Возможности компьютерного и математического моделирования для решения некоторых задач офтальмологии Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1507-1512

ВОЗМОЖНОСТИ КОМПЬЮТЕРНОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОФТАЛЬМОЛОГИИ

© Н.А. Зенкова

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: arz_sci@mail.ru

Статья посвящена изучению вопросов генерализации медицинских эмпирических данных с помощью методов компьютерного и математического моделирования. Предметом рассмотрения являются результаты исследований и моделирования в области офтальмологии на основе медицинских эмпирических данных. Ключевые слова: компьютерное и математическое моделирование; анализ факторов; ИНС-модель; ЛАЗИК; ин-траокулярная линза; оптимизированная формула для расчета ИОЛ; формулы Но!^ау; Haigis; SRK Т и SRK II

В настоящее время в медицинских учреждениях постоянно происходит накопление большого объема эмпирического материала, представляющего собой различные медицинские показатели по пациентам, результаты диагностических и лабораторных исследований. На основании этой информации доктора принимают решения о диагнозе и прогнозируют исходы лечения. Зачастую для осуществления прогноза докторам бывает необходимо учесть большое количество факторов, которые фиксируются при наблюдении за пациентом и влияющих на исход лечения.

В связи с этим методы компьютерного и математического моделирования могут быть востребованы для генерализации медицинских эмпирических данных и осуществления прогнозов на основе полученных математических моделей.

Целью данной работы является обобщение опыта по возможности использования методов математического моделирования для решения некоторых задач, связанных с моделированием медицинских объектов в области офтальмологии на примере моделирования реальных медицинских объектов.

Исследования были выполнены совместно с Тамбовским филиалом ФГБУ «МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова» на основе медицинских эмпирических данных.

Разработка ИНС-модели для оценки последствий проведения офтальмологических операций. В

данном исследовании на основе разработанной ИНС-модели были выявлены факторы, обусловливающие регресс рефракционного эффекта после операций ЛАЗИК по исправлению близорукости [1].

В решении данной проблемы попытки оценить причины, приводящие к регрессу эмпирическими методами, не дали должных результатов из-за большого количества факторов, которые фиксируются при наблюдении за пациентом. Поэтому было решено для

решения этой проблемы использовать методы математического моделирования.

ИНС-модель - это математическая модель объекта, построенная на основе искусственной нейронной сети. При ее разработке выполняются процедуры структурной и параметрической идентификации. Структурная идентификация в ИНС хорошо визуализирована, что позволяет быстро подбирать подходящие (для описания эмпирических данных) структуры моделей. Параметрическая идентификация (в ИНС эта процедура называется обучением) заключается в минимизации невязки эмпирических данных и модельных расчетов методами нелинейного программирования.

Данные, используемые в качестве выборки, были предоставлены врачом-офтальмологом Тамбовского филиала ФГБУ «МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова». Эти данные описывают наблюдение за состоянием зрения пациентов больных миопией, у которых была проведена операция ЛАЗИК [1].

Для построения ИНС-модели были использованы результаты наблюдения за 115 пациентами, в возрастном диапазоне от 18 до 51 года. Регресс после операции проявился в 21 случае из 145.

Эмпирические данные были разделены на 4 периода истории наблюдения за состоянием здоровья глаз пациента, как схематически изображено на рис. 1.

Это данные, соответствующие параметрам предыстории (z0); периоду лечения, включающего начальное обследование (z1) и хирургическое оперативное (z2); периоду (z3), который содержит состояние глаз пациента на следующий день после операции; периоду (z4), отражающему обследование пациента через промежуток времени после операции.

Основные параметры, используемые при проведении лазерной коррекции, такие как диаметр оптической зоны, диаметр переходной зоны, глубина лазерной

Рис. 1. Схема получения данных выборки

абляции, а также другие параметры, используемые для разработки ИНС-модели, описаны в работе [1]. Всего было выделено 64 фактора, оказывающих влияние на регресс остроты зрения.

При разработке ИНС-моделей различных объектов наиболее важно решение следующих проблем: поиск-структуры ИНС-модели (ее структурная идентификация), определение передаточной функции нейрона или нейронов, выбор метода обучения ИНС. В общем случае искомая функция является функцией п переменных вида:

У = /(хъ Х2, ..., Хп),

(1)

где у - степень регресса остроты зрения, выраженная следующими значениями: 0 - отсутствие регресса; 1-4 - степень выраженности регресса; хь х2, ..., хп -различные факторы, влияющие на степень регресса в различные периоды наблюдения за пациентом. Таким образом, необходимо произвести по эмпирическим данным аппроксимацию функции / уравнения (1) с использованием ИНС.

Разложим функцию / уравнения (1) в ряд Тейлора. Введем дифференциальный оператор:

дх

(т)

(2)

Тогда разложение функции / в ряд Тейлора имеет

вид:

где индекс 0 соответствует рабочей точке, а Яп(хи х2, ..., хп) - остаточный член разложения формулы Тейлора. Разложение в ряд Тейлора производится в окрестности рабочей точки.

Анализ уравнения (3) позволяет сделать следующие выводы. Из-за наличия в знаменателе формулы (3) к! удельный вклад компонент с большими к крайне незначителен.

Из этого следует, что при формировании структуры нейронной сети подойдет структура, использующая 13 членов разложения (3). Таким образом, нами были определены структура и передаточные функции нейронов ИНС-модели. При выборе метода обучения обычно используются различные типы градиентных методов

при значительном удалении параметров модели от оптимальных значений и метод покоординатного спуска или метод Монте-Карло при работе вблизи точки оптимума. Эти методы были использованы в работе для обучения ИНС-модели.

Обучение ИНС-модели сводится к минимизации функции невязки:

^ И=||4|=|\у'аЬ1 - \пе |= =1

Р к ,

* и)2

(4)

}=1 ¿=1

где УаЫ - данные, содержащиеся в обучающей выборке; У"' - данные, полученные с помощью ИНС-модели; F(w) - функция невязки, представляющая собой расстояние между выходными координатами объекта, которые содержатся в обучающей выборке УаЫ и получены с помощью ИНС-модели - У1".

Для того чтобы обучить ИНС, нужно минимизировать функцию невязки (4) за счет выбора значений вектора w.

В качестве первоначального варианта ИНС-модели была выбрана линейная структура, соответствующая двум первым членам разложения ряда Тейлора уравнения (2), (3) (рис. 2).

После обучения сети были получены весовые коэффициенты, соответствующие параметрам, находящимся в выборке:

w[1] = -2,7464688900Е+00; w[2] = -6,4658899160Е+00; w[3] = 3,7352485938Е-01; w[4] = 5,2994356672Е+00; w[5] = -6,5037077176Е+00; w[6] = -6,1445468072Е+00; w[7] = -4,3677414456Е+00; w[8] = -9,2983654503Е+01; w[9] = 1,2873840343Е+00; w[10] = 1,1943881523Е+00;

Рис. 2. Линейная структура объекта моделирования

»[11] = -6,0425794939Е+00; »[12] = -5,3409969478Е-03; »[13] = 9,7793295547Е-01; »[14] = 2,4318565408Е-01; »[15] = —1,0177519005Е-01; »[16] = 5,5028276433Е-01; »[17] = 3,1418265545Е-01; »[18] = 2,7989371106Е-02; »[19] = 1,1839262304Е-02; »[20] = -1,2559028582Е-02; »[21] = 1,4173578067Е+00; »[22] = 1,0857858334Е+00; »[23] = 1,0707242586Е-01; »[24] = 9,3581570923Е-02; »[25] = 3,0823427034Е-01; »[26] = 3,2671641016Е-01; »[27] = -6,2745553627Е-01; »[28] = 6,5782841289Е-02; »[29] = 1,3844583887Е-02; »[30] = 1,6759794958Е-01; »[31] = -3,9278929583Е-02; »[32] = -2,2513677150Е-02; »[33] = -4,0311365098Е-01; »[34] = 6,1708237307Е-01; »[35] = 1,1776911098Е-01; »[36] = -7,2255913663Е-01; »[37] = -8,2787563205Е-03; »[38] = 2,6271674962Е+00; »[39] = 2,1815077332Е+00; »[40] = -3,6115082731Е+01; »[41] = -1,2146555476Е-01; »[42] = 2,7427684382Е-02; »[43] = 1,0704619607Е-01; »[44] = 5,4303354507Е-02; »[45] = -1,3670782271Е-02; »[46] = -8,0252595349Е-01; »[47] = -4,6975708162Е-02; »[48] = 7,8115153257Е+00; »[49] = 2,1486662596Е+01; »[50] = 4,7613569876Е+00; »[51] = 1,1840735126Е+01; »[52] = 3,1364551618Е-02; »[53] = 2,6403600153Е+01; »[54] = 2,5930179830Е+00; »[55] = 1,5237857776Е-01; »[56] = -8,1240638354Е-02; »[57] = 8,4461341992Е-03; »[58] = 7,8732606709Е-02; »[59] = 7,6910301872Е+00; »[60] = -9,9629930298Е+00; »[61] = -2,2812558069Е-01; »[62] = -3,5118428038Е-01; »[63] = 6,7429483039Е-02; »[64] = -4,8110090853Е-02; »[65] = -6,6059948817Е+00; »[66] = -3,1886510200Е-02.

С помощью линейной модели были определены коэффициенты чувствительности каналов, величина которых, в свою очередь, указывает на силу и направления влияния различных факторов. Было установлено, что наибольшее отрицательное влияние на регресс остроты зрения оказывает значение зрения без коррекции (х1-8-1), измеренное до операции, и величина сферы по рефрактометру (х1-40-1), полученная на следующий день после операции, а положительное влияние оказывают такие параметры, как сфера по рефрактометру (х1-53-1) и зрение с коррекцией (х1-49-1), полученные через какое-то время после операции [1].

Также нами была рассмотрена нелинейная структура ИНС-модели, схематическое изображение которой представлено на рис. 3.

Ее элементами, кроме входных и выходного нейронов, являются еще три нейрона промежуточного слоя (линейный, квадратичный и кубический). В отличие от линейной, нелинейная структура имеет 198 весовых

коэффициентов, в то время, как линейная использует всего 66. Это обусловлено тем, что каждый входной нейрон нелинейной структуры соединяется с одним из 3 нейронов, находящихся в следующем скрытом слое, а у другой рассматриваемой - в скрытом слое только один нейрон, поэтому количество весовых коэффициентов у этих двух схем различается в три раза.

В результате вычислительных экспериментов было установлено, что линейная модель делает 24 ошибки из 100 случаев.

Использование нелинейной модели показало 12 ошибок из 100, что является более адекватной объекту исследования и представляет интерес для дальнейших исследований и возможной интеграции в интеллектуальную экспертную систему.

Таким образом, была разработана ИНС-модель для оценки последствий проведения офтальмологических операций, на основе полученной модели были выявлены факторы, существенным образом оказывающие влияние на регресс остроты зрения.

Оптимизация формул для расчета ИОЛ. В данном исследовании выполнен анализ существующих формул, используемых для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, а также представлена разработка новой оптимизированной формулы.

Интраокулярная линза (ИОЛ) - это искусственная линза, которую имплантирует хирург с целью замены хрусталика глаза, если его необходимо удалить по причине помутнения. Главная задача ИОЛ состоит в фокусировании света на глазном дне (или сетчатке), как это делал бы естественный здоровый хрусталик глаза. В этом месте световые лучи превращаются в электрические импульсы, которые поступают в мозг, где преобразуются в изображения. Если лучи света не фокусируются на сетчатке правильно, мозг не может точно обработать изображения [2].

Эмпирические были данные были получены также из МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова. Анализ формул производился на основе 11701 записи. Запись в таблице содержала следующие данные: идентификационный номер пациента, дату операции, марку и оптическую силу установленной линзы, возраст, длину глаза, необходимую оптическую силу линзы для коррекции аномалии рефракции и

Таблица 1

Значения погрешностей известных и оптимизированной формул для расчета ИОЛ

Формула Средняя относительная погрешность, % Коэффициент корреляции расчетных и эмпирических значений Улучшение расчетного значения по формуле (7), %

Haigis 15,6 0,849 4

Но11а<1ау 13,4 0,857 2,8

БРК II 11,7 0,857 1,1

БРК Т 12,5 0,856 1,9

Уравнение (7) 10,6 0,867 0

астигматизма (сфера, цилиндр), а также некоторую дополнительную информацию, связанную с положением линзы в глазу.

На основе этих эмпирических данных анализировались следующие формулы, используемые при расчете оптической силы интраокулярной линзы, как наиболее приближенные к эмпирическим данным - формулы Но1Шау, Haigis, SRK Т и SRK II [3].

Вначале были выявлены наиболее значимые факторы, учитываемые различными формулами и использованные далее в оптимизированной формуле.

Далее нами была выполнена визуализация эмпирических и расчетных данных для каждой формулы в виде построения корреляционных зависимостей и проведена оценка погрешностей расчетов. В результате анализа было выявлено, что наименьшую среднюю относительную погрешность обеспечивает формула БКК II (средняя относительная погрешность 11,7 %) [3].

Далее была проведена работа по получению новой эмпирической формулы расчета ИОЛ, оптимизированной на основе эмпирических данных.

Для выбора коэффициентов моделей необходимо было минимизировать функцию невязки (4) за счет выбора значений вектора параметров w. Таким образом, задача параметрической идентификации модели являлась задачей нахождения минимума функции многих переменных.

В качестве алгоритмов параметрической идентификации модели выбраны следующие методы: метод покоординатного спуска и градиентный метод, используемые последовательно.

В данном случае необходимо осуществить аппроксимацию функции трех переменных. Разложим функцию / в ряд Тейлора. Введем дифференциальный оператор:

у/с _ уп I г(т) _ г(т))к _2.к

Ет= 1

0 ) дх«

(5)

Тогда разложение функции / в ряд Тейлора имеет

вид:

(6)

где индекс 0 соответствует рабочей точке, а Яп(х1г х2, . , хп) - остаточный член разложения формулы Тейлора. Разложение в ряд Тейлора производится в окрестности рабочей точки.

Анализ уравнения (6) позволяет сделать следующие выводы. Из-за наличия в знаменателе формулы (6) к! удельный вклад компонент с большими к крайне незначителен.

Из этого следует, что при формировании структуры модели подойдет структура, использующая 1 -3 членов разложения (6). То есть, модель должна иметь следующий вид:

У = а0 + а1х1 + а2х2 + а3 х3 + аА + а5 х| +

(7)

+ а6 х| + а7 х1 + а8 х| + а9 х|

Использование методов нелинейного программирования (градиентного, Гаусса-Зейделя, простого сканирования) позволило получить следующие коэффициенты уравнения (7):

а0 = 9,73875758749880Е+0001 а1 = -1,93396257500002Е+0000 а2 = 2,51780939999998Е-0001 а3 = -3,96309913000000Е-0001 а4 = -7,46112700000000Е-0003 а5 = -1,06386440000000Е-0002 а6 = 2,00172100000000Е-0003 а7 = 2,52800000000000Е-0005 а8 = -1,24800000000000Е-0006 а9 = 0,00000000000000Е+0000

Средняя относительная погрешность данной формулы практически равна дисперсии эмпирических данных и составляет 10,6 %.

В результате оптимизации была получена формула (7) и ее коэффициенты, такие, что при использовании выборки из 11701 записей, каждая из которых соответствует одному пациенту Тамбовского филиала МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова, удалось получить снижение погрешностей по сравнению с известными формулами за счет лучшей адаптации уравнения к эмпирическим данным (табл. 1).

Дальнейшее уменьшение расчетной погрешности формулы было возможно только с уменьшением дисперсии эмпирических данных.

Итак, в результате был осуществлен анализ существующих формул, используемых для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, а также разработана новая оптимизированная формула.

Таким образом, в данной работе был обобщен опыт по использованию методов математического моделирования для генерализации медицинских эмпирических данных на примере решения некоторых задач офтальмологии. Данных подход может быть использован для математического моделирования медицинских объектов, представленных эмпирическим материалом,

и служит основанием для разработки общей концепции моделирования в медицинской сфере.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арзамасцев А.А., Зенкова Н.А., Фабрикантов О.Л., Копылов А.Е. Анализ факторов, обусловливающих регресс рефракционного эффекта после операций ЛАЗИК с использованием методов математического моделирования // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 6. С. 1813-1820.

2. Иванов М.Н., Бочаров В.Е., Шевеев А.Ю. и др. Формула расчета оптической силы эластичных интраокулярных линз // Вестник офтальмологии. 2000. № 1. C. 39-41.

3. Арзамасцев А.А., Фабрикантов О.Л., Зенкова Н.А., Белоусов Н.К. Оптимизация формул для расчета ИОЛ // Вестник Тамбовского

университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 1. С. 208-213.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках выполнения государственного задания Минообрнауки России № 19.9991.2017/5.2 на выполнение проекта по теме: «Проведение научно-исследовательских работ в рамках международного научно-образовательного сотрудничества по программе «Михаил Ломоносов» по теме: «Генерализация и формализация медицинских эмпирических данных с использованием методов математического моделирования» при поддержке фонда ДААД.

Поступила в редакцию 7 сентября 2017 г.

Зенкова Наталья Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат психологических наук, доцент кафедры математического моделирования и информационных технологий, e-mail: arz_sci@mail.ru

UDC 519.6

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1507-1512

CAPABILITIES OF COMPUTER AND MATHEMATIC MODELING FOR SOME OPHTHALMOLOGY TASKS SOLUTIONS

© N.A. Zenkova

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: arz_sci@mail.ru

The article is devoted to the generalization of medical empirical data using computer and mathematical simulation methods. The results of investigation and simulation process on the basis of medical empirical data in the field of ophthalmology are presented.

Keywords: computer and mathematical simulation; analysis of the factors; ANN-model; LASIK; intraocular lenses; optimization of formulae for intraocular lenses calculating; formulas Holladay; Haigis, SRK T and SRK II

REFERENCES

1. Arzamastsev A.A., Zenkova N.A., Fabrikantov O.L., Kopylov A.E. Analiz faktorov, obuslovlivayushchikh regress refraktsionnogo effekta posle operatsiy lazik s ispol'zovaniem metodov matematicheskogo modelirovaniya [Analysis of the factors causing regression of the refractive effect after LASIK operations using mathematical modeling methods]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2014, vol. 19, no. 6, pp. 18131820. (In Russian).

2. Ivanov M.N., Bocharov V.E., Sheveev A.Y. et al. Formula rascheta opticheskoy sily elastichnykh intraokulyarnykh linz [Calculation formula of optical power of elastic intraocular lenses]. Vestnik oftal'mologii — Annals of Ophthalmology, 2000, no. 1, pp. 39-41. (In Russian).

3. Arzamastsev A.A., Fabrikantov O.L., Zenkova N.A., Belousov N.K. Optimizatsiya formul dlya rascheta IOL [Optimization of formulae for intraocular lenses calculating]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 1, pp. 208-213. (In Russian).

ACKNOWLEDGEMENTS: The work is fulfilled within the framework of state assign of Ministry of Education and Science of Russia no. 19.9991.2017/5.2 to fulfill the project on the topic: "Carrying out scientific-research work within the framework of international scientific-educational cooperation on the program "Mikhail Lomonosov" on the topic: "Generali-

zation and formalization of medical empirical data with the use of mathematic modeling methods and artificial intellect" under the support of the foundation DAAD.

Received 7 September 2017

Zenkova Natalya Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Psychology, Associate Professor of Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: arz_sci@mail.ru

Для цитирования: Зенкова Н.А. Возможности компьютерного и математического моделирования для решения некоторых задач офтальмологии // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1507-1512. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1507-1512

For citation: Zenkova N.A. Vozmozhnosti komp'yuternogo i matematicheskogo modelirovaniya dlya resheniya nekotorykh zadach oftal'mologii [Capabilities of computer and mathematic modeling for some ophthalmology tasks solutions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 1507-1512. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6- 1507-1512 (In Russian, Abstr. in Engl.).