Представление уравнения теплопроводности в интегральной форме для задач измерения теплофизических величин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.2:536.083

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ ДЛЯ ЗАДАЧ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрена новая интегральная форма уравнения теплопроводности для различных одно- и многомерных моделей объектов, применяемых в качестве образцов для измерения теплофизических свойств. Представлены результаты исследований на адекватность полученных уравнений. Показано применение данных уравнений для задач измерения тепловых величин.

Ключевые слова: интегральная форма, уравнение теплопроводности, теплофизические свойства, метод измерения, дискретная модель.

Потребность в измерении теплофизических свойств (ТФС) материалов существует во многих областях науки и промышленности: в частности, это строительство, теплоэнергетика, материаловедение, электроника.

Особенностью теплофизических измерений является большое разнообразие методов и, как правило, сравнительно невысокая точность, низкая производительность и сложная методика выполнения измерения. Это объясняется сложностью измерительной задачи, поскольку объектом исследования является динамическая система с распределенными параметрами.

Теоретическую основу большинства современных методов измерения теплофизических свойств составляют аналитические решения краевых задач теплопроводности во временной области или в области комплексного переменного. Данные методы обеспечивают измерение тепловых величин во многих сферах их применения. Тем не менее, они имеют ряд недостатков, во многом обусловленных общим подходом к их проектированию: сравнительно невысокая точность, низкая производительность измерений, сложное аппаратурное оформление и трудоемкая методика выполнения измерения.

Многие из указанных недостатков могут быть устранены, используя подход к их проектированию, основанный на обеспечении адекватности интегрального закона сохранения тепла. Его математическое описание представляет собой одну из интегральных форм уравнения теплопроводности [1]. Для одномерного объекта толщиной Ь это баланс тепла за некоторый интервал времени [т1, т2]:

Ю.И. Азима

где ^(т), #2(5)- тепловые потоки на противоположных гранях образца; С-объемная теплоемкость.

Исходя из адекватности данного уравнения, из него можно получить расчетную формулу для определения объемной теплоемкости, которая используется в методе измерения данной величины [2]:

С = 21 [#1(х) - #2(т)]Лт /ь^1 (Ту ) + *2(Ту)]

0 /

где *1(х), *2(х)- температура на противоположных гранях образца; 1у- время, начиная с которого обеспечивается достаточная точность определения средней на интервале [0, Ь] температуры по двум точкам.

Достоинством данного подхода является отсутствие необходимости определения температурного поля модели объекта путем решения краевой задачи, что автоматически снимает все проблемы математического и технического характера, связанные с этим. Вместе с тем, ограниченность интегральной формы (1), связанная с ее структурой и малым числом коэффициентов, определяющих тепловые свойства, ограничивает ее применимость.

В связи с этим возникает потребность поиска более информативного интегрального представления уравнения теплопроводности. Такое уравнение можно получить из интегральной формы (1), записанной для интервала с переменной правой границей, путем интегрирования ее по данной переменной в пределах заданных границ. В результате такого преобразования для одномерного объекта в прямоугольной системе координат получим интегральную форму следующего вида:

т Ь х

LQ(0, т) 0 = X | [ґ (О, т)- ґ (Ь, т )]^т + С Л ґ(х, т )dxdx Т, (2)

0 О

где Q(0, т) 0 - количество тепла, поступившего в одномерное тело через

границу с координатой х=0 за интервал времени [0, т]; ґ(0, т), ґ(Ь, т) - температура, измеренная в точках х=0 и х=Ь.

Данную модель можно рассматривать как баланс средних на отрезке [0, Ь] количеств тепла: поступившего через границу х=0, прошедшего через данный отрезок вследствие теплопроводности и аккумулированного на нем за счет теплоемкости. В дальнейшем будем ее называть второй интегральной формой уравнения теплопроводности (ИФУТ-2).

Графическая иллюстрация получения данного уравнения показана на рис.1. Повторный интеграл по координате х может быть интерпретирован как средневзвешенное значение средних температур на отрезках [0, к-Ах] (к =1,... т®¥), умноженное на половину квадрата длины Ь:

Ь х т т к

| dx| ґ(x)dx =0,5Ь2 ^ к - їк / ^ к, где їк = к_1 ^ ^.

0 0 к=1 к=1 і=1

Разность температур является величиной пропорциональной средней на отрезке [0, Ь] плотности теплового потока:

Ь і

г(ь) - г(°) = |гX (х= -ц(Ь).

0 Ь

средняя температура на ком отрезке [0, к- \х

О Х-]=ДХ

Рис. 1. Иллюстрация к ИФУТ-2: д(0) - тепловой поток, действующий на границе х=0 исследуемого участка [0, Ь] одномерного объекта в направлении оси Ох; д%(х) - тепловой поток, проходящий через сечения с координатой х; дс(х$ - тепловой поток, аккумулированный на 1-ом отрезке [0, /• Ах], где Ах- толщина элементарного слоя

Можно показать, что если представить температурную зависимость теплопроводности и объемной теплоемкости в виде линейной функции: 1(г)=1°+ 1і(г-г0), С(г)=С0+ Сі(г-г0), , где г°- начальная температура образца, то уравнение (2) примет следующий вид:

LQ(0, т) Т = X ° | [в(°, т) - 0(Ь, т)]й?т + 0.5Х11 [02 (°, т) - 02 (Ь, т)]<іт +

Ь х Ь х

+ С0 Ц 0(х, т)<іхоХ Т + 0.5С1 Ц 02 (х, т)<іхоХ|

0 0 0 0

где 0 = ?- 10.

Для цилиндрических и сферических координат ИФУТ-2 получим аналогичным образом: запишем уравнение баланса количества тепла, приведенного к единичной площади, для элементарного цилиндрического или сферического слоя, и усредним его составляющие на заданном отрезке [г0, Щ] по координате г. Получим:

Ьк Q(0, т) 0 = X | [Ф0, т) - г(я, т)]<іт + С || гк г(г, т)^

гк

0Г Г0

0

т

я

где Тк = г0к | г к—г - приведенная толщина, соответственно цилиндриче-

г0

ской (к=1) и сферической стенки (к=2): Т1 = г01п Яг0-1 , Т2 = г02 (г0-1 - Я-);

Q( г0, т)- количество тепла, прошедшего за время т через сечение с координатой г0 .

Аналогичный вид имеют ИФУТ-2 для линейного (к=1) и точечного (к=2) источников:

т гт —г г

4 Q (т) 0 = X | кг, т) - К я, т)] —т + С | | гК і(г, т)— г

0 г г 0

я

* 4 1 г к

где £к = —к— = — I г кйг; ^(х) - количество тепла, выделяемого, соот-

кпг0 кп -1

0 г0

ветственно в линейном, на единицу длины, и точечном источнике за время т.

Покажем ИФУТ-2 для некоторых многомерных моделей.

1. Прямоугольник с высотой Ьг образован прямыми: г1=0, 22=Ьг, х1=0,

х2 -^х.

ИФУТ по координате х имеет вид:

2 1х х

1 2 х ^

)(0, т)+— ЕІ-х I Qz (х , т )-х =

^хг І=1 0 0 (3)

X Г \-(т. Ч -(Т. ),т ЧІ , С

I [і )(0, т) - і ) (Ьх, т)]—т +----| -хІ і )(х, т)—х,

где QXcLz)(0, т) = -X|і'}4)(0, т)—т - среднее по высоте Ь2 прямоугольника ко-

Г

личество тепла, поступившего через границу х=0 за время т;

т

Qz (х,2^,т)=-X|і'2(х,2^,т)—т - распределение по координате х количества

0

тепла, протекающего в направление координаты г через сечения: г1=0 и _ 4

22= Т2; і (4) (хі, т) = Т-11 і(хі, г, т)—2 - средняя по высоте температура

2

0

границ прямоугольника с координатами х1 = 0, х2 = Ьх.

Данное уравнение является частным случаем ИФУТ трехмерного параллелепипеда при отсутствии потока тепла по координате у.

2. Круглый прямой цилиндр с радиусом основания Я и высотой Ь2.

ИФУТ по координате г:

ла, поступившего в цилиндр через основание 2=0 цилиндра;

вую поверхность цилиндра; 21 = 0, ; $г- площадь основания цилиндра.

Аналогичным образом были получены ИФУТ-2 для других моделей, в частности: полого цилиндра, трапеции, усеченного конуса.

Для проверки адекватности интегральных форм (3) и (4) использовались дискретные модели, представленные в среде МаШсаё: прямоугольника размером 30Их10И, где И =0,2мм - дискретность по координате, и цилиндра, размером п*т, где п =10И - высота цилиндра; т=20И - радиус основания цилиндра (И =0,2мм).

Температурные поля данных моделей были вычислены при идентичных краевых условиях с использованием функции Яаёаи, использующей алгоритм КЛОЛИБ, для решения жестких систем дифференциальных уравнений. Для прямоугольника они имеют следующий вид:

На рис.2 представлены результаты исследований данных моделей. В вычислительном эксперименте были использованы следующие данные:

1=0,2 Вт/(м-К), а=1,2-10-7 м2/с, аг=20 Вт/(м2-К), а2=100 Вт/(м2-К),

Как видно из графиков, суммарная погрешность адекватности данных уравнений теплопроводности и дискретной модели на временном участке от 20 до 100 с не превышает 0,2 %. Увеличение погрешности на интервале [4, 20] с до 0,8 % связано с погрешностью, обусловленной шагом дискретизации по координате.

средняя температура основания 2=0;

количество тепла поступившего через боко

Т

2

скорость изменения теплового потока принималась равной 0=100 Вт/(м • с), коэффициент теплообмена а=50 Вт/(м • К), теплопроводность

1=0,5 Вт/(м-К), температуропроводность а=5Л0'1 м2/с; для цилиндра:

Рис.2. Изменение во времени суммарной погрешности 8(&+?) дискретной модели и адекватности ИФУТ для двухмерных моделей: а - прямоугольника (координата х): б - цилиндра (координата і); составляющие ИФУТ, отнесенные к среднему на интервале [0, Ь]

количеству тепла от источника QИL, где Ь=ЬХ - для прямоугольника

и Ь=Я - для цилиндра, обусловленные: теплопроводностью ~Т)^ЧТ)^ ](' * *),

теплоемкостью - ^ /<2^](“ “), конвективным теплообменом - •ш)

3. ИФУТ для полуограниченного тела с плоским источником конечных размеров с учетом теплообмена свободной поверхности получена на базе ИФУТ точечного источника.

Для этого поверхность полуограниченного тела представим в виде приемника тепла от источника с плотностью (х, у, 2 = 0, т) , и источника тепла с плотностью (х, у, 2 = 0, т ). Тогда можно считать, что данная поверхность подвергается тепловому воздействию от источника площадью

5 = Біх + 5^, где Біх, - площадь, соответственно источника тепла и сто-

ков.

Для получения математической модели в интегральной форме воспользуемся принципом суперпозиции температурных полей, вызываемых действием точечных источников мощностью дху(т), действующим на поверхности (2=0) в точке с координатой (х, у). На поверхности образца выберем две точки с координатами (х0; у0) и (хт; ут), лежащими на поверхностях полусфер с радиусами:

Гт (Х У )=^( Хт - Х )2 + (Ут - У )2 , Г0 (Х У ) = V(Х0 - Х )2 + (У0 - У )2 . и приведенной толщиной полусферической стенки !*2(х,У).

Суммируя действие всех точечных источников тепла в выбранных точках (х0, у0) и (хт, ут) с учетом независимости от координат плотность источника тепла, получим ИФУТ в следующем виде:

Т

KisQis (Т) - Ц Lr (X У ) • Qs (X У, Т)dxdy = Х j [t1 (Т) - t2 (Т)]dT + C • IPs (Т) , (5)

Ss 0

где Qis(t) - количество тепла, поступившего в образец на единицу площади за интервал времени [0, t] от источника тепла; Qs (x, у, т)- функция распределения количества тепла, теряемого с единицы поверхности; t1 (т) = t (x0 , Уo, т) ; t2( т) = t(xm , ут , т) ; Kis = ]Г (X У )dxdy - коэффициент

Sis

влияния источника тепла, площадью Sis на температуру в точках (х0, у0),

1 Гт dr Г

(хт, ут); }Ps (Т) = S JJ dS J 72 J r \(r, Т) dr.

S r0 0

Исследование ИФУТ для плоского источника конечных размеров проводилось для двух случаев: при отсутствии и наличии теплообмена поверхности полуограниченного тела с окружающей средой. Для определения адекватности данного уравнения при Qs ( т) = 0 использовалось точное решение уравнения теплопроводности для точечного источника постоянной тепловой мощности q [3]: t(r, т) = q (2пХr ) [l - erf (r / 2^Ja Т )].

Для квадратного нагревателя погрешность адекватности уравнения (5) на заданном временном интервале, а также его составляющие, отнесенные к количеству тепла от источника, показана на графике рис. 3,а.

С учетом конвективного теплообмена свободной поверхности по-луограниченного тела исследование погрешности адекватности возможно только для приближенной ИФУТ, в которой интегральный параметр IpS ( т) вычисляется по приближенной формуле, коэффициенты которой не имеют аналитического выражения (в сравнении с ранее рассмотренными), а могут быть определены только по методу наименьших квадратов для заданного временного интервала и диапазонов тепло- и температуропроводности.

В качестве дискретной модели полуограниченного тела использовался двумерный цилиндр размером 40hx40h, где h = 0,3мм. Тепловой поток источника действовал на поверхности, имеющую форму круга с радиусом: ris=2h, 5h, 8h, 10h и описывался следующими функциями времени: qis(T) = wt, qis(T)=q. Свободная от источника тепла поверхность имеет конвективный теплообмен с коэффициентом а =10 Вт/(м •К).

Вычислительный эксперимент проводился для интервала времени [20, 120] с, координатах (х0 = 0,5h; у0=0; z= 0) и (хт = 20h; 0; 0) (h= 0,3 мм)

точек определения разности температур и следующих значений ТФС: А=

7 2

(0,03...0,6) Вт/(м-К), а = (0,8...5)^10" м/с . Вычисление приближенного значения 1р8 (т) осуществлялось по температурам, определяемым в трех точках.

Щи]

5.% Ґ п}

5

5% (•) 2.5

■ Г ■ 1 ] ■

о 3 1 о О

■ 1 В і з

■■ р Е 3 ■ ■ ■

і

2

1.5

1

0.5

0

0.1 0.2 0.3 0.4 <}.5 0.Е? 0.7 к, Вт (м К)

б

Рис. 3. Результаты исследования на адекватность ИФУТ для полуограниченного тела с источником тепла конечных размеров: а - аналитическая модель: источник квадратной формы со стороной

2 мм, 1=0,2 Вт/(мК), а=107м2/с; х0=у0=ут =0, хт =5 мм;

б - дискретная модель цилиндра 4011x4011 (1г=0,3 мм)с источником </,у= н>т е виде круга радиусом г„= 81г ( П) ; г„=2Ь (*); д -суммарная погрешность адекватности ИФУТ и дискретной модели

7 2

для диапазона а = (0,8 + 5)10 м /с

Весовые коэффициенты при данных температурах определялись из решения системы уравнений:

~ = ^м1 (т) • ^ (т)=[^М (т) • !ы (т)]1 • ^ (т),

где ?м(т) - матрица, составленная из значений температур в трех точках поверхности полуограниченного тела для /-ых моментов времени; !рз(т) -действительное значение интегрального параметра, которое определялось из ИФУТ:

2

-і

LisQis (т) - а| ^ТХ )А*І (т) - 11 в (т) - (т)] ^

т І =1 0

где

а

>/?-

2 x2

“'г-1 УЧ Л 'И А/'г-1 л 'i-l M'i Л

L(S) = J dx J L*2 (x, y)dy + J dx J L*2 (x, y)dy + J dx J L*2 (х, y)dy +

I 2 2

-Л Г -X

2 2 -VГ -X

Vr-i- x

I 2 2

Г - X

+ J dx J L*2 (x, y)dy; L*2 (x,y)

(xm- x )2+y2 -V(x0- x )2+y

r 1 /22

'г-1 -л r -x

2n wC

x - x

m

)2 + y2 -V(xo - x)2 + y2

ti(t) = t(xo,0,t); ^2(t) = t(xm,0,т); ri=ris, r2=12h, r3=20h.

2

2

-r

-r

-r

г-1

г -1

Суммарная погрешность адекватности ИФУТ и дискретной модели определялась из выражения:

5а (т) = 100

Qis(т) - J Vis(T)dT

JVis(T)dT,

L„ -

где Qis (t) = -=LQs (t) -^~ J [t1 (t) - t2 (T)] dT - C S Pkt(xk , t) .

L

is 0

Lis k=0

T

T

2

Результаты исследования данной погрешности для источников тепла с радиусом ris = 0,6 мм и ris = 2,4 мм приведены на графике рис.3, б.

Из результатов данных исследований вытекают следующие выводы: погрешность определения lpS (т) по приближенной формуле с использованием информации о температуре в трех точках находится в пределах 5Ip= (1...20) %, что не позволит в дальнейшем обеспечить достаточную точность определения объемной теплоемкости для объекта исследования в виде полуограниченного тела и данного уравнения баланса тепла; погрешность определения теплопроводности и адекватности ИФУТ изменяется от 5 = (0,1.2) % при ris= 0,6 мм до 5= (1.11) % при ris = 3мм, что дает основание считать точность ИФУТ приемлемой и возможно создание метода измерения теплопроводности на ее основе при правильном выборе размера источника тепла.

При разработке методов измерения ТФС, количества тепла и теплового потока на базе ИФУТ-2 используется подход, аналогичный, применяемому при разработке методов на базе ИФУТ-1, основанному на адекватности данных математических описаний процесса теплопередачи.

Входящий в интегральные формы уравнения теплопроводности интегральный параметр: повторный и однократный интеграл, является единственным источником погрешности их адекватности, которая может быть уменьшена путем наложения определенных условий на выполнение теплового воздействия и проведения измерения.

Методы измерения, разработанные на базе ИФУТ-2, представлены на рис. 4, а подробное их описание приведены в литературе [4-10].

ИФУТ для моделей объектов

Методы итерения тепловых величин

Рис. 4. Методы измерения тепловых величин, разработанные

на базе ИФУТ-2

Основным достоинством данных методов является удачное сочетание: степени сложности технической реализации - точности - времени измерения (включая подготовку образца к проведению измерения), что является основным при разработке средств измерения ТФС. Можно предположить, что приведенный перечень разработок не исчерпывает всех возможностей и перспективных применений ИФУТ-2 в задачах измерения тепловых величин.

Список литературы

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, Изд-во. МГУ, 1977. 799 с.

2. Теплофизические измерения и приборы / под ред. Е.С. Платуно-ва. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

3. Филиппов П.И. Приложение теории теплопроводности к теплофизическим измерениям. Новосибирск: Наука, 1973. 62 с.

4. Азима Ю.И. Применение явного метода идентификации объектов к решению задач нестационарной теплопроводности // Измерительная техника. 2008. № 6. С. 32-38.

5. Азима Ю.И. Исследование балансного метода измерения неста-

132

ционарного теплового потока // Измерительная техника. 2006. № 12. С.37-42.

6. Азима Ю.И., Бобкова О. А. Измерение теплопроводности низкотеплопроводных материалов методом квазистационарной точки для полу-ограниченных тел // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. Вып. 5. С.92-102.

7. Азима Ю.И. Влияние тепловых сопротивлений при измерении теплопроводности в диапазоне 1=(10^400) Вт/(м-К) методом квазистационарной точки// Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. Вып. 5. С. 108-117.

8. Азима Ю.И. Метод комплексного измерения теплопроводности и теплоемкости на базе интегральной формы уравнения Фурье // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ. 2013. Вып. 10. С.261-271.

9. Азима Ю.И. Измерение теплопроводности двухслойных образцов малой толщины методом квазистационарной точки // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во Тул.ГУ. 2013. Вып. 10. С.244-254.

10. Азима Ю.И. Методы определения температурной зависимости теплопроводности на основе интегральной формы уравнения Фурье. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2002. Т.68. № 5. С.25-30.

Азима Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц, iuia@bmail.ru, Россия, Новомосковск, НИ (ф) РХТУ им. Д.И. Менделеева,

REPRESENTATION OF THE HEAT EQUATION IN THE INTEGRAL FORM FOR THE PROBLEMS OF MEASURING THERMOPHYSICAL VALUES

Yu.I. Azima

Considered new integral form of the heat equation for different single - and multidimensional models of the objects used as samples for measurement of thermophysical properties.. Presents the results of research on the adequacy of the obtained equations. Shows the use of these equations _ for the problems of measuring thermal units.

Key words: integral form, the equation of heat conductivity, thermal properties, method of measurement, discrete model.

Azima Yuriy Ivanovich, candidate of technical sciences, Associate Professor, iuia@bmail.ru, Russia, Novomoskovsk, The Novomoskovsk’s Institute (subdivision) of the Mendeleyev Russian Chemical-Technological University