CC BY
20
УСТОЙЧИВОСТЬ РАСТЯЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
полосы
В работах [1—3] рассматривалась устойчивость вязкопласти-ческого течения прямуголыюй полосы в предположении, что инерционными членами в уравнении движения можно пренебречь. Двуосная деформация полосы в схеме сжимаемой вязкоп-ластической среды рассмотрена в [4], а статья [5] посвящена исследованию устойчивости течения полосы идеальной жидкости. В предлагаемой работе решается задача об устойчивости растяжения прямоугольной полосы из несжимаемого вязкопла-стического материала. Течение полосы происходит с линейным полем скоростей, в уравнениях движения учитываются нестационарные и нелинейные слагаемые. Получены критерии устойчивого растяжения в двух предельных случаях: при малых скоростях растяжения и для длинных полос.
1. Рассмотрим на плоскости (х, у) прямоугольную полосу из вязкопластического несжимаемого материала. Вне поля массовых сил течение полосы описывается уравнениями движения
О. Н. Дементьев, Е. В. Карась
/
и неразрывности
^ + ^ = 0. (1.2)
дх ду
Здесь vx, vy — компоненты скорости; ахх, аху, аух, <туу—компоненты тензора напряжений; р—плотность материала полосы. Компоненты тензора напряжений для вязкопластической среды имеют вид [1,2]:
8\
ахх = 2ц — + as cos 20 + а,
дх
сг=2/1— — erscos2 в + <7,
ду
ахх + ауу
а =-,
(1.3)
где ц—динамический коэффициент вязкости, as—динамический предел текучести, а в — угол между направлением, соответствующим наибольшему главному напряжению, и осью х, причем
\дх ду / / V ду дх На границе полосы задаются динамическое ахх cos nx + аху cos пу = Рх„,
(1.4)
оху cos nx + ауу cos ny = Руп
и кинематическое
dF SF ( д п „ ^
i-»+(T*S + v'5)F=0 (L5)
условия. В записанных соотношениях Tt — единичная внешняя нормаль к границе полосы; Рх„, Р>п — компоненты силы, действующей на границу; F (х, у, t) = 0 — уравнение границы. В начальный момент времени t = 0 полоса имеет длину 2а10 и ширину 2а20. Начало координат расположено в центре полосы.
2. В дальнейшем будем предполагать, что при растяжении полосы ее границы, параллельные оси у, движутся вдоль оси х в противоположные стороны с постоянной скоростью и0. Это
возможно при растяжении полосы нормальными силами, равномерно распределенными по ее краям и параллельными оси х:
F°(x, у, t) = {x±a1(f) = 0, y + a2(t) = 0}; ai(t) = a10 + u0t, a2(t) = a10a20/ (a10 + u0t);
(2.1)
<T¿ = = 0, 0o = 0
(индекс «О» отличает описанное выше движение полосы). Предполагается, что скорость точек полосы меняется по линейному закону:
v° = сох, vj = -coy, (2.2)
где
at (t) а2 (t)'
, = vy I у = а2 = =
a10a20u0 (a10 + u0t)2
причем
0%х = 2О8 + 4Ц(О.
Исследуем устойчивость течения полосы (2.1), (2.2). Для этого на края пластины, параллельные оси х, наложим малые возмущения <5(х, у, 1) и уравнения границ примут вид у = ± [а2 (0 + <5(х, у, 1)3. При этом окажутся возмущенными и поля скоростей и тензоры напряжений — а°хх + а'хх, о'ху, а'уу, где
<*хх> Куи <*'уу — малые возмущения.
Запишем уравнения для возмущений в безразмерном виде, используя следующие единицы измерения: для расстояния и скорости в направлении растяжения —а10 и и0 соответственно, в поперечном направлении — а20 и У0; времени —а 10/и0; для компонент тензора напряжений — Производя линеаризацию по возмущениям и вводя функцию тока ф соотношениями, удовлетворяющими (1.2),
, _ дф , _ дф
ду у дх
ИЗ (1.1) и (1.3) получим
д2ф _ _ д2ф д2ф _дф 2 д3ф дЬ
+ СОХ —--coy--h СО— =--з—----Ь
dtdy дхду ду2 ду Re дх2ду дх.
/Кр 1\/1 д*ф д2ф\ \26) Re/V ду3 дя2дуГ
9*
123
д2ф д2ф д2ф _дф 2 д3ф 1 до
—--1- <М —--еду — со — =--Н---- +
010Х ох2 дхду дх г2Яе дхду2 г2 ду
| /к0 | д3ф \
\2(» ЯеДох3 г2 дхду2)'
где Ке = и0а10р/уи —число Рейнольдса, К0 = —£ =—; черта над
ри0 а10
буквами обозначает безразмерные переменные.
Динамическое условие (1.4) на границах у = ± а2 (0 теперь перепишется так:
„ , дд , д2ф д2ф л -4 сое2 —+ е2— -— = О,
<3х ох2 5у2
2—+ Rea = 0,
дхду
(2.4)
а кинематическое условие (1.5) —
дф /дд дд дд\ — = + — + йх--йу— (2.5)
дх ~\dt дх ду/
(с точностью до малых порядка выше первого).
3. Решение задачи (2.3) —(2.5) будем искать в виде разложений по степеням малого параметра для двух предельных случаев: а) при малых скоростях течения пластины, т: е. при Re « 1 и б) для длинной пластины, т. е. при е « 1.
3.1. Перейдем к изучению устойчивости медленного растяжения полосы (Re « 1). Решение представим в виде (в дальнейшем будем опускать черту над безразмерными величинами):
ф = ф0(х, У, t) + Re^1(x, у, t) + ...
<7 = <т0(х, у, t) + RecTj (х, у, t) + .... В нулевом приближении получим из (2.3)
ау0 | i ¿Уо_0
дх2ду е2 дуъ '
i ^oi + £Vo = 0
(3.1)
е2 дхду2 дх3
Полученные уравнения дополним условиями на границах y=±a2(t):
дхду
(.3.2)
— 4со— + —^ — —^ = 0.
5х 5х2 5у2
Сравнение с результатами статьи [2] показывает, что в этой работе было фактически рассмотрено ползущее течение полосы и представляется недостаточно обоснованным сохранение в уравнениях движения производных от а по координатам при одновременном отбрасывании инерционных членов.
Зададим периодические возмущения границ полосы, симметричные относительно оси х, т. е. 6 = у (у, t) cos bx. Тогда уравнения границ примут вид
У= ±[a2(t) + y(y, t)cos Ьх].
Положим, как в [2], b = mre/(2a1(t)), где ш —целое положительное число. В этом случае на длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения.
Исключая смешанные производные из системы (3.1), получим уравнение для ф0
8*ф0 8*ф о =
5х4 ду4
решение которого будем искать в форме, согласованной с граничными условиями
\j/0 = ср(Ъу) sin bx. (3.3)
Новая функция <р(Ьу) определится из решения уравнения
<PÍF(by)-<p(by) = 0. Используя первое условие из (3.2), найдем'
(р = Cj(t) [sin (ba2) ch (by) + sh (ba2) cos (by)] + c2 (t) [cos (ba2) sh (by) — ch (ba2)sin (by)]. (3.4)
Теперь учтем симметричность налагаемых на края полосы возмущений, что задает нечетность вертикальной компоненты возмущения скорости: v¿(x, у)= — v'y(x, —у). Но согласно (3.3) \'у = hep (by) cos bx, значит функция ср (by) должна быть нечетной и из (3.4) получим
(р = c2(t) [cos (ba2) sh (by)—ch (ba2) sin (by)]. Второе граничное условие из (3.2) позволяет выразить c2(t):
2 соу
Ьсо8(Ьа2) вИ (Ьа|)
Следуя работе [1], назовем рассматриваемое растяжение полосы неустойчивым, если в любой точке границы вертикальная составляющая возмущения скорости имеет тот же знак, что и возмущение <5, т. е, если
Заметим, что со (1) > 0, также как а^), а2(0 и Ь, тогда условие (3.5) можно переписать в виде
где п> 0—целое число, которое выбираете^ по данному т при условии а2 (1) < а1 (1). Чем больше число полуволн возмущения укладывается на длине полосы, тем раньше наступает неустойчивость по отношению к таким возмущениям.
3.2. Рассмотрим устойчивость растяжения полосы, длина которой значительно больше ее ширины, т. е. случай, когда е = а20/а10« 1. Теперь решение задачи (2.3) —(2.5) будем искать в виде ряда по степеням е:
Ф = Фе0(Х> У> + (X, У' 0 + ...
0 = (х> У' $ + ягг1(х, У, 0 + .... В нулевом приближении получим задачу для определения Фю, о"£о и д:
V,',
= 2со [1 -сШ (Ьа2) Щ (Ьа2)] > 0.
(3.5)
(3.6)
(3.7)
_\ 83ФгО
ду / дхду2
с граничными услоРт;гах',и —^ ^
\83фе о
78хду2
Ограничимся изучением поведения «нормальных» возмущений вида
^о = а(У)ехРР(кх-/и)],
<т£0 = /?(у)ехрР(кх-^)], (3.9)
¿ = у(у)ехрр(кх-Л)],
где а, Р, у — амплитуды возмущений, к — вещественное волновое число, Я = Я£ + — частота возмущений. Подставив (3.9) в уравнения (3.7) и граничные условия (3.8), получим систему амплитудных уравнений
а"'(у) = 0, (3.10)
\ Ке 2со/
с дополнительными условиями при у = ±а2(1:): а"(у) = 0, 1к~а'(у) + р(у) = 0,
Ке
(3.11)
1ка(у) = ± [ - ыу(у) + 1ку(у) + у; у' (у)].
В решении уравнения (3.10) «(у) = с11у2 + с12у+ использование граничных условий позволяет найти значение коэффициента с11 = 0 и соотношение между остальными коэффициентами: а2(г) + + с3/с2 > 0.
Условие неустойчивого" течения вязкопластической полосы в рассматриваемом случае имеет вид
( (а2+-)[(к сох-Х^+Х2}
^ = -.-!->0
<5 а2 к<их—X,—¿^(кх — Яд)
На границе устойчивости (при /ч = 0) отсюда получим соотношение, связывающее волновое число к и вещественную часть частоты X возмущений
0 < Хг < ксох
и определим скорость растпространения волны возмущений
и = дЛг/дк < сох.
При малых скоростях растяжения наиболее опасными с точки зрения нарушения устойчивости являются низкочастотные возмущения.
Авторы благодарят С. В. Серикова за постановку задачи и полезные советы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильюшин А. А. Деформация вязкопластического тела.—Уч. зап. МГУ, Механика, 1940, вып. 39.
2. ИшлинскийА. Ю.Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прутка — ПММ, 1943, т. 7, № 2.
3. Дель Г. Д. Устойчивость двуосного растяжения листа из вязкопластического материала. —В кн.: Механика деформированных тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975.
4. Сериков С. В. Двуосная неустановившаяся деформация прямолинейной полосы в схеме сжимаемой вязкопластической среды. — ПМТФ, 1982, № 6.
5. Кузнецов В. М., Шер Е. Н. Об устойчивости течения идеальной жидкости в полосе и кольце.—ПМТФ, 1964, № 2.
