2 (щ ) и Д21 = (щ )

4. Анализ данных расчета

Как можно заметить, функция положения близка к линейной, а координаты точек сопряжения на поверхности поводков не выходят на кромку. Отсутствие кромочного

контакта и возможность локализовать точки контакта по поверхности поводка одно из достоинств данной передачи. Передаточное отношение в процессе зацепления одной пары зубьев изменяется в пределах восьми сотых, при номинальном передаточном отношении равном единице.

Полученные расчетные данные характеризуют качество зацепления, в частности значение наибольшей циклической погрешности зубцовой частоты не превышает 0,003 радиана. Передача практически нечувствительна к погрешностям шага.

5. Качественные характеристики зацепления с учетом влияния

погрешностей монтажа

Для определения характера влияния погрешностей монтажа произведем расчет параметров зацепления для осевого смещения в пределах ±0,2 мм, при этом т = 2 [мм],

ж

ах = а2 = — [рад.], р2 = р = 1,171 [мм].

Полученные значения представлены в табл. 1-2.

Таблица 1. Смещение межосевого расстояния ДТ = -2; -1

Число поводков, [целое число]

^ = ^ = 8; ДТ = -2 мм ^ = ^ = 8; ДТ = -1 мм

фг ф2(фг) Лф2(фг) Л12г(фг) (фг) И2(фг) ф2(фг) Лф2(фг) Л12г(фг) и:(фг) И2(фг)

-°.33 °.346 °.°16 -°.°92 2.233 1.192 °.345 °.°16 -°.°91 2.3°8 1.267

-°.263 °.273 °.°1 -°.°76 1.886 1.°39 °.273 °.°1 -°.°75 1.959 1.112

-°.196 °.2°1 5.713е-3 -°.°58 1.598 °.957 °.2°1 5.67е-3 -°.°58 1.67 1.°29

-°.129 °.131 2.478е-3 -°.°39 1.364 °.939 °.131 2.46е-3 -°.°38 1.436 1.°1

-°.°62 °.°62 5.681е-4 -°.°18 1.182 °.977 °.°62 5.64е-4 -°.°18 1.253 1.°48

5.3°1е-3 -5.297е-3 4.161е-6 1.569е-3 1.°5 1.°68 -5.29е- 3 4.13е-6 1.559е-3 1.121 1.138

°.°72 -°.°72 7.643е-4 °.°21 °.968 1.2°6 -°.°72 7.59е-4 °.°21 1.°39 1.276

°. 139 -°.137 2.788е-3 °.°39 °.938 1.389 -°.137 2.77е-3 °.°39 1.°°9 1.46

°.2°6 -°.2 5.983е-3 °.°56 °.961 1.616 -°.2 5.94е-3 °.°56 1.°33 1.688

°.273 -°.263 °.°1 °.°71 1.°4 1.888 -°.263 °.°1 °.°7 1.113 1.961

°.34 -°.325 °.°15 °.°83 1.179 2.2°6 -°.325 °.°15 °.°83 1.254 2.282

Таблица 2. Смещение межосевого расстояния АЬ = 0,1; 0,2

Число поводков, [целое число]

= г2 = 8; АЬ = 0,1 мм = г2 = 8; АЬ = 0,2 мм

Ф1 ф2(ф1) Лф2(<Р1) А121(91) «1(91) «2(ф1) 92(91) А92(91) А121(91) «1(91) «2(91)

-0.33 0.345 0.016 -0.09 2.458 1.417 0.345 0.015 -0.09 2.532 1.492

-0.263 0.273 0.01 -0.074 2.106 1.259 0.273 9.944e- 3 -0.074 2.179 1.332

-0.196 0.201 5.603e-3 -0.057 1.814 1.174 0.201 5.567e- 3 -0.056 1.886 1.246

-0.129 0.131 2.43^-3 -0.038 1.578 1.153 0.131 2.4^- 3 -0.038 1.649 1.224

-0.062 0.062 5.574e-4 -0.018 1.395 1.19 0.062 5^-4 -0.018 1.465 1.261

5.30^-3 -5.297e-3 4.084e-6 1^-3 1.262 1.28 3 4.05e-6 1.53^-3 1.333 1.35

0.072 -0.072 7.502e-4 0.021 1.181 1.418 -0.072 7.456e-4 0.02 1.252 1.489

0.139 -0.137 2.737e-3 0.038 1.152 1.603 -0.137 2^-3 0.038 1.223 1.675

0.206 -0.2 5.874e-3 0.055 1.177 1.833 -0.2 5.839e- 3 0.055 1.25 1.905

0.273 -0.263 0.01 0.069 1.26 2.109 -0.263 9.989e- 3 0.069 1.333 2.182

0.34 -0.325 0.015 0.082 1.404 2.432 -0.325 0.015 0.081 1.479 2.507

Как видно из таблицы при числе поводков, равном восьми линия контакта не выходит за верхнюю границу поводка. Значения ошибки функции положения изменяется линейно и незначительно. Для передачи с ¡12 = 1 изменении межосевого расстояния на

±0,1 мм ошибка положения увеличивается не более чем на 1.03 -10~4. При изменении межосевого расстояния на ±0,2 мм ошибка положения увеличивается не более чем на

2.07 -10 4. При этом изменение межосевого расстояния в сторону увеличения или уменьшения не влияет на ошибку передаточного отношения или ошибку функции положения.

Список литературы

1. Литвин Ф.Л. Аналитические методы исследования пространственных зацеплений // Семинар по теории машин и механизмов: сб. науч. тр. / Ин-т машиноведения АН СССР. Т. 21, вып. 83-84. М.: АН СССР, 1961.

2. Литвин Ф.Л. Функция перемещения и передаточное число поводкового механизма // Анализ и синтез механизмов и теория передач. М.: Наука, 1965. С. 5-11.

3. Литвин Ф.Л. Проектирование механизмов и деталей приборов. Л.: Машиностроение, 1973. 696 с.

4. Тимофеев Б.П., Уланов А.А. Кинематика традиционных передач // Теория механизмов и машин. 2013. Т. 11, № 2 (22). С. 73-88.

5. Тимофеев Б.П., Сачков М.Ю. Колесо для передачи вращательного движения: пат. 146159 Российская Федерация. 2014. Бюл. № 28.

Science^Education

of the Bauman MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 01, pp. 1-11.

DOI: 10.7463/0115.0754787

Received: 08.01.2015

© Bauman Moscow State Technical Unversity

The Influence of the Mounting Errors in Rod-Toothed Transmissions

M.Yu. Sachkov1'*, B.P. Timofeev1 'Un^oosigvandex^

1 St. Petersburg National Research University of Information Technologies,

Mechanics and Optics, St. Petersburg, Russia

Keywords: rod-toothed transmission, function of the position, error reduction ratio, the error of

position, installation errors

In the paper we consider an approximate transmission. The work is aimed at development of gear-powered transmission on parallel axes, which is RF patent-protected. The paper justifies a relevance of the synthesis of new kinds of engagement with the simplified geometry of the contacting condition. A typical solution for powered mechanisms received by F. L. Livinin and his disciples is characterized.

The paper describes the arrangement of the coordinate systems used to obtain the function of the position of the gear-powered transmission consisting of two wheels with fifteen leads. For them, also the coordinates of the contact points are obtained, and errors of function of the position in tooth changeover are calculated. To obtain the function position was used a method of matrix transformation and equality of radius and unit normal vectors at the contact point. This transmission can be used in mechanical and instrumentation engineering, and other sectors of the economy. Both reducers and multipliers can be made on its basis. It has high manufacturability (with no special equipment required for its production), and a displacement function is close to linear.

This article describes the influence of the axle spacing error on the quality of the transmission characteristics. The paper presents the graphic based relationships and tabular estimates for nominal axle spacing and offsets within ±0.2 mm. This error of axle spacing is significant for gearing. From the results of this work we can say that the transmission is almost insensitive to errors of axle spacing. Engagement occurs without an exit of contact point on the lead edge. To solve the obtained system of equations, the numerical methods of the software MathCAD package have been applied.

In the future, the authors expect to consider other possible manufacturing and mounting errors of gear-powered transmission (such as the error of the step, misalignment, etc.) to assess their impact on the quality of engagement.

References

1. Litvin F.L. Analytical methods for investigation of spatial gearing. Seminar po teorii mashin i mekhanizmov: sb. nauch. tr. [Seminar on the theory of machines and mechanisms: proc. of the Institute of Machine Science of USSR Academy of Sciences]. Vol. 21, is. 83-84. Moscow, AS USSR AS Publ., 1961. (in Russian).

2. Litvin F.L. Function of move and gear ratio of transmission mechanism. In: Analiz i sintez mekhanizmov i teoriya peredach [Analysis and synthesis of mechanisms and theory of transmission]. Moscow, Nauka Publ., 1965, pp. 5-11. (in Russian).

3. Litvin F.L. Proektirovanie mekhanizmov i detaley priborov [Design of mechanisms and parts of devices]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1973. 696 p. (in Russian).

4. Timofeev B.P., Ulanov A.A. Kinematics of the traditional gears. Teoriya mekhanizmov i mashin = The Theory of Mechanisms and Machines, 2013, vol. 11, no. 2 (22), pp. 73-88. (in Russian).

5. Timofeev B.P., Sachkov M.Yu. Koleso dlya peredachi vrashchatel'nogo dvizheniya [Wheel for transmitting rotational motion]. Patent RF, no. 146159, 2014. (in Russian).