Системы векторов при построении моделей аффинных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.742.2:514.181

Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛЕЙ

АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ

В векторном п-мерном пространстве рассмотрены системы p векторов, которые образуют векторное пространство Snp размерности pn. Показана возможность, при переходе к аффинным пространствам получать различные геометрические модели пространств, что необходимо при решении прикладных задач многомерной геометрии.

Ключевые слова: вектор, пространство, геометрическая модель.

В векторном п-мерном пространстве V (базис — е1, е2, ..., еп) рассмотрим множество $пр систем векторов, т.е. множество, элементами которого являются наборы векторов (а.) = (а1, а2, ..., ар). Системы векторов (а.) = (Ь.), 1=1, 2, ..., р равны, если а. = Ь.. Операции сложения и умножения на действительное число введем следующим образом

(а1, а2 ар) + (Ь1, Ь2.....Ьр) =

= (а. + Ь1, а2 + Ь2.ар + Ьр) (1)

a2, ., ар) = (ка^ ka2, ., кар). (2)

Проверкой аксиом векторного пространства доказывается, что множество систем векторов Snp является векторным пространством [1]. Элементы этого пространства назовем s-векторами. При этом нулевым s-вектором является набор (0.) = (0, 0, ..., 0), а противоположным к (а.) s-вектором — набор (-а1, -а2, ..., -ар). Линейной комбинацией (а.), (Ь.), ..., (а.), будет s-вектор

(^) = аСа.) + Р(Ь1) + .+уСа.). (3)

Система s-векторов (а.), (Ь.), ..., (а.) линейно зависима, если (Г) = (0.) и среди чисел а, р, ..., у есть хотя бы одно, не равное нулю. Формула (3) в случае линейной зависимости приводит к линейной зависимости векторов по каждому из р мест, т.е. имеем р систем линейно зависимых векторов.

Любой s-вектор можно записать следующим образом

(аг ^ ., 0, ., 0) + (0, a2, 0 ., 0) + - +

+ (0, 0..0, ар). (4)

Учитывая, что ак = ак1е1 + .+акпеп, окончательно получим

(аГ a2, ., ap) = (аl1е1, 0, ., 0) +

+ (а12е2, 0, ..., 0) + . +(а1пеп, 0, ..., 0) +

+ (0, а21 ег 0, ..., 0) + (0, а22е2, 0, ..., 0) + .+

+ (0, а2п еп, 0, ..., 0)+ ...

+ (0, 0, ..., 0, ар1е1) + (0, 0, ..., 0, ар2е2) + .+

+ р0,0.0, арпеп)=р (5)

а11(е1, 0, ..., 0)+а12 (е2, 0, ..., 0) + ...+^^, 0, ..., 0) + + аД0, е1, 0, ..., 0) +

+ а22(0, е2, 0, ..., 0) + ... +а2п(0, еп, 0, ..., 0) + ...+

+ ар1(0, 0, ..., 0, е1)+ар2(0, 0, ., 0, е2) + ...+

+ а п(0, 0, ..., 0, е ).

рп

Базисом пространства Snp являются s-векторы

(Є1, 0..0), (Є2, 0......0).(еп, 0.0),

(0, е1, 0, ..., 0), (0, е2, 0, ..., 0), ...,

(0, еп, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, е1),

(0, 01, ..., 0, е2).(0, 0.0, еп). (6)

Действительно, эти s-векторы различны и линейно независимы. Если записать линейную комбинацию (3) этих s-векторов (6), то s-вектор (Г), являющийся их линейной комбинацией на каждом из р мест будет иметь линейную комбинацию векторов е1, е2, ..., еп. Если (Г) = (0.) и (6) — линейно зависимые s-векторы, то среди коэффициентов при s-векторах есть не равные нулю. Тогда на каком-то из р мест получим нетривиальную линейную комбинацию векторов е1, е2, ..., еп, равную нулю. Это невозможно, поскольку е1, е2, ..., еп — базис Vn. Кроме того, любой s-вектор является линейной комбинацией s-векторов (6), что следует из (5), т.е. s-векторы (6) — базис S р.

п

В базисе Snp количество s-векторов (6) равно рп, так как, если считать s-векторы с базисным вектором на первом месте первой строкой, на втором месте — второй строкой и так далее, то р-й строкой будут s-векторы с базисным вектором на р-м месте. Таких строк будет р, а в каждой строке п s-векторов. Таким образом, s-векторы (6) — базис векторного пространства Snp и размерность этого пространства равна рп.

Разложение любого s-вектора (а.) по векторам базиса (6) приведено во второй части формулы (5), которую можно записать короче (а.) = а1і(е., 0, ..., 0) + а2‘(0, е, 0, ..., 0) + ...+а . (0, 0, ..., 0, е), при этом а^ (е., 0, ..., 0)=.а11(е1, 0, ..., 0)+Ра12(е2, 0, ..., 0) + .+а1п (еп, 0, ., 0), т.е. каждое слагаемое является суммой по верхнему и нижнему индексам (ї=1, 2, ..., п). Координаты s-вектора в базисе пространства Snp: а11; а12; ... ; а1п; а21; а22; ... ; а2п; ... ; ар1; ар2; ...; арп. Всего рп координат.

Векторные пространства, имеющие равные размерности изоморфны [2]. Между ними можно уста-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

новить взаимно однозначное соответствие, и они являются моделями друг друга [3]. Например, V4 и Б22, V и Б2 •••, V и Бр.

6 3 рп п

Соответствие Б р-^У можно установить век-

п рп ■'

торами базиса. Тогда соответствующие s-вектор и вектор будут иметь равные координаты в базисах Б р и V . Пусть в V базисными являются векторы

п рп рп

q1, q2, ..., q п. Тогда им соответствуют s-векторы из (6)

q1o(е1, 0, Р.., 0), q2^(е2, 0, ..., 0), ..., qpn^(0, 0, ..., 0, еп).

Первая координата s-вектора (а.) в базисе (6) равна а11, вторая — а12, ..., последняя — арп. Такие же координаты будут у соответствующего вектора а в Урп при базисных векторах q1, q2, ..., qpn.

При таком подходе для пространств, размерность которых является простым числом, найти сразу соответствующее Б пространство не удастся. В этом случае можно на векторы, входящие в систему, накладывать условия, что приведет к понижению размерности Бпр и позволит получить s-модель пространства. Условия могут быть различными, например, равенство нулю каких-либо координат или наличие линейной зависимости между векторами, входящими в систему векторов. Модель У5 можно получить из модели У6. Пространству У6 соответствует Б32. Если координата а23 = 0 для всех пар векторов, то моделью У5 будет множество пар векторов, у которых а23=0. При этом в У6 берется У5, у которого координата любого вектора по q6 равна 0. Можно заведомо брать пространства большей размерности и вводя условия получать новые модели пространств.

При переходе к аффинному пространству Ап пространством переносов будет векторное пространство Уп. Возьмем в Ап некоторую точку О. Каждому вектору а из Уп будет соответствовать единственная точка А, такая, что ОА=а. Тогда s-вектору (а1, а2, ..., ар) из Бпр будут соответствовать точки В1, В2,

..., В , такие, что ОБ, = а,, ОВ„ = а„, • ••, ОВ =а . Эти р ' р' ' 1 1 2 2' ' р р 1

точек в Ап соответствуют точке в пространстве Арп, для которого пространством переносов будет Урп. Поскольку аффинными координатами точки являются коэффициенты разложения ее радиус-вектора в базисе ассоциированного пространства Уп, то соответствие, установленное между Бпр и Урп, остается в силе.

Множество Апр, элементом которого являются р точек в Ап, будет моделью аффинного пространства Арп, поскольку между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие. Множество Апр является аффинным пространством. Покажем, что аксиомы аффинного пространства справедливы. При этом паре «точек» (А1, А2, ..., Ар) и (В2, В2, ..., Вр) ставится в соответствие s-вектор (а1, а2, ..., а ) так, что

А,В =а A(B( = a(, ..., А В =а .

11 1'^2 2' рр р

Первая аксиома: для любой «точки» (А1, А2, ..., Ар) и любого s-вектора (а1, а2, ..., ар) существует единственная «точка» (В1, В2, ..., В ) такая, что (А1В1, А2В2,

в аффинном пространстве Ап, то для каждой точки, входящей в набор из р-точек, и каждого вектора, входящего в s-вектор аксиома справедлива, значит, справедлива для точек и всех векторов, входящих в рассматриваемые наборы. Вторая аксиома: для трех

«точек» (Аг А,.....Ар), (В2, В2... Вр), (С1, С2.. Ср)

справедливо (А1В1, А2В2, ..., АрВр) + (В1С1, В2С2, ..., ВрСр) = (А1С1, А2С2, ..., АрСр). На основе правила сложения s-векторов и того, что Ап — аффинное пространство эта аксиома справедлива, поскольку она справедлива по каждому месту s-векторов.

Таким образом, устанавливается соответствие между двумя аффинными пространствами. Тогда Апр можно считать аффинной моделью Арп, поскольку с точки зрения теории аффинных пространств они неразличимы. Примеры аффинных моделей А4: на прямой (А1) — множество четверок точек (А4^А14); на плоскости (А2) — множество любых пар точек (А4^А22); на плоскости (А2) — множество четверок точек, расположенных по две на данных пересекающихся прямых (А8^А24, при этом а11 = а12 = = с1, а31 = а41 = с2 и с1, с2 — заданные постоянные числа); на плоскости (А2) — множество троек точек, расположенных на параллельных прямых с заданным направлением (А6^А23, при этом а11 = а12 = = а31 = к и величина к — параметр). Параллельные прямые в этом случае имеют направляющий вектор е2. Эта модель является аффинной основой чертежа Радищева.

Для инженерной геометрии особое значение имеют модели А2р, которые используются в многомерной начертательной геометрии. При решении прикладных задач необходимы и другие модели многомерного пространства, построенные в пространствах меньшей (или большей) размерности, которые можно получить на основе системы векторов.

Библиографический список

1. Куликов, Л. К. Системы векторов / Л. К. Куликов // Геометрическое моделирование в практике решения геометрических задач : межвуз. темат. сб. науч. тр. — Омск, 1991. — С. 39-42.

2. Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. — М. : Наука, 1969. — 640 с.

3. Волков, В. Я. Геометрическое моделирование в курсе начертательной геометрии : учеб. пособие / В. Я. Волков, Л. К. Куликов. — Омск : ОмГТУ, 1995. — 58 с.

А В ) = (а,,

р р 1

ар). Поскольку «точки» берутся

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Инженерная геометрия и САПР».

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 25.04.2012 г.

© Л. К. Куликов

а

2