CC BY
41
отражена реальность, представленная с точки зрения носителей данного языка. Понимание того, как язык разбивает на классы предметы и явления действительности и, вместе с тем, соотносит их, несомненно, будет способствовать более глубокому усвоению полученной языковой информации, а также лучшему пониманию культурных особенностей другого народа.
В учебном процессе идеографические словари могут помочь не только ученикам, но и педагогам, упрощая подготовку материалов к занятиям, а также адаптацию сложных иноязычных текстов для учеников с различной степенью языковой подготовки.
3. Идеографические словари, созданные в электронном виде, применяются в некоторых компьютерных программах, например, в широко известном текстовом редакторе Microsoft Word, и служат для помощи пользователям в создании текстов, выдавая по запросу слова, так или иначе соотносящиеся с выбранным словом.
Таким образом, в практической деятельности более применимы аналогические тезаурусы, благодаря простоте своего устройства и алфавитному способу расположения статей, а в педагогической деятельности — учебные идеографические словари, специально созданные именно для данных целей. Идеографические тезаурусы, в свою очередь менее удобны в использовании, вследствие чего их использование на практике малоэффективно.
Из вышесказанного можно сделать следующие
выводы: в научной деятельности, посвященной изучению языковой системности и языковой картины мира, более применимы идеографические тезаурусы, тогда как в практической деятельности для упрощения процесса написания текстов различной тематики более эффективны аналогические словари, а в педагогической деятельности — идеографические учебные словари.
Библиографический список
I Баранов О.С. Идеографический словарь русского языка /О.С.Баранов. - М.: ЭСТ, 1995. - 820 с.
2. Караулов Ю.Н. Общая и русская идеография / Ю.Н. Караулов. - М.: Наука, 1976. - 355 с.
3. Кобозева И М. Лингвистическая семантика. / И.М. Кобозева. - М. : ЭдиториалУРСС, 2000. - 350 с.
4. Морковкин В.В. Идеографические словари. / В.В. Морковкин. - М. : Изд-во МГУ, 1970. - 71 с.
5. Русский семантический словарь (под ред. Ю.Н. Карауло-ва), М.. Наука, 1982. - 565 с.
6. Русский семантический словарь. В 6 томах (под ред. Н.Ю. Шведовой), М.: Азбуковник, 1998.
7. Ступин Л.П. Словари современного английского языка. / Л.П.Ступин. - Л.: Изд-во ЛГУ. 1973. - 68 с.
МАРУС Максим Леонидович, аспирант кафедры английской филологии.
Дата поступления статьи в редакцию: 30.05.2006 г. © Марус М.Л.
УДК 514.742.2 Л.К.КУЛИКОВ
Омск»« государственный технически) умаерситет
ВВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА В БАЗИС
Рассмотрены леммы о .ведении вектора и системы линейно независимых векторов в базис „-мерного векторного пространств, и их аналоги для линейнои оболочки системы векторов векторного пространства. Показана возможность использования этих лемм для доказательства ряда положений теории векторных пространств.
Приведем четыре вспомогательные теоремы и их использование в доказательствах некоторых известных фактов теории векторных пространств.
Пусть Уп - векторное п-мерное пространство. Докажем лемму о введении произвольного не равного нулю вектора в базис [4).
Лемма 1. Для того чтобы вектор а = а,е, + а^ + ... + акек + ... + апе„*0можно было ввести в базисе,,
■•■■ ек,... е„ пространства у„ вместо вектора ек и при
этом был получен новый базис е,, е2.....ек _ ,, а, ек + ,,
■••, еп пространства Ур, необходимо и достаточно соблюдение неравенства ак* 0.
Достаточность. Предположим, что новая система векторов е,, е,,.... ек _ ,, а, ек .........линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы равная нулю
у,е, + у2е2 + ... + ук _,ек - I + V + Тк +А+. +
... + у„е„ =
Учитывая разложения вектора а по базису, получим (V, + ГА )е. + (Ъ + ^а2)е2 + ... + (ук + укак _ ,)ек _ , + укакек + (ук + , + УА + ,)ек + , + ... + (у„ + ука„) е
= 0. ' ' Если в (2) ук# 0, то укак*0 (ак*0 по условию лемма)
и тогда векторы е,, е2
, е линейно зависимы, чего
не может быть. Значит ук = 0. Подставляя ук = 0 в (2) получим, что система векторов е,, е2,..., ек _,, ек + ,,..., е линейно зависима. Это ведет к линейной зависимости векторов базиса е,, е2.....е„, что невозможно.
Предположение неверно и новая система векторов линейно независима.
Если к новой системе векторов е,
е9,..., ек
,a,et
е добавить любой вектор с, то по второй аксиоме размерности [2] получим линейно зависимую систему векторов. В нетривиальной линеинои ком-
бинации этих векторов, которая равна нулю, коэффициент при векторе с не равен нулю (в противном случае новая система векторов е,, е2,..., ек _ ,, а, ек + ,, ..., еп станет линейно зависимой). Тогда любой вектор с является линейной комбинацией векторов е,, е2,..., ек - г а' ек + I' •••• е„. Таким образом, новая система векторов образует базис пространства Уп.
Необходимость. Имеем два базиса пространства
Первый — е,, е2,..., еп. Второй — е,, е2,..., ек_ ,, а, ек
+ ......еп. Докажем, что в разложении а по первому
базису (а = а,е, + а2е2 + ... + акек + ... + апеп) координата ак*0. Предположим, что ак = 0. Тогда а = а,е,
+ а„
2к - I ак + Iek + I
.. + а е и
i, н
вектор а, как вектор второго базиса, есть линейная комбинация остальных векторов второго базиса, т.е. во второй базис входят линейно зависимые векторы. Это не так. Значит, предположение неверно и ак
Вариант формулировки леммы, удобный при ее использовании: вектор а можно ввести в базис е,, е2, ..., еп вместо любого вектора базиса, по которому координата вектора а не равна нулю, и при этом будет получен новый базис пространства Уп.
Согласно определению базиса и аксиомам размерности векторного пространства Уп, существует хотя бы один базис, содержащий п векторов (е) = = е,, е2,..., еп. Используя лемму о введении вектора в базис легко показать, что базисов, содержащих п векторов, бесконечное множество, и, что существуют линейно независимые системы векторов с любым числом векторов, меньшим, чем п. Берем вектор ш, такой, что его координата по е, не равна нулю и вводим его в базис вместо е,. Получим новый базис т,, е2, ..., е„. Берем вектор т2-такой, что его координата по е, в новом базисе ш,, е2,..., еп не равна нулю и вводим его в новый базис вместо е2. Получим базис ш,, т2, е3, ..., еп. После п таких действий получим базис т,, т2, ..., тп. Базис (ш) = т,, т2, ..., тп уже не содержащий ни одного вектора из базиса (е). Любая часть базиса (ш) является линейно независимой системой векторов. Поскольку таких базисов как (т) может быть получено бесконечное множество, то и линейно независимых систем векторов с числом векторов меньшим п существует бесконечное множество.
Лемма 2. Система линейно независимых векторов (а) = а,, а2, ..., ар (р < п) может быть вся введена в базис (е) = е,, е2,..., еп пространстваУп вместо каких — то векторов базиса так, что полученная новая система векторов будет базисом пространства V .
На основе леммы о введении вектора в базис, будем вводить векторы из (а) в базис (е). Берем вектор а,, так как а, * о, то в базисе (е) у него есть не равная нулю координата (а1к* 0) и он может быть введен в базис (е) вместо ег Затем берем вектор а2 и т.д. Последовательное введение векторов возможно, так как после каждого введения получаем базис и справедлива лемма о введении вектора в базис. Пусть таким образом ввели в (е) векторы а,, а^..., аг. Новый базис состоит из этих векторов и оставшихся векторов из (е). Предположим, что существует какой-то вектор а[+,, который ввести в (е) не удалось. Поскольку аг+] * 0, то в его разложении по новому базису есть не равные нулю коэффициенты. Ввести аг+, не удастся если его коэффициенты при оставшихся из (е) векторах все равны нулю. Тогда не равные нулю коэффициенты будут при векторах а,, а^,..., а,. Это ведет к линейной зависимости (а), что не соответствует действительности. Значит, вектор из (а), который нельзя ввести в (е) не существует. Таким образом, в (е) можно ввести все векторы (а).
Использование этой леммы позволяет достаточно просто доказать известное из геометрии [3] положение о том, что в V„ все базисы содержат п векторов. Поскольку любая система (n + 1) векторов в Vn линейно зависима, то базис не может содержать более п векторов. Предположим, что (а) = а,, а2..., ар тоже базис Vn, при условии р < п. По теореме о введении линейно независимой системы векторов в базис, после введения (а) в (е), получим новый базис, состоящий из р векторов базиса (а) и (п — р) векторов из базиса (е). Пусть ет один из векторов (п — р) векторов. Тогда система векторов а,, а2, ..., ар, ет — линейно независима, как часть нового базиса. Это значит, что вектор ет не является линейной комбинацией векторов (а), т.е. не каждый вектор есть линейная комбинация векторов (а). Значит, (а) не удовлетворяет определению базиса. Предположение, что (а) — базис неверно. Базиса пространства Vn с числом векторов менее п не существует. Каждый базис векторного пространства Vn состоит из п векторов.
Известное положение о том, что любую линейно независимую систему векторов п-мерного векторного пространства можно дополнить до базиса [3], докажем следующим образом. Возьмем произвольный базис векторного пространства и по лемме 2 введем в него данную линейно независимую систему векторов. Новый базис и будет представлять собой линейно независимую систему векторов, дополненную до базиса.
Пусть с,, с2,..., сга — линейно независимая система векторов векторного пространства Vn (п > ш), L(c,, с2.....с J — линейная оболочка векторов с,, с2..., ст.
Лемма 3. Если вектор а = а,с, + а2с2 + ... + akck + ... -I- amcm О L(c,, с2,..., cj ввести в систему векторов с,, с2,..., ст вместо ск из этой системы, при условии ак*0, то новая система векторов с,, с2,..., ск _,, а, ск + ......ст будет линейно независимой. Доказательство этого положения аналогично доказательству леммы 1.
Лемма 4. Система векторов (а)р = а,, а2, ..., ар (р < щ), принадлежащая L (с,, с2,..., cj может быть вся введена в линейно независимую систему векторов (с)т = с,, с2,..., ст вместо каких — то векторов этой системы так, что полученная новая система векторов будет линейно независимой. Доказательство этого положения аналогично доказательству лемма 2. При этом возможность последовательного введения векторов из (а)р в систему линейно независимых векторов нуждается в доказательстве. Из того, что ак * 0 и а = а,с, + а2с2+ ... + акск + ... + amcm следует, что
1
(3)
— а - -=-с, -ак ак
Если п е L(c,, с2, .... cj, топ = п,с, + п2с2, ... + nmcm. Поставляя в последнюю запись выражение (3), получим, что п 6 L(c,, с2,..., ск _ ,, а, ск +,,..., cj. После введения вектора а получили новую линейно независимую систему векторов с,, с2.....ck _ ,, a, ck +,,..., ст и
при этом любой вектор из L(c,, с2, ..., ст) является линейной комбинацией этой новой системы, т.е. его можно вводить в новую систему векторов, и так после каждого введения нового вектора. Нетрудно показать, что линейная оболочка после введения векторов не меняется.
Доказательство того, что L(c,, с2,..., с J — векторное пространство сводится к проверке справедливости аксиом векторного пространства [6]. Использование рассмотренных положений дает возможность доказать, что размерность этого линейного пространства равна ш. Первая аксиома размерности справедлива, так как с,, с2,..., ст - линейно независимые
векторы. Система векторов а, с,, с2, ..., ст линейно зависима при a е L(c,, с2,..., с J, но во второй аксиоме размерности говорится о любых m + 1 векторах. Предположим, что в L(c,, с2, ..., с J, существует линейно независимая система векторов b,, Ь2,..., b Введем систему векторов b,, Ь2, ..., Ь^ _ , в систему с,, с2,..., сш. Получим новую линейно независимую систему b,, Ь2, ..., Ьш _ 1(ст. Для удобства примем, что остался вектор ст. Векторы bm и bm + ,, как принадлежащие оболочке L(c,, с2..... cj, являются линейной
комбинацией векторов этой новой системы векторов. Коэффициент при векторе ст в разложении bm * О по новой линейно независимой системе не равен нулю, иначе Ь,, Ь2,..., bm станут линейно зависимыми. Значит bm можно ввести в эту линейно независимую систему векторов вместо вектора ст. В результате получим линейно независимую систему векторов Ь,, Ь2,..., bm и вектор bm +, * 0 является линейной комбинацией этих векторов. Тогда b,, b2.....bm + , — линейно зависимая система. Это противоречит предположению. Таким образом, любая система, состоящая из (m + 1) векторов, линейно зависима. Тогда Цс,,с2, ..., cj — векторное ш-мерное пространство Vm и с,, с2,..., сга — базис этого пространства.
Основываясь на этих результатах, приведем доказательство теоремы о линейной зависимости [5]. Пусть в Vn каждый вектор семейства а,, а2, ..., ат линейно выражается через векторы Ь,, Ь2, ..., Ьр. Тогда, если m > р, то семейство а,, а2,..., ат линейно зависимо.
Если векторы b,, Ь2,..., Ьр линейно независимы, то L(b,, b2,..., bp) является р-мерным векторным пространством и векторы а,, а2,..., ат принадлежат этому пространству. Справедлива вторая аксиома размерности ипри m > р векторы а,, а2,..., ат - линейно зависимы.
Если векторы b,, Ь2,..., Ьр линейно зависимы и каждый из них равен 0, то векторы а,, aj,..., amтоже нулевые и линейно зависимы. Если векторы Ь,, Ь2, ..., Ьр линейно зависимы и среди них есть ненулевые векторы, то исключая из системы Ь2, ..., Ьр нулевые векторы и векторы, которые можно представить как линейные комбинации других векторов из системы bir b2,..., bp( получим, что существует к линейно независимых векторов (1 < к < р). Линейная оболочка этих векторов является к - мерным векторным пространством и векторы а,, а2.....ат принадлежат этому
пространству. Любое множество векторов, в количестве большем к - линейно зависимо, т.е. векторы а,, а2,..., ат - линейно зависимы (m > р > к).
В заключение рассмотрим доказательство теоремы Штейница. Пусть дано векторное пространство V, порожденное конечным множеством своих элементов и,, и2.....ит. Пусть, кроме того, в V
дана линейно независимая система, состоящая из р векторов V,, у2, ..., у . Тогда р < т и среди векторов и,, и2, ..., ит можно какие — то р векторов вычеркнуть и заменить векторами V,, у2, ..., V , так что получится вновь совокупность векторов, порождающая пространство V [1]. Если и,, и2, ..., ит
- линейно независимые векторы, то Ь(и,, и2, ..., ит) — ш-мерное векторное пространство ир^т. По лемме 4 все векторы V,, у2, ..., ур могут быть
введены в систему и,, и2.....ит и при этом будет
получена линейно независимая система векторов
и оболочка ее совпадает с исходной. Если и,, и2.....
ишлинейно зависимая система векторов, то существует нетривиальная линейная комбинация и один из векторов линейно выражается через остальные. Этот вектор вычеркнем из списка и,, и2,..., ит. При этом Ци,, и2, ..., ит) не изменится. Производя эту операцию до тех пор, пока в системе и,, и2, ..., ит не останется к линейно независимых векторов, порождающих V, придем к уже рассмотренному случаю. При этом р < к< ш.
Библиографический список
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.
- М.: Наука, 1968. - 911 с.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.1 - М.: Просвещение, 1986. - 336 с.
3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М : Наука, 1987. - 320 с.
4. Куликив Л.К. Базисы векторного пространства //Прикл. геометр1Я та шж. графжа. - К.: КНУБА, 2000. - Вип.67. - с. 140 -142.
5. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1979. - 336 с.
6. Ефимов Н.В., Розендорн Э Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука, 1970. - 528 с.
КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
Дата поступления статьи в редакцию: 06.03.2006 г. © Куликов Л.А.
Книжная полка
* Учеб пособие: Допущено Минобразованием России /
Педагогика профессионального образования. Учео. посоои а /
Под ред. В. А. Сластёнина. - 368 с. методологические, психолого-педагогические и организа-
В учебном пособии раскрываются теоретик0 А онального образования как социокультурного ин-ционно-содержательные основы непрерывного проср ^ эхапов этого образования; характеризуются ститута; прослеживаются единство и взаимосвязь ос пециалиста атакже профессионально-педагогичес-профессионально-личностное воспитание и развитие с ^ экономики профессионального образо-
кая культура преподавателя. Большое внимание уделя^ правового обеспечения, вания, представлены материалы, касающиеся его нор Можетбыть полезным аспирантам, препода-
Для студентов высших педагогических учебных заведени . вателям и руководителям системы образования.
