Управление риском вероятности дефолта субъектов Российской Федерации Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Математические методы и модели

УПРАВЛЕНИЕ РИСКОМ ВЕРОЯТНОСТИ ДЕФОЛТА СУБЪЕКТОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Артур Александрович МИДЕЛЬа,% Анна Владимировна ГЕРМАНь

а доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики и математической физики,

Национальный исследовательский Томский политехнический университет; профессор кафедры АСУ, Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, Российская Федерация maa@asu. tusur.ru

ь студентка магистратуры физико-технического института,

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, Российская Федерация Anuto4ka70@yandex.ru

• Ответственный автор

История статьи:

Принята 30.07.2015 Принята в доработанном виде 30.11.2015

Одобрена 01.02.2016

УДК 519.863 ЛЖЬ: С4, С5

Ключевые слова: кредитные рейтинги, субъект Российской Федерации, управление риском вероятности дефолта

Аннотация

Предмет и тема. В настоящее время получение кредитного рейтинга не является проблемой. Но при том, что затраты на такого рода процедуру достаточно высокие и не всегда оправданы, существует потребность у органов власти в оценке предполагаемого уровня рейтинга до того, как им придется оплачивать услуги агентств и в случае определения низкого уровня рейтинга иметь возможность управлять им. В качестве предмета исследования в работе выделялся кредитный рейтинг субъекта РФ. Тема работы - управление риском вероятности дефолта субъектов Российской Федерации.

Цели. Целью работы была разработка модели управления вероятностью риска дефолта субъектов Российской Федерации. В результате проделанной работы, в статье предложена модель управления вероятностью риска дефолта субъектов Российской Федерации. Методология. Данная модель основана на квадратичном критерии качества и линейном законе управления.

Результаты. Модель разработана таким образом, что ее применение возможно не только для субъектов с уже присвоенным рейтингом, но и для тех субъектов Российской Федерации, которые еще не имеют рейтинга, присвоенного одним из ведущих рейтинговых агентств (Standard & Poor's, Fitch Ratings и Moody's). Это стало возможным за счет выделения единых показателей для расчета вероятности риска дефолта для всех субъектов Российской Федерации. Разработанный алгоритм был применен к Томской области.

Выводы. Выявлено, что для получения необходимой вероятности к заданному периоду необходимо последовательно увеличивать некоторые показатели (отношение прямого долга к собственным доходам, отношение государственного долга к валовому региональному продукту, отношение расходов на государственный долг к расходам бюджета, отношение заемных средств к доходам) и уменьшать отношение условного долга к собственным доходам, долю собственных доходов в доходах бюджета, отношение дефицита бюджета к собственным доходам, отношение расходов на обслуживание долга к собственным доходам.

© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2015

Введение

Получение кредитного рейтинга - один из наиболее распространенных способов повышения инвестиционной привлекательности долговых обязательств компаний и органов власти. Кредитный рейтинг региона является комплексной оценкой, которая показывает способность регионального органа государственной власти к полному и своевременному выполнению взятых на себя долговых обязательств по погашению займов и их обслуживанию, учитывая прогноз изменений социально-политической ситуации, а также экономической среды [1].

Кредитный рейтинг отражает мнение аналитиков агентств о платежеспособности субъекта

Российской Федерации на момент присвоения рейтинговой оценки [2].

Кредитный рейтинг рассчитывается рейтинговыми агентствами на основе настоящей и прошедшей финансовой истории [3]. Эти агентства могут быть как регионального или отраслевого уровней, то есть специализироваться на конкретном географическом регионе или отрасли, так и международного, к которым относятся Standard & Poors, Moody's Investors Service и Fitch Ratings [4]. Однако у органов власти существует потребность в оценке предполагаемого уровня рейтинга до того, как им придется оплачивать услуги агентств.

В общем смысле кредитный рейтинг представляет собой уровень кредитоспособности. Его основным

предназначением является предоставление предполагаемым кредиторам или вкладчикам информации о том, с какой вероятностью будет произведена своевременная выплата взятых финансовых обязательств. Именно это определение дается в статье А.Л. Аниховского «Кредитный рейтинг: основные элементы и классификация» [5]. Также автор описывает два типа моделей присвоения рейтинговой оценки.

Первый тип. Статистические модели, основанные на расчете кредитного рейтинга по определенной формуле, включающей как количественные факторы (финансовые коэффициенты), так и некоторые качественные, но

стандартизированные и приведенные

к количественному значению, аспекты деятельности анализируемого субъекта Российской Федерации. Эти модели включают три этапа: первый - определение переменных (как правило, финансовых коэффициентов),

оказывающих влияние на значение кредитного рейтинга; второй - определение влияния каждого фактора на уровень кредитоспособности, что находит соответствующее отражение в весе коэффициента; третий - текущие переменные взвешиваются по степени влияния, затем полученный результат суммируется, и на этом основании определяется некое значение рейтинга, выраженное в баллах.

Второй тип. Модели ограниченной экспертной оценки, которые основаны на применении статистических методов с последующей корректировкой на основании неких количественных параметров.

Как подчеркивает А.Ю. Аверин, выделяются следующие методические подходы к оценке рейтинга регионов [4]:

• формирование системы разноплановых показателей, всесторонне отражающих конкурентные преимущества региона;

• выделение ключевых показателей конкурентоспособности;

• выявление характерных позиций.

Как отмечают специалисты, во многих методиках предпочтение отдается балльным,

преимущественно экспертным, оценкам каждого из учитываемых факторов. Но, как показывает практика, экспертные балльные оценки неизбежно являются в значительной мере субъективными

и обычно сглаживают реальный разброс региональных характеристик, так как эксперты остерегаются крайних оценок. Но вместе с тем в модели, предложенной А.Ю. Авериным, также используются весовые показатели, которые определяются экспертным путем.

Авторы работы [3] выделяют несколько принципиальных особенностей кредитных рейтингов:

• кредитный рейтинг отражает относительный уровень кредитного риска;

• кредитный рейтинг не является советом по инвестициям или рекомендацией по покупке, хранению или продаже ценных бумаг, но он является одним из факторов, на которые инвестор может обратить внимание при принятии того или иного инвестиционного решения;

• кредитный рейтинг не является индикатором ликвидности на рынке для долговых ценных бумаг или их цены на вторичном рынке;

• кредитный рейтинг не является гарантией кредитного качества заемщика. Назначение рейтинга не состоит в том, чтобы указать на целесообразности каких-либо инвестиций. Рейтинг отражает лишь аспект, который необходим для того, чтобы принять инвестиционное решение, а в случае со страной или регионом отражает уровень возврата долга в случае дефолта.

Двухэтапную методику предлагает Л.М. Цаллагова [1]. Вначале, исходя из качественного анализа и изучения имеющихся информационных источников, выделяются индикаторы, то есть характерные качественные указатели того или иного явления. Далее с учетом возможностей, определяемых разным статистическим

обеспечением региональной и муниципальной экономики, выбираются исходные данные по совокупности исследуемых показателей.

Также в экономической литературе наблюдаются три качественно разнящихся подхода. В методике «РИА-Аналитика» используются экспертно-выбранные ключевые показатели, в методике, применяемой в Кабардино-Балкарской

Республике, выделяется множество показателей по девяти группам, в ряде исследований ключевые показатели выбираются в рамках индикативного подхода [1].

Авторы работы [2] предложили определять кредитный рейтинг при помощи математического аппарата нейронных сетей с использованием пяти входных финансовых показателей.

В предыдущей работе авторов1 предложена модель, позволяющая оценить вероятный уровень кредитного рейтинга. Для построения модели в качестве показателей, влияющих на значение кредитного рейтинга, были выбраны:

• Х1 = Прямой долг /Доходы без учета безвозмездных поступлений;

• Х2 = Условный долг / Доходы без учета безвозмездных поступлений;

• хз = Доходы без учета безвозмездных поступлений / Общий объем доходов;

• х4 = Дефицит бюджета / Доходы без учета безвозмездных поступлений;

• х5 = Расходы на обслуживание долга / Объем доходов без учета безвозмездных поступлений;

• хб = Общий государственный долг / Валовой региональный продукт;

• х7 = Расходы на общий государственный долг / Расходы бюджета;

• х8 = Индекс промышленного производства / Валовой внутренний продукт РФ;

• хэ = Заемные средства / Общий объем доходов бюджета.

Значения этих показателей находятся в открытом доступе. Основными источниками этих данных послужили сайты Минфина России, Росстата и Федерального казначейства, на которых публикуются отчеты об исполнении бюджета, объеме долга, показатели, характеризующие финансовое положение субъектов Федерации. В результате была построена нелинейная регрессионная модель вероятности дефолта2.

Некоторые зарубежные авторы утверждают, что успешное моделирование рейтингов возможно при использовании модели упорядоченного выбора и простых методов линейной регрессии. Так, авторы работы [б], говоря о суверенном рейтинге, из

1 Мицель А.А., Герман А.В. Математическая модель оценки кредитного рейтинга регионов Российской Федерации // Экономический анализ: теория и практика. 2015. № 6. С. 2-8.

2 Там же.

большого количества критериев, используемых двумя ведущими рейтинговыми агентствами S&P и Moody's, выбрали шесть факторов, которые, по их мнению, играют важную роль в определении кредитного рейтинга: доход на душу населения, темпы роста ВВП, инфляции, внешнего долга, уровень экономического развития и истории по умолчанию. Работа [7] посвящена выявлению и обоснованию драйверов роста и региональному развитию в России. В этой работе на основании регрессионного анализа рассматривалось влияние уровня внутреннего спроса и неравенства доходов в регионах России на темпы их экономического роста и инвестиционной привлекательности. В работе [8] авторы исследуют моделирование и обучение нейронных сетей и модель упорядоченного выбора для большой выборки рейтингов, предоставляемых рейтинговыми агентствами. Авторы предполагают, что модель упорядоченного выбора может учитывать дискретность природы зависимых переменных, и поэтому является наиболее подходящей эконометрической методологией для рейтингов. Авторы работы [9] использовали многоуровневую порядковую логистическую регрессию для анализа оценки рейтингов. Они исследовали шесть рейтинговых агентств и нашли систематические различия рейтингов этих агентств.

Во всех рассмотренных работах российских и зарубежных авторов решается прямая задача -оценка кредитного рейтинга по известным показателям.

В этой работе рассматривается обратная задача -какими должны быть значения показателей, чтобы вероятность дефолта не выходила за пределы допустимой. При этом за основу берется модель, предложенная ранее3. Для решения задачи привлекается математический аппарат теории оптимального управления. В настоящее время эта теория широко используется для решения экономических задач [10]. Например, применительно к инвестиционному портфелю эта задача достаточно подробно исследовалась в работах [11, 12]. В них задача управления портфелем ценных бумаг формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем, имеющим заданную желаемую доходность. Этот подход (в данном случае слежение за желаемой вероятностью дефолта) используется для решения задачи управления риском вероятности дефолта субъектов РФ.

3 Там же.

Описание модели

Мы выделили восемь показателей, наиболее критичных для оценки риска рефинансирования, оказывающих влияние на рейтинг субъекта. Пусть значения этих показателей вышли за границы допустимых и нам необходимо изменить их значения, чтобы избежать низкого значения рейтинга. Для этого необходимы изменения этих основных показателей.

Обозначим Xi (0, i = 1,..., п показатели в момент времени г, г = 1,..., T - 1, где T - планируемый момент времени выхода региона на необходимый уровень рейтинга; x0I■ (г) - плановые значения показателей, соответствующих устойчивому функционированию региона; V (г) - вероятность дефолта, которую имеет регион в состоянии кризиса; У°(0 - максимально допустимая вероятность дефолта, при которой обеспечивается устойчивое состояние региона [14-15].

Для вероятности дефолта в работе было получено следующее выражение:

V (г) — к + () + Х2(/))к2 +

+Хз2^з + х4(г к + (1)

+(х5(0 + х7(г))К5 + х6(г)К6 + х8(0К7,

где Xi (г) - показатели финансовой и социально-политической деятельности региона.

Значения коэффициентов к,,, = 1,7 составили: К = 4,17, к2 = -6,05, кз = -1,71, к4 = 30,39, кз = 27,34, к6 = 0,03, к7 = 6,6.

Перенумеруем коэффициенты модели (1):

к — кх, к — к2, к2 — к2, к3 — к3, к4 — к4,

kg — kg, kg — kg, ky — kg, kg — ky.

(2)

Тогда с учетом (2) зависимость (1) примет вид

где п = 8. В свою очередь и,(г) — х,(г), ■ —1,2,5,...,8; и3(г) — х32(г), и4(г) — х4(г).

Зависимость показателей х, представим в форме

где |1г(7)- темп изменения 7-го показателя. С учетом (4) запишем (3) как

(4)

где

Зависимость максимально допустимой

вероятности дефолта (эталонной вероятности) от времени можно выразить как

V = (t + 1) = (1 - цс) V0 (t),

(6)

где Ц0 - желаемый темп изменения вероятности дефолта.

Закон управления определим в виде

и (г) — К1(г )V (г) + К 2(г )V 0(г) — К (г) г (г), (7)

где г(г) — (V (г XV 0(г))т; К (г) — (К1(г), К 2(г))

- матрица коэффициентов

обратной связи.

Объединяя (5) и (6) с учетом (7), имеем

г (г +1) — (А(г) + в(г) К (г)) г (г),

Выражение (7) представляет собой уравнение состояния системы.

Введем функционал

Т-1

J =

£[[Г(0 - v\t)f + («(Ofi?(iX"(0)] ■

г=0

(t) от времени

+[V(T)-V\T)f

который характеризует качество процесса слежения за максимально допустимой вероятностью дефолта региона. Минимизируя этот функционал, можно обеспечить выход региона на плановый режим.

Здесь R (О - диагональная матрица весовых коэффициентов.

Введем вектор h = (1,-1). С учетом (7) функционал (8) перепишем в следующем виде:

т-1 г

J = Y, zr(t)hThx(t) + (K(t)z(t))T

t=о

(9)

xR(t)(K(t)z(t)] + zr(T)hThz(T). Перепишем выражение (9) в форме

а функционал (10) преобразуется к виду

(11)

x[A(t) + C(t)] + G(t)-hTh,

(13)

(14)

(15)

Граничные условия определяются выражениями:

(16)

(10)

Введем матрицу Р (0 = г (0 zT(0, для которой уравнение состояния примет вид

(12)

Необходимо найти оптимальное решение ( Р (0, К (1)), при котором функционал (12) принимает минимальное значение.

Итак, имеем задачу оптимального управления, в которой уравнение состояния описывается многошаговым процессом (11), а функционал качества - выражением (12). Управление задается вектором и(0, определяемым выражением (7). Для решения этой задачи используется принцип максимума в матричной формулировке.

Решением задачи слежения за максимально допустимой вероятностью дефолта является следующая система уравнений:

В формулах (13)-(14) введены обозначения матриц:

Алгоритм решения задачи (13)-(16) состоит из следующих шагов:

1) подставляем граничное значение ¥ (Т) в (13) и вычисляем ¥ (0, 1 = Т-1, Т-2,... 1;

2) вычисляем К(0, 1 = 0, 1, 2,..., Т-1 по формуле (14);

3) вычисляем Р (0, 1 = 0, 1,..., Т по формуле (15);

4) вычисляем вероятности дефолта

5) вычисляем вектор управления, связанный с конкретными показателями и (0 = К (0 г (0,

где 2(0 = (т,П0)Т;

6) вычисляем оптимальные значения показателей, от которых зависит рейтинг региона X (0 = и, (0, I = 1, 2, 5,., 8; Х3(0 = МО)1'2; Х4(0 = (и4(0)1/3 (см. выражение (4)).

Результаты моделирования

Разработанная модель была применена к рейтингу Томской области. В качестве х, (г), ■ = 1,..., п были взяты значения показателей, наиболее критичных для оценки риска рефинансирования, оказывающих влияние на рейтинг субъекта за период с 01.04.2008 по 01.01.20154.

Так как рейтинг Томской области был присвоен лишь в 2013 г., реальные показатели были взяты за каждый квартал с 2014 г., а с помощью построенной регрессионной модели был рассчитан предположительный уровень рейтинга для недостающих периодов. Получили, что для первого момента времени предполагаемая вероятность дефолта соответствовала рейтингу В+ (10,43%) [12-14].

В качестве максимально допустимой вероятности для первого момента времени задано значение, соответствующее рейтингу ВВ (5,75%). Это значение с течением времени также имело отрицательную динамику.

Коэффициенты Ц( были рассчитаны по следующей формуле:

где п = 28; , = 1,8 .

Максимально допустимая и реальная вероятности дефолта представлены на рис. 1. Как видно, с течением времени реальная вероятность приближается к максимально-допустимой.

Значения показателей, обеспечивающих устойчивое развитие региона, представлены на рис. 2.

Анализ расчетов показал, что для получения максимально необходимой вероятности к заданному периоду необходимо последовательно увеличивать следующие показатели: первый, шестой, седьмой, восьмой (отношение прямого долга к собственным доходам, отношение государственного долга к ВРП, отношение

Economic Analysis: Theory and Practice

расходов на государственный долг к расходам бюджета, отношение заемных средств к доходам); и уменьшать второй, третий, четвертый и пятый (отношение условного долга к собственным доходам, долю собственных доходов в доходах бюджета, отношение дефицита бюджета к собственным доходам, отношение расходов на обслуживание долга к собственным доходам). При этом оказалось, что оптимальные значения показателей первой группы приняли отрицательные значения, что противоречит экономическому смыслу. Это является следствием того, что задача оптимального управления решалась без ограничений на допустимые значения управляемых переменных. Поэтому следует принять их значения равными нулю (рис. 2). Значения показателей второй группы не противоречат экономическому смыслу.

Заключение

В рамках данной работы была построена динамическая модель управления рейтингом кредитоспособности региона. Модель основана на квадратичном критерии качества и линейном законе управления. Модель апробирована на реальных данных по Томской области. В результате получено оптимальное управление для заданной вероятности дефолта, а именно значения показателей, обеспечивающих выход на максимально допустимую вероятность 1,5%, что соответствует рейтингу BBB- в конечный момент времени T. При этом оптимальный уровень показателей может быть достигнут изменением лишь нескольких составляющих, а именно увеличением собственных доходов бюджета и снижением расходов бюджета.

В силу того, что при применении алгоритма были получены отрицательные значения показателей, не соответствующие действительности, на

следующем этапе работы предполагается применить аналогичный алгоритм управления, но с введением ограничений на значения показателей, а также выяснить, какие методы экономической, бюджетной и финансовой политики необходимо использовать для нужного изменения показателей. Для решения поставленной задачи предполагается использовать различные методы системного подхода, в частности метод анализа иерархий.

4 (2016) 179-188

4 ТРП - финансовые решения. URL: http://trp.tomsk.ru/ratings/

Рисунок 1

Максимально допустимая и реальная V вероятности дефолта

Рисунок 2

Оптимальные значения показателей, для которых вероятность дефолта принимает максимально допустимые значения

15

10

о

V 1

IV 1 III \ \

5 10 15

Примечание. I - Y0, Y5, Y6, Y7; II - Y1; III - Y4; IV - Y2; V - Y5.

25

30

Список литературы

1. Цаллагова Л.М. Рейтинговая оценка муниципальных образований региона // Управление экономическими системами. 2013. № 7. URL: http://uecs.ru/otraslevaya-ekonomika/item/2229-2013-07-03-08-16-09.

2. Истомин Н.А., Мицель А.А. Оценка справедливой доходности облигационного выпуска на основе структуры безрисковых ставок // Управление риском. 2008. № 4. С. 41-46.

3. Карминский А.М., Пересецкий А.А., Головань С.В., Малахова И.В., Миненкова Е.С. Модели рейтингов международных агентств. М.: Российская экономическая школа, 2007. 59 с.

4. Аверин А.Ю. Модель рейтинговой оценки регионов на основе социально-экономического потенциала // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2012. № 28. С. 176-178.

5. Аниховский А.Л. Кредитный рейтинг: основные элементы и классификация // Деньги и кредит. 2009. № 3. С. 30-34.

6. Cantor R., Packer F. Determinants and Impact of Sovereign Credit Ratings // FRBNY Economic Policy Review. 1996. October. P. 37-54.

7. Kramin M.V., SafmUin L.N., Kramin T.V., Timiryasova A.V. Drivers of Economic Growth and Investment Attractiveness of Russian Regions // Life Science Journal. 2014. Vol. 11(6s). P. 526-530.

8. Bennell J.A., Crabbe D., Thomas S., Gwilym O. Modelling Sovereign Credit Ratings: Neural networks versus ordered probit // Expert Systems with Applications. 2006. Vol. 30. Iss. 3. P. 415-425.

9. Linden F., McNamara G., Vaaler P. Idiosyncratic region and rater effects on sovereign credit ratings. A paper submitted for presentation in the International Management Division of the Academy of Management Annual Meeting in San Diego, California, USA, 1998. August.

10. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М., Данилов Н.И., Сергеев С.И. Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа, 1990. 430 с.

11. Athans M. The Matrix Minimum Principle // Information and Control. 1967. Vol. 11. P. 592-606.

12. Мицель А.А., Красненко Н.П. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем с линейным критерием качества // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. 2014. № 4. С. 176-182.

13. Рекундаль О.И., Мицель А.А., Золтоев А.Б. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем пенсионных накоплений // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 1. Ч. 1. URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=17416

14. Keenan S., Hamilton D., Berthault A. Historical Default Rates of Corporate Bonds Issuers, 1920-1999. Moody's Investors Service, 2000. URL: http://www.kisrating.com/report/moodys_report/%EA %B8%B0%ED%83%80/DefaultRates.pdf.

15. Verde N., Needham C. Fitch Ratings Global Corporate Finance 2009 Transition and Default Study, 2010. URL: http://urlid.ru/afiv.

ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)

Mathematical Methods and Models

MANAGING THE RISK OF PROBABILITY OF DEFAULT OF THE RUSSIAN FEDERATION SUBJECTS Artur A. MITSEL'a% Anna V. GERMAN

a National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation maa@asu. tusur.ru

b National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, Russian Federation Anuto4ra70@yandex. ru

• Corresponding author

Article history:

Received 30 July 2015 Received in revised form 30 November 2015 Accepted 1 February 2016

JEL classification: C4, C5

Keywords: credit rating, constituent entity, Russian Federation, probability of default, risk management

Abstract

Importance Currently, to obtain a credit rating is not a problem. However, despite the fact that the cost of the procedure is quite high and not always justified, the authorities need to assess of the expected level of rating prior to paying for the services of rating agencies, and, in the event of low rating, to be able to manage it.

Objectives The aim of the study is to develop a model to manage the risk of the probability of default of subjects of the Russian Federation.

Methods The model is based on the quadratic criteria and the linear control law.

Results The model is designed so that it may be applied not only by subjects having an assigned

rating, but also by those subjects of the Russian Federation that do not yet have a rating assigned by

one of leading rating agencies (Standard & Poor's, Fitch Ratings and Moody's). This was possible

owing to defining single indicators to calculate the risk of probability of default for all subjects of the

Russian Federation. The developed algorithm was applied to the Tomsk oblast.

Conclusions The study revealed that to obtain desired probability over predetermined period, it is

necessary to increase certain indicators, like direct debt to individual income ratio, State debt to GRP

ratio, public debt expense to budget expense ratio, and some others, and to decrease the ratio of

contingent liability to own income, the share of own income in budget revenues, budget deficit to

own income ratio, and others.

© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2015

References

1. Tsallagova L.M. [The rating of region's municipalities]. Upravlenie Ekonomicheskimi Sistemami, 2013, no. 7. (In Russ.) Available at: http://uecs.ru/otraslevaya-ekonomika/item/2229-2013-07-03-08-16-09.

2. Istomin N.A., Mitsel' A.A. Otsenka spravedlivoi dokhodnosti obligatsionnogo vypuska na osnove struktury bezriskovykh stavok [The estimates of fair yield of a bond issue based on the structure of risk-free rates].

Upravlenie riskom = Risk Management, 2008, no. 4, pp. 41-46.

3. Karminskii A.M., Peresetskii A.A., Golovan' S.V., Malakhova I.V., Minenkova E.S. Modeli reitingov mezhdunarodnykh agentstv [Ratings models of international agencies]. Moscow, Rossiiskaya ekonomicheskaya shkola Publ., 2007, 59 p.

4. Averin A.Yu. Model' reitingovoi otsenki regionov na osnove sotsial'no-ekonomicheskogo potentsiala [A rating model for regions on the basis of socio-economic potential]. Izvestiya PGPU im. V.G. Belinskogo = News of PSPU named after V.G. Belinskiy, 2012, no. 28, pp. 176-178.

5. Anikhovskii A.L. Kreditnyi reiting: osnovnye elementy i klassifikatsiya [Credit rating: main elements and classification]. Den'gi i kredit = Money and Credit, 2009, no. 3, pp. 30-34.

6. Cantor R., Packer F. Determinants and Impact of Sovereign Credit Ratings. FRBNY Economic Policy Review, 1996, October, pp. 37-54.

7. Kramin M.V., Safiullin L.N., Kramin T.V., Timiryasova A.V. Drivers of Economic Growth and Investment Attractiveness of Russian Regions. Life Science Journal, 2014, vol. 11(6s), pp. 526-530.

8. Bennell J.A., Crabbe D., Thomas S., Gwilym O. Modelling Sovereign Credit Ratings: Neural networks versus ordered probit. Expert Systems with Applications, 2006, vol. 30, iss. 3, pp. 415-425.

9. Linden F., McNamara G., Vaaler P. Idiosyncratic Region and Rater Effects on Sovereign Credit Ratings. A paper submitted for presentation in the International Management Division of the Academy of Management Annual Meeting in San Diego, California, USA, 1998.

10. Krotov V.F., Lagosha B.A., Lobanov S.M., Danilov N.I., Sergeev S.I. Osnovy teorii optimal'nogo upravleniya [Fundamentals of the theory of optimal control]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1990, 430 p.

11. Athans M. The Matrix Minimum Principle. Information and Control, 1967, vol. 11, iss. 5-6, pp. 592-606.

12. Mitsel' A.A., Krasnenko N.P. Dinamicheskaya model' upravleniya investitsionnym portfelem s lineinym kriteriem kachestva [A dynamic model to manage an investment portfolio with linear quality criterion].

Doklady Tomskogo gosudarstvennogo universiteta sistem upravleniya i radioelektroniki = Proceedings of Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, 2014, no. 4, pp. 176-182.

13. Rekundal' O.I., Mitsel' A.A., Zoltoev A.B. [A dynamic model of pension capital investment portfolio management]. Sovremennye Problemy Nauki i Obrazovaniya, 2015, no. 1, part 1. (In Russ.) Available at: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=17416.

14. Keenan S., Hamilton D., Berthault A. Historical Default Rates of Corporate Bonds Issuers, 1920-1999. Moody's Investors Service, 2000. Available at: http://www.kisrating.com/report/moodys_report/%EA %B8%B0%ED%83%80/DefaultRates.pdf

15. Verde N., Needham C. Fitch Ratings Global Corporate Finance 2009 Transition and Default Study, 2010. Available at: http://urlid.ru/afiv.