CC BY
59
МАТЕМАТИКА
УДК 517.98
Н. М. Ефремов Астраханский государственный технический университет
УСЛОВИЯ ИЗОМЕТРИЧНОСТИ БАНАХОВА ПРОСТРАНСТВА СОПРЯЖЕННОМУ В ТЕРМИНАХ ТОТАЛЬНОГО ПОДПРОСТРАНСТВА СОПРЯЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
Введение
Одна из основных трудностей, возникающих при исследовании различного рода проблем, связанных с бесконечномерными банаховыми пространствами, заключается в том, что единичный шар такого пространства не является компактным в сильной топологии. Для довольно большого класса задач (например, теоремы существования и единственности решения операторных уравнений в банаховых пространствах) разработанные методы их решения, по существу, требуют, чтобы единичный шар был компактен в какой-нибудь более слабой топологии, связанной с исходной топологией банахова пространства. В этом отношении сопряженное банахово пространство является удобным объектом исследования такого класса задач, поскольку его единичный шар компактен в слабой топологии. С другой стороны, не всякое банахово пространство будет изометрично сопряженному пространству Банаха. Например, как показывают простые рассуждения с использованием теоремы Крейна - Мильмана, банаховы пространства с0, С [0, 1] и Ь1 [0, 1] не являются сопряженными пространствами. Более того, эти пространства ни в какой эквивалентной норме не будут сопряженными, т. е. не будут изоморфны никакому сопряженному пространству Банаха [1, 2]. Как установили В. Дэвис и В. Джонсон [3], каждое нерефлексивное банахово пространство можно эквивалентно перенормировать таким образом, что оно не будет изометрично никакому сопряженному банахову пространству. В связи с этим возникает задача установления условий, при которых данное банахово пространство будет изометрично сопряженному.
Пусть Х - банахово пространство, Е - сильно замкнутое тотальное подпространство сопряженного Х*. Обозначим: 1 - естественное вложение Е в Х, рх - каноническое вложение Х в Х**. Тогда линейный непрерывный оператор j = 1 рх: X ® Е будет инъективным в силу тотальности Е над Х и || j || < 1. Допуская некоторую вольность речи, будем говорить, что Хка-нонически изометрично Е*, если j является изометрией между Х и Е*
Выбор оператора j в качестве канонического не случаен. Как показывает равенство (е, jx) = (х, 1е) = (х, е), в случае канонической изометрич-
ности Х и Е* мы можем говорить о равенстве Х = Е* в установленной между Хи Х двойственности.
Из слабой* компактности единичного шара пространства Х", сопряженного к банахову пространству Х, вытекает, что каждый элемент х из Х достигает своей нормы на единичном шаре Х, т. е . существует х* е Х* такой, что ||х || = 1 и (х, х ) = || х ||. Р. Джеймс показал, что обратное верно только в том случае, когда Х рефлексивно. Точнее: если Х - банахово пространство, Е = Х и каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х, то Х канонически изометрично Е .
В дальнейшем будем говорить, что Е обладает свойством (ТД) (обозначение Е е (ТД)) относительно банахова пространства Х, если Е является сильно замкнутым тотальным над Х подпространством в Х, все элементы которого достигают своей нормы на единичном шаре пространства Х. Как было указано выше, условие Е е (ТД) является необходимым для канонической изометрии Х и Е . Однако в общем случае, как показывают примеры Х = 11 [0, 1], Е = С [0, 1] с X и Х = т0 (Г), Е = 11 (Г) с Х для некоторого несчётного множества Г, это условие не является достаточным. Поэтому естественно поставить вопрос: при каких дополнительных ограничениях на Е условие Е е (ТД) влечёт каноническую изометричность Х и Е*?
С решением этой задачи и связана, по существу, настоящая работа.
Начнем с леммы, идея которой содержится в [4] и которая будет играть существенную роль в последующих построениях.
Лемма 1. Пусть Х - банахово пространство. Если последователь-
ность
|х* } с в(х*) и элемент х* е X* таковы, что |х*}п=1 сходится сла-
бо
к хп
и для каждого х* из выпуклой оболочки последовательности
|х*}и=1 ||х*|| >Р, в то время как ||х*|| <р2 для некоторого Ре (0; 1), то для
произвольных 1п > 0 таких, что £ 1п = 1, найдется последовательность
1
gn е сопи|х*}=п такая, что функционал £ 1п£п не достигает своей нормы
1
на единичном шаре пространства Х.
Доказательство. По лемме Джеймса найдутся ае [3; 1] и последовательность р е сопцпх*} такие, что
<-> п V 1 м = п ’
£ ХгРг
= а,
< а
1 -Р£ 1
V п+1 у
*
В силу локальной выпуклости слабой топологии и того факта, что
рп е сопи|х*}=п, для каждого х из Х имеем (х, рп) ® (х, х*).
Возьмем произвольный х е в(х) и выберем п так, чтобы
(х, рк) < Р2 < аР для всех к > п .
Тогда
/ о Л / п Л ¥ / о Л ¥
|х £ КРк < к £ \Рк +ар£ ^ <а1 -р£ ^ +ар£ ^ = а.
V 1 у V 1 У п+1 V п+1 у п+1
Таким образом, функционал £ 1 крк , принадлежащий сильному за-
1
мыканию выпуклой оболочки последовательности |хп }п=1, не достигает своей нормы на единичном шаре пространства Х.
Теперь докажем теорему об изометричности канонического вложения Х в Е при условии, что Е удовлетворяет некоторому требованию, не зависящему от конкретной нормы на Е и сохраняющемуся для пространств, изоморфных Е. Затем посмотрим, какие пространства Е удовлетворяют условиям этой теоремы.
Теорема 2. Пусть X банахово пространство, Е е (ТД). Если слабое секвенциальное замыкание РЕ (Е) во втором сопряженном Е совпадает со всем пространством Е , то X канонически изометрично Е .
Доказательство. Допустим, что каноническое вложение не является изометрией. Тогда образ /(В(X)) единичного шара пространства X не совпадает с шаром В(Е*) пространства Е , и можно утверждать [1, с. 57, лемма 2], что замыкание множества /(В^) в сильной топологии не совпадает с В(Е*).
Поэтому найдутся Ре (0; 1) и элемент е** е Е** такие, что Р< ||е**|| < 1, ®ир{(/х,е***): х е в(х)} <Р2.
Так как ||е**|| >Р, то существует е* е В(Е) такой, что (е^, е**) >Р.
Множество О = {е** е Е**: (е^,е**) > Р} слабо* открыто в Е**. Следовательно, по условию теоремы, множество РЕ (Е) п О секвенциально плотно в О. Так как е0 содержится в О, то найдется последовательность {еп}п=1 с Е такая, что для каждого е е Е (еп,е ) = (е ,рЕеп) ® (е ,е0 ) и для всех п справедливо (еп, е*) > Р .
В силу ограниченности последовательности {еп }^=1 можем считать,
что {еп }П=1 с В(Е), т. к. мы всегда достигнем этого, умножая эту после** Лі
довательность и элемент е0 на подходящий скаляр 1 є (0; 1) и, возможно, уменьшая Р.
Это означает, в частности, что для каждого х е X
(х,еп) = (еп, /х) ® (/х,е**) = (х, /е0**), т. е. последовательность
* ** е0 ) _ (х, ] е0
{еп }п=1 с Е с X* сходится слабо к элементу /*е** е X*, норма которого
п п=1 0
меньше, чем Р2. Так как (еп, е*) > Р для всех п, то и для каждого элемента е из выпуклой оболочки последовательности {еп }п¥=1 норма е не меньше, чем Р . Таким образом, все условия леммы 1 выполнены. Значит, согласно этой лемме, найдется элемент из Е, который не достигает своей точной верхней грани на единичном шаре пространства X, что противоречит условиям теоремы. Следовательно, Xканонически изометрично Е .
Следствие 3. Пусть X банахово пространство, Е е (ТД), Е сепарабельно и не содержит подпространств, изоморфных 11. Тогда X канониче-
г1*
ски изометрично Е .
Этот факт непосредственно вытекает из теоремы 2 и результата Оделла - Розенталя [5]: если Е сепарабельно и не содержит изоморфной копии 11, то РЕ (Е) слабо* секвенциально плотно в Е .
Посмотрим теперь, какие еще пространства Е удовлетворяют условиям теоремы 2, кроме указанных в следствии 3. Для этого нам потребуются следующие две, по-видимому, известные леммы, которые мы приводим для полноты изложения.
Напомним, что если Т - топологическое пространство и А с Т, то под счетным замыканием множества А в Т мы понимаем объединение замыканий всех счетных подмножеств А.
Лемма 4. Пусть банахово пространство Е не содержит изоморфной копии 11. Тогда слабое* секвенциальное замыкание РЕ (Е) в Е совпадает *** с его слабым счётным замыканием в Е .
Доказательство. Пусть Е не содержит подпространств, изоморфных
11. Возьмем произвольный элемент е** е Е**, принадлежащий счетному замыканию пЕ (Е) в Е**. Тогда найдется последовательность {еп }¥=1 с Е
** /- * ( •, о 1^**
такая, что е лежит в слабом замыкании множества {р Ееп }п=1 с Е . Пусть Ь обозначает сильное замыкание линейной оболочки множества {еп }п=1. Очевидно, Ь сепарабельно и не содержит 11, поэтому, по теореме Оделла - Розенталя [5], рЬ (Ь) слабо* секвенциально плотно в Ь . С другой стороны, сопряжённое Ь может быть канонически отождествлено с фактор-пространством Е /Ь1 (Ь1 обозначает аннулятор пространства Ь в сопряжённом Е*), а второе сопряжённое Ь** - с Ь 11 с Е** [1, с. 201-202]. Так как Ь11 есть не что иное, как биполяра подпространства Ь с Е, то е** е Ь11. Кроме того, топологии с(Ь11, Е*) и а(Ь11, Е*/Ь1) совпадают. Следовательно, е** принадлежит секвенциальному замыканию
множества кЬ (Ь) в Е , а значит, и слабому секвенциальному замыканию РЕ (Е) в Е . Таким образом, мы показали, что слабое* счетное замыкание множества РЕ (Е) в Е содержится в секвенциальном замыкании этого
множества. Обратное включение очевидно.
Лемма 5. Пусть банахово пространство У содержит подпространство, изоморфное /1(Г) для некоторого множества Г, и для банахова пространства X существует сюръективный непрерывный линейный оператор Е: X ® У . Тогда X содержит подпространство, изоморфно /1 (Г) .
Доказательство. Пусть система {уу}уеГ с У эквивалентна каноническому базису в /1(Г), т. е. существуют такие положительные постоянные А и В, что для любого элемента (ау)уеГ е /1(Г) выполнено неравен-
ство а£ |ау| <
уеГ
£ а у
уеГ
< В£|ау| . Тогда очевидно, что подпространство
уеГ
X, натянутое на ограниченное подмножество {ху }уеГ с X такое, что
ху е Е_1(уу), изоморфно /1(Г).
Напомним, что банахово пространство X обладает свойством (С), если из любой совокупности замкнутых выпуклых подмножеств X с пустым пересечением можно выделить счетное подсемейство с пустым пересечением.
Лемма 6. Если банахово пространство Х обладает свойством (С), то для каждого выпуклого V с X его слабое* и счетное слабое* замыкания совпадают.
Доказательство. Это утверждение непосредственно вытекает из результатов Р. Пола [6]: если Х обладает свойством (С), то для любого множества А с
Х*
и элемента х* из слабого* замыкания А найдется счетное подмножество В с А такое, что х* принадлежит слабому* замыканию выпуклой оболочки В.
Теорема 7. Пусть банахово пространство Е таково, что Е обладает свойством (С). Тогда слабое* секвенциальное замыкание РЕ (Е) в Е сов**
падает с Е .
Доказательство. Заметим, что т. к. Е обладает свойством (С), то
?к ?к ?к?к счётное замыкание РЕ (Е) в Е совпадает со всем пространством Е . Если бы пространство Е содержало изоморфную копию 11, то Е имело бы фактор-пространство, изоморфное I о. Но I о содержит подпространство, изоморфное /1(Г) на несчетном множестве Г. По лемме 5, Е содержит изоморфную копию 11 (Г). В то же время 11 (Г) на несчетном множестве Г не обладает свойством (С) [7]. Следовательно, Е не обладает свойством (С), что противоречит условию теоремы. Таким образом, Е не содержит подпространств, изоморфных 11. По лемме 4 слабое счетное и слабое секвенциальное замыкания кЕ (Е) в Е совпадают, что и завершает доказательство.
Следствие 8. Пусть X банахово пространство, Ее (ТД) и Е* обладает свойством (С). Тогда X канонически изометрично Е .
Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 2 и 7.
Следствие 9. Пусть X банахово пространство, Е е (ТД) и Е* линде-лёфово в слабой топологии. ТогдаXканонически изометрично Е .
Для доказательства надо только учесть, что всякое линделёфово в слабой топологии банахово пространство будет обладать свойством (С).
В доказательстве следующего результата мы используем теорему об изометричности канонического вложения Xв Е , [8, с. 57, теорема 2].
Теорема 10. Пусть банахово пространство Е обладает эквивалентной нормой такой, что соответствующая норма на Е* будет гладкой. Тогда слабое* секвенциальное замыкание РЕ (Е) в Е совпадает с Е .
Доказательство. Будем для удобства считать, что норма Е такова, что её двойственная норма на Е гладкая. Заметим, что в этом случае Е не содержит подпространств, изоморфных 11. Действительно, в противном случае Е имело бы фактор-пространство, изоморфное I о, и, по лемме 5, должно было бы содержать изоморфную копию /1(Г) для некоторого несчетного множества Г. Но 11 (Г) не имеет эквивалентной гладкой нормы (см., например, [9]), что противоречит гладкости нормы на Е .
Итак, Е не содержит подпространств, изоморфных 11. По лемме 4, слабое* секвенциальное и слабое* счётное замыкания кЕ (Е) в Е совпадают. Пусть Е* обозначает слабое* секвенциальное замыкание РЕ (Е) в Е** и В* = В(Е**) п(Е*).
Множество В* будет счётно замкнутым в В(Е *), т. е. для любого счётного подмножества А с В* его слабое* замыкание целиком лежит в В* . Так как шар В(Е ) слабо* компактен, то множество В* будет счётно компактным, а значит, и псевдокомпактным [10, теорема 3.10.20]. В частно**
сти, каждый элемент е е Е достигает своей точной верхней грани на множестве В*. С другой стороны, точная верхняя грань элемента е на
В* совпадает с ||е*|| в силу слабой* плотности В* в шаре В(Е *). Таким образом, Е изометрично вкладывается в сопряжённое Е* . Очевидно, что Е тотально на Е*. Как отмечалось выше, каждый элемент из Е достигает своей нормы на единичном шаре В* пространства Е* и Е гладко. Из [8, с. 57, теорема 2] следует, что Е* канонически изометрично Е , и, значит, сек-векциальное замыкание РЕ (Е) в Е совпадает с Е .
Следствие 11. Пусть X банахово пространство, Ее (ТД) и Е имеет такую эквивалентную норму, что двойственная норма на Е* будет гладкой. Тогда X канонически изометрично Е .
Заключение
Как видно из изложенного выше, свойства тотального пространства Е весьма существенным образом сказываются на возможности описания сопряжённого пространства в смысле канонической изометрии в терминах линейных функционалов, достигающих своей нормы на единичном шаре исходного пространства Банаха.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Karlin S. Bases in Banach spaces // Duke math. J. - 1948. - 15. - Р. 971-985.
2. Гельфанд И. М. К теории абстрактных функций // ДАН. - 1937. - 17 : 5. -С. 237-239.
3. Davis W. J., Johnson W. S. A renorming of nonreflexive Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - 31 : 1. - P. 109-111.
4. Ефремов Н. М. Об одном условии сопряжённости пространства Банаха. - Изв. высш. учеб. завед. Математика. - 1984. - № 4. - С. 11-13.
5. Odell E., Rosenthal H. P. A double-dual characterization of separable Banach spaces containing 11 // Isr. Journ. Math. - 1975. - 20. - Р. 375-384.
6. Pol R. On a qastion of H. H. Corson and same related problems // Funf. Math. -1980. - P. 143-154.
7. Edgar G. A. Mesurability in a Banach space, 11 // Ing. University Math. Journ. -1979. - 28 : 4. - P. 559-579.
8. Петунин Ю. И., Пличко А. Н. Теория характеристик подпространств и её приложения. - Киев: Вища школа, 1980.
9. Leach E. E., Whitfield J. H. M. Differentiable functions and rought norm on Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1972. - 33. - P. 120-126.
10. Hagler J., Johnson W. B. On Banach spaces whose dual balls are not weak* sequentially compact // Isr. Journ. Math. - 1977. - 28 : 4. - P. 325-330.
Получено 19.09.05
ISOMETRIC CONDITIONS OF A BANACH SPACE DUAL IN TERMS OF TOTAL SUBSPACE OF DUAL SPACE
N. M. Efremov
The symbol Е e (T,fl,) is used by us in the case when Е is strongly closed total subspace above a Banach space X in X, and all its elements obtain their norm on an unit ball of the space X. The condition Е e (T^) is necessary for canonical, i. e. set in between X and X duality, isometry X and Е , but not sufficient. There are some basic results. They are the following ones. Theorem 2. Let Х be a Banach space, Е e T^. If a weak sequential short (K) in the second dual
Е is congruent with the whole space Е , then X is canonical isometric E . Consequence 3. Let Х be a Banach space, Е e T^, Е is separable and does not contain subspaces that are isomorphic to l1. Then X is canonical isometric E . Theorem 7. Let a Banach space Е be such a space, that E possesses the property (C). Then a weak sequential short (K) in Е is congruent with Е . Theorem 10. Let a Banach space Е possess such an equivalent norm, that the corresponding norm on Е will be smooth. Then a weak sequential short (K) in Е will be congruent with Е .
