Вторая интегральная форма уравнения теплопроводности как математическая модель объекта теплофизических измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.2; 536.083

ВТОРАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Ю.И. Азима

Рассмотрены теоретические основы получения второй интегральной формы уравнения теплопроводности для одномерных и двухмерных объектов теплофизиче-ских измерений. Показано, как данная математическая модель может быть преобразована в функцию измерения теплопроводности высокотеплопроводных материалов на образцах в виде двухмерной пластины.

Ключевые слова: интегральная форма, уравнение теплопроводности, функция измерения теплопроводности, измерительная ячейка.

Определение измеряемой величины (в частном случае теплофизи-ческой) включает принятие некоторой модели объекта измерения, в которой истинное значение представлено неким параметром [1]. Выбор математической модели объекта определяется конкретной измерительной задачей, заключающейся в определении значения величины путем ее измерения с требуемой точностью в данных условиях измерений. Это предполагает наличие установленной допустимой погрешности измерения и накладывает определенные требования к неизмеряемым свойствам объекта, например к его геометрии и размерам. При этом должны учитываться такие факторы, как степень сложности разработки и технической реализации метода измерения, время и трудоемкость подготовки и проведения измерения,

Наиболее часто в качестве математической модели объекта, измеряемыми свойствами которого являются теплофизические, выступают аналитические выражения, описывающие одномерные температурные поля, получаемые в результате нанесения определенных тепловых воздействий на объект заданных размеров и формы в специально организованном эксперименте. Известно, что они представляют собой бесконечный функциональный ряд, содержащий измеряемую величину, и получают их путем решения краевой задачи теплопроводности. В некоторых случаях решения находят в области комплексного переменного, в которой на их основе получают математические выражения для определения искомых теп-лофизических величин.

Выбирая определенные стадии процесса теплопередачи, в отдельных случаях удается получить достаточно простые выражения, определяющие модель измерения, из которой находят функцию измерения, обо-

значающую алгоритм, по которому для значений входных величин х1, ..., хп получается соответствующее единственное значение выходной величины у = /(ХЬ..., Хп) [1].

Подобная процедура получения функции измерения предполагает совпадение температурного поля модели и объекта измерения на временном интервале, соответствующем выбранной стадии теплового процесса. Возможно также применение модели объекта измерения в виде дискретного представления температурного поля, полученного путем численного решение краевой задачи с использованием более сложных критериев совпадения температурных полей объекта и его модели.

Значительно меньшее распространение получила математическая модель объекта теплофизических измерений в виде интегральной формы уравнения теплопроводности (ИФУТ) [2]. Для одномерного объекта длиной Ь она представляет баланс тепла за некоторый интервал времени

[ть

Т2 Ь

| 4 (т) _ 42 (т)]^х = С | ? (х, т )<3х т1 0

тт2 , (1) т1

где 41(т), д2(т) - плотность теплового потока на противоположных гранях образца; С- объемная теплоемкость.

Данная модель нашла применение для получения функции измере-

т у

2Б } [41 (т) - 42(т)]^т ния теплоемкости [3]: с =-°-т—, где ^(т), ¿2(т) - температу-

^[?1(ту ) + ^2 (ту )]

ра на противоположных гранях образца площадью Б; т - масса образца; Ту- время, начиная с которого достигается приемлемая точность определения интеграла по приближенной формуле.

Кроме того, если представить уравнение (1) в виде баланса тепловых потоков, то из него можно получить функцию измерения плотности теплового потока при условии теплоизоляции противоположной поверхности: 42(т) = 0, которая применяется при разработке энтальпийного тепломера [3]: 41 (т) = СЫ'Т(т), где 1'т(т) - скорость изменения средней на участке [0, Ь] температуры.

Желание иметь структуру модели объекта теплофизических измерений, подобную уравнению (1), но содержащую кондуктивную составляющую с коэффициентом теплопроводности 1, привело к получению новой интегральной формы уравнения теплопроводности, которую будем называть второй интегральной формой (ИФУТ-2).

177

Рассмотрим теоретические основы ее получения для различных моделей объектов теплофизических измерений. В простейшем случае для одномерного объекта, представленного на рис. 1, ИФУТ-2 можно получить следующим образом. Запишем уравнение баланса тепла на отрезке [0, х] с

переменной правой границей за промежуток времени МО ^х (х,т(х = 0, т) <т = С |0г(х, т)<х

0, т]:

Проинтегрируем (2) по координате х с пределами от 0 до Ь:

Х т С Ьх

£(0, т) 0 = — / [,(0, т) - г(Ь, т )]<т + С Л ,(х, т)<х<х

Ь

0

Ь

00

X 0.

(2)

(3)

Рис. 1. Тепловая схема одномерного объекта с двумя источниками тепла: q(0,т) = -Хг'х (0,т), q (х,т) = -Хг'х (х,т), q (Н,т) - тепловые потоки,

действующие в сечениях с координатами х=0, х, Н;

q (х,т) = С [х,; (х,т)<х - тепловой поток, аккумулированный

С •'0

на отрезке [0, х]

Наличие внутренних источников тепла. выделяющих в единице

з

объема £у(х,т) (Дж/м ) количество тепла, учитывается добавлением в (3)

1 Ь х

выражения — | <х | (х, т)<х. Ь 0 0

Уравнение (3) представляет собой интегральное уравнение баланса средних по толщине слоя Ь количеств тепла: поступившего через одну из его границ, прошедшего через слой вследствие теплопроводности и аккумулированного в нем за счет теплоемкости.

Вследствие того, что в одномерном объекте на заданном интервале [0, Ь] имеются две границы, то, очевидно, должны существовать и два уравнения баланса средних количеств тепла, в которых присутствует количество тепла, проходящего через одну из границ: ((0,т) или ((Ь,т). Второе уравнение получается путем интегрирования в пределах от Ь до 0 первой ИФУТ, записанной для интервала [х, Ь]. В результате получим уравнение, аналогичное (3):

I X т С 0 х

((Ь, т ) 0 = -1 [г (0, т) -, (Ь, т )]<т - С||, (х, т )<х<х 0. ЬЬ

0

ЬЬ

Таким образом, для получения второй интегральной формы уравнения теплопроводности выбирается одна из границ интервала, на котором рассматривается прохождение теплового потока, и переменная точка х, внутри данного интервала. Для слоя толщиной х или Ь - х записывается уравнение баланса тепла, затем все составляющие данного уравнения интегрируются соответственно с пределами 0, Ь или Ь, 0.

Получим ИФУТ-2 для пространственного распространения тепла применительно к объектам исследования наиболее часто применяемые при теплофизических измерениях: прямой цилиндр, параллелепипед и полуограниченное тело. В этом случае вместо интегральной формы (1) будем использовать интегральное уравнение баланса тепла без внутреннего источника для тела объемом V, ограниченного площадью Б, [2]:

где Р = Р(£,, п, О - точка интегрирования; dVP =d£, dц dZ - элемент объема; ds- некоторая площадка в точке Р(£,, п, О с нормалью п; Жп - нормальная составляющая плотности теплового потока [2].

Выберем координату, например х, по которой будем рассматривать распространение теплового потока по телу от действующих на его границах источников и стоков тепла, Выделим на оси Ох интервал [0, Ьх]. Выберем интересующую граничную поверхность, проходящую через одну из границ интервала, например, граница х=0. Отметим, что данная поверхность перпендикулярна выбранному направлению распространения теплового потока.

Выделим из общей поверхности, ограничивающей слой толщиной х поверхность Бу2(х), перпендикулярную оси Ох и проходящую через переменную точку х. Данная поверхность параллельна поверхности слоя Буг(х=0), проходящей через точку х=0, лежащей на границе слоя. Поверхность слоя, кроме выделенной, обозначим Г.

С учетом данного разделения поверхности слоя запишем для него по аналогии с (4) интегральное уравнение баланса количеств тепла:

Выполним следующие преобразования составляющих выражения (5). Интегральную функцию по аргументу х для объема Vх выбранного слоя представим в следующем виде:

(4)

(V)

тх (Б)

dS + С г(х, у, 2, т)dVх 0 . (5)

V)

Л! г(х, у, г, т= | dx Цг(х, Б, т= | Бу2 (х)рБуг \х, т^х , (6) Ух) 0 (Бу2) 0

Х

Х

К\

где г(Бу2 )(х, т)- средняя температура на площади Бу2 как функция координаты х и времени.

Поверхностный интеграл от производной температуры по координате х преобразуем к виду

Я д'(х'у'2т)dS = Бу2(х)3'~ )(х'т) . (7)

/о \ Зх Зх

)

Подставим (6), (7) в (5), приведем все составляющие к единичной площади поверхности Бу2(х) слоя, через которую проходит тепловой поток на выбранном интервале, и проинтегрируем по координате х в пределах от 0 до ЬХ. В результате получим

Ьх ^Нп(г) (

! ^Я п{Ч (т)^г=

0 г

(БУ2 )(п „) 7(БУ2 )(т 1 п Х ^ ХС (Л+^У*),

= Р у2;(0,т)-г у2\ЬХ,т) dт + С ! -р-!Бу2(х)г"у у2 (х,т)!х, (8)

0 Бу2 (х ) 0

где Ц П(Г)(х, тУГ (Г)

Г, ограничивающей выбранный слой, за исключением граничной поверхности Бу2(х). Или в компактной форме ПхГ)(т) = П(Ьх)(Х,т) + пХЬх)(С,т).

Необходимо отметить, что нижний предел интегрирования может быть произвольным на интервале [0, ЬХ].

Для вышеуказанных объектов теплофизических измерений аналогичное уравнение можно записать для составляющей вектора теплового потока по оси у и г - в прямоугольных координатах, г и г - в цилиндрических и г - в сферических.

В случае одномерного полого цилиндра с внутренним и внешним радиусами г0 и Я и действующим источником тепла плотностью д(г0,т) получим следующее выражение:

Я dx г

Ь1п(г0, т) = X! [г (г0, т) - г (Я, т)^т + С! —! гг (г, т^г, т г0 г г0

0 - количество тепла, проходящего через поверхность

Я . 1

где Ь1 = г0 ] г dx = г01п

Я

г0

приведенная толщина цилиндрической стенки

2

0

П)

со стороны внутреннего г0 радиуса; П(г0, т)[Дж/м2] - плотность теплового потока действующего на внутренней границе полого цилиндра.

Подобное уравнение получается для полуограниченного тела с линейным источником, помещенным в точку г = 0:

180

Я <х г

Ь(( т) = X | [,(р, т) -,(Я, т)]<т + С |—| гг(г, т)<г,

г

Р 0

где

1 я 1

Ь = — I г л<х = — 1п к

Я

; ((т)[Дж/м] - количество тепла, выделяемое в

линейном источнике на единице длины за время т; р е [0, Я].

Для точечного источника, действующего в полуограниченной среде, ИФУТ-2 имеет вид

Я <х г

Ь(т) = X | [, (р, т) -, (Я, т)]<т + С | | г 2, (г, т)<г,

1 Я ^ 1 1 где Ь2 = — I г <х =— 2п р 2п

Г1 -1Л

чР Я.

2

р г 0

; ((т) - количество тепла, выделяемого в то-

чечном источнике за время т; р е [0,Я].

Для двухмерных пластины и круглого цилиндра из (8) получаем следующие выражения. Прямоугольник имеет высоту Ьг и образован прямыми: г = 0, г = Ьг, х = 0, х = Ьх . ИФУТ-2 для составляющей вектора теплового потока по оси х имеет вид

Ьх((Ьг )(0, т)+

1

Ьх х Ьх х

| <х | (г (х, 0, т)<х + | <х | (г (х, Ьг, т)<х

0 0

0 0

XI

,(Ьг ^0, т) - ,(Ь\Ьх, т)

Ьх х

<т + С | <х|г(ьЬг \х, т)<х, 0 0

(9)

тт(Ь ),Л ч X Ь Эг (0, т ), г^гдг(Ьг )(0, т ), где (х (0, т) =--1 <т | —¿г = -X|-^ у <т - среднее по высоте

Эх

Эх

"г т 0 т

Ьг прямоугольника количество тепла, поступившего в объект через гранита :

(х, 4

Э г(х г т)

цу х=0 за время т; ( (х, г, т) = ^|—' ' <т - количество тепла, проте-

0

Э г

кающего в направлении оси Ог через сечения с координатами г= 0 или

7(Ь! )(х т) = 1

и

г = Ь2; (х, т)

Ь

|г(х, г, т)<г - средняя по высоте Ьг температура гра-

ч 0

ниц прямоугольника с координатами х = 0, х = Ьх.

ИФУТ-2 для составляющей вектора теплового потока по оси г имеет аналогичный вид:

ь(Ь )(0, т)+ Ь

х

Ьг г Ьг г

| ¿г | ( (0, ч, т )<г + | ¿г | ( (Ьх, г, т )<г 0 0 0 0

XI 0

т г?(Ьх)(0, т) - г(Ьх)(Ьг , т)

<т +

С \ <г(Ьх)(г,т)<г.

X

г

0

X

0

Круглый прямой цилиндр имеет радиус основания Я и высоту Ьг. ИФУТ-2 для составляющей вектора теплового потока по оси г:

ь

Ь^г ) (г = 0, т) + - / сЬ)( (Я, г, т)^ = X|[I)(0, т) - I (^г)(ьг, т)]йт + Я 0 0 т

+ С \ сЪ^ )(г, т^ (10)

0 0

где \г = 0, т) = —— | йт \г Э1 (г, ^ т) йг - среднее на площади основания с

я 2 _ п Э г

т 0

координатой г=0 количество тепла, поступившего в цилиндр;

2 Я

I^ ) = —21 гг(г, г)йг- средняя температура основания г=0 или г=Ь2;

Я 20

:г^я,г, ^ = х|---^т - количество тепла, поступившего по коорди-

((Я, г, т) = -Х I Л

т Эг

нате г через боковую поверхность цилиндра; Бг - площадь основания ци линдра.

ИФУТ-2 для составляющей вектора теплового потока по оси г: 1 1-1 г[& (г ,0, т) + (г (г, Ь2, т)]йг

ь2

0 г 0

ЯЯ 1 г

= XI [I(Ь )(0, т) -1(Ь) (Я, т)] йт + С | — I г1(Ь )(г, т )йг, (11)

т 0 г 0

где (г,0, т); (г, Ьг, т)- количество тепла, поступившего в цилиндр

_(ь ) 1 ьг

через основания цилиндра; Л 2'(г,т) = — 11(г,г,т)йг - средняя по высоте

Ьг 0

цилиндра температура, как функция радиуса.

Применение ИФУТ-2 в качестве математической модели объекта измерения рассмотрим на примере решения следующей измерительной задачи. Требуется измерить теплопроводность в диапазоне 1=10...400 Вт/(м-К) материала изделий из металлокерамики толщиной ^=0,5...2 мм при нормальных условиях. Данная задача имеет место при разработке новых высокотеплопроводных материалов, используемых для обеспечения эффективного отвода тепла от кристалла полупроводниковых приборов, интегральных схем или других тепловыделяющих элементов.

Исходя из этого, вытекают следующие требования к форме и размерам образца: пластина или диск толщиной ^=0,5 .2 мм, размером более 10 мм. Измерения должны быть массовыми, поэтому необходимо обеспечить максимально возможную производительность, которая определяется временем подготовки образца и временем непосредственного измерения.

182

Рассмотрим вариант с образцом в виде пластины. Для уменьшения влияния контактных тепловых сопротивлений выберем схему измерения с продольным распространением теплового потока [4]. Схема такой конструкции измерительной ячейки показана на рис. 2.

Рис.2. Схема конструкции измерительной ячейки: 1- образец; 2- тепломер; 3 - нагреватель; 4 - теплоприемник; 5, 6 - опоры для крепления термопар

Ее основными элементами являются: 1- образец, 2- тепломер, 3 -нагреватель, имеющий длину равную ширине образца, 4 - теплоприемник, 5, 6 - опоры, на торцевой поверхности которых закреплены спаи пятачковой термопары. С помощью опор также осуществляется прижатие образца к нагревателю 2 и теплоприемнику 4. Для такого образца можно применить двумерную модель и соответствующее математическое описание в виде ИФУТ-2 (9).

Получение функции измерения теплопроводности из уравнения (9) предполагает определение его составляющих. Покажем, как это можно осуществить практически, используя минимальное количество источников измерительной информации. Вследствие малой толщины и высокой теплопроводности образца средние по толщине температуры можно определить с достаточной точностью по температурам на верхней поверхности образца с помощью термопар, закрепленных на опорах 5 и 6, т.е.

I )(0, т ) = I (0, Ь2 , т ) = 11 (т), I \ьх, т) = I (ьх, Ьг, т ) = 12 (т). Для нахождения

повторного интеграла будем использовать также информацию о температурах !1(т), !2(т) и приближенную формулу, основанную на линейном интерполяционном многочлене Лагранжа [5]:

Ьх х (Т ) г2

2Х(т) = I йх^)(х,т)йх [2!1(т) + ^(т)]. (12)

0 0 6 При определении составляющих левой части уравнения (9) будем учитывать тепловой поток, действующий от нагревателя, кондуктивный теплообмен образца с опорами и его конвективный теплообмен с нижней и верхней поверхностей образца. При этом распределение по координате х

183

теплового потока, действующего в направлении координаты 2, на участках поверхности образца, контактирующей с нагревателем и опорами, принимается равномерным.

Аналитическое определение конвективной составляющей тепловых потерь с образца осуществляется с использованием уравнения Ньютона -Рихмана и выражения (12). Теплообменом с торцевой поверхностью можно пренебречь, вследствие малой толщины образца.

В окончательном виде, после всех преобразований получим выражение для нахождения среднего по координате х количества тепла ^(т), проходящего через заданные поверхности образца:

Ф )(т ) = )(т) + )(т) + ф )(т )

т

где 0(1х )(т) = 1нД - Ьн - 0,5/н)0о (т), )(т) = [2/1 (т) +12(т)]А,

0

Qл(Lx)(т) = /оп(Дх - 0,5/оп )0 (т) + 0,5/оп20 (т) - соответственно, сред-

Л оп1 оп2

нее на интервале [0, Дх] количество тепла: поступившего в образец от нагревателя 0о(Дх )(т), теряемого образцом с нижней и верхней поверхности

вследствие конвективного )(т) и кондуктивного )(т) теплообмена.

В данных выражениях использованы следующие обозначения: 0оп1(^), 0оп2(х) - количество тепла, поступившего через единицу площади опоры; Оо(т) — количество тепла, поступившего в образец через единицу площади нагревателя; а- коэффициент теплоотдачи; /оп, /н - ширина опоры и нагревателя; Ьн - длина участка образца от его торцевой поверхности и левой границы нагревателя.

Таким образом, в математической модели образца учтены тепловые потери с его поверхности. Для получения функции измерения теплопроводности из математической модели (9) будем использовать следующий способ. Обеспечим условия проведения измерения так, чтобы аккумуляционная составляющая уравнения (9) стала равна нулю, т.е. обеспечим нулевое изменение повторного интеграла за определенный интервал времени

[т1, т2]: ЕЕ(т) т2 = 0. В этом случае из (9) можно в явном виде выразить теплопроводность .

Наиболее эффективным способом физической реализации данного способа является использование двукратного импульсного нагрева (рис. 3) с последующими остываниями образца.

В этом случае процесс измерения теплопроводности будет состоять из двух стадий: 1-я начинается с момента подачи первого импульса тепла и продолжается в течении интервала [0, т1]; 2-я начинается с момента подачи второго импульса тепла и продолжается в течении интервала [т1, т2], где т1, т2 определяются по условию

(т)

(т)

2 = О,

(13)

6 22(т)

где 2 (т) 0 =-2— = 2!\ (т) + !2 (т) 0; О - порог остывания.

ь

При наступлении регулярной стадии моменты времени т1 и т2 можно определять из условия

1 = 4(т)

=О

т

т

2

0

Рис. 3. Графическая иллюстрация способа определения теплопроводности: д(0,т) -тепловой поток, поступающий в образец на интервалах времени [0,10] с и [29, 39] с; Д*(т) - разность температур

на границах образца

Условие (13) позволяет определять количество тепла, поступившего в образец 0О(т) и опоры 0оп1(т), 0оп2(1) за время [т1,т2] по перепадам температур соответственно на тепломере 2 и опорах 5, 6, не учитывая теплоемкость их материалов, поскольку приращения температур за указанный промежуток будут также близки к нулю. Учитывая, что конструктивно одна из поверхностей опоры 5, 6 и тепломера 2 находится на теплоприемни-ке, позволяющем вследствие высокой температуропроводности, массы и площади поверхности поддерживать температуру поверхности контакта

185

практически неизменной, для определения указанных количеств тепла достаточно измерительной информации о перепаде температур на тепломере А/т(т) и образце Ао(т) = ^(т) - /2(т).

С учетом всех приведенных условий и ограничений, после преобразований получим градуировочную характеристику измерительной ячейки (ИЯ) в следующем виде:

X =

т т2 т 2 ЦoQи (т))Т12 - Ц1 | А/т (тУт - Ц2 | А/о (тУт Т1 Т1

Ь2 {А^т)^, (14) Т1

где (т) Т2- количество тепла, выделившегося на единице площади нагревателя за время [т1, т2]; А/н(т); А/о(т) = /1(т) - /2(т) -перепад температур на тепломере и образце; Ь2- толщина образца.

Коэффициенты ц0, ц2 определяются следующими аналитическими выражениями:

Ц0 = /и (1х - Ьн - 0,5/н ); Ц1 = Хт¿Л С^ - Ьн - 0,5/н );

Ц 2 = 1оп I Lx 0,5/оп )Х оп / ¿оп + 0,67о^ [1 +1,5^ /Lx], где /н - ширина нагревателя; Lx- расстояние между серединами опор; ьн - расстояние от торца пластины до ближней границы нагревателя; 1т, Лт, - теплопроводность и толщина тепломера; 1оп, /оп. ¿оп - теплопроводность. ширина и толщина опоры; Lz - толщина образца; а- коэффициент теплоотдачи с поверхности образца.

Для повышения точности определения данных коэффициентов в реальных условиях разработки измерительного прибора их находят в процессе градуировки по эталонным образцам.

С целью упрощения технической реализации время начала т1 и окончания т2 интегрирования можно определять в условиях близкого к регулярному режиму, исходя из выполнения равенства А/о (тх )= А/о (т 2 )= ^ ,

поскольку изменением температуры /2(т) за время интегрирования можно пренебречь вследствие близости точки измерения к теплоприемнику.

Порог остывания О может быть постоянным для заданного поддиапазона измерения теплопроводности, обеспечивающим достижение режима, близкого к регулярному, или переменным, определяемым из выражения О = ф- А/омах, где А/омах - максимальная разность температур на первом такте измерения, ф=0,1...0,4 - коэффициент остывания, выбираемый, исходя из компромисса между погрешностью и временем измерения.

Аналогичные преобразования применяются при получении функции преобразования для образцов в виде диска или пластин большого размера для ИЯ, имеющей круглый нагреватель. В этом случае используется ИФУТ-2 (11) для прямого цилиндра.

186

Теоретические исследования данного метода определения теплопроводности проводились на дискретной двумерной модели ИЯ, описанной в [6], путем имитационного моделирования. Результаты исследований представлены в таблице.

Влияние основных факторов на погрешность определения

теплопроводности

Основные составляющие погрешности определения теплопроводности Погрешность определения 1, % Условия определения теплопроводности

1. Погрешности, обусловленные приближенным определением: • повторного интеграла, • средней по толщине температуры, • потерь тепла с поверхностей образца. 2. Погрешность определения интеграла по времени разности температур, обусловленная контактными тепловыми сопротивлениями. 3. Погрешность от приближенной функции измерения количества тепла. 4. Погрешность (от погрешности) при повторном измерении < ±0,2 < ±0,5 < ±0,4 < ± 1,5 < ±0,5 5...10 Л=^1/^2=0,5+1; ф= ^/ДСах = 0,1+0,4; тн = (5.10) с - время импульса; Ьх = 10. 12,5 мм; £т=5403±50 % Вт/(м2-К); Время между повтор -ными измерениями 10.20 с

Как следует из приведенных результатов, суммарная погрешность определения теплопроводности не превышает ±3 %, что является не достижимым для методов, разработанных по классической схеме, использующих аналитическое описание температурного поля, которые могут быть применены для решения данной измерительной задачи.

Применение математической модели в виде ИФУТ-2 позволяет также решить ряд других измерительных задач, например, измерение теплопроводности в области низких значений на образцах в виде полуограниченного тела [7], комплексное измерение теплопроводности и теплоемкости [8], измерение температурной зависимости теплопроводности [9], измерения нестационарного теплового потока [10].

Отметим основные преимущества применения ИФУТ-2 в качестве модели для объектов теплофизических измерений.

- одна и та же математическая модель, имеющая простую и понятную структуру, дает возможность получить функцию измерения основных теплофизических характеристик в нестационарном режиме, учитывающую кондуктивные и конвективные потери с поверхности образца; функцию измерения количества тепла (теплового потока), проходящего через задан-

187

ную поверхность объекта измерения, учитывающую его теплоемкость, что обеспечивает возможность аналитического определения тепловых потерь с поверхности образца при получении функции измерения теплофизических величин;

- вторую интегральную форму для объекта исследования можно получить при любой, выбранной исходя из определенных приоритетов схемы конструкции измерительной ячейки, с учетом влияния ее элементов на тепловое поле объекта.

Следствием данных положительных свойств стала возможность решения важной практической задачи измерения теплопроводности высокотеплопроводных материалов на образцах малой толщины при разработке сверхвостребованных технологий производства теплоотводящих изделий из металлокерамики для радиоэлектронной и электротехнической промышленностях, которая не была решена традиционными методами с аналогичными метрологическими и эксплуатационными характеристиками.

Список литературы

1. Рекомендации по межгосударственной стандартизации РМГ 292013 ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.

2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 799 с.

3. Теплофизические измерения и приборы / под ред. Е.С. Платуно-ва. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

4. Азима Ю.И. Влияние тепловых сопротивлений при измерении теплопроводности в диапазоне 1=(10+400) Вт/(м-К) методом квазистационарной точки// Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 5. С. 108-117.

5. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.

256 с.

6. Азима Ю.И. Исследование нестационарного метода измерения теплопроводности высокотеплопроводной керамики с помощью программного имитатора // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006. № 11. С. 26 - 33.

7. Азима Ю.И., Бобкова О. А. Измерение теплопроводности низкотеплопроводных материалов методом квазистационарной точки для полуограниченных тел // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 5. С.92 - 102.

8. Азима Ю.И. Метод комплексного измерения теплопроводности и теплоемкости на базе интегральной формы уравнения Фурье // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 10. С.261-271.

9. Азима Ю.И. Методы определения температурной зависимости теплопроводности на основе интегральной формы уравнения Фурье. //Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т. 68. №5. С. 2530.

10. Азима Ю.И. Исследование балансного метода измерения нестационарного теплового потока // Измерительная техника. 2006. № 12. С. 37.

Азима Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц., juia@yandex.ru, Россия, Новомосковск, НИ РХТУ им. Д.И. Менделеева

THE SECOND INTEGRAL FORM OF THE HEAT EQUATION AS A MATHEMATICAL MODEL OF THE THERMOPHYSICAL MEASUREMENTS

Yu.I. Azima

The theoretical foundations of obtaining the second integral form of the equation of heat conduction for one-dimensional and two-dimensional objects of the thermophysical measurements are considered. It is shown how this mathematical model can be converted into a measurement of the thermal conductivity of high thermal conductivity materials on samples in the form of a two-dimensional plate.

Key words: integral form, the equation of thermal conductivity, measurement of thermal conductivity measuring cell.

Azima Yuriy Ivanovich, candidate of technical sciences, docent, juiaayandex. ru, Russia, Novomoskovsk, NOR MUCT named after D. I. Mendeleev