Оптимизация формул для расчета ИОЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.89

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-208-213

ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ИОЛ

© А.А. Арзамасцев, О.Л. Фабрикантов, Н.А. Зенкова, Н.К. Белоусов

Целью работы является анализ существующих формул, используемых для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, а также разработка новой оптимизированной формулы. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: проведен анализ существующих формул для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, представленных заказчиком; проведена визуализация расчетных и эмпирических данных и выполнены оценки погрешностей при их использовании; предложена структура новой эмпирической формулы; проведена ее оптимизация на основе методов нелинейного программирования; проведены оценки погрешности указанной формулы и указаны возможности ее применения.

Ключевые слова: интраокулярная линза; новая оптимизированная формула для расчета ИОЛ; формулы Holladay, Haigis, SRK T и SRK II.

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день основным способом коррекции зрения при помутнении или отсутствии хрусталика глаза является имплантация интраокулярных линз. Данный метод весьма распространен среди тех пациентов, которым по каким-либо причинам невозможно сделать лазерную хирургию [1-4].

Интраокулярная линза (ИОЛ) - это искусственная линза, которую имплантирует хирург с целью замены хрусталика глаза, если его необходимо удалить по причине помутнения. Главная задача ИОЛ состоит в фокусировании света на глазном дне (или сетчатке), как это делал бы естественный здоровый хрусталик глаза. В этом месте световые лучи превращаются в электрические импульсы, которые поступают в мозг, где преобразуются в изображения. Если лучи света не фокусируются на сетчатке правильно, мозг не может точно обработать изображения [1-4].

В настоящее время при расчете оптической силы интраокулярной линзы используют формулы Федорова, Holladay, Hoffer Q, Haigis, SRK T и SRK II.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Целью работы является анализ существующих формул, используемых для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, а также разработка новой оптимизированной формулы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- провести анализ существующих формул для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных;

- провести визуализацию расчетных и эмпирических данных и выполнить оценки погрешностей при их использовании;

- предложить структуру новой эмпирической формулы;

- провести ее оптимизацию на основе методов нелинейного программирования;

- провести оценки погрешности указанной формулы и указать возможности ее применения.

ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ И СУЩЕСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ИОЛ

Исходные данные получены в конце 2014 г. Начальное количество записей в таблице 28940. Запись в таблице содержит следующие данные: идентификационный номер пациента, дату операции, марку и оптическую силу установленной линзы, возраст, длину глаза, необходимую оптическую силу линзы для коррекции аномалии рефракции и астигматизма (сфера, цилиндр), а также некоторую дополнительную информацию, связанную с положением линзы в глазу (нами использовались только выделенные жирным).

Количество обработанных записей 11701. Пропало 17239 записей по следующим причинам: не известны параметры линзы, очевидно некорректные данные в полях (например, на несколько порядков превышающие средние значения).

На основе этих эмпирических данных анализировались следующие формулы, как наиболее приближенные к эмпирическим данным.

Формула На1«1$

Хх = L к, - 1.336

х3- К к; = 1.333

х, - ACD к2 = 1000

кА - 337.5

Г- onimrnuat« аищчоку-ирис 4 пси т. лгтр; L - .xiitira шм. мм; К -

ifuaufa^iKlirKciw чгриицм. им ACD - шрмпр шиш

Формула Но11а(1ау

х, - к

к.

- 1.336 - 1.333 <! *. ц. л . К,

к, - 1000 12.5

- 337 5 3.45

>0.2 0.56

(2)

Формула 8ИК II

У = к1х1 + к2х2 + к3

хх = 1 хг - К

X, = /1

к, - -2.5

к, = -0.9

х, + 3. х, + 2. х, + 1.

х, - 0.5,

к,

X) < 20 20 5 х, < 21 21£ х, < 22 22 5 < 24.5 х. > 24 5

(3)

Формула ЯИК/Г

кгкЛ^-Щк,-!)) у -_=1—_

(¿1 - - С1(к2 - 1»

х, - А'

X) > /1

к, - 1.336

- 1.333

кз - 1000

к4 = 337.5 к, - -3 4+6

к, = Х.716

- -0.0237

( ,,.х,<24.2 1 (А, ♦ 4 с М.1

к, - 0.65696 к„ - 0.098 *„ - -002029 - 0.62467

*„--5.41 »„--68747

*„- 0.5841? к|4 » -3.336

Л " ~ ] (Г} (- 2- ' ' '"*• 4 + ^

II - X,+ (*,+ »!<,*!>

(4)

В табл. 1 приведены факторы, учитываемые различными формулами.

Таблица 1

Факторы, учитываемые различными формулами

Мщг.а А МЛ ш 1 П£Г к

11>1(1> - + - + + +

Ни|Ы<Ь> - - + 4- 4- 4-

$КК II 4- - - + 4- 4-

*кк Г + _ 4- 4- 4-

Из табл. 1 видно, что все без исключения формулы (1)-(4) учитывают факторы, расположенные в правой части таблицы. Можно сделать вывод, что именно они являются наиболее значимыми и будут использованы в оптимизированной формуле.

На рис. 1 показана визуализация эмпирических и расчетных (по формуле данных. Поскольку рас-

четная зависимость (1) является трехпараметрической, для сравнения выбрана форма, показанная на рис. 1. В этом случае, если расчет абсолютно точен, то все точки должны принадлежать диагонали. Чем сильнее отклонение от диагонали, тем больше погрешность расчетов. Близость коэффициента корреляции к единице также является свидетельством точности расчетов по моделям (1)-(4).

Анализ данных рис. 1 позволяет выделить в области данных шесть отдельных кластеров. Так, большая часть данных сосредоточена в кластере 1, что вполне соответствует гипотезе о существовании «среднего пациента». Кластеры 2 и 3 являются естественным продолжением в меньшую и большую стороны от среднего. Кластеры 4, 5 и 6, по всей видимости, представляют собой результаты некоторых ошибок измерения. Об этом свидетельствует малое количество данных в них - менее 0,1 %.

На рис. 2-5 проведена оценка погрешностей расчетов по различным формулам (1)-(4). Видно, что средняя величина погрешности во всех случаях лежит в пределах 12-15 % и может быть улучшена лишь путем:

- уменьшения дисперсии эмпирических данных за счет совершенствования технических средств измерения исходных показателей или методик их обработки; средняя дисперсия эмпирических данных составляет 12 %, что имеет тот же порядок, что и погрешность моделей (1)-(4);

- изменения вида и формы аппроксимирующей зависимости; из рис. 2-5 хорошо видно, что левая часть эмпирических данных спускается ниже диагонали, в то время как правая часть завышена;

Рис. 1. Корреляционная зависимость для эмпирических и расчетных данных

- добавлением в модели новых факторов; впрочем, обсуждение этого вопроса с научными работниками МНТК говорит о невозможности таких введений, т. к. это потребовало бы новых измерительных методик.

Необходимо отметить, что из существующих моделей (1)-(4) наименьшую среднюю относительную погрешность обеспечивает формула SRK II (средняя относительная погрешность 11,7 %).

Рис. 2. Корреляционная зависимость для формулы Haigis. Средняя относительная погрешность 15,6 %

Рис. 3. Корреляционная зависимость для формулы Но1Мау. Средняя относительная погрешность 13,4 %

Рис. 4. Корреляционная зависимость для формулы SRK II. Средняя относительная погрешность 11,7 %

Рис. 5. Корреляционная зависимость для формулы SRK T. Средняя относительная погрешность 12,5 %

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСЧЕТА ИОЛ

Как это указывалось ранее, целью данной работы является получение новой эмпирической формулы расчета ИОЛ, оптимизированной на основе эмпирических данных, полученных из Тамбовского филиала МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова.

Для выбора коэффициентов моделей нужно минимизировать функцию невязки (5) за счет выбора значений вектора параметров ж

^(ш )=И|=| \{"ы - у" (»|= =1

р к .

Х^Г - У„п*(ш)Г ^ тп

' (ш ))

(5)

з=1 /=1

Таким образом, задача параметрической идентификации модели является задачей нахождения минимума функции многих переменных.

Приведем несколько причин неравенства невязка ¥(^*) нулю:

- в эмпирических данных имеется существенная погрешность или эти данные являются противоречивыми; эту погрешность нельзя определить во время предварительной подготовки данных выборки;

- структура модели выбрана неверно; можно преодолеть эту причину путем подбора новой структуры;

- если выбранный метод минимизации невязки (5) «зашел» в локальный минимум, то невязка ¥ также будет отлична от нуля; для устранения данной причины можно попробовать «спуститься» из другой начальной точки или выбраться из полученного локального минимума.

В качестве алгоритмов параметрической идентификации модели выбраны следующие методы: метод покоординатного спуска и градиентный метод, используемые последовательно. Градиентный метод хорошо «спускается» из данной точки в минимум, но вблизи него использование этого метода не дает необходимых результатов, поэтому вблизи минимума используем метод покоординатного спуска.

В данном случае необходимо осуществить аппроксимацию функции трех переменных. Разложим функцию / в ряд Тейлора. Введем дифференциальный оператор:

(6)

Тогда разложение функции / в ряд Тейлора имеет

вид:

(7)

где индекс 0 соответствует рабочей точке, а К„(х1г х2, ..., хп) - остаточный член разложения формулы Тейлора. Разложение в ряд Тейлора производится в окрестности рабочей точки.

Анализ уравнения (7) позволяет сделать следующие выводы. Из-за наличия в знаменателе формулы (7) к! удельный вклад компонент с большими к крайне незначителен.

Из сказанного следует, что при формировании структуры модели подойдет структура, использующая 1 -3 членов разложения (7). То есть модель должна иметь следующий вид:

У = ав + а1х1 + а3х3 + а3х3+ алх[ + + алх\ + а4х| + а7х1 + ашх\ + а9х\ ^

Использование методов нелинейного программирования (градиентного, Гаусса-Зейделя, простого сканирования) позволило получить следующие коэффициенты уравнения (8):

а0 = 9,73875758749880E + 0001 а1 = -1,93396257500002E + 0000 а2 = 2,51780939999998E - 0001 а3 = -3,96309913000000Е - 0001 а4 = -7,46112700000000Е - 0003 а5 = -1,06386440000000Е - 0002 а6 = 2,00172100000000Е - 0003 а7 = 2,52800000000000Е - 0005 а8 = -1,24800000000000Е - 0006 а9 = 0,00000000000000Е + 0000

Корреляция уравнения (8) с этими коэффициентами и эмпирических данных представлена на рис. 6. Средняя относительная погрешность данной формулы практически равна дисперсии эмпирических данных и составляет 10,6 %.

В результате оптимизации удалось получить формулу (8) и ее коэффициенты, такие, что при использовании выборки из 11701 записи, каждая из которых соответствует одному пациенту Тамбовского филиала МНТК «Микрохирургия глаза» им. академика С.Н. Федорова удалось получить снижение погрешностей по сравнению с известными формулами (табл. 2).

Сравнение корреляционных зависимостей, показанных на рис. 6 и 1-5, также позволяет сделать заключение о том, что полученное уравнение (8) обеспечивает лучшее соответствие расчетных и эмпирических значений во всем диапазоне изменения последних.

Таблица 2

Значения погрешностей известных и оптимизированной формул для расчета ИОЛ

Формула Средняя относительная погрешность, % Коэффициент корреляции расчетных и эмпирических значений Улучшение расчетного значения по формуле (8), %

15,6 0,849 4

Но11а(!ау 13,4 0,857 2,8

БРК II 11,7 0,857 1,1

БРК Т 12,5 0,856 1,9

Уравнение (8) 10,6 0,867 0

V

л

В я

О

I.

Ж

1£

Получсиим 1гаф4РСТ» ДГф

Рис. 6. Корреляция зависимости (8) и эмпирических данных. Я = 0,867. Средняя относительная погрешность 10,6 %

Таким образом, по сравнению с имеющимися уравнениями (1)-(4) удалось несколько снизить погрешность за счет лучшей адаптации уравнения к эмпирическим данным. Необходимо отметить, что дальнейшее уменьшение расчетной погрешности формулы связано только с уменьшением дисперсии эмпирических данных.

Для расчета ИОЛ по формуле (8) нами разработана программа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе данной работы осуществлен анализ существующих формул, используемых для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных, а также разработана новая оптимизированная формула.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- проведен анализ существующих формул для расчета ИОЛ на основе эмпирических данных;

- проведена визуализация расчетных и эмпирических данных и выполнены оценки погрешностей при их использовании;

- предложена структура новой эмпирической формулы;

- проведена ее оптимизация на основе методов нелинейного программирования;

- проведена оценка погрешности указанной формулы;

- показано, что дальнейшее уменьшение расчетной погрешности формулы связано только с уменьшением дисперсии эмпирических данных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов М.Н., Бочаров В.Е., Шевеев А.Ю. и др. Формула расчета оптической силы эластичных интраокулярных линз // Вестн. офтальмологии. 2000. № 1. С. 39-41.

2. Кански Д. Клиническая офтальмология: систематизированный подход. Пер. с англ. М.: Логосфера, 2006. 744 с.

3. Розенблюм Ю.З. Оптометрия (подбор средств коррекции зрения). СПб.: Гиппократ, 1996. 320 с.

4. Федоров С.Н., Ивашина А.И., Колинко А.И. Методика расчета оптической силы интраокулярной линзы // Вестн. офтальмологии. 1967. № 4. С. 27-31.

Поступила в редакцию 4 февраля 2016 г.

Арзамасцев Александр Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой математического моделирования и информационных технологий, e-mail: arz_sci@mail.ru

Фабрикантов Олег Львович, Тамбовский филиал МНТК «Микрохирургия глаза» им. акад. С.Н. Федорова, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор медицинских наук, директор; Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, зав. кафедрой офтальмологии, е-mail: naukatmb@mail.ru

Зенкова Наталья Александровна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат психологических наук, доцент кафедры математического моделирования и информационных технологий, e-mail: arz_sci@mail.ru

Белоусов Никита Константинович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант по специальности «Информационные системы и процессы», кафедра математического моделирования и информационных технологий, e-mail: belousovnikita92@gmail.com

2016. T. 21, Bhm. 1. Meg^HHa

UDC 004.89

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-1-208-213

OPTIMIZATION OF FORMULAE FOR INTRAOCULAR LENSES CALCULATING

© A.A. Arzamastsev, O.L. Fabrikantov, N.A. Zenkova, N.K. Belousov

The aim of this work is to analyze the existing formulae, used for intraocular lenses basing on empirical data, and also the development of new optimized formulae. To reach the aim the following tasks were given: the analysis of the existing formulae for intraocular lenses calculating basing on empirical data, provided by the customer is held; visualization of the calculating and empirical data is held and estimation of errors during their use is given; the structure of new empirical formulae is proposed; its optimization basing on the methods of non-linear programming is made; the estimation of errors of the pointed formulae are carried pout and possibilities of its use are pointed.

Key words: intraocular lenses; optimization of formulae for intraocular lenses calculating; Fedorov's fo r-mulae; Holladay, Hoffer Q, Haigis, SRK T and SRK II.

REFERENCES

1. Ivanov M.N., Bocharov V.E., Sheveev A.Y. et al. Formula rascheta opticheskoy sily elastichnykh intraokulyar-nykh linz. Vestnik oftalmologii, 2000, no. 1, pp. 39-41.

2. Kanski D. Klinicheskaya oftalmologiya: sistematizirovannyy podkhod. Moscow, Logosfera Publ., 2006. 744 p.

3. Rozenblyum Y.Z. Optometriya (podbor sredstv korrektsii zreniya). St. Petersburg, Hyppokrat Publ., 1996. 320 p.

4. Fedorov S.N., Ivashina A.I., Kolinko A.I. Metodika rascheta opticheskoy sily intraokulyarnoy linzy. Vestnik oftalmologii, 1967, no. 4, pp. 27-31.

Received 4 February 2016

Arzamastsev Aleksander Anatolyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: arz_sci@mail.ru

Fabrikantov Oleg Lvovich, Academician S.N. Fyodorov FSBI IRTC "Eye Microsurgery", Tambov branch, Tambov, Russian Federation, Doctor of Medicine, Director; Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Head of Ophthalmology Department, e-mail: naukatmb@mail.ru

Zenkova Natalya Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Psychology, Associate Professor of Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: arz_sci@mail.ru

Belousov Nikita Konstantinovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student of "Information Systems and Processes" Specialty, Mathematical Modeling and Information Technologies Department, e-mail: belousovnikita92@gmail.com