CC BY
39
Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268). Физика. Вып. 13. С. 5-8.
механика Сплошных сред
О. Н. Дементьев
устойчивость растяжения вязкопластической полосы
В работах [1-3] рассматривалась устойчивость вязкопластического течения прямоугольной полосы в предположении, что инерционными членами в уравнении движения можно пренебречь . Двуосная деформация полосы в схеме сжимаемой вязкопластической среды рассмотрена в [4], выведены аналитические зависимости по оценке времени разрушения полосы; статья [5] посвящена исследованию устойчивости движения полосы идеальной жидкости . В предлагаемой работе решается задача устойчивости растяжения прямоугольной полосы из несжимаемого вязкопластического материала с учётом нелинейных слагаемых в нестационарных уравнениях движения . Получены критерии устойчивого растяжения при малых скоростях растяжения и для длинных полос . При малых скоростях растяжения наиболее опасными в аспекте нарушения устойчивости являются низкочастотные возмущения .
Ключевые слова: вязкопластичность, несжимаемость, устойчивость растяжения.
Уравнение движения несжимаемой вязкопластической среды вне поля массовых сил
Эх,
ду, Эу,
—- + V ■—
Эt ■ Эх,.
(1)
ющим наибольшему главному напряжению, и осью X, причем
1820 =
Эу2 Эу,
—2 + —к Эх, дх2
Эу2 ду
дх2 Эх,
уравнение неразрывности:
д
5“ ^)=°'
где повторяющиеся индексы i, . = 1, 2, предполагают суммирование; ^ > 0 — время . В записанной выше системе уравнений использованы следующие обозначения: о. — компоненты тензора напряжений; V. — составляющие вектора скорости по осям прямоугольных координат X . (начало координат расположено в центре полосы); р — плотность среды .
Соотношения вязкопластического несжимаемого тела согласно гипотезам, сформулированным в работе [1], в плоском случае имеют вид
Эу,
а, =2ц—1 + ах ео8 20 +а,
Эх,
Эу
а22 = 2ц—2 - ео8 20 + а,
(2)
дх2
г Эи Эу2 л
—L + —2 Эх^ Эх
-а в1п20,
а =
^11 + ^22 2
Здесь ц — динамический коэффициент вязкости; о^ — динамический предел текучести, а 0 — угол между направлением, соответству-
Граничные условия: а) динамическое
а, 1008 пх1 + а 2 сое пх2 = Рп,
(3)
а12 сое пх1 + а22 со8 пх2 = Р2п и б) кинематическое
_Э^ & дГ
- +
1 дх1 2 дх,
(4)
Здесь п — единичная внешняя нормаль к границе полосы; Р1п, Р2п — компоненты силы, действующей на границу; Р(х1, х2, () = 0 — уравнение границы . В начальный момент времени полоса имеет длину 2а10 и ширину 2а20 .
Будем предполагать, что при растяжении полосы ее границы, параллельные оси Х2, движутся вдоль оси Х1 в противоположные стороны с постоянной скоростью и0. Это возможно при растяжении полосы нормальными силами, равномерно распределенными по ее краям и параллельными оси Х1:
^0 (х\, Х2, ?) =
= {х ± «1 (г) = 0, Х2 ± а2 (г) = 0}; (5)
Ц (*) = «10 + , а2 (^) = аюа20/(а10 + щ/);
а102 =с22 =0, 0° =0
(индекс «0» отличает описанное выше движение полосы) . Предполагается, что скорость точек полосы меняется по линейному закону:
д3у
------------1--------------+
_2 -
1 да
£ Яе дх1дх2 £ дх2
Ґ
(6)
+
ґд 3у
дх13 '
_д^_Л £ 2 дх1дх22
где
ю(ґ ) =
сі1 (ґ) а1 (ґ) а2 (ґ)
а = « +а'22) /2,
а1 (ґ) а1 (ґ) а2 (ґ)’
Р.
а
^1 1^= а1 и0, ^2 \х2 =а2 "
= V = а10 а20и0
’ с\ "
причем
(а10 + V)
а101 = 2а1 + 4цю.
где Яе = — и0а10 — число Рейнольдса, К0 = - 2,
М- рио
а20
£ = — ; черта над буквами означает безразмер-
ные переменные .
Динамическое условие (3) на границах
= ±а2 (і) перепишется так:
. 2 Э5 2 дш Зш
4ює2— + £2 —2.-----------2. = 0,
Эх1 Эх1 дх2
2-дг^ + Явс = 0, Эх1Эх2
Эу
Эх
Ґ
= +
Э5 __ Э5 __ Э5
— + юх,--------------юх2 —
дґ Эх, Эх2
\ 1 2 /
Исследуем устойчивость течения полосы (5), (6) . Для этого на края пластины, параллельные оси X наложим малые возмущения 5(хр х2, t), и уравнения границ примут вид
х2 = ± ±^а2 (^ ) + 8( х1, х2, ^)], Тогда окажутся воз- а кинематическое условие (4) — мущенными и поля скоростей V0 + у', и компо-
0 г ' '
ненты тензора напряжении — си + оп, оп, ^22
(у', , с'и и ^22 — малые возмущения) .
Запишем уравнения для возмущений в безразмерном виде, используя следующие единицы измерения для расстояния и скорости в направлении растяжения — а и и0 соответственно, в поперечном направлении — а20 и У0; времени — а10/и0; для компонент тензора напряжений — ри0. Производя линеаризацию по возмущениям и вводя функцию тока у соотношениями, удовлетворяющими уравнению неразрывности,
(8)
л
(9)
Эу
Эх,,
Эу
Эх1 ’
из (1) и (2) получим
Э2у Э2у Э2у
- + юх
1 Эх1Эх2
-юх,
2 Эх2
+
_ дш +ю- т
2 д 3ш да
дх2 Яе дх1 дх2 дх1
+
(с точностью до малых порядка выше первого) .
Решение задачи (7)-(9) будем искать в виде разложений по степеням малого параметра для двух предельных случаев: а) при Яе << 1 и б) для длинной пластины, т. е . при є << 1 .
Перейдем к изучению устойчивости медленного растяжения полосы (Яе << 1) . Решение представим в виде (в дальнейшем будем опускать черту над безразмерными величинами):
¥ = ¥о (х2, * ) + Яе^ (х15 х2, *) +
+Яе2"у2 (х1, х2, г)... ,
а = а0 (х1, х2, і ) + Яе^ (х1, х2, і) +
+Яе2а2 (х1, х2, і)... .
В нулевом приближении (оказывается, что учет слагаемых более высокого порядка малости несущественно влияет на результат) получим из (7)
ґ
+
К
1
\
2-гг, \
Є2 дх3 дх2
(7)
2 ^І
д2у д2у д2у _ ду
Эх12 дх2
- +
= 0,
(10)
дґ дх1
- + юх.
1 дх12
-юх,
2 дх1дх2
-ю—- =
1 д 3^0 +Э>0 = 0
дх1
г дх1дх2 дх13
10
Полученные уравнения дополним условиями на границах х2 = ±a2 (t):
д Уо
dx1dx2
= О,
(11)
Э5 д2у0 д 2у0
-4ю— +
dxj dxj дх2
= 0.
Сравнение с результатами статьи [2] показывает, что в этой работе было фактически рассмотрено ползущее течение полосы, и представляется недостаточно обоснованным сохранение в уравнениях движения производных от о по координатам при одновременном отбрасывании инерционных членов
Зададим периодические возмущения границ полосы, симметричные относительно оси X т. е . 5 = у(x2,t)cosbxj. Тогда уравнения границ примут вид
x2 =± [о2 (t ) + у( x2, t) cos bxj ].
Положим b = mn / (2a1 (t)), где m — целое положительное число . В этом случае на длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения
Исключая смешанные производные из системы (10), получим уравнение для у0:
Э >0 Э>0
Эх1 дх2
= 0,
решение которого будем искать в форме, согласованной с граничными условиями
у0 = ф(bx2) sin bxj. (12)
Новая функция ф(Ьх2) определяется из решения уравнения
ф/г (bx2) - ф(Ьх2) = 0.
Используя первое условие из (11), найдем ф = c (t)[sin (ba2)ch (bx2) + sh (ba2)cos (bx2)] +
+c2 (t )[cos (ba2) sh (bx2) - ch (ba2) sin (bx2)]. (13)
Учтем симметричность налагаемых на края полосы возмущений, что задает нечетность вертикальной компоненты возмущения скорости: v2( Xj, x2 ) = -v2( Xj, -x2). Но согласно
(12) v2 = bty(bx2) cos bxj, значит, функция ф(Ьх2) должна быть нечетной и из (13) получим
ф = c2 (t) [cos (ba2) sh (bx2) - ch (ba2) sin (bx2)].
Второе граничное условие из (11) позволяет выразить c2(t):
c2 (t) =________________^.
2 bcos(ba2) sh (ba2)
Следуя работе [1], назовем рассматриваемое растяжение полосы неустойчивым, если в любой точке границы вертикальная составляющая
Л,'
v 2 возмущения скорости имеет тот же знак, что и возмущение 5, т . е . если /
~^ = - cth (ba2)tg (ba2)] > 0. (14)
Заметим, что ®(t) > 0, так же как a1(t), a2(t) и b, тогда условие (14) можно переписать в виде
(15)
( 1л mnan (t' ( 1 ^
п n — < к VI n + —
1 2 V 2a1 (t) 1 4 V
где п > 0 — целое число, которое выбирается по данному т при условии а2 (^ )< а1 (^). Чем большее число полуволн возмущения укладывается на длине полосы, тем раньше наступает неустойчивость по отношению к таким возмущениям .
Рассмотрим устойчивость растяжения полосы, длина которой значительно больше ее ширины, т. е . случай, когда е = а20 /а10 << 1 .
Теперь решение задачи (7)-(9) будем искать в виде ряда по степеням е:
^ — ^е0 ( Х2, ? ) + £\^е1 ( Х2, ? ) + £ ^е2 ( Х1, Х2, ^ )--- ,
а = ае0(х,х2,1) + еае1 (х^х2,1) + е2ае2 (х15х2,1)....
В нулевом приближении получим задачу для определения уе0, о е0 и 5:
дУер
dxl
= 0,
(16)
yRe 2юу
Эх1Эх2
= 0
с граничными условиями при х2 = ±a2 (t) d >,о. = о, — +a.„=0,
Эх;
Re 3xj3x2
(17)
3xj
= +
Э5
■ + v.
Э5
dt 3xj
- + K
da
Эх,,
Ограничимся изучением поведения «нормальных» возмущений вида
уе0 =a( х2) exp [/ (kx1-Xt)], (18)
ае0 =Р( X ) ехР \j ( Ц-ht)],
5 = у(х2)exp[/'(kxl -Xt)],
где а, в, у — амплитуды возмущений; k — веще -ственное волновое число; X = X + i X. — частота
’ S i
возмущений . Подставив (18) в уравнения (16) и граничные условия (17), получим систему амплитудных уравнений:
в ( х2)- ik
а"( х2) = 0,
'± - Ко
Re 2ю
(19)
а"( х2 ) = 0
с дополнительными условиями при Х2 = ±а2 (^)
2
а"( х2 ) = 0, \к—а'( х2 ) + Р( х2 ) = 0,
Ре
Не а( х2) = ±[-Лу( х2) + v10/ky( х2) + у ( х2 )].
В решении уравнения (19) а( х2) = ^ х\ + ё2 х2 + +йъ использование граничных условий позволяет найти значение коэффициента й = 0 и соотношение между остальными коэффициентами: а2 ) + с3 / с2 > 0 .
Условие неустойчивого течения вязкопластической полосы в рассматриваемом случае имеет вид
V
"5
а2 +-
(кfflXj - Xr )2 +Х]
х-
кfflXj - Xr - Xi tg (кх - Xrt)
> 0.
На границе устойчивости (при X = 0) отсюда получим соотношение, связывающее волновое число к и вещественную часть частоты X возмущений
0 < Хг < к тх,
и определим скорость распространения волны возмущений
и = дХг / дк < шх1.
При малых скоростях растяжения наиболее опасными в аспекте нарушения устойчивости являются низкочастотные возмущения
Список литературы
1 . Ильюшин, А . А . Деформация вязкопластического тела / А . А . Ильюшин // Учен . зап. Моск. ун-та. Сер . Механика. 1940. Вып. 39. С . 3-81 .
2 . Ишлинский, А . Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прутка / А . Ю. Ишлинский // Приклад . математика и механика. 1943 . Т. 7, № 2 . С . 109-130.
3 . Дель, Д . Г Устойчивость двуосного растяжения листа из вязкопластического материала / Д Г Дель // Механика деформируемых тел и конструкций М . : Машиностроение, 1975.
4 Сериков, С В Двуосная неустановившаяся деформация прямолинейной полосы в схеме сжимаемой вязкопластической среды / С В Сериков // Приклад . механика и теорет. физика . 1982. № 6 . С. 123-129.
5 . Кузнецов, В . М . Об устойчивости течения идеальной жидкости в полосе и кольце / В . М . Кузнецов, Е. Н Шер // Приклад, механика и теорет. физика 1964 № 2
2
