CC BY
38
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Костевич Б.О., Хайдуров В.В. Bapia^ÜHUü nidxid до обробки зображень з використанням р'внянь математичноi фiзики //Ф'вико-математична осв'та : науковий журнал. - 2016. - Випуск 2(8). - С. 49-60.
Kostevich B.O, Haydurov V.V. Variational approach to image processing using the equations of mathematical physics // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 2(8). - Р. 49-60.
УДК 519.632
Б.О. Костевич, В.В. Хайдуров
ПВНЗ «беропейський ушеерситет», Черкаська ф1л1я, УкраУна bohdan_95@hotmail.com, allif@rambler.ru
ВАР1АЦ1ЙНИЙ П1ДХ1Д ДО ОБРОБКИ ЗОБРАЖЕНЬ З ВИКОРИСТАННЯМ Р1ВНЯНЬ МАТЕМАТИЧН01 Ф1ЗИКИ
ВСТУП
Задач! обробки зображень, як розглядаються у данш роботу математично описуються задачами Bapia^HHoro числення. Останн за допомогою рiвняння Ейлера-Лагранжа зводяться до розв'язання крайовоТ зaдaчi для piвняння Пуассона.
Рiвняння Пуассона - диференщальне piвняння в частинних пoхiдних. З його допомогою можна описати деяк фiзичнi процеси i явища, там як стацюнарне поле температури i електростатичне поле. Загальний вигляд piвняння Пуассона мае наступний вигляд:
А/ = g, А - оператор Лапласа. Невщомою функцiею у цьому piвняннi виступае функцiя f. Найчаслше piвняння розв'язують у певнiй обмеженш oблaстi. У такому випадку, щоб розв'язок piвняння Пуассона був однозначно визначений, пoтpiбнo додати кpaйoвi умови. Ц умови бувають трьох видiв: Дирихле, коли обмеження накладаються на саму функщю / на границ oблaстi; Неймана, коли умови накладаються на ТТ пoхiднуf; змшанк
S Дирихле: / = /1 ;
J lan ■> Ian
S Неймана: f' = g* ;
J Ian о |an
S змшаш.
Тут an - границя розглядуванот oблaстi, а / *, g * - вiдoмi функци. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Вщновлення зображення по векторному полю градieнтiв
На даний момент для великого спектру завдань обробки зображень запропонован методи, що мiстять в якoстi одного з етатв побудову та piшення piвняння Пуассона. [11] Наприклад, до таких завдань вщносяться стиснення HDR-зображень, матування зображень, редагування зображень.
Незважаючи на piзнoмaнiтнiсть метoдiв, piвняння Пуассона в цшому pядi з них застосовуеться для виршення одшеТ i лет ж задачу а саме вiднoвлення зображення по гpaдiентнoму полю. [17] Розглянемо, цей ключовий етап докладно.
Нехай зображення П - замкнена пщмножина R2, з границею an (рис.1). Нехай f- невiдoмa скалярна функщя, задана на П. Нехай V - векторне поле, задане на П. Необхщно вiднoвити функцш f векторне поле гpaдiентiв якот piвнo V.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Функщя V не обов'язково е штегрованою. Тобто може не кнувати такоТ функцГГ f, що V/ = V. Це випливае з того, що для f повинна виконуватись умова
V 2/ = V2/
дхду дудх
Це значить, що для штегрованосл V необхiдна умова
ду дх
що зовсiм не обов'язково для довшьноТ функцГГ V. Тодi можна знайти таку потенщальну функцiю /, градiент якоТ найбiльш близький до V. Тобто потрiбно мiнiмiзувати наступний функцюнал:
ЦF(V/,v)dxdy, F(V/,v)=|V/-V = (|--
/-v. Г Jd/ V
dx
v
— V
dy y
Функцiя /, MiHiMi3ye отриманий iнтеграл та повинна задовольняти рiвняння Ейлера-Лагранжа:
dF д dF d dF
= 0.
д/ дх д/ ду д/ При замiнi в останньому рiвняннi виразу ¥ отримаемо наступну формулу;
(дЦ_ dVxWd/_ dVO-n / £L-dv^ dV
2
v дх2 dx
+ 2
= 0, + = —^ +--y
dy dy I dx2 dy2 dx ddy
В результатi розв'язання зводиться до вщомого рiвняння Пуассона
А/ = divv.
Для останнього рiвняння треба додати крайовi умови наступних видiв:
✓ Дирихле: у д0= у * д0;
, „ гу\ *|
✓ Неймана: / I = е ;
■> 1дп 6 Ьа'
✓ змiшанi.
У даному випадку да - границя розглядуваноТ областi, а /*, - певнi вiдомi функци. У випадку граничних умов Неймана розв'язок рiвняння Пуассона буде визначений з точшстю до константи. До того ж, для кнування розв'язку при граничних умовах Неймана штеграл у функцш у , ^ по контуру границ повинен бути рiвний нулю.
Зручшсть використання рiвняння Пуассона заключаеться в iснуваннi досить ефективних алгоритмiв його чисельного розв'язку у дискретному випадку.
Таким чином, при використанш рiвняння Пуассона, можна вiдновити одноканальне зображення iз векторного поля градiентiв. У випадку кiлькох каналiв, кожен з них обробляеться окремо.
Тепер перейдемо до огляду конкретних алгоритмiв, як вимагають використання рiвняння Пуассона.
В рiзних статтях автори пропонують iнструменти для обробки зображень. Ва вони основaнi на розв'язaннi рiвняння Пуассона. Так як методи працюють з областю, яка е частиною деякого зображення, то для отримання точноТ вiдповiдi використовуються умови Дирихле: на границ шукана функцiя повинна ствпадати з вихiдними значеннями пiкселiв. У випадку, коли область торкаеться границ самого зображення, грaничнi умови е змшаного типу.
Безшовне клонування
Цей шструмент дае можливiсть вставити частину одного зображення в шше так, щоб не було пом^но швiв. 1нструмент нiби пiдлaштовуе частину зображення, яка вставляеться пiд шшу частину
Q
вихщного зображення. Насправдi, для отримання результату використовуеться тiльки градieнтне поле зображення, яке вставляеться. Таким чином отримуеться рiвняння Пуассона з граничними умовами Дирихле:
А/ = Аg на О,
/ = /1
де g - вщоме зображення, яке вставляеться в область О, а /* - зображення, в яке вставляемо. Розв'язуючи поставлену задачу, можна вщразу розв'язувати кшька наступних задач:
^ безшовна вставка нових елеменлв у зображення. Даний шструмент застосовуеться для створення
колажiв та iнших методiв художньоТ обробки зображень та фотографш; ^ придушення небажаних артефактiв. На областi з небажаними об'ектами кошюються шматочки чистоТ текстури з iнших мiсць того ж зображення. Таким чином можна робити ретушування та вiдновлення фотографш.
Змшування градieнтiв
При клонуваннi област одного зображення в iнше шяк не враховуеться частина зображення на яку виконують вставку. У деяких випадках це може призвести до помггних артефаклв, таких як продовження всередину оброблюваноТ областi рiзких перепадiв яскравостi на границi. [1;4;6] Часлше за все пропонують пiдхiд, який виршуе проблему на рiвнi градiентiв. Векторне поле градiентiв, яке полм буде перетворюватися в зображення ршенням рiвняння Пуассона [15], вважаеться як максимум в кожнш точцi градiентiв вихiдного зображення i зображення, яке вставляють:
с у) = \У/'^ У^ 1У/'^ У) > 'Vg ^ У^
у(х, у ) = ■
I |Vg (х, у )|, такше.
Таким чином, враховуються все бiльшi перепади яскравостi [12]. Такий шструмент (клонування з попередшм змшуванням градiентiв) дозволяе розв'язувати ктька задач:
^ Вставка в область, захоплюючу частину якогось об'екта. Якщо не враховувати градiент вихiдного зображення, що вiдповiдае за кордон цього об'екта, вш просто розмиеться. Якщо ж застосувати техшку змiшування градiентiв, об'ект збережеться; ^ вставка зображень з дiрками. Якщо не хочеться дуже точно видтити складний об'ект перед клонуванням, можна просто застосувати техшку змшування градiентiв;
Редагування областей зображення
lншi iнструменти працюють не з клонуванням, а з редагуванням областей. [7] Редагування вщбуваеться на рiвнi градiентiв або крайових умов, а кшцевий результат перетворень знаходиться ршенням все того ж рiвняння Пуассона. [13]
^ Локальнi змши освiтлення. Перетворюючи градiенти за спещальним законом можна домогтися як
збтьшення так i зменшення освiтленостi об'екта; ^ Локальнi змiни кольору. По рiзному перетворюючи градiенти в рiзних колiрних каналах, можна перефарбовувати видмеш об'екти.
Варто вiдзначити, що запропонований даний алгоритм застосовний не ттьки для стиснення HDR-зображень. Вш також дае непоганi результати на звичайних картинках, роблячи бтьш пом^ними деталi в занадто темних або занадто свтлих областях.
Змiшування зображень (ефект ночО
Тут використовуеться метод змшування двох зображень, знятих з рiзним освiтленням (наприклад, вдень i вночi), для отримання бiльш iнформативного зображення. Результат при цьому, щоправда, виходить нереалiстичний. Крiм можливого застосування в мистецтв^ метод може застосовуватися в системах спостереження, для полшшення зорового сприйняття картинки. [1; 2; 3; 16]
Отже, нехай е фонове зображення, зняте в денний час, i динамiчна шчна сцена. Алгоритм працюе з векторними полями градiентiв. Сильш градiенти шчноТ картинки залишаються, а решта замiнюеться на градiенти з денного зображення. Полм за допомогою рiвняння Пуассона вщновлюеться результуюче зображення. [15] Цей пщхщ можна розширити, залишаючи градiенти шчноТ картинки в тих мiсцях, де сцена змшюеться (для послiдовностi зображень). Таким чином динамiчнi об'екти будуть братися з шчного зображення, а статичш з денного, а ршення рiвняння Пуассона зробить шви непом^ними.
Видалення артефактiв зображення з використанням проекцм градieнта
Методи працюють з двома зображеннями одшеТ сцени: знятим зi спалахом i без нього. У багатьох випадках частина сцени краще виходить в одному з цих зображень, а частина в шшому. ^м того кожне
зображення може мктити своТ типи небажаних артефактiв, таких як вщблиски i вiддзеркалення. Основна мета полягае в отриманнi найбiльш придатною для людського сприйняття картинки. Для цього будують математичну модель осв^лення. Далi вже можна розглядати ктька типiв конкретних завдань. [8; 9] Для кожного з них можна запропонувати свш оптимальний метод змшування градiентiв зображень, виходячи з моделi освiтлення. Заключна частина у всiх методiв однакова: результат вiдновлюеться рiвнянням Пуассона. Щоб мати можливiсть використовувати як крайову умову Дирихле, автори обводять зображення шаром з нульових пiкселiв. Варто також вщзначити, що всi методи не працюють тод^ коли на одному i тому ж мкц присутнi артефакти (нехай рiзнi) на обох зображеннях.
Практична частина
На сьогодшшнш день система Matlab, зокрема пакет прикладних програм Image Processing Toolbox, е найбтьш потужним шструментом для моделювання i дослщження методiв обробки зображень. Вш включае велику кiлькiсть вбудованих функцш, що реалiзують найбiльш поширенi методи обробки зображень. Розглянемо основы можливост пакета Image Processing Toolbox.
Для зчитування зображення та представлены його у виглядi пал^ри, використовуеться функщя imread. В результатi використання даноТ функци вихiдне зображення буде представлено у виглядi тривимГРНОТ матрицi.
Приклад рядшв програми для зчитування зображення наведено нижче:
Im = imread('Cat.jpg'); % зчитування зображення (результат зчитування тривимiрна матриця)
Im2 = imread('Dog.jpg'); % зчитування зображення (результат зчитування тривимiрна матриця)
Для створення графiчного файлу, який е результатом обробки тим чи шшим методом, можна використовувати функци imwrite. Приклад фрагменту коду для роботи даноТ функци наведено нижче:
imwrite(Im_rez,'Резул ьтат.]^');
Як бачимо, що дана функщя приймае два параметри. Перший параметр - це тривимiрна матриця, яка м^ить штенсивносп пiкселiв обробленого зображення. Другим параметром е назва файлу з його розширенням. Пкля цього результат обробки (сам графiчний файл) буде створено у поточнш директори.
Остання функщя, яка використовувалась для роботи з зображеннями - це функщя вщображення зображення у графiчному вшш середовища MatLab. Це функщя imshow. Функщя може приймати як i назву зображення, так i тривим!рну матрицю, яка характеризуе iнтенсивнiсть кожного ткселя.
Для того, щоб розв'язати вс зaдaчi, як було описано, потр!бно спочатку розв'язати чисто математичш аналоги моделей вщповщних задач. Постановки розглядуваних задач наведено нижче. Перша з них мае у загальному випадку наступне формулювання.
Знайти функщю f{x,y) за якоТ нижченаведений функцюнал мае глобальний мЫмум.
J if )=Я F (Vf, v)dxdy ^ min,
F(V/,v)=||V/,v|| = [/ - v„ У + [ 5 ^
— v
5y y
2
5F 5 5F 5 5F
-------= 0 - р1вняння Еилера-Лагранжа
5/ 5x5/x' dyf'
[ 52/ 5vx \ (52/ dvy ^ 52/ , 52/ _dvx dv.
v 5x 5x
+ 2
= 0, + = +
5y 5y J 5x 5y 5x 5y
Граничн1 умови виду:
^ Дирихле (першого роду): / = /
l5Q I5Q2
*
^ НеИмана (другого роду): /'|SQ = g lgQ.
*
^ p°6¡Ha (третього роду): af\ 5Q + ßf '15Q = Ф .
Тепер переИдемо до задач, як1 мають конкретн1 значення. Перша задача мае наступне формулювання.
Знайти /(x) для якоУ
i
J (/', v) = j(/'—v )2 dx ^ min ,
Q
2
де v = бж2 cos 2ж3, f (о) = f (l) = 0.
Розв'язок
Використовуемо рiвняння: dF - — dF = 0, де F = (f'—v)2 .
df dx df
i d2 f dv )
2
dx dx
-0 d2f dv dx2 dx
dv
V V
(бж2 cos2^x) ' = бщ2xcos2^x3 — блx4 sin 2ж3 ) = 12^x(cos2^x3 — 3ж3 sin 2лx3)
dx и \ /v /
Остаточно маемо:
d 2f dx2
12^x(cos2^x3 — 3nx3 sin 2rn3) f (о) = f (l)= 0.
Аналiтичний розв'язок для nepeBip^: f (x) = sin 2^x3.
Figure 1
Qdid-i Cj < 4 fj ® 45 Л -1 a | □ 1 on
File Edit View Insert lools Desttop Window Help
-Аналггичний вираэ шуканоУ функци _______ _Вщновлена функцю f(x)
0.1 0.2 0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.B 0.9 1
III,
-функцЫ VK(X)
II
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Рис. 2. Чисельний розв'язок поставленозадач!
Аналопчним чином можна записати задачу для двовимiрноТ обласп. Суть ТТ практично така сама i звучить ТТ формулювання наступним чином. Знайти функцiю ^ за якоТ функцiонал набувае глобального мЫмуму, при умовi, що функци V та V нам вщомг Задача ставиться наступним чином.
Знайти
f (x, y),
для яко1
11 11 J (f ) = Я F (Vf, v )dxdy = JJ
о 0
0 0
f
dx
— vx I +
df dy
—v
dxdy ^ min,
де
= ж(у — 0.5)cos(^(x — 0.5)(y — 0.5)), vx = n(x — 0.5)cos(^(x — 0.5)(y — 0.5)). f (0, y ) = — sin ^^, f (1, y ) = sin ^i^05,
2
f (x,0) = — sin , f (x,i) = sin *(x — 0.5)
df
Розв'язок
J (f ) = Ji F (Vf, v )dxdy = JJ
0 0 0 0
d2 f dv
dx2 dx
f — vx I + dx
2
V"
dy
—v
dxdy ^ min,
dF d dF d dF
d2f dvy d2f t d2f_ dvx , dvy
df dx dfx' dy df.
= 0 , — | + 2|^r —= 0, ^ + ^ = + 11^.
dy dy
dx dy dx dy
= n(y — 0.5)cos(^(x — 0.5)(y — 0.5)), vx = ^(x — 0.5)cos(^(x — 0.5)(y — 0.5)).
2
2
v
x
1 1
v
x
c) dv
- -я2 (x - 0.5)2 sin (n(x - 0.5)(y - 0.5)), - -я2 (y - 0.5)2 sin (n(x - 0.5Ïy - 0.5)).
-x dy
Остаточно маемо
52
-2 f -2 f 21 -F + --П ((X
((x - 0.5)2 + (y - 0.5)2 )sin (n(x - 0.5)(y - 0.5)), (x, y )e [0;l]2,
f (0, y )-- sin ^^, f (1, y )- sin
2
2
f (x,0)--sin ^(x - 0.5), f (x,l)- sin ^x-05)
Нижче на рис.3 показано чисельний розв'язок поставлено! варiацiйноï задачу що е i розв'язком граничноУ задачу до якоУ варiацiйна задача була зведена. Зверху - поверхня, яка е розв'язком, а знизу градiентне поле з двох функцш, як спочатку були задан за умовою задачк
Рис. 3. Чисельний розв'язок поставленоÏзадачi
Задача безшовного клонування 3i змшуванням rpaAÏeHTÏB
Задачi безшовного клонування передбачають те, що певна частина зображення буде вставлена в шше зображення таким чином, щоб не було видно швiв. У даному випадку задача розв'язуеться переходом вщ варiацiйноï постановки задачi за допомогою рiвняння Ейлера-Лагранжа до крайовоУ задачi.
Постановка задачi наступна. Потрiбно знайти таку функщю p(x) на промiжку вщ 1/3 до 2/3, яка дае функцюналу глобальний мiнiмум на цьому промiжку, причому функцiя V також е заданою. Граничнi умови тут е теж умови першого роду.
Тепер слщ зазначити, що функщя px) - це результат вставки зображення в зображення, функщя f (x), x e[0;l] е зображенням, у яке виконуеться вставка шшого зображення. Функщя V - е градiентом зображення, яке потрiбно вставити. В даному випадку вважатимемо, що все зображення - це вiдрiзок з кшцями 0 та 1, а зображення яке потрiбно вставити, вставляемо в область вщ 1/3 до 2/3. Математична модель даноУ задачi мае наступний вигляд. Знайти p(x ), для якоУ
2/3 2/3
J (р, v ) - j F (р, v)dx - j (p'-v )2 dx ^ min
1/3
1/3
де v(x)-ncosnx , p(l/3)- f(l/3), р(2/3)- f (2/3), f (x)- 2 - cos2nx, x e[0;l].
Розв'язок
2
/ ? \ ? dp dv ^ d p dv dv ,
- 0, —J - —, — - (я cos nx dx dx dx
у dx dxj
)--
я2 sin Ttx .
Остаточно маемо:
Ц--n sm ,x, q 11-f f l W21-f ili.
dx
Рис. 4. Чисельний розв'язок поставленоÏзадачi Аналопчним чином можна поставити двовимiрну тестову задачу. Знайти p(x, y), для яко'|
2/32/3
2/32/3
J(Vp,v) = J JF(Vp,v)dxdy = J J
1/3 1/3
1/3 1/3
dp
dx
- vx I +
dp
dy
-v
dxdy ^ min,
де v = gx vy = gy g(x y) =sin (x(x - 05Ху - 0-5))
з граничними умовами:
p(1/3,y) = /(1/3,y), (p2/3,y) = /(2/3,y), p(x,1/3) = f(x,1/3), p(x,2/3) = f(x,2/3),
/(x, y) = sin (ж(л - 0.5)(y - 0.5))
Розв'язок
dvx = dg = ж(у - 0.5)cos(^(x - 0.5)(y - 0.5)), ^ = dg = ф - 0.5)cos(.(x - 0.5)(y - 0.5)).
dx dx dy dy
dvy dg
Використовуючи рiвняння Ейлера-Лагранжа, матимемо
d( + dp = -.2((x - 0.5)2 + (y - 0.5)2)sin(.(x - 0.5)(y - 0.5)), (x,y)
1 2
3;3
3,y J = f [ 3,y J^fy J = f [ f,y J,^ J = f [ 4 j,^2 J = f [ x,2 J.
На рис. 5 показано вставку зображення g у зображення /. Як бачимо, зображення / модифтувалось своею серединою в результат процедури вставки шшого зображення.
Рис. 5. Чисельний розв'язок поставленоÏзадачi 55
2
2
Задача про редагування обласп зображення з використанням рiвняння Пуассона
Що стосуеться задачi про редагування обласп, слiд вiдзначити, що за допомогою граничних умов можна змшювати штенсившсть пiкселiв, що приводить до створення рiзних ефектiв, таких як, ефект ночi та ефект змши кольоровоТ гами частини зображення.
Рис. 6. Приклад створення ефекту ночi
Тестування розроблених програм проводилось на рiзних зображеннях з рiзними розмiрами. Приклади деяких з них наведено нижче.
Звкно ж, що для процесу вщновлення зображення по полю градiентiв необхiдно мати шформащю про граничнi умови для даного зображення. Граничш умови, як вже було сказано, е рiзними. Вибiр граничних умов призводить до вщповщних ефектiв, наприклад таких як ефект ноч^ змiна кольоровоТ палiтри зображення, створення освтлювальних ефектiв i тому подiбнi ефекти. За допомогою рiвняння Пуассона можна фактично редагувати обласп зображення, видаляти небажанi елементи зображення та замшювати на потрiбнi.
Рис. 7. Приклад в!дновлення зображення по полю град'ент'1в Нижче наведена обробка ще одного зображення рiвнянням Пуассона.
Слщ також вщм^ити, що при змшуванш градiентiв можна також видалити небажаш артефакти при обробцi зображень. Зокрема там артефакти можуть виникнути при безшовному клонуванш зображень.
На основi поставлено! задачi можна вирiшувати iншi задачi, такi як перефарбовування зображення. Прикладом тако! задачi е стандартна задача вiдновлення зображення по його градieнтному полю з ефектом ночк Для того, щоб отримати такi граничнi умови, потрiбно вiд 255 вiдняти штенсивносл пiкселiв на границi областi. Слiд звернути увагу на те, що це не е процедурою швертування кольорiв у всiх точках зображення.
Рис. 8. Створення ефекту ноч/'
На рис. 9 показано ту ж саму процедуру вщновлення зображення по полю його градiентiв. Граничш умови злiва та зверху стандарты, а знизу та справа - задано граничш умови Неймана, а саме, рiвнiсть нулю похщноТ. Результат наведений на рис. 9.
Рис. 9. Створення зм'1ни свiтлового ефекту Безшовне клонування област зображення
Тепер переходимо до ново! пщзадач^ яка спрямована на вставку меншого зображення у бшьше без швiв. Для прикладу були взял т самi зображення, що i ранiше.
Як бачимо на рис. 10 та рис. 11, що у вихщне зображення було виконано вставку чотирьох однакових зображень у рiзнi частини вихщного зображення.
Рис. 10. Безшовне клонування зображень
Рис. 11. Безшовне клонування зображень Безшовне клонування зi змшуванням градieнтiв
При вставцi зображення при звичайному безшовному клонуваннi не було враховано, яке зображення знаходиться шд тим, яке будемо вставляти. У цьому випадку виконуеться усереднення градieнтiв зображення, яке вставляемо та зображення, яке знаходиться шд тим, яке будуть вставляти у вихщне зображення. Як бачимо, що вставленi зображення стали трохи тьмяшшк Цей ефект був отриманий в результат змшування (усереднення) градiентiв зображень.
Рис. 12. Безшовне клонування зображень 3i зм'1шуванням град'1ент'1в
Рис. 13. Безшовне клонування зображень з/' зм'!шуванням градieнтiв
ВИСНОВКИ
В ходi виконання роботи були розроблеш програми для обробки зображень за допомогою рiвняння Пуассона. Для розв'язання рiвняння Пуассона у кожнш задачi використовуеться метод скшченних елементiв та класична 5-точкова рiзницева схема. Система лiнiйних алгебра'мних рiвнянь, яка отримуеться у результатi дискретизацп рiвняння Пуассона розв'язуеться методом Зейделя. Метод Зейделя також мае ряд модифтацш для прискорення збiжностi чисельного розв'язку СЛАР.
Список використаних джерел
1. Amit Agrawal, Ramesh Raskar, Shree K. Nayar, Yuanzhen Li, Removing photography artifacts using gradient projection and flash-exposure sampling, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.24 n.3, July 2005
2. Aseem Agarwala, Mira Dontcheva, Maneesh Agrawala, Steven Drucker, Alex Colburn, Brian Curless, David Salesin, Michael Cohen, Interactive digital photomontage, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.23 n.3, August 2004
3. Daniel Leventhal, Bernard Gordon, Peter G. Sibley, Poisson image editing extended, ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, July 30-August 03, 2006, Boston, Massachusetts
4. Dong Xu, Hongxin Zhang, Qing Wang, Hujun Bao, Poisson shape interpolation, Proceedings of the 2005 ACM symposium on Solid and physical modeling, p.267-274, June 13-15, 2005, Cambridge, Massachusetts
5. Graham D. Finlayson, Steven D. Hordley, Mark S. Drew, Removing Shadows from Images, Proceedings of the 7th European Conference on Computer Vision-Part IV, p.823-836, May 28-31, 2002
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Пуассона
7. J. Sun, J. Jia, C.-K. Tang, and H.-Y. Shum. Poisson matting. ACM Trans. Graph., 23(3):315-321, 2004
8. James McCann, Nancy S. Pollard, Real-time gradient-domain painting, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.27 n.3, August 2008
9. Jianbing Shen, Xiaogang Jin, Chuan Zhou, Charlie C. L. Wang, Technical Section: Gradient based image completion by solving the Poisson equation, Computers and Graphics, v.31 n.1, p.119-126, January, 2007
10. Lena Gorelick, Meirav Galun, Eitan Sharon, Ronen Basri, Achi Brandt, Shape Representation and Classification Using the Poisson Equation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, v.28 n.12, p.1991-2005, December 2006
11. Michael Kazhdan, Hugues Hoppe, Streaming multigrid for gradient-domain operations on large images, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.27 n.3, August 2008
12. Michael Kazhdan, Matthew Bolitho, Hugues Hoppe, Poisson surface reconstruction, Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing, June 26-28, 2006, Cagliari, Sardinia, Italy
13. O. Sorkine, D. Cohen-Or, Y. Lipman, M. Alexa, C. Rossl, H.-P. Seidel, Laplacian surface editing, Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing, July 08-10, 2004, Nice, France
14. Patrick Perez, Michel Gangnet, Andrew Blake, Poisson image editing, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.22 n.3, July 2003
15. Raanan Fattal, Dani Lischinski, Michael Werman, Gradient domain high dynamic range compression, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.21 n.3, July 2002
16. Ramesh Raskar, Adrian Ilie, Jingyi Yu, Image fusion for context enhancement and video surrealism, ACM SIGGRAPH 2005 Courses, July 31-August 04, 2005, Los Angeles, California
17. Seamless image stitching in the gradient domain by Anat Levin, Assaf Zomet, Shmuel Peleg, Yair Weiss — 2004 — In Eighth European Conference on Computer Vision (ECCV 2004)
18. T. Georgiev. Covariant derivatives and vision. In ECCV, pages IV: 56-69, 2006
19. Yizhou Yu, Kun Zhou, Dong Xu, Xiaohan Shi, Hujun Bao, Baining Guo, Heung-Yeung Shum, Mesh editing with poisson-based gradient field manipulation, ACM Transactions on Graphics (TOG), v.23 n.3, August 2004
20. Захаров Е.В. Методическое пособие по курсу «Уравнения математической физики». Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик, М: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2003.
Анота^я. Костевич Б.О., Хайдуров В.В. Варiацiйний nidxid до обробки зображень з використанням рiвнянь математично/ фiзики.
Р'вняння Пуассона використовуеться у багатьох напрямах науки i техн!ки. Не дивлячись на те, що рiвняння Пуассона !сторично виникло в процес! розв'язання задач математично)' фiзики, воно знаходить все бльше застосовуеться i в iнших областях, у тому числi в област! обробки зображень. За недавнй час у и/й сферi з'явилася досить велика кльксть серйознихроб!т, як пропонують алгоритми з використанням рiвняння Пуассона у найр'зномаштн'ших завданнях. У роботi були розглянут! наступн! задач!: задача про ыдновлення зображення по полю град!ент!в, задача безшовного клонування, задача клонування зi зм!шуванням градiентiв зображень, задача про редагування област '1 зображення, задача про створення ефекту ноч! та зм'!ни осв!тлюваност!. Також досл!джено основний принцип переходу в!д вар'ацшно)' постановки задач'! при обробц! зображень до крайово)' задач'! з використанням самого рiвняння Пуассона. Реалiзовано Ыш'! задачi обробки зображень р'внянням Пуассона у середовищi MatLab. Кожна з розглянутих задач використовуе вар!ац!йний п'!дх'!д для отримання шуканого розв'язку.
Ключовi слова: р!вняння Пуассона, квадратичний функщонал, поле град!ент!в, ыдновлення зображення по його полю град!ент!в.
Аннотация. Костевич Б.А., Хайдуров В.В. Вариационный подход к обработке изображений с использованием уравнений математической физики.
Уравнения Пуассона используется во многих направлениях науки и техники. Несмотря на то, что уравнения Пуассона исторически возникло в процессе решения задач математической физики, оно находит все большее применение и в других областях, в том числе в области обработки изображений. За недавнее время в этой сфере появилось достаточно большое количество серьезных работ, которые предлагают алгоритмы с использованием уравнения Пуассона в самых задачах. В работе были рассмотрены следующие задачи: задача о восстановлении изображения по полю градиентов, задача бесшовного клонирования, задача клонирования со смешиванием градиентов изображений, задача по редактированию области изображения, задача о создании эффекта ночи и изменения освещенности. Также исследовано основной принцип перехода от вариационной постановки задачи при обработке изображений к краевой задаче с использованием самого уравнения Пуассона. Реализовано другие задачи обработки изображений уравнением Пуассона в среде MatLab. Каждая из рассмотренных задач использует вариационный подход для получения искомого решения.
Ключевые слова: уравнение Пуассона, квадратичный функционал, поле градиентов, восстановления изображения по его полю градиентов.
Abstract. Kostevich B.O, Haydurov V.V. Variational approach to image processing using the equations of mathematical physics.
Poisson's equation is used in many areas of science and technology. Despite the fact that the Poisson equation historically occurred in the solutions of mathematical physics, it is increasingly being used in other fields, including the field of image processing. During recent times in this area there was quite a lot of serious work, which offer algorithms using the Poisson equation in the most problems. The paper addressed the following problems: the problem of reconstructing the image on the gradient field, the task seamless cloning, cloning problem with mixing image gradients, the task of editing the image area, the problem of creating a night-light effect and change. Also it studied the basic principle of a transition from the variational formulation of the problem in image processing to the boundary value problem using the Poisson equation itself. Realized other Eq image processing tasks Poisson in MatLab environment. Each of the considered problems using variational approach to obtain the desired solution.
Keywords: Poisson equation, quadratic functional, field gradients, image restoration in his field gradients.
