Динамика процесса кручения неподвижного стержня с учётом и без учёта распределённой массы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

UlGTU (26 yanvarya - 31 yanvarya 2015 g.). CHast' 1 [high School science in modern conditions: Collection of materials of the 49th STC UlSTU (January 26-January 31, 2015). Part 1]. Ulyanovsk, UlSTU, 2015, pp.152-155.

3. Kashkirov S. A. Izmenenie struktury mekhanizma dlya obespecheniya avtomatizirovannogo zahvata gruza v rabochem cikle [Changes in the structure of the mechanism for maintenance of the automated pay-load per operating cycle] // Sbornik materialov 48-j NTK UlGTU «Vuzovskaya nauka v sovremennyh usloviyah» (27yanvarya - 01 fevralya 2014 g). CHast' 1 [Proc. materials of the 48th STC UlSTU "science in modern conditions" (27 January - 01 February 2014). Part 1]. Ulyanovsk, UlSTU, 2014, pp. 119-122.

4. Zemskov A. A., Kashkirov S. A., Manzhosov V. K. Model' stolknoveniya mekhanizma zahvata s pregradoj [Collision of the gripper with a barrier] // Vestnik UlGTU [Bulletin of UlSTU], 2017, no 4, pp. 28-32.

Земское Александр Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета, инженер ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail:saa@sosny.ru.

Кашкиров Сергей Анатольевич, заместитель начальника конструкторского отдела ООО НПФ «Сосны». Имеет статьи в области анализа механизмов переменной структуры. E-mail: ksa.sosny@gmail.com.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство »Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, анализа и синтеза механизмов переменной структуры, моделирования процессовydapa.E-mail:v.manjosov@ulstu.ru.

Поступила 01.07.2019 г.

УДК 531.1; 531.8

В. К. МАНЖОСОВ, А. А. САМСОНОВ

ДИНАМИКА ПРОЦЕССА КРУЧЕНИЯ НЕПОДВИЖНОГО СТЕРЖНЯ С УЧЁТОМ И БЕЗ УЧЁТА РАСПРЕДЕЛЁННОЙ МАССЫ

Рассмотрена модель движения механической системы в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёсткое основание. До начала движения реакция внешней связи закручивает диск и стержень. При разрыве внешней связи начинается движение поперечных сечений стержня. Рассмотрена волновая модель движения. Для решения волнового уравнения используется метод бегущих волн. Угловая скорость, угловое ускорение и относительный угол закручивания поперечных сечений стержня определяются с использованием функций прямых и обратных волн. Рассмотрена модель движения механической системы без учёта распределённой массы стержня. Преобразования решений уравнений движения позволяют представить их в форме, удобной для сравнения.

Ключевые слова: динамика, кручение стержня, волновое уравнение, метод бегущих волн, волна деформации, скорость поперечных сечений стержня, деформация в поперечных сечениях стержня.

При анализе крутильных колебаний в механической системе, содержащей стержень, встаёт вопрос о модели описания процесса движения. Желание более качественно описать этот процесс приводит к

© Манжосов В. К., Самсонов А. А., 2019

_

О I

Рис. 1. Схема механической системы

необходимости учёта распределённой массы стержня и использования волновой модели [1—4]. Применение такого описания при решении задач продольного удара твёрдого тела по стержню широко распространено [5-7].

В данной работе рассмотрены две модели движения механической системы (рис. 1) в виде диска и однородного стержня, закрепленного в жёстком основании: модель движения с учётом распределённой массы стержня (волновая модель) и модель без учёта распределенной массы.

Твёрдый недеформируемый диск 1 с осевым моментом инерции закреплён в сечении х = 0 стержня 2. До начала движения на диск действует реакция внешней связи в виде момента М0. Под действием момента М0 стержень 2 закручен. При t = 0 происходит разрыв внешней связи диска, реакция внешней связи в виде моментаМ0 исчезает, и начинается движение механической системы.

В работе [4] рассмотрено движение механической системы в виде диска и однородного стержня, закреплённого в жёстком основании (рис. 1), с учётом распределённой массы стержня. Движение поперечных сечений стержня описывается волновым уравнением вида

що 1 Яф р = 0, 0< х</, (1)

сх2 а2 а2 ^

где (р(х, t) - угол поворота поперечного стержня; t - время, а - скорость распространения волны

деформации в материале стержня. Начальные и граничные условия:

при , = 0МХ0)=0,МХ°) = 0 < х<1; (2)

дt 8х GJ„

прих = 0 Jx^2p- = ;прих = I^^ = 0, (3)

р

ЩИ GJ мм ;при х = , МгО

8 г2 р 8 х 81

где <^(0,0) - угол поворота сечения х = 0 при t = 0; 8ф(х,0) / 81 - угловая скорость поперечных сечений стержня при t = 0; 8ф(х,0)/ 8х - относительный угол закручивания поперечных сечений стержня при t = 0; Jx - приведённый момент инерции диска относительно продольной оси; G - модуль упругости 2-го рода материала стержня; Jp - полярный момент инерции поперечного сечения стержня.

Решение волнового уравнения (1) по методу бегущих волн представлено в виде (р{х,^ = /^ - + + х), 0 < х < I,

где / (at — х) - функция прямой волны, распространяющейся в стержне в направлении оси х; х(at + х) - функция обратной волны, распространяющейся в стержне в противоположном направлении.

Дифференциальное уравнение, определяющие параметры формируемой в сечении х = 0 прямой волны, представлено в виде

/ "(£) + «/ '(£) = "«/' (£- 21)+ /" (Л- 21), 0' " 1)21 ^ г ■ 21, г = 1, 2, 3,..., (4)

где % = at ;а = GJp / Jxa2; г- номер интервала времени продолжительностью 21/а. Решение (4) на интервале 0 < % < 21:

/ '(#) = 0с(1 - 2в-а?)/2, в0 = М0/ GJp ,0<#< 21.

Функция х'(4) определена как х'(4) = / 2, 0 21. Угловая скорость сечения х = 0

= а/'(£) + ах'(4) = ав0(1 -е"*), 0 < # < 21. (5)

Относительный угол закручивания в сечениих = 0

^Ф^ = + = 0 <#< 2/. (6)

о х

Рассмотрим теперь модель движения без учёта распределённой массы стержня. Движение механической системы описывается дифференциальным уравнением

/ХФ + РФ + сф = 0, при 1 = 0 ф\^0=0, <р\= (7)

где /х - момент инерции диска относительно оси х; (р - угол поворота диска вокруг оси х; ф - угловая скорость вращения диска; ф - угловое ускорение диска; Рф - сила сопротивления вращению диска; Р - коэффициент сил сопротивления; сф - упругая сила при закручивании стержня. с - крутильная жёсткость стержня; ср0 - начальный угол поворота диска. Уравнение (7) преобразуют к виду

ф + 2п(р + к> = 0, при 1 = 0 ф\ г=0 = 0, (р\(=0= ф0, (8)

где 2п = р/х, к2 = с / /х .

Дифференциальное уравнение (8) имеет следующее характеристическое уравнение:

52 + 2п5 + к2 = 0, 5 =-п + \/п2 -к2 , s2 =-п -Vп2 - к2 . В случае малого сопротивления, когда п < к , решением уравнения (8) является

<р = в-"1 (с1ео^к2 - п2 1 + С^т^к^п2 1), (9)

где С1, С2 - постоянные интегрирования.

Учитывая начальные условия (8), решение (9) и производная ф принимают вид

( _ „ „ _ Л

, (10)

(р=в-п1

- п1

ф = -в

(V к2 - п2 1) + п 81п(Ук2 - п2 1)

у/к2 - п2

( 2 Л

к 8ш(>/к2 -п 2 1)

и к2 —2

(11)

-п- ;

Если силы сопротивления движению настолько малы, что ими можно пренебречь (п= 0), то решения (10) и (11) принимают простую форму:

Ф = ±(р0 с,о$(к1) ,<р = +ф0к $,1п(к1). (12)

Верхние знаки для (р и ф ставятся тогда, когда начальный угол поворота диска ф0 > 0 . Сравним значения угловых скоростей по формулам (12) и (5) на интервале 0 < 1 < 21 / а:

Ф =ф0к8ш(к1), ММ = ав0(1 -в-аа1), 0< 1 < 21 /а. (13)

81

Рассмотрим формулу ф = ф0к 81п(к 1) .Аргумент (к 1) тригонометрической функции является безразмерной величиной, а ф0к имеет размерность рад/с. Крутильная жёсткость стержня, квадрат круговой частоты и круговая частота определяются как

с = О/р /1, к2 = с / / = о/ / их, к = 7о/р / их . (14)

В волновой механике О = а2р (где р- плотность материала стержня; а- скорость звука в материале стержня). Для круглого стержня полярный момент инерции поперечного сечения / = А ■ т^ /2, где г^ - приведённый радиус поперечного сечения стержня; А - площадь поперечного сечения

стержня.

Тогда круговая частота

к =

О/

р —

I/

а рА1 ■ т2 /2 а /

И ™ и (15)

12 / /V/

где рА1 = - масса стержня, /с = • /2- момент инерции стержня относительно продольной оси.

С учётом (15) приобретает физический смысл и произведение ф0к, и аргумент (к1) тригонометрической функции в формуле (13):

(р°к = п = ав°р = и=тр~ = тр = 1' (16)

где в0 =ф011 - относительный угол закручивания поперечных сечений стержня при t = 0; Т = I / а - время распространения волны от сечения х = 0 до сечения х = I; t = I / Т - отношение текущего времени t к времени распространения волны Т по стержню, Jc = Jc / Лх - отношение момента инерции стержня относительно продольной оси х к приведённому моменту инерции Jx диска. Преобразуем формулу ф = ф0к s\n(kt), учитывая (16):

ф =ф0 к 8ш(к0 = ав0„[Тс$,т(^ ?), 0 < ? < 2. (17)

Относительная угловая скорость диска равна

а> = <р / а в0 = ?), 0 < Г < 2. (18)

Рассмотрим теперь в (13) другую формулу

= ав0{1 -в-""), 0 < И < 2, (19)

81

которая описывает скорость вращения диска с учётом распределённой массы стержня. Так как

Jxa2 Jx Jx Г с I с I / а с Т с-

то формула (19) преобразуется к виду

ММ = ав01 - в-Ь-), 0 < ? < 2. (20)

81

Относительная угловая скорость диска с учётом распределённой массы стержня равна

¿5(0, ^ / ав0 = (1 - в-^), 0 < И < 2. (21)

81

Таблица

Значения угловых скоростей на интервале 0 < t < 2 при расчёте по формулам (18) и (21)

Время t Угловые скорости при расчёте по формулам (18) и (21)

Л = 1 Л с = 0,6 Л с = 0,2

по формуле (18) по формуле (21) по формуле (18) по формуле (21) по формуле (18) по формуле (21)

0 0 0 0 0 0 0

0,1 0,09983 0,09516 0,05994 0,05824 0,01999 0,0198

0,2 0,19867 0,18127 0,11952 0,11308 0,03995 0,03921

0,3 0,29552 0,25918 0,17838 0,16473 0,05982 0,05824

0,4 0,38942 0,32968 0,23618 0,21337 0,07957 0,07688

0,5 0,47943 0,39347 0,29256 0,25918 0,09917 0,09516

0,6 0,56464 0,45119 0,34718 0,30232 0,11857 0,11308

0,7 0,64422 0,50341 0,39972 0,34295 0,13772 0,13064

0,8 0,71736 0,55067 0,44986 0,38122 0,15661 0,14786

0,9 0,78333 0,59343 0,49731 0,41725 0,17518 0,16473

1 0,84147 0,63212 0,54177 0,45119 0,1934 0,18127

1,1 0,89121 0,66713 0,58299 0,48315 0,21123 0,19748

1,2 0,93204 0,69881 0,62071 0,51325 0,22864 0,21337

1,3 0,96356 0,72747 0,6547 0,54159 0,2456 0,22895

1,4 0,98545 0,7534 0,68477 0,56829 0,26206 0,24422

1,5 0,99749 0,77687 0,71074 0,59343 0,278 0,25918

1,6 0,99957 0,7981 0,73244 0,61711 0,29338 0,27385

1,7 0,99166 0,81732 0,74975 0,63941 0,30818 0,28823

1,8 0,97385 0,8347 0,76256 0,6604 0,32236 0,30232

1,9 0,9463 0,85043 0,7708 0,68018 0,3359 0,31614

2 0,9093 0,86466 0,77442 0,69881 0,34876 0,32968

Относительное время Рис. 2. Диаграммы угловых скоростей со и оз(0, t): диаграммы 1 и а - при Jc = 1,0; диаграммы 2 и Ь - при Jc = 0,6; диаграммы 3 и с - при /с = 0,2

Результаты расчёта по формулам (18) и (21) теперь можно сравнивать, так как параметры в них аналогичны. В таблице приведены числовые значения относительных угловых скоростей ¿5 и оз(0,t)

при расчёте по формулам (18) и (21) на интервале 0 < t < 2 для отношений моментов инерции стержня и диска /с е (1,0; 0,6; 0,2).

На рисунке 2 приведены диаграммы относительных угловых скоростей ¿5 и оз (0, t) при расчёте по формулам (18) и (21) на интервале 0 < t < 2 для отношений моментов инерции стержня и диска

/с е (1,0; 0,6; 0,2).

Диаграммы 1, 2 и 3 отображают значения угловой скорости ¿5 при расчёте по формуле (18). Диаграммы а, Ь и с отображают значения угловой скорости оз (0, t) при расчёте по формуле (21).

Анализируя диаграммы, заметим, что расчёт угловых скоростей со по формуле (18) и оз (0, t) по формуле (21) в целом отражают характер изменения этих величин на рассмотренном временном интервале. Формула (18) учитывает лишь упругие свойства стержня.Изменение со происходит более интенсивно (диаграммы 1, 2 и 3).

Чем меньше отношение моментов инерции стержня и диска (/с), тем меньше различие результатов расчёта со по формуле (18) и оз(0,t) по формуле (21). Так диаграммы 3 и с практически идентичны.

Формула (21) построена на основе волновой модели динамического процесса [4]. Волновая модель хотя и учитывает распределённую массу стержня, однако для анализа динамики процесса может потребовать описания волновых процессов на множестве временных интервалов (/ = 1, 2, 3,...) длительностью 2Иа, что существенно усложняет процедуру расчёта.

Поэтому в практических расчётах использование модели процесса, описываемой дифференциальным уравнением (7), и решения (10) и (11) могут быть вполне целесообразными. Тем более, что эта модель учитывает и диссипативные свойства механической системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шевченко Ф. Л., Улитин Г. М. О разновидностях крутильных ударов, возникающих при работе буровых установок, и способах их устранения // Совершенствование техники и технологии бурения скважин на твёрдые полезные ископаемые. - Екатеринбург : УГГА, 2001. - Вып. 24. - С. 132-138.

2. Улитин Г. М., Петтик Ю. В. Крутильный удар бурильной колонны при заклинивании режущего инструмента // Науков1 пращ ДонНТУ. Сер1я «Прничо-геолопчна». №7 (135). - 2008. - С. 104-107.

3. Манжосов В. К. Модель вращательного удара по стержню // Вестник УлГТУ. - 2017. -№2. -С.47-50.

4. Манжосов В. К., Самсонов А. А. Модель движения закреплённого стержня с диском при кручении и разрыве связи/ В.К. Манжосов, А.А. Самсонов // Вестник УлГТУ. - 2019. - №2 (86). - С. 25-29.

5. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Москва : Наука, 1985. - 354 с.

6. Zhukov I. A., Dvornikov L. T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston : Create Space, 2015. 130 р.

7. Манжосов В. К. Продольный удар. - Ульяновск :УлГТУ, 2007. - 358 с.

REFERENCES

1. Shevchenko F. L., Ulitin G. M. O raznovidnostyah krutil'nyh udarov, voznikayushchih pri rabote burovyh ustanovok i sposobah ih ustraneniya [On the varieties of torsional shocks arising during the operation of drilling rigs, and ways to eliminate them] // Sovershenstvovanie tekhniki i tekhnologii bureniya skvazhin na tverdye poleznye iskopaemye [Improvement of technology and technology of drilling wells for solid minerals]. Yekaterinburg, UGGA, 2001, Vol. 24, pp. 132-138.

2. Ulitin G. M., Pettik YU. V. Krutil'nyj udar buril'noj kolonny pri zaklinivanii rezhushchego instrumenta [Torsional impact drilling string in case of jamming of the cutting tool] // Naukovi praci DonNTU. Seriya «Prnicho-geologichna» [Nukov Pratsi DonNTU. A series of «Price-Geology»]. no 7 (135), 2008, pp. 104-107.

3. Manzhosov V. K. Model' vrashchatel'nogo udara po sterzhnyu [Model rotational hitting the rod] // Vestnik UlGTU [Bulletin of UlSTU], 2017, no 2, pp. 47-50.

4. Manzhosov V. K., Samsonov A.A. Model' dvizheniya zakreplennogo sterzhnya s diskom pri kruchenii i razryve svyazi [Model of motion of a pinned rod with a disk torsional and disconnection] // Vestnik UlGTU [Bulletin of UlSTU], 2019, no 2 (86), pp. 25-29.

5. Alimov O. D., Manzhosov V. K., Epem'yanc V. E. Udap. Rasppostpanenie voln defopmacij v udapnyh sistemah [A shot. Propagation of deformation waves in shock systems]. Moscow, Nauka, 1985, 354 P.

6. Zhukov I.A., Dvornikov L.T. New constructive solutions of anvil-blocks of percussion mining machines. North Charleston, Create Space, 2015, 130 p.

7. Manzhosov V. K. Prodol'nyj udar [Longitudinal impact]/ Ulyanovsk, UlSTU, 2007, 358 p.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара [e-mail: v.maniosov@ulstu.ru].

Самсонов Александр Анатольевич, аспирант кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи и патенты в области создания механизмов различного технологического назначения [e-mail: saa@sosny.ru].

Поступила 01.07.2019 г.