CC BY
27
УДК 517.98
Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет
УСЛОВИЯ ПЛОТНОСТИ КАНОНИЧЕСКОГО ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА БАНАХА X В Е В ТЕРМИНАХ ГРАНИЦЫ
Введение
Во многих задачах теории автоматического регулирования основой математической модели является операторное (дифференциальное, интегральное и пр.) уравнение, решения которого образуют некоторое топологическое векторное пространство, в частности банахово. При исследовании свойств решений таких задач (например, существование и единственность решения) разработанные методы, по существу, требуют, чтобы некоторое ограниченное замкнутое выпуклое подмножество пространства решений было компактно в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией пространства. При этом, как известно, единичный шар бесконечномерного банахова пространства не является компактным в сильной топологии. В связи с этим сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна -Мильмана, банаховы пространства с0, С[0, 1] и Х1[0, 1] не являются сопряженными пространствами. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изометрично (изоморфно) сопряженному.
Если пространство X изометрично (изоморфно) сопряженному Е* к банахову пространству Е, то X будет изометрично (изоморфно) второму сопряженному Е**. Следовательно, для того, чтобы Х было изометрично (изоморфно) Е*, необходимо, чтобы сопряженное Х содержало некоторое «особое» подпространство, а именно образ пространства Е с Е при изометрии (изоморфизме) Е** на Х, который будет 1-нормирующим (нормирующим) над Х. Отталкиваясь от этого, чаще всего задачу о сопряженности данного банахова пространства формулируют следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное (1-нормирующее, нормирующее) подпространство сопряженного Х. Обозначим: г - естественное вложение Е в Х, Пх -каноническое вложение Х в X*. Тогда линейный непрерывный оператор ] = г ' Пх : X ® Е* будет инъективным в силу тотальности Е над Хи ||] || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е , если образ ](Х) сильно плотен в Е или ] является изометрией (изоморфизмом) между Х и Е . При каких условиях Х канонически плотно вкладывается в Е или Х канонически изометрично (изоморфно) Е ?
Выбор оператора] в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, ]х) = = (х, ге) = (х, е), в случае канонической изометричности Х и Е мы можем говорить о равенстве Х = Е* в установленной между Х и Х двойственности.
Нетрудно видеть, что приведенные в постановке задачи условия достаточны для канонической изометрии Х и Е лишь в классе рефлексивных пространств Х. Поэтому приходится искать дополнительные условия на Х, Е и двойственность между Х и Е. В [1-6] даются различные варианты таких условий, которые так или иначе связаны со свойством компактности единичного шара пространства Х в топологии а (X, Е) или с каким-нибудь из следствий теоремы Хана -Банаха, перенесенным на топологию а (X, Е).
В каком-то смысле совмещенный подход к этой проблеме предложил Р. Джеймс [7-10]. Результаты использования этого подхода уже нашли применение в общей теории наилучших приближений в нормированных линейных пространствах [11] и в теории векторных мер [12].
Из слабой* компактности единичного шара пространства Х, сопряженного к банахову пространству Х, или из хорошо известного следствия теоремы Хана - Банаха вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы (супремума) на единичном шаре Х, т. е. существует х* е Х такой, что ||х*|| = 1 и (х, х*) = || х ||. Р. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когдаХрефлексивно. Точнее: еслиХ- банахово пространство, Е = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х канонически изометрично Е .
В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством (ТД) (по первым буквам слов «тотально» и «достигать») (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Х и Е . Однако в общем случае, как показывают примеры Х = /1 [0,1], Е = С[0,1]с X и Х = т0(Г), Е = /1(Г) с Х для некоторого несчетного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Х, Е или двойственность между Х и Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изометричность Х и Е ?
Основные результаты в этом направлении содержатся в [13-17]. Некоторые их приложения получены в [18]. Однако в [19] построен пример банахова пространства Х и Е е (ТД) относительно Х, для которых образ j(X) сильно плотен в Е , т. е. Х канонически плотно вкладывается в Е , но j(X не совпадает с Е . Это означает, что образ единичного шара j(B(X)) является предкомпакт-ным множеством в слабой топологии пространства Е , что также может быть полезным при рассмотрении вопросов, связанных с операторными уравнениями, отмеченными выше. Таким образом, актуальной становится задача установления условий, при которых Е е (ТД) относительно Х влечёт, что Х канонически плотно вкладывается в Е . Имея в виду результаты [10, 17, 18], естественно будет предположить, что адекватное описание таких условий может быть получено в терминах топологии а (Е, Х), т. е. естественной двойственности между дуальной парой банаховых пространств Х и Е. Изучению этой проблемы в указанном направлении посвящена данная статья.
Мы рассматриваем векторные пространства только над полем вещественных чисел Я и обозначаем их прописными латинскими буквами. Для дуальной пары векторных пространств (Х, Е) обозначаем через (х, е) значение билинейной формы, приводящей в двойственность пространства Х и Е, в точке < х, е > е X х Е.
Нами будет использована следующая символика:
а (Е, Х) - слабая топология в Е, определяемая двойственностью между Х и Е;
- пространство, сопряженное к локально выпуклому пространству Х;
* ^ ^
г - оператор, сопряженный к линейному непрерывному оператору г;
[А] - замыкание линейной оболочки множества А в локально выпуклом пространстве Х;
еопу А - выпуклая оболочка множества А;
кег е - ядро линейного функционала е в Х, т. е. кег е = { х е X : (х, е) = 0 };
А° - поляра множества А сХ, т. е. А° = { е е Е: | (х, е) | < 1 для х е А };
B(X) - единичный шар банахова пространства Х.
Для удобства изложения приведём сначала несколько простых утверждений.
Лемма 1. Пусть (X, Е) - дуальная пара. Если каждый элемент е из Е достигает своей точной верхней грани на множестве Ас Х, то для любого множества В з А и содержащегося в а (Х, Е)-замыкании множества А, все элементы е из Е достигают своей точной верхней грани на множестве В.
Доказательство очевидно.
Лемма 2. Пусть Е - замкнутое нормирующее подпространство Х*, сопряженного к банахову пространству Х, характеристики г(Е) > 0. Тогда для любого х е Х г(Е) || х || < || ]х || < || х ||.
Доказательство. Неравенство || jx || < || х || следует из того факта, что || j || < 1. Левое неравенство вытекает из следующей цепочки очевидных тождеств:
(г*)'1(В(Е*)) = (г*)Л(В(Е) °) = (г(В(Е)))°, из которой, по определению j, получаем]"1(В(Е*)) = = П/О'УВЕ*)) = ПХ1((/(В(Е)))°).
Так как характеристика г(Е) > 0, то Пх'^/'ВЕ)))^ с —1— В(X) .
Г (Е)
Следовательно, j(B(X)) с г (Е) В (Е ), что и доказывает нужное неравенство.
Лемма 3. Если образ j(X) сильно замкнут в Е*, то Е - нормирующее над Х.
Доказательство. По условию j(X) представляет собой полное по норме Е линейное подпространство. По теореме о замкнутом графике j задает изоморфизм между Хи j(X). Следовательно, j(B(X)) содержит множество r(B(j(x)) = j(X) n rB(E) для некоторого r > 0. Теперь, учитывая, что для каждого х е Х и е е Е (х, е) = (е, jx), получаем, что характеристика Е положительна.
Если в ряде предыдущих работ мы рассматривали условия, налагаемые на двойственность между Х и Е, а наличие этих условий зависит от свойств обоих пространств, то в этом параграфе мы будем рассматривать условия, которые будут налагаться только на пространство Е. При этих условиях мы дадим критерий плотности канонического вложения Х в Е*.
Теорема 1. Пусть Х- банахово пространство, Е е (ТД). Если Е совпадает с сильным замыканием линейной оболочки любой границы шара В(Е*), то Х канонически плотно вкладывается в е*.
Доказательство. Как это следует из леммы 2, образ j(B(X)) единичного шара пространства Х есть подмножество шара В(Е ). Покажем, что j(B(X)) будет границей для В(Е ). Действительно, по условию теоремы для любого элемента е е Е найдется х из В(Х) такой, что (х, е) = || e ||. Из равенства (х, е) = (x, ie) = (ie, ПХх) = (е, /*ПХх) = (е, jx) следует, что существует jx е j (B(X)) такой, что (e, jx) = || е ||. Следовательно, j(B(X)) является границей для В(Е ). Но линейная оболочка множества j(B(X)) совпадает с j(X) и по условию плотна в Е . Этим и завершается доказательство.
Следующее утверждение является обращением теоремы 1.
Теорема 2. Пусть Е - банахово пространство. Если существует такая граница Г с В(Е ), что сильное замыкание ее линейной оболочки не совпадает с Е , то найдется такое банахово пространство Х, что Е изометрично вкладывается в Х, Е е (ТД) относительно Х, но j(X) не плотно в Е*.
Доказательство. Пусть В - сильное замыкание абсолютно выпуклой оболочки Г, а Х -линейная оболочка множества В. Очевидно, что сильное замыкание Х не совпадает с Е . Калибровочная функция множества В является нормой на Х более сильной, чем исходная норма на Е . Так как В замкнуто в пространстве Е, то оно полно в сильной топологии Е*. Следовательно [20, с. 31, следствие] Х является банаховым пространством с нормой, определяемой В. Поскольку калибровочная функция множества В определяет на Х топологию более сильную, чем нормированная топология Е , то всякий элемент е из Е определяет некоторый непрерывный линейный функционал ie е Х. Очевидно, что отображение i : E ® X линейно. Его инъективность следует из того, что это отображение является границей для В(Е ), то для любого е е Е.
|| e || = sup { (e,e ): e е B(E ) } = sup { (x, ie) : x е B } = || ie ||.
Нетрудно видеть, что i(E) - тотально над Х и любой элемент из i(E) с Х достигает своей точной верхней грани на единичном шаре В пространства Х.
Следствие 3. Пусть Х - банахово пространство, Е е (ТД), Е - нормирующее над Х. Если Е совпадает с сильным замыканием линейной оболочки любой границы шара В(Е ), то Х канонически изоморфно Е .
Следствие 4. Для того чтобы Х было канонически изометрично Е , достаточно, чтобы Е было 1-нормирующим, Е е (ТД) относительно Х и для любой границы шара В(Е ) сильное замыкание ее линейной оболочки совпадало с Е .
Эти утверждения вытекают из леммы 2 и теоремы 1.
Напомним, что точка е0 е В(Е ) называется слабо выставленной точкой шара В(Е ), если
существует такой элемент ее Е, что для всех е е В(Е) \ {e0 } выполняется неравенство
/ *\ / *\
(е, е ) < (е, е0).
Для оценки «массивности» границы часто оказывается полезным следующее
Предложение 5. Пусть Г - граница В(Е*), тогда Г содержит все слабо* выставленные точки В(Е*).
Доказательство. Возьмем произвольную слабо выставленную точку е0 шара В(Е). Для нее найдется элемент е е Е такой, что (е, е ) < (е, е0) = || e || для всех е е В(Е ) \ {e0 }.
Так как Г с В(Е ) и Г - граница, то е0 е Г. Следовательно, все слабо выставленные точки содержатся в Г.
Следствие 6. Пусть Х- банахово пространство и Е е (ТД). Если Е совпадает с сильным замыканием линейной оболочки слабо выставленных точек единичного шара В(Е ), то Х кано-
г-i*
нически плотно вкладывается в Е .
Это непосредственно следует из предложения 5 и теоремы 1.
Заключение
Интересно сравнить результаты вышеприведённых исследований с построениями в [16, 19]. Ясно также, что, проведя незначительные переформулировки приведённых здесь утверждений, получим соответствующие условия канонической изоморфности или изометриичности Х и Е .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Alaoglu L. Weak topologies of normed spaces // Ann. Math. - 1940. - 41:7. - Р. 252-267.
2. BrigolaR. A characterization of conjugate WCG-Banach spaces // Manuscripta Math. - 1983. - 44. - Р. 95-102.
3. Dixmier J. Sur un theorema de Banach // Duke Math. Journ. - 1948. - 15:5. - Р. 1057-1071.
4. Singer I. On Banach spaces reflexive with respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Math.
Ann. - 1962. - 145. - Р. 64-76.
5. Singer I. On Banach spaces reflexive with respect to a linear subspace of their conjugate space, 11 // Rev. Math., Pures et Appl. - 1963. - 8:1. - Р. 139-150.
6. Ефремов Н. М. Об одном условии сопряжённости пространства Банаха // Изв. высш. учеб. завед. Математика. - 1984. - № 4. - С. 11-13.
7. James R. C. Reflexivity and the sup of linear functionals // Isr. Math. J. - 1972. - 13. - Р. 289-300.
8. James R. C. Characterization of reflexivity // Studia Math. - 1964. - 23. - Р. 205-216.
9. James R. C. Reflexivity and the supremum of linear functionals // Ann. Math. - 1957. - 66. - Р. 159-169.
10. James R. C. Weakly compact sets // Trans. Amer. Math. Soc. - 1964. - 113. - Р. 129-140.
11. Singer I. Best Approximation in Normed Linear Spaces. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer Ver-lag, 1970.
12. Kalton N. J. Topologies on Riesz groups and applications to measure theory // Math. Soc. - 1976. - 3:28. -Р. 253-273.
13. De Vito C. A completeness theorem for locally convex spaces and some applications // Math. Ann. - 1968. -177. - Р. 221-229.
14. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Некоторые свойства множества функционалов, достигающих SUPREMUM на единичной сфере // Украинский математический журнал. - 1974. - 26:1. - С. 102-106.
15. Пличко А. Н. Условие сопряжённости WCG-пространств // Математические заметки. - 1978. - 23:2. -С. 281-284.
16. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах границы единичного шара // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 8-15.
17. Ефремов Н. М. Условия изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах тотального подпространства сопряжённого пространства // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 16-23.
18. Ефремов Н. М. Некоторые приложения условий изометричности банахова пространства сопряжённому в терминах функционалов, достигающих нормы // Вестн. Астрахан. гос. ун-та. - 2007. - № 1. - С. 9-14.
19. Ефремов Н. М. Пример канонического вложенияХ в Е , являющегося существенно плотным // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2007. - № 4. - С. 259-264.
20. Эдвардс Р. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1969. - 1072 с.
Статья поступила в редакцию 9.11.2007
CONDITIONS OF DENSITY OF THE CANONICAL EMBEDDING OF BANACH SPACE X IN Е* IN THE TERMS OF BORDER
N. M. Efremov
The symbol Е е (TD) - (abbreviated from "total" and "reach") is used by us in case when Е is strongly closed total subspace in X, and all its elements attain their norms on the unit ball B (X) of Banach space X. The condition Е е (TD) is necessary for canonical isometry of X and Е*, i. e. established between X and Х* duality, but it is not a sufficient condition. Moreover, as it has been shown earlier,
* *
X can canonically densely on norm be embedded in Е . Let j : X ® E -canonical embedding. The main results of this paper are the following: Theorem 1.
Let X - Banach space, Е е (TD). Then the image j (X) is everywhere dense in strong topology, if Е* coincides with strong closure of linear span of any border of ball В(Е). Theorem 2. Let E - Banach space. If there is such a border Г с В(Е ), that strong closure of its linear span does not coincide with Е will be such Banach space X, that Е is isometric for subspace in X , Е е (TD) rather X, but j (X) is not dense in Е*.
