CC BY
74
УДК 624.074.43
В.Н. Иванов, И.В. Кушнаренко
ФГБОУВПО «РУДН»
ПОДКРЕПЛЕНИЯ В ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Рассмотрено введение подкреплений в вариационно-разностном методе расчета оболочек сложной формы. Положение точек срединной поверхности оболочки определено криволинейными ортогональными координатами а, р. Криволинейные ребра расположены вдоль координатных линий.
Ребра описаны теорией криволинейных стержней Кирхгофа — Клебша — учтены растяжение, изгиб и кручение ребер. Оболочка описана теорией упругих тонкостенных оболочек Кирхгофа — Лява.
Ключевые слова: подкрепление, ребра, ребристые оболочки, ребристые пластинки, формообразование, численные методы, вариационно-разностный метод, параболо-синусоидальная оболочка, резные поверхности Монжа.
Пространственные оболочечные конструкции являются одними из самых красивых и эффективных архитектурных конструкций. В настоящее время они потеряли былую популярность [1, 2]. Толчком для их развития может послужить разработка новых или развитие уже существующих методов для расчета оболочек сложной неканонической формы [3].
С помощью разработанных аналитических и конечно-разностных методов в данный момент можно рассчитать только ребристые оболочки вращения и пологие оболочки [4—6]. Ребристые оболочки произвольной формы возможно рассчитать только с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [7—11]. Однако при использовании МКЭ существуют проблемы [12, 13], которые отсутствуют в конечно- и вариационно-разностных методах: представление смещений элемента как твердого целого; конформность поля прогибов; представление состояния «чистого изгиба»; параметризация срединной поверхности.
В связи с этим в вариационно-разностном методе (ВРМ) [14], предназначенном для расчета тонкостенных оболочек сложной неканонической формы и пластинок, были введены подкрепления [15].
На основе ВРМ создан программный комплекс.
Матричная форма уравнений. В основу ВРМ положен принцип Лагран-жа — принцип минимума полной энергии деформации.
П = П.. (1)
тт 4 '
В потенциальную энергию деформации вводится энергия деформаций ребер:
и = ит + ив + ик, (2)
где и — потенциальная энергия деформаций ребер; и ив — потенциальная энергия тангенциальных и изгибных деформаций оболочки.
ВЕСТНИК
МГСУ-
5/2014
Ребристая оболочка рассматривается как система, состоящая собственно из оболочки и жестко с ней соединенных по линиям контакта ребер. Принимается, что напряженно-деформированное состояние конструкции полностью определяется в рамках линейной теории упругих тонких оболочек и криволинейных стержней. Напряженно-деформированное состояние оболочки описывается теорией упругих тонкостенных оболочек Кирхгофа — Лява. Напряженно-деформированное состояние ребер описывается теорией криволинейных стержней Кирхгофа — Клебша — учитывается растяжение, изгиб и кручение ребер.
Координатная система — ортогональная. С целью упрощения выражений, координатные линии совпадают с линиями главных кривизн. Для произвольной ортогональной системы координат дополнительно вводятся матрицы трансформаций.
Вводится вектор-оператор производных:
д* ={ 5д1, 52, 53, д4, 55} = к А, А, ^, , ^I (3)
1 ' [ да дв да2 дадр др2
С использованием геометрических характеристик срединной поверхности оболочки деформации ребер могут быть представлены в виде
6Кд
6. + X. %
Хд
!>
= 1
[ К' ],
[ " ],
(4)
где ёщ — вектор деформаций ребра (деформации растяжения, изгибные деформации, деформации кручения); индекс k указывает направление вдоль координатных осей и нормали; [Н к] и [К к] — матрицы коэффициентов (геометрических характеристик срединной поверхности оболочки) при производных функций перемещений ик в выражениях относительных тангенциальных и из-гибных деформаций размерностью 3^6 (3 — количество деформаций, 6 — размер вектора производных); индекс д = 1, 2 указывает координатную линию, вдоль которой направлено ребро; в матрицах [Н к], [К к] индекс д указывает номера строк соответствующих матриц; — расстояние от центра масс ребра до срединной поверхности оболочки.
С учетом (4) потенциальная энергия деформации ребер может быть выражена как
пя Е - з з / _ \ / _ \
и* = 1^1 I ( [^]дЪак) [^] ( [Ок]дЪа1) dS, (5)
5 к=1 I =1
где
[ ^д ] =
К
Яд
1 + М
Ч 1 сЯЯд
О
о
о
Яд
О
J,
Яд
2 (1 + ,
матрица механических характе-
ристик ребер; пЯ — общее количество ребер; ЕКд — модуль упругости ребра;
^ — площадь поперечного сечения ребра; k — кривизна оболочки; — эксцентриситет ребра; I — момент инерции ребра; — постоянная кручения ребра; V — коэффициент Пуассона материала ребра.
Конечно-разностная схема. При расчете оболочки вариационно-разностным методом срединная поверхность оболочки покрывается сеткой с постоянным или переменным шагом. Производные перемещений в векторе деформаций заменяются конечно-разностными отношениями.
При этом функционал полной энергии деформаций становится функцией узловых перемещений.
N щ / \
П = ! I и + Щ + Щ - А ), (6)
'=1 1=1
где 7, у — номера сетки вдоль координатных осей а и в соответственно; N N2 — число шагов (разбиений) сетки вдоль координатных осей а и в соответственно (рис. 1).
Рис. 1. Кривые интегрирования в окрестности узла у, направленные вдоль ребер Для минимизации полной энергии деформаций приравниваются к нулю
4.
частные производные по всем неизвестным узловым перемещениям uk, не
связанным граничными условиями:
дП _ dUT dUB _ dUR dA
+ + = 0, (7)
du1J, du1J, du1J, du1J, duf к к к к к
где k = 1, 2, 3 — номер компоненты вектора перемещений; 7 = -1, 0, 1, 2...^, N^1;у = -1, 0, 1, 2...Ж,, N+1; 7 = -1, N+1;у = -1, N,+1 — законтурные точки.
ВЕСТНИК е(-п, л
5/2014
При этом для ребер получаются выражения:
Я 77 пК 7+1 /+1 3
^ = £ £ I[С]Д. (8)
иик К=1 1=1 -1 У=J-1 1=1 иик
где [гу4] — подматрица жесткости ребра д в окрестности узла у относительно перемещений ик, и1 (размерность подматрицы (9^9)):
[ С], = 2 I I И К ], [< ])* К ] ( [О' ], [<? ]) <5. (9)
2 у/у '=1 (=1 5у/у' У 4 ' \ ч !
и
где 5уУу — кривые интегрирования, направленные вдоль ребер; ( — номер квадранта в окрестности узла т/; [^ ] — матрицы коэффициентов разностных производных при узловых перемещениях для всех типов производных вектора д для каждого из квадрантов Матрицы [^ ] имеют такую же структуру, как и в [14].
В результате минимизации получается система алгебраических уравнений, решением которой находятся узловые перемещения. С использованием формул деформаций и закон Гука на основе разностных производных вычисляются внутренние усилия оболочки и подкрепляющих элементов.
Параболо-синусоидальная оболочка. Рассматривается параболо-синусои-дальная оболочка с одной полуволной синусоиды на параболо-трапециевид-ном плане (рис. 2):
Х0 = 0 м; 90 = п рад;
направляющая парабола расположена в горизонтальной плоскости ху:
/=/0 — аа2, /0 = 11,5 м; а = -0,05 м-1; 0 < а < 15 м; х = а;
образующая синусоида: / = Ь sm^я —^; Ь = 15 м; с = 16; 0 < в < 16 м; у = в;
криволинейные в плане края оболочки (а = —15___15; в = 0; в = 16) жестко
ди3 п
защемлены: и = и2 = и3 =—— = 0;
вертикальные края (а = ±15; в = 0_16) оперты на гибкие диафрагмы: и2 = и3 = N = М = 0;
по оси симметрии оболочки на вогнутой стороне расположено подкрепленное (с эксцентриситетом и без) отверстие шириной 12 м и высотой 8,8 м. Контур отверстия совпадает с линиями кривизны срединной поверхности оболочки;
контур отверстия свободен;
на контуре расположены ребра прямоугольного профиля 70x30 см с эксцентриситетом относительно срединной поверхности оболочки (п = ±35 см)
и без;
модуль упругости материала оболочки и ребер Е = 35 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,15;
расчет проведен на снеговую нагрузку 1,8 кПа (для Москвы согласно СНиП 2.01.07—85* «Нагрузки и воздействия») с учетом веса оболочки и ребер.
С учетом симметрии расчет оболочки проведен только для левой половины отсека оболочки на сетке 100x100.
Рк
15
16
9
4-I/
JL.
12
9
Рис. 2. Параболо-синусоидальная оболочка с отверстием
На рис. 3, 4 приведены графики нормальных тангенциальных и изгибных напряжений в области отверстия вдоль соответствующих координатных линий.
2,00Е+0б 1,00Е-Ю6 0,00Е-К10 -1.00Е+06 -2.00Е+06
(a)oNa
----;
t]
\
J
i
отверстия
хг] -6
-4.00Е+06 -5.00Е+06
Рис. 3. Половина контура отверстия вдоль параболы:
область
отверстий -3J0CE+04 -5 О
без ребер;---т| = 35 см;
11 = -35 см; - -11 = 0; a — a,r; б — а,„; в — т„; г — а,,; с» — а, „; е — т
I ' I ' М-/ Л[Г А/а' Ш
MP'
ВЕСТНИК
МГСУ-
5/2014
(с)т5
Г
области
Отверстия
-3,2
5.00Е+05 О.ООЕ+ОО -5,00£+05 облаете -1.00Е+0& отвероин -1,50Ё+06
-г,00Е+06
-2.50Е+06 -Э,00Е+06 -3.50Е+06 -4.00Е+06
10
15
Рис. 3. Контур отверстия вдоль синусоиды:
без ребер;---1] = 35 см;
Л =-35 см; - -11 = 0; а — а,г; б — а,.; в — т„; г — а,,; с» — а,„;е — т„
| ' | ' Л'*/ л[; л/а' ЦГ я
Выводы. В целом ребра оказывают положительный эффект в приконтур-ной зоне: вызывают уменьшение по модулю напряжений, однако их расположение влияет по-разному, поэтому при расчете необходимо учитывать материал и конструкторские решения. Если судить по характеру напряжений, практически во всех случаях они меньше при внутреннем расположении ребер (кроме оМв и тН). Преобладающими растягивающими напряжениям являются оВв, ребра в 4-5 раз их уменьшают; касательными — т^, ребра незначительно их увеличивают. Крутильные касательные напряжения тН много меньше т5". При удалении от контура наличие ребер не оказывает влияния на НДС, напряжения стремятся к значениям напряжений в оболочке без ребер.
Контур отверстия вдоль параболы:
оВа: смещение ребра во внешнюю сторону вызывает уменьшение скачка в угле, но возрастание растягивающих напряжений на контуре. При внутреннем расположении ребер в центре контура появляются сжимающие напряжения;
оВв: ребра уменьшают скачок напряжений в угле. Характер напряжений практически одинаков при разном расположении ребер;
tS: ребра вызывают изменение характера касательных напряжений в при-контурной зоне и вызывают их возрастание на контуре;
оМа: ребра уменьшают напряжения на контуре, но увеличивают их в при-контурной зоне;
оМР: ребра изменяют характер напряжений в угле и вызывают возрастание напряжений на контуре;
tH: ребра значительно уменьшают значения напряжений на контуре, немного увеличивают в приконтурной зоне и устраняют волновой характер напряжений на контуре.
Контур отверстия вдоль синусоиды:
oNa: ребра оказывают незначительное влияние на НДС, только уменьшается скачок в заделке. Характер напряжений практически одинаков при разном расположении ребер;
oNP: ребра значительно уменьшают напряжения на контуре отверстия; tS: ребра вызывают возрастание касательных напряжений по контуру, снижение только в заделке;
оМа: ребра изменяют характер напряжений и увеличивают их на контуре и в приконтурной зоне;
оМР: на контуре за счет ребер практически устраняются напряжения, изменяется волновой характер на линейный. Но возрастают напряжения в угловой зоне;
tH: ребра значительно уменьшают значения на контуре и устраняют волновой характер напряжений на контуре.
Библиографический список
1. Special Structures: Past, Present, and Future / R. Bradshaw, D. Campbell, M. Gargari, A. Mirmiran, P. Tripeny // Journal of Structural Engineering. 2006. Vol. 128. No. 6. Pp. 691—709.
2. Кривошапко С.Н. О возможностях оболочечных сооружений в современной архитектуре и строительстве // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2013. № 1. С. 51—56.
3. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. М. : URSS, 2010. 560 с.
4. Zarutskii V.A. The theory and methods of the stress-strain analysis of ribbed shells // International Applied Mechanics. 2000. Vol. 36. No. 10. Pp. 1259—1283.
5. Карпов В.В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения : в 2 ч. Часть 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2010. 288 с.
6. Bushnell D., Almroth Bo O., Brogan F. Finite-difference energy method for nonlinear shell analysis // Computers & Structures. 1971. Vol. 1. No. 3. Pp. 361—387.
7. Дьяков И.Ф., Чернов С.А. К расчету оболочки, укрепленной тонкостенными стержнями // Автоматизация и современные технологии. 2008. № 1. С. 16—20.
8. Sinha G., Sheikh A.H., MukhopadhyayM. A new finite element model for the analysis of arbitrary stiffened shells // Finite Elements in Analysis and Design. 1992. Vol. 12. No. 3-4. Pp. 241—271.
9. Savula Y.H., Jarmai K., MukhaI.S. Analysis of shells reinforced by massive stiffening ribs // International Applied Mechanics. 2008. Vol. 44. No. 11. Pp. 1309—1318.
ВЕСТНИК e(-n, л
5/2014
10. Bouberguig A., Jirousek J. A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells // Computers & Structures. 1980. Vol. 12. No. 2. Pp. 253—264.
11. Abdyushev A.A. The principle of constructing a computation model of equilibrium ribbed stiffened shells in linear displacement-based FEM analysis // Russian Aeronautics (Iz VUZ). 2013. Vol. 56. No. 2. Pp. 117—125.
12. A survey of recent shell finite elements / T.Y. Yang Henry, S. Saigal, A. Masud, R.K. Kapania // Int. J. for Numerical Methods in Eng. 2000. Vol. 47. No. 1—3. Pp. 101—127.
13. ГоловановА.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинова А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. 392 с.
14. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н. Аналитические методы расчета оболочек неканонической формы. М. : РУДН, 2010. 542 с.
15. Кушнаренко И.В. Учет подкреплений при расчете оболочек вариационно-разностным методом // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 2. С. 57—63.
Поступила в редакцию в апреле 2014 г.
Об авторах: Иванов Вячеслав Николаевич — доктор технических наук, профессор кафедры прочности материалов и конструкций, Российский университет дружбы народов (ФГБОУ ВПО «РУДН»), 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, i.v.ivn@mail.ru;
Кушнаренко Иван Валерьевич — аспирант кафедры прочности материалов и конструкций, Российский университет дружбы народов (ФГБОУ ВПО «РУДН»), 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, ivan.v.kush@yandex.ru.
Для цитирования: Иванов В.Н., Кушнаренко И.В. Подкрепления в вариационно-разностном методе расчета оболочек сложной формы // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 25—34.
V.N. Ivanov, I.V. Kushnarenko
STIFFENERS IN VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD FOR CALCULATING SHELLS
WITH COMPLEX GEOMETRY
We have already considered an introduction of reinforcements in the variational-difference method (VDM) of shells analysis with complex shape.
At the moment only ribbed shells of revolution and shallow shells can be calculated with the help of developed analytical and finite-difference methods. Ribbed shells of arbitrary shape can be calculated only using the finite element method (FEM). However there are problems, when using FEM, which are absent in finite- and variational-differ-ence methods:
rigid body motion;
conforming trial functions;
parameterization of a surface;
independent stress strain state.
In this regard stiffeners are entered in VDM.
VDM is based on the Lagrange principle — the principle of minimum total potential energy. Stress-strain state of ribs is described by the Kirchhoff-Clebsch theory of curvilinear bars: tension, bending and torsion of ribs are taken into account. Stress-strain state of shells is described by the Kirchhoff-Love theory of thin elastic shells. A position of points of the middle surface is defined by curvilinear orthogonal coordinates a, p. Curved ribs are situated along coordinate lines.
Strain energy of ribs is added into the strain energy to account for ribs. A matrix form of strain energy of ribs is formed similar to a matrix form of the strain energy of the shell.
A matrix of geometrical characteristics of a rib is formed from components of matrices of geometric characteristics of a shell. A matrix of mechanical characteristics of a rib contains rib's eccentricity and geometrical characteristics of a rib's section.
Derivatives of displacements in the strain vector are replaced with finite-difference relations after the middle surface of a shell gets covered with a grid (grid lines coincide with the coordinate lines of principal curvatures). By this case the total potential energy functional becomes a function of strain nodal displacements. Partial derivatives of unknown nodal displacements are equated to zero in order to minimize the total potential energy.
As an example a parabolic-sinusoidal shell with a stiffened hole is analyzed. It is shown that ribs have generally beneficial effect to the zone of the opening: cause a reduction in a modulus of a stress, but an eccentricity affects differently, so material properties and design solutions should be taken into account in an analysis.
Key words: stiffeners, ribs, ribbed shells, ribbed plates, formfinding, numerical methods, variational-difference method, parabolic-sinusoidal shell, Monge's surfaces.
References
1. Bradshaw R., Campbell D., Gargari M., Mirmiran A., Tripeny P. Special Structures: Past, Present, and Future. Journal of Structural Engineering. 2006, vol. 128, no. 6, pp. 691—709. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(2002)128:6(691).
2. Krivoshapko S.N. O vozmozhnostyakh obolochechnykh sooruzheniy v sovremennoy arkhitekture i stroitel'stve [On Possibilities of Shell Structures in Modern Architecture and Construction]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2013, no. 1, pp. 51—56.
3. Ivanov V.N., Krivoshapko S.N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostey [Encyclopedia of Analytical Surfaces]. Moscow, URSS Publ., 2010, 560 p.
4. Zarutskii V.A. The Theory and Methods of the Stress — Strain Analysis of Ribbed Shells. International Applied Mechanics. 2000, vol. 36, no. 10, pp. 1259—1283. DOI: 10.1023/A:1009408415517.
5. Karpov V.V. Prochnost' i ustoychivost' podkreplennykh obolochek vrashcheniya: v 2 ch. Chast' 1. Modeli i algoritmy issledovaniya prochnosti i ustoychivosti podkreplennykh obolochek vrashcheniya [Strength and Stability of Stiffened Shells of Revolution, in 2 Parts, Part 1: Research Models and Algorithms of Strength and Stability of Stiffened Shells of Revolution]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2010, 288 p.
6. Bushnell D., Almroth Bo O., Brogan F. Finite-difference Energy Method for Nonlinear Shell Analysis. Computers & Structures. 1971, vol. 1, no. 3, pp. 361—387. DOI: 10.1016/0045-7949(71)90020-4.
7. D'yakov I.F., Chernov S.A. K raschetu obolochki, ukreplennoy tonkostennymi sterzh-nyami [Counting of the Envelope Strength Reinforced by Thin-walled Rods]. Avtomatizatsiya i sovremennye tekhnologii [Automation and Modern Technologies]. 2008, no. 1, pp. 16—20.
8. Sinha G., Sheikh A.H., Mukhopadhyay M. A New Finite Element Model for the Analysis of Arbitrary Stiffened Shells. Finite Elements in Analysis and Design. 1992, vol. 12, no. 3—4, pp. 241—271. DOI: 10.1016/0168-874X(92)90036-C.
9. Savula Y.H., Jarmai K., Mukha I.S. Analysis of Shells Reinforced by Massive Stiffening Ribs. International Applied Mechanics. 2008, vol. 44, no. 11, pp. 1309—1318. DOI:10.1007/ s10778-009-0137-3.
10. Bouberguig A., Jirousek J. A Family of Special-purpose Elements for Analysis of Ribbed and Reinforced Shells. Computers & Structures. 1980, vol. 12, no. 2, pp. 253—264. DOI: 10.1016/0045-7949(80)90012-7.
11. Abdyushev A.A. The Principle of Constructing a Computation Model of Equilibrium Ribbed Stiffened Shells in Linear Displacement-based FEM Analysis. Russian Aeronautics (Iz VUZ). 2013, vol. 56, no. 2, pp. 117—125. DOI: 10.3103/S1068799813020025.
12. Yang Henry T.Y., Saigal S., Masud A., Kapania R.K. A Survey of Recent Shell Finite Elements. Int. J. for Numerical Methods in Eng. 2000, vol. 47, no. 1—3, pp. 101—127. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000110/30)47:1/3<101::AID-NME763>3.0.CO;2-C.
ВЕСТНИК e(-n, л
5/2014
13. Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinova A.F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsiy [Finite Elements Method in the Static and Dynamic of the Thin-shell Constructions]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2006, 392 p.
14. Ivanov V.N., Krivoshapko S.N. Analiticheskie metody rascheta obolochek nekanon-icheskoy formy [Analytical Methods for Calculation of Shells of Non-canonical Forms]. Moscow, RUDN Publ., 2010, 542 p.
15. Kushnarenko I.V. Uchet podkrepleniy pri raschete obolochek varitsionno-raznostnym metodom [An account of reinforcements in a shell analysis by variational-difference method]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernykh konstruktsiy i sooruzheniy [Structural Mechanics of Engineering Constructions and Structures]. 2014, no. 2, pp. 57—63.
About the authors: Ivanov Vyacheslav Nikolaevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials and Constructions, Peoples' Friendship University of Russia (PFUR), 6 Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation; i.v.ivn@mail.ru;
Kushnarenko Ivan Valer'evich — postgraduate student, Department of Strength of Materials and Constructions, Peoples' Friendship University of Russia (PFUR), 6 Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation; ivan.v.kush@yandex.ru.
For citation: Ivanov V.N., Kushnarenko I.V. Podkrepleniya v variatsionno-raznostnom metode rascheta obolochek slozhnoy formy [Stiffeners in Variational-Difference Method for Calculating Shells with Complex Geometry]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 25—34.
