Волны деформаций в упругом стержне при буксировке твёрдого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 531.39; 531.64

С. А. КАШКИРОВ, В. К. МАНЖОСОВ

ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ ПРИ БУКСИРОВКЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Построена волновая модель движения стержня, соединённого с ведущим звеном и тянущего твёрдое тело с неудерживающей связью. Движение ведущего звена кинематически задано. Движение поперечных сечений стержня описано волновым уравнением. Решение волнового уравнения строится с использованием метода бегущих волн. Функции прямых и обратных волн на различных интервалах движения определяются из условий их формирования в сечениях стержня, сопряжённых с ведущим звеном и транспортируемым твёрдым телом.

Ключевые слова: упругий стержень, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, продольная деформация в поперечных сечениях стержня, не-удерживающая связь.

Динамика механической системы, состоящей из ведущего звена (локомотива), упругого стержня (троса) и ведомого звена (перемещаемого объекта), представляет интерес для различных прикладных задач (буксировка объекта [1], транспортировка груза в подъёмных установках [2, 3], канатные системы спасения [4], буксировка подводных объектов [5] и другие).

В наиболее простых постановках задачи стержень (трос, канат) рассматривается либо как абсолютно твёрдое тело или нерастяжимая нить, либо как упругий элемент, не имеющий массы. Если стержень работает только на растяжение, то необходимо учитывать неудерживающую связь между активным и пассивным звеньями.

В представленной работе волновая модель движения стержня, которая позволяет учесть его распределённую массу и рассмотреть волновые процессы, определяющие характер перемещения транспортируемого объекта, деформирование стержня.

Механическая система представляет собой ведущее звено 1 (рис. 1, а), упругий стержень 2, жёстко соединённым одним концом с ведущим звеном (локомотивом) и цепляющим другим концом ведомое звено 3 (транспортируемый объект). Ведущее звено 1 перемещается в направлении оси х с постоянной скоростью V.

10_/_1'—^

а) б)

Рис. 1. Схемы механической системы: а - схема абсолютного движения; б - схема относительного движения

В момент времени t = 0 стержень 2, все сечения которого имеют скорость v, цепляет ведомое звено 3, имеющее массу М. Ведомое звено 3 до момента сцепления находится в состоянии покоя, и его скорость равна нулю.

Свяжем с локомотивом подвижную систему координат. Относительно подвижной системы координат локомотив и стержень в начальный момент времени рассматриваются как неподвижные, а звено 3 приобретает скорость у в направлении, противоположном оси х. Расчётная схема механической системы в относительном движении приведена на рис. 1, б.

Локомотив, имеющий массу, значительно превышающую массу звена 2 и 3, в дальнейшем в процессе нагружения рассматриваем как неподвижное звено.

© Кашкиров С. А., Манжосов В. К., 2017

Для перехода к значениям скоростей V и ускорений ^ абсолютного движения используем равенства: V = ve + vr = V + vr, w = we + М1г = М1г ,где ve = V - скорость переносного движения, vr — скорость относительного движения, we = 0 - ускорение переносного движения, wr — ускорение относительного движения.

Данные равенства показывают, что для переносного движения с постоянной скоростью ускорения в абсолютном движении такие, как и в относительном движении. Соответственно, значения сил и деформаций в абсолютном движении будут такие, как и относительном движении.

Движение поперечных сечений стержня в относительном движении опишем волновым уравнением

д 2и( х, X) 1 д 2и (х, X) ^

д 2 —— дУ ' = 0, 0 < х < 1, 0 < X <<х> , (1)

дх а2 дх

ди( х, X)

где -, и (х, X) — скорость и продольное перемещение поперечного сечения; X — время;

дх

ди(х, X)

--продольная деформация в сечении, положение которого определяется координатой х;

дх

а - скорость распространения продольной волны деформации в стержне.

Начальные условия определяют состояние стержня при X = X0 = 0. Примем, что все сечения

ди(х, 0)

стержня в начальный момент времени имеют скорость —д-= ^ > скорость сечения стержня х = 0

3 ди (0,0) ф при сцеплении со звеном 3 равна -= —V, деформации в поперечных сечениях стержня в на-

дX

чальный момент отсутствуют:

ди^=0, ди^=0, 0 < х < I, дим=—V. (2)

дх дх дх

Граничное условие в сечении х = I определяют связь стержня 2 со звеном 1, которое в относительном движении рассматривается как неподвижное:

дим. = 0. (3)

дX

Связь стержня 2 с ведомым звеном 3 при X > 0 является неудерживающей. Если в сечении х = 0

, ди (0, X) 0 имеют место деформации растяжения: -> 0, то

дх

м д^М=^ ди(М, (4)

дX2 дх

где М - масса ведомого звена 3; Е - модуль упругости материала стержня; А - площадь поперечного сечения стержня.

Если в сечении х = 0 исчезают деформации растяжения, то граничное условие для этого сечения принимает вид

адо=0. (5)

дх

Решение (1) по методу бегущих волн представим в виде [6, 7]:

и(х, X) = f (сЛ — х) + p(aX + х), 0 < х < I, X > 0, где f а — х) - функция, описывающая параметры прямой волны, распространяющейся в направлении оси х; <p(aX + х) - функция, описывающая параметры обратной волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси х.

Скорость и ускорение поперечного сечения стержня определяются как ди(х,X) _ , д2и(х,X)

= а/'(aX — х) + ар ^ + х), " = а2 f"{aX — х) + а^'р"^ + х) . (6)

дх

жня равна

= — /'(аX — х) + ра + х) . (7)

а ■ -....." дX2

Деформация в поперечных сечениях стержня равна

ди( х, X)

дх

ди(х, 0)

Из начального условия -= 0 следует, что

дх

-/' (а?0 - х) + <ф(а?0 + х) = 0, /'(а?0 - х) = <ф(а?0 + х) . (8)

Из начального условия Си(X, 0) = 0 следует, что а/'(а?0 - х) + аф'(а?0 + х) = 0 .Учитывая (8), полуд?

чим

2аф(а?0 + х) = 0, <ф(а?0 + х) = 0, /'(а?0 - х) = 0. (9)

Из граничного условия (3) Си(^?) = 0, а/'(а? -1) + аф(а? +1) = 0 следует, что

д?

ф(сИ +1) = - /' (а? -1). (10)

Равенство (10) определяет параметры формируемой в сечении х = I обратной волны ф'(а? +1), зависящей от параметров приходящей к сечению х = I прямой волны /'(а? -1) .

Граничное условие (4) определяет процесс формирования прямой волны в сечении х = 0 , если в этом сечении имеют место деформации растяжения:

А/Гд2и(0,?) ди(0,?) ди(0, ?) Л

М-= ЕА—, если — > 0,

д? дх дх

Ма2[/" (а? -0) + ф(а? + 0)] = ЕА[-/'(а? - 0) + ф(а? + 0)].

Преобразуем его к виду

ЕА ЕА

/"(а? - 0) + —2/"(а? - 0) = -ф(а? + 0) + —у ф(а? + 0). (11) Ма Ма

Параметры формируемой в сечении х = 0 прямой волны /" (а? - 0) могут быть определены из решения дифференциального уравнения (11), если будут известны параметры падающей на сечение х = 0 обратной волны ф'(а? + 0) .

Падающая на сечение х = 0 обратная волна

ф(а? + 0) = - /" [а(? - 21 / а) - 0], ф' (а? + 0) = -/" [а(? - 21 / а) - 0]. (12)

Схема решения дифференциального уравнения (11) строится следующим образом. Используя начальные условия (9), находим, что функции

ф(а?0 + 0) = 0, ф(а?0 + 0) = 0, 0 < ? < 21 / а . (13)

Подставляя эти значения в правую часть уравнения (11), найдём функции /'(а? - 0) и /" (а? - 0), которые позволят определить из (12) значения ф(а? + 0) и ф'(а? + 0) на следующем интервале 21 / а < ? < 41 / а .

Новые значения функций ф(а? + 0) и ф" (а? + 0) вновь подставим в правую часть уравнения (11) и найдём функции /'(а? - 0) и /"(а? - 0) на интервале 21 / а < ? < 41 / а . Далее при необходимости процесс расчёта повторяется на интервалах 41 / а < ? < 61 / а , 61 / а < ? < 81 / а и т. д.

Рассмотрим движение стержня на интервале 0 < ? < 21 / а . Обратимся к дифференциальному уравнению (11):

ЕА ЕА

/" (а? - 0) + — /'(а? - 0) = -ф(а? + 0) + —т ф(а? + 0). Ма Ма

Т ЕА/ а 2рА1 М т

Т ак как ш =-- =-— = т / М = т (где р - плотность материала стержня; т - масса стерж-

Ма Ма

ня; М - масса ведомого звена), то уравнение (11) с учётом (12) можно представить в виде

/"(£) + «/'(£) = -«/'(£-21) + /"(%-21), (/ -1)2/ <#< i • 21, (14)

где а? = %, а = ЕА / (Ма2) , i - номер интервала времени длительностью 2//а.

Решение дифференциального уравнения (14) относительно первой производной / '(%) и функцию обратной волны ф(%) из равенства (12) на i-м интервале движения (/' -1)2/ < % < i • 2/ представим как /'(%) = С,е-а + еа [ /" - 2/) - а/'- 2/, ф(%) = -/' - 2/), i = 1, 2, 3,^, (15)

где СI - постоянная интегрирования на i-м интервале движения; - номер интервала времени, на котором необходимо учитывать возникновение неудерживающей связи звеньев 2 и 3.

Для интервала времени 0 < % < 21, исходя из начальных условий (9) и (13), имеем /"(% — 21) = 0, /" (% — 21) = 0.На этом интервале происходит взаимодействие ударяющего тела со стержнем и решение (15) примет вид

/(%) = , Р(%) = —/(* — 21)= 0, 0<%< 21. (16)

д и (0, X)

Скорость сечения х = 0 из (6) определится как

д X

= а/" (%) + ар'*) .

Из начальных условий (2) для сечения х = 0 при X = 0 (соответственно % = 0) с учётом (16) и (13)

: ди(0^) = .

имеем:

5 X

= а/'(0) = ^ , С1 = —V / а . Решение (16) представим /"(*) = — , 0 <%< 21.

как

(17)

Скорость сечения х = 0 и продольная деформация в этом сечении на интервале 0 < % < 21 из (6) и (7) с учётом (16) и (17) определяются как

ди(0,0= а/'(%) + ар(%) = —V*-* , = —/"(%) + р(%) = ^,0<%<2/.

(18)

дX 4 7 4 7 дх ' ч"' ' ч"' а

Для определения скорости сечения х = 0 в абсолютном движении воспользуемся равенством

д и ( 0, X)

v(0, X) = V* + vr (0, X), учитывая, что V* = V, а vr (0, X) =--—- = —V* 5 •

д X

v(0,X) = V* + V,.(0,X) = V — vва = v(1 — в"*), 0<%<2/.

Если учесть, что

, тс аШ (тс / МУ „ ~ тс _ X ^ /

а/ = —, аaX =-= —-— = т ■ X , т = —, X = —, Т = —

М / Т М Т а

(19)

(20)

то отношение скорости v(0, X) сечения х = 0 к скорости V ведущего звена (локомотива) на интервале 0 < X < 2/ / а определится как:

у(0, X) = v(0, X)/V = 1 — , 0 < X < 2. (21)

Отношение продольной деформации в сечении х = 0 к величине v/a в абсолютном движении на интервале 0 < X < 2/ / а определится как:

д и (0, X) v -г ё(0, X) = —= в-m■t, 0 < X < 2.

(22)

д х а

Равенства (21) и (22) полностью соответствуют выражениям для определения скорости сечения х = 0 и продольной деформации в этом сечении на интервале 0 < X < 2/ / а, приведённым в работе [8] для модели абсолютного движения (рис. 1, а).

На рис. 2 и 3 представлены диаграммы изменения скорости транспортируемого объекта и продольной деформации на интервале 0 < X < 2/ / а в зависимости от соотношения масс т = тс / М .

1,2 1,4 1,6 1,8 20

Огносшшгьное время / — /! Т

Рис. 2. Изменение скорости транспортируемого объекта на интервале 0 < X < 2/ / а : 1 - тс / М = 1;

2 - т /М = 0,8; 3 - т /М = 0,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

Относительное время t = t IТ

Рис. 3. Изменение продольной деформации в сечении х = 0 на интервале 0 < X < 2/ / а : 1 - тс / М = 1; 2 - т /М = 0,8; 3 - т /М = 0,6

Равенство (21) показывает, что в начальный момент времени (при t = 0) скорость транспортируемого объекта равна нулю. На интервале 0 < t < 2l / a скорость транспортируемого объекта не в состоянии достигнуть скорости ведущего звена (локомотива). Чем меньше масса транспортируемого объекта, тем больше скорость транспортируемого объекта в конце интервала.

Равенство (22) показывает, что в начальный момент времени (при t = 0) продольная деформация в сечении x = 0 равна v / a (ё(0, t) = 1) . В этот момент времени продольная деформация является максимальной для интервала времени 0 < t < 2l / a .

На интервале 0 < t < 2l / a продольная деформация в сечении x = 0 является положительной, т. е. стержень (трос) в этом сечении испытывает растяжение, и разрыва связи не происходит.

Для переносного движения с постоянной скоростью ускорения в абсолютном движении такие, как и в относительном движении. Соответственно, значения сил и деформаций в абсолютном движении соответствуют значениям сил и деформаций вотносительном движении.

Изложенный в работе анализ волновых процессов в стержне с разложением движения на относительное и переносное может быть применён в задачах буксировки твёрдых тел.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Асланов В. С., Юдинцев В. В. Динамика буксировки твёрдого тела на упругом тросе в безгравитационном пространстве // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. Механика. -2013. - №3 (104). - С. 58-66.

2. Степанов А. Г. Динамика машин. - Екатеринбург : УРО РАН, 1999. - 304 с.

3. Колосов Л. В., Жигула Т. И. Продольно-поперечные колебания струны каната подъёмной установки // Известия вузов. Горный журнал. -1981. - №3. - С. 83-86.

4. Stephen W. Attaway. Rope System Analysis, pp. 1 - 13. http://www.jrre.org/ropes_101.pdf.

5. Bielanski J. 3D Form analysis of rope deformation with long towed underwater hydroacoustic antenna // Archives of Civil and Mechanical Engineering, Vol. VII, 2007, No. 3. http://www.acme.pwr. wroc.pl/repository/146/online.pdf. pp. 1-10.

6. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еpемьянц В. Э. Удаp. Распpостpанение волн дефоpмаций в удаpных системах. - М. :Наука, 1985. - 354 с.

7. Манжосов В. К. Продольный удар. - Ульяновск :УлГТУ, 2007. - 358 с.

8. Кашкиров С. А., Манжосов В. К. Волновая модель движения звена (локомотива), упругого стержня и транспортируемого объекта // Автоматизация процессов управления. - 2014. — №3. — С. 68-77.

Кашкиров Сергей Анатольевич, аспирант Ульяновского государственного технического университета, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: ksa.sosny@,gmail com. Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры,моделирования процессов удара. [E-mail: v.manjosov@ulstu. ru].

Поступила 06.08.2017 г.