CC BY
38
Численные методы расчета конструкций
УЧЁТ ПОДКРЕПЛЕНИЙ ПРИ РАСЧЁТЕ ОБОЛОЧЕК ВАРИЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ
ИВ. КУШНАРЕНКО, аспирант
Российский университет дружбы народов,
117198, Москва,ул. Миклухо-Маклая, 6,ivan.v.kush@yandex.ru
Рассматривается ребристая оболочка общего вида, состоящая из обшивки, положение точек срединной поверхности которой определяется криволинейными ортогональными координатами а, в, и криволинейных рёбер, расположенных вдоль координатных линий.В данный момент в работе принят ставший уже классическим подход моделирования рёбер теорией стержней Кирхгофа-Клебша. Оболочка описывается теорией тонкостенных оболочек Кирхгофа-Лява.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: подкрепление, рёбра, ребристые оболочки, ребристые пластинки, формообразование, численные методы, вариационно-разностный метод.
Оболочки находят широкое применение при проектировании летательных аппаратов, кораблей, тепловозов, резервуаров, в гражданском и промышленном строительстве и в других инженерных сооружениях.
Одним из основных требований, предъявляемых кподобного рода конструкциям, является обеспечение минимального веса при достаточной прочности и устойчивости. Наиболее полно удовлетворяются эти требования путем применения либо слоистых оболочек, либо оболочек, подкрепленных ребрами жесткости.
Из конструктивных соображений обычно подкрепляющие ребра располагаются с наружной или с внутренней стороны оболочки, т. е. несимметрично по отношению к срединной поверхности обшивки (стенки). Учет особенностей, характерных для эксцентрично подкрепленных конструкций показал [1], что для умеренно подкрепленных цилиндрических оболочек критическая осевая нагрузка при наружном расположении продольных ребер (стрингеров) может в два и более раз превышать таковую при внутреннем расположении стрингеров. На необходимость учета эксцентриситета ребер указано и в работе [2].
С помощью разработанных аналитических и конечно-разностных методов в данный момент можно получить численные результаты только для ребристых оболочек вращения и пологих оболочек [3-7]. Ребристые оболочки произвольной формы можно рассчитать с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [8-10]. Однако при использовании МКЭ существует множество проблем [11-12].Рассматриваемый в данной работе подход является развитием представленного в книге [13] вариационно-разностного метода (ВРМ). ВРМ имеет как и плюсы, так и минусы по сравнению с МКЭ. Основным минусом конечно-разностных методов является сложность учёта границ произвольной формы. Тем не менее существуют различные подходы для преодоления данного недостатка [14-17].
В основу ВРМ положен принцип Лагранжа - принцип минимума полной энергии деформации:
П = Птт . (1)
В потенциальную энергию деформации вводится энергия деформаций рёбер:
и=иг+ив+ ия, (2)
где ^ - потенциальная энергия деформаций ребер, иТ, ив - потенциальная энергия тангенциальных и изгибных деформаций оболочки.
Ребристая оболочка рассматривается как система, состоящая собственно оболочки и жёстко с ней соединённых по линиям контакта рёбер. Принимается, что напряжённо-деформированное состояние конструкции полностью определяется в рамках линейной теории упругих тонких оболочек и криволинейных стержней. Напряжённо-деформированное состояние рёбер описывается теорией криволинейных стержней Кирхгофа-Клебша - учитывается растяжение, изгиб и кручение рёбер. Напряжённо-деформированное состояние оболочка описывается теорией упругих тонкостенных оболочек Кирхгофа-Лява [13].
Координатная система - ортогональная. С целью упрощения выражений, координатные линии совпадают с линиями главных кривизн. Для произвольной ортогональной системы координат дополнительно вводятся матрицы трансформаций.
Вводится вектор-оператор производных [13]:
д* = [д°, д1, д2, д3, а4, а5} =
д д д2 д2 аМ (3)
да1' да2' да2' да1да2' да^)' Тогда формулы относительных деформаций срединной поверхности оболочки записываются в виде: 58
з
Ё=^[Нк]-дик ;
П1 (4)
Х = ^[Кк]'дик,
к=1
где индекс k - указывает направление вдоль координатных осей и ли;~£ и х - векторы тангенциальных и изгибных деформаций срединной поверхности оболочки; [Н] а^ [К] - матрицы коэффициентов [18] (геометрических характеристик срединной поверхности оболочки) при производных функций перемещений щ в выражениях относительных тангенциальных и изгибных деформаций размерностью 3x6 (3 - количество деформаций, 6 - размер вектора производных).
Используя геометрические характеристики срединной поверхности оболочки, деформации рёбер могут быть представлены в виде:
^я+ХяЛсЛ з/[нк]я + [Кк]яЛсд\ з
£*«, = ( А ( = ¿.1 ^ \дик = ^[Ок],дик1 (5) V Хъ ' к=Д [Кк]2 / к=1
где индекс^= 1, 2 - указывает координатную линию, вдоль которой направлено ребро; в матрицах Н1, К индекс q указывает номера строк соответствующих матриц; £Кя - вектор деформаций ребра (деформации растяжения, изгибные деформации, деформации кручения); цсд - расстояние от центра масс ребра до срединной поверхности оболочки.
С учётом выражений для деформаций (3), (4) компоненты потенциальной
энергии оболочки выражаются в книге [13] в виде:
з з
ит = 2 ¡X Нк] ' ^кУт([Н1] • дщ) ай; (6)
а к=11=1
з з
=2IX• эикУт([к1] • дЩ)аа, (7)
а к=11=1
где
Ек ЕЙ,3
С =- И =-- тангенциальная и изгибная жёсткости оболочки;
С 1-У2' 12(1-V2)
/IV 0 \
[Щ = 1 1 — I - матрица механических характеристик рёбер;
V0 0 -т-/
V - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Подобным образом может быть выражена потенциальная энергия деформации рёбер:
пй 3 3
Ч=1 5 к=11=1
где
К] =
ЙЧ 0 /,
V
0
Rq 0
0 0
/
- матрица механических характеристик рёбер
пЯ - общее количество ребер; Ещ - модуль упругости ребра; vRq - коэффициент Пуассона материала ребра; FRq - площадь поперечного сечения ребра; 1щ -момент инерции ребра; Зщ - постоянная кручения ребра; GRq - модуль сдвига материала ребра.
Конечно-разностная схема.
При расчете оболочки вариационно-разностным методом, срединная поверхность оболочки покрывается сеткой с постоянным или переменным шагом. Производные перемещений в векторе деформаций заменяются конечно-разностными отношениями. При этом функционал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений:
(9)
П = Х + "в + - '
1=0¡=0
где г,1 - номера сетки вдоль координатных осей а и в соответственно; Ы\, Ы2 -число шагов (разбиений) сетки вдоль координатных осей а и в соответственно.
К 2
2
к
г+1 2
к
г+1 2
7+2
j+1
j-1
У-2
к
а+1
2
к
/-1 i
8У - Ла~ у
8 у' - лга ?у
8 а - Л28а
- к+1 / 2 ; ¿а - к/2; - к;+,/2;
Рис.1. Кривые интегрирования в окрестности узла у, направленные вдоль рёбер
Для минимизации полной энергии деформаций применяется метод Ритца-Тимошенко, для чего приравниваются к нулю частные производные по всем неизвестным узловым перемещениям ди^, не связанным граничными условиями:
дП дит див диК дА
—Г = —Г + —Г + —Г--- = 0 . (10)
ди1,! ди1,! ди1,! ди1,! ди1,!
Здесь k = 1, 2, 3 - номер компоненты вектора перемещений; i = -1, 0, 1, 2...Nb Ni+1; j = -1, 0, 1, 2..N2, N2+1;i = -1, Ni+1; j = -1, N2+1 - законтурные точки. При этом для рёбер получаются выражения:
7 + 1 / + 1
El=ej у у« [г» ] {4.}, (1,)
где - подматрица жесткости ребра в окрестности узла ij относительно
перемещений uk, ul, (размерность подматрицы (9x9):
2 4
[rRJ Z X / . (12)
у/у'= 1 t=l „у/у'
где - кривые интегрирования, направленные вдоль рёбер; t- номер квадранта в окрестности узла ij; [dltJ] - матрицы коэффициентов разностных производных при узловых перемещениях для всех типов производных вектора д для каждого из квадрантов t. Матрицы [dltJ] имеют такую же структуру, как и в книге [13]. В результате применения метода Ритца-Тимошенко получается система алгебраических уравнений, в результате решения которой находятся узловые перемещения. Используя формулы деформаций и закон Гука, на основе разностных производных вычисляются внутренние усилия оболочки и подкрепляющих элементов.
Литература
1. Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем// «Изв. АН СССР», 1958, № 1.
2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин.- Москва, Наука, 1967.
3. Zarutskii V. A., The theory and methods of the stress - strain analysis of ribbed shells//Intemational Applied Mechanics, 2001, Vol. 36, 10, pp. 1259-1283.
4. Карпов В.В., Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения, В 2ч. Ч.1 Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 288 с
5. Карпов В.В., Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения, В 2ч. Ч.2 Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии. -Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 248 с
6. Bushnell D., Almroth Bo O., Brogan F., Finite-difference energy method for nonlinear shell analysis, Computers & Structures, 1971, vol. 1, pp. 361-387.
7. Liepins, A. A., Two-dimensional Finite-difference Equations for Shallow Spherical Shells//AIAA Journal, 1969, vol. 7, no.4, pp. 737-739, doi:10.2514/3.5199.
8. Bouberguig A. and Jirousek J. A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells//Computers & Structures, 1980, vol. 12, p. 253-264.
9. Баженов В.А., Кривенко О.П., Соловей Н.А., Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: Модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи - Москва: УРСС, 2013. - 336 с
10. Sinha G., Sheikh A. H., Mukhopadhyay M. A new finite element model for the analysis of arbitrary stiffened shells//Finite Elements in Analysis and Design, 12, p. 241-271, 1992.
11. Yang Henry T. Y., Saigal S., MasudA., Kapania R. K.A survey of recent shell finite elements, Int. J. for Numerical Methods in Eng., 2000, vol. 47, 1-3, p. 101-127.
12. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинова А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций.- М.: ФИЗМАТЛИТ.- 2006.- 392с.
13. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчёта оболочек неканонической формы.- Москва, РУДН, 2010.-542с.
14. PerronesN. A general-finite difference method for arbitrary meshes//Computers & Structures, 1974, vol. 5, no. 1.
15. Liszka T., Orkisz J., The finite difference method at arbitrary irregular grids and its
application in applied mechanics//Computers & Structures, 1980, vol. 11.
16. Benito J.J., Ureña F., Gavete L., Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite difference method// Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol.209, Issue 2, 2007, p. 208-233.
17. Milewski Siawomir, Selected computational aspects of the meshless finite difference method/Numerical Algorithms, 2013, 63, no. 1.
18. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. -Москва: УРСС, 2010. - 560 с.
References
1. Grigoluk, E. /.(1958). Finite deflections of sandwich shells with rigid filler. Bulletin of the Russian Academy of Sciences, № 1 (in Russian).
2. Ambarcumyan, S. A. (1967). Theory of Anisotropic Plates. Moscow: Nauka (in Russian).
3. Zarutskii, V. A. (2001). The theory and methods of the stress - strain analysis of ribbed shells, /nternational Applied Mechanics, Vol. 36, 10, p. 1259-1283.
4. Karpov, V. V. (2010). Strength and Stability of Stiffened Shells of Revolution, in 2 parts. P. 1 Research models and algorithms of strength and stability of stiffened shells of revolution. - M.: FIZMAT-LIT, 288 p (in Russian)
5. Karpov, V.V. (2011). Strength and Stability of Stiffened Shells of Revolution, in 2 parts. P.2 Computational experiment by a static interaction. Moscow: FIZMATLIT, 248 p. (in Russian).
6. Bushnell, D., Almroth Bo O., Brogan, F. (1971). Finite-difference energy method for nonlinear shell analysis, Computers & Structures, Vol. 1, p. 361-387.
7. Liepins, A. A. (1969). Two-dimensional Finite-difference Equations for Shallow Spherical Shells, AIAA Journal, Vol 7, 4, p. 737-739.
8. Bouberguig, A. and Jirousek, J.(1980). A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells, Computers & Structures, vol. 12, p. 253-264.
9. Bazhenov,, V.A.,Krivenko, O.P.£olovei, N. A. (2013). Nonlinear Deformation and Stability of Elastic Shells with Heterogeneous Structure: Models, methods, algorithms, insufficiently explored and new problems. Moscow: URSS, 336p. (in Russian).
10. Sinha, G., Sheikh, A. H., andMukhopadhyay, M. (1992). A new finite element model for the analysis of arbitrary stiffened shells,Finite Elements in Analysis and Design, vol. 12, p. 241-271.
11. Yang Henry T. Y., Saigal, S., Masud, A., Kapania, R.K. (2000). A survey of recent shell finite elements, Int. J. for Numerical Methods in Eng., Vol. 47, 1-3, p. 101-127.
12. Golovanov, A.I., Tuleneva, O.N., Shigabutdinov, A.F. (2006). Finite Elements Method in the Static and Dynamic of the Thin-Shell Constructions. Moscow: FIZMATLIT, 392p (in Russian)
13. Ivanov, V.N., Krivoshapko, S.N. (2010). Analytical Methods for Calculation of Shells of Non-Canonical Shapes. Moscow, Izd-vo RUDN, 542p. (in Russian).
14. Perrones, N.(1974). A general-finite difference method for arbitrary meshes, Computers & Structures, vol. 5, no. 1.
15. Liszka, T., Orkisz, J,(1980). The finite difference method at arbitrary irregular grids and its application in applied mechanics, Computers & Structures, vol. 11.
16. Benito, J.J., Ureña, F., Gavete, L.(2007). Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite difference method, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 209, Iss. 2, p. 208-233, http://dx.doi.org/10.10167j.cam.2006.10.090.
17. Milewski Siawomir, (2013). Selected computational aspects of the meshless finite difference method, Numerical Algorithms, 63, no. 1, p. 107-126. doi:10.1007/s11075-012-9614-6.
18. Ivanov, V.N., Krivoshapko, S.N.(2010). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Moscow: URSS,560p. (in Russian)
AN ACCOUNT OF REINFORCEMENTS IN A SHELL ANALYSIS BY VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD
I.V. Kushnarenko
Peoples Friendship University of Russia, Moscow
A ribbed shell of a general form consisting from a skin, a position of points of the middle surface of which is determined by the orthogonal curvilinear coordinates a, p, and curved ribs, lying along coordinate linesareconsidered. At the moment, a classical approach is taken in the work to model ribs by the rod theory of Kirchhoff-Clebsch. A shell is described by the theory of thin shells of the Kirchhoff-Love.
KEY WORDS: reinforcement, ribs, ribbed shells, ribbed plates, form-finding, numerical methods, variation-difference method.
