Підхід до розв’язання нестаціонарних задач математичної фізики з нелокальними умовами Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК517.95:519.633 П1ДХ1Д ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ЗАДАЧ MATEMAT^HOÏ Ф1ЗИКИ З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ

ДУБА Т.В., КОЛОСОВА С.В._

Розглядаеться застосування проекцiйного методу Бубнова-Гальорк1на до початково-крайово1 задачi для нестацiонарного р1вняння теплопровiдностi з нелокальною умовою. Для таких задач важливим е питання про вибiр координатних функцш, на яке ми намагае-мося дати вщповщь. Вступ

Актуальшсть досл1дження. Велика кшьюсть явищ у р1зних областях науки i техтки достат-ньо повно може бути описана за допомогою диференщальних рiвнянь у частинних похiдних, точнi розв'язки яких вдаеться отримати для до-сить вузького класу задач. У данш робот розглядаеться застосування проекцшного методу Бубнова-Гальоркiна до початково-крайово1 зада-чi теорiï теплопровiдностi з нелокальною (некла-сичною) умовою (у нелокальних граничних умо-вах задаеться зв'язок значень розв'язку та його похщних у рiзних точках граничних та внутрш-нiх многовидiв). Такi нелокальш умови зустр> чаються досить часто, наприклад, у задачах, що описують процес дифузiï частинок у турбулент-нiй плазмi, у процесах розповсюдження тепла у тонкому нагр^ому стержш, якщо задано закон змiни загальноï кiлькостi тепла стержня, у еко-номiчних задачах з рiвнянням грошових накопи-чень тощо.

Метою даноï роботи е розробка методу чисель-ного аналiзу для початково-крайовоï задачi теорiï теплопровiдностi з нелокальною умовою. Застосування проекцшного методу Бубнова-Гальоркша дозволяе отримати розв'язок у анал> тичному виглядi, що при проведенш обчислюва-льних експериментiв з рiзними даними може допомогти защкавленим структурам робити про-гнози та розробляти стратепю свое1' поведiнки. 1. Постановка задачi Розглянемо початково-крайову задачу:

du

д 2u Sx2

- h(u - u0) + f(x,t) =

dt

(1)

Vx e (0,1), t > 0,

It=0

= ф(x ),

u|x=0 = 0, J u(x,t)dx = K(t), (2)

тут u(x,t) - температура точки x у момент часу t; ф(х) - розподiл температур в точках стержня в початковий момент часу t = 0 ; a2 = const - кое-

фiцieнт температуропровiдностi; h = — = const;

cp '

p - густина маси; c - питома теплоемнють; а -коефщент теплообмiну мiж поверхнею стержня та навколишшм середовищем з температурою u0; K(t) - загальна кшьюсть тепла стержня у момент часу t [1, 2]. Шукаемо розв'язок задачi (1), (2) u(x,t) е С(В), В = {(x,t)|0 < x < l, t > 0} . При цьому повинш виконуватися умови узго-дження

ф(0) = 0, j ф (x)dx = K(0) . (3)

0

У задачi (1), (2) зробимо замшу:

u(x,t) = u(x,t) + W(x,t), (4)

2x

W(x,t) = -¡гК(1), (5)

що приведе до наступно! задачi з однорiдними крайовими умовами:

д2 и

ди

a2—--h(u-u0) + F(x,t) = —

дх'

dt

(6)

Vx e (0,l), t > 0,

i|t=0 = ф(x), U x=0 = 0, Ju(x,t)dx = 0, (7)

Ф« = ф(x) --^K(0),

де

2x,

7

2hx,

2x,

F(x,t) = f(x,t) 12—K(t)-yK'(t).

2. Побудова алгоритму розв'язання задачi за допомогою методу Бубнова-Гальоркiна

Зпдно з методом Бубнова-Гальоркiна [3, 4] на-ближений розв'язок задачi (6), (7) шукаемо у виглядi

Un(x,t) = Ё ak(t)фk(x),

(8)

де ф1, ф2,..., фп- координатнi функцiï (кожна Ф^) с D(A)- областi визначення оператора A, вiдповiдного до задачi (6), (7) операторного piB-няння, при будь-якому п ф1,...,фп е лiнiйно не-залежними, послщовнють ф1,...,фп е повною у гiльбеpтовому пpостоpi L2(0,1); тут

Au = a2^-h(u-u0), D(A) = {и|ueC2(B), Sx

ueC(B), u e L2 (0,1) Vt > 0, u(0,t) = 0, i

Ju(x,t)dx = 0 Vt > 0}).

0

Пpиpiвнюючи нулевi скалярний добуток вiдхилу piвняння задачi (6), (7) до кожноï з координатних функцш ф1,...,фп, маемо:

a

d2 и

du

(a2 —f--h(un -uo) + F(x,t)- —Ф]) =

dx dt

d2 n n

= a2(^"2 Z ak(t)Фk, Ф]) - h(Z ak(t)Фk, Ф]) -

dx k=1 k =1

д n

-( Л Z ak (t)Фk ' Ф]) + (F + Ч>, Ф]) = 0, j = 1,-,n-

dt k =1

Звiдси отримуемо наступну систему лiнiйних звичайних диференцiальних р1внянь 3Í сталими коефiцiентами для вiдшукання функцiй ak(t), k = 1,...,n :

ZZak (t)(9k, 9j) + ZTak(t)[h(9k5 -

k=1 k=1 2 /

(9)

-a (Фк,9j) = (F,9j) + + h(u0,9j), j = 1,...,n.

Вiдповiднi початковi умови для системи (9) отримуемо таким чином. Початкову функщю ф(х) зображуемо у виглядi n - i' частково! суми ряду за координатними функщями фk (x), а саме

__n

ф(х) = Zpkф^),та добираемо сталi pk,k = 1,..,n,

3 умови || ф(х)-£pkфk(x)||

2

4(0,1)

^ min.

Ця умова приводить до наступно! системи рiв-нянь вiдносно Pk:

Zpk^k,фj) = (ф,j = 1,...,n.(10)

k=1

Отже, початкову умову u(x,0) =ф(x) записуемо у

n п

вигщщ Z ak(0)фk(x) =Zpkфk(x), що приводить до

k=1 k=1

спiввiдношень

ak(0) = Pk, k = 1,...,n. (11)

Таким чином, отримали для вщшукання функцiй ak(t), k = 1,...,n , задачу Кошi (9), (11). 3. Про B^ip координатних функцiй У [5] за координатш функци для розв'язання рiвняння Au = f, де A - додатно визначений оператор, пропонуеться взяти систему власних елеме-нпв (якщо вона повна) оператора A, схожого та спорщненого з оператором A. Введемо у розгляд оператор A:

Au = a2 , D(A) = {u|u(x,t) eL2(0,1)

dx

V t > 0, u(x,t) e C2(B), u(x,t) £ C(B),

i

u(0, t) = 0, Ju(x,t)dx = 0 Vt > 0}.

0

Вщшукаемо власнi числа та власш функци оператора A. Маемо задачу

i

ф'' (x) + ^(x) = 0 V x e (0,1), ф(0) = 0, Jф^^ = 0,

. 4n2k2 . 2nkx . , „ „

звщки Xk =—-—, фk(x) = sin—J—, k = 1,2,3...

Тому що оператори A та A е схожими та спор>

дненими, за координатш функци пропонуемо

, ч . 2nkx , , „ взяти фk(x) = sin—j—, k = 1,2....

4. Обчислювальний експеримент

Добираючи для проведення обчислювальних експериментiв данi задачi (1), (2), треба мати на увазi умови узгодження (3). Надалi вважаемо 1 = 1 Покладемо ф^) = -3x2 + 6x ,при цьому ви-конуеться перша умова узгодженостi ф(0) = 0 . Крiм того, у початковий момент часу t = 0 маемо

загальну кшьюсть тепла стержня

1

K(0) = J (-3x2 + 6x)dx = 2 . Наведемо деякi можливi

0

вигляди функци K(t), яка повинна задовольняти

1

другу умову узгодження |ф(x)dx = K(0) :

0

K(t) = {2, 2(t + 1), 2(t2 +1), 2(t + 1)2,...}. Обчислювальний експеримент проведено для h = 0.0155, а2 = 0,16 (щ значення вщповща-ють матерiалу стержня - чавун), K(t) = 2(t +1), u0 = 0, f(x,t) = 1 . На рис. 1 - 3 наведет графши функци u(x,t) у моменти часу t = 0,1,3.

Рис. 1. Графк функци u(x,t) у момент часу t = 0

Рис. 2. Граф1к функцй' u(x,t) у момент часу t = 1

4

4

Висновки

Вперше запропоновано для розв'язання початко-во-крайових задач математично! фiзики з нело-кальними крайовими умовами застосування про-екцiйного методу Бубнова-Гальоркiна, що надае можливiсть отримати результати у анал^ичному виглядi. Надано пропозици про вибiр координат-них функцiй для задач з нелокальними умовами. Розроблений метод дозволяе проводити матема-тичне моделювання багатьох технологiчних про-цешв. Цим i визначаеться наукова новизна та практична значущють роботи. Лггература: 1. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304. 2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Физматлит, 2004. 688 с. 3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 4. Савула Я.Г. Число-вий аналiз задач математично! фiзики варiацiйними методами. Львiв: видавничий центр ЛНУ iм. I. Франка, 2004. 221 с. 5. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. 432 с.

Transliterated bibliography:

1. Ionkin N.I. Reshenie odnojkraevoj zadachi teoriitep-loprovodnosti s neklassicheskimi kraevymi usloviyami // Differencial' nyeuravneniya. 1977. T. 13. № 2. S. 294304.

2. Budak B.M., Samarskij A.A., Tihonov A.N. Sbornik zadach po matematicheskoj fizike. M.: Fizmatlit, 2004. 688 s.

3. Mihlin S.G. Variacionnye metody v matematicheskoj fizike. M.: Nauka, 1970. 512 s.

4. Savula Ya. H. Chyslovyy analiz zadach matematych-noyifizyky variatsiynymy metodamy. L'viv: vydavnychyytsentr LNU im. I. Franka, 2004. 221 s.

5. Mihlin S.G. Chislennaya realizaciya variacionnyh metodov. M.: Nauka, 1966. 432 s.

Надшшла до редколегп 18.04.2017 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И. Дуба Тетяна BiKTopiBHa, ст. гр. ПМ-13-1 ф-ту ш-формацшно-аналгтичних технологш i менеджменту ХНУРЕ. Науковi iнтереси: математична фiзика, мате-матичне моделювання, чисельнi методи. Захоплення та хобг мистецтво та лггература. Адреса: Укра!на, 61166, Харшв, пр. Науки, 14, тел. (096) 2425488. Колосова Свгтлана Baсилiвнa, канд. фiз.-мат. наук, проф. кафедри прикладно! математики ХНУРЕ. Нау-ковГ штереси: математичне моделювання, чисельнi методи математично! фГзики. Захоплення на хобг театр, мистецтво та лггература. Адреса: Укра!на, 61166, Харк1в, пр. Науки, 14, тел. (057) 7021423. DubaTetyanaVictorivna,Student,gr. PM-13-1 Faculty of information and analytical technologies and management, Kharkiv National University of Radioelectronics. Scientific interests: mathematical physics, mathematical modeling, numerical methods. Hobbies and Hobbies: Arts and Literature. Address: Ukraine, 61166, Kharkov, Nauki Ave, 14, tel. (096) 2425488.

Kolosova Svetlana Vasylivna, PhD, prof., Department of Applied Mathematics, KNURE. Scientific interests: mathematical modeling, numerical methods of mathematical physics. Hobbies: theater, art and literature. Address: Ukraine, 61166, Kharkov, Nauki Ave, 14, tel. (057) 7021423.