Три инвариантные кубатурные формулыс центрально симметричной весовой функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 518.517

A. K. Пономаренко

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4 (№25)

ТРИ ИНВАРИАНТНЫЕ КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНОЙ ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ*

Среди литературы, связанной с работами по инвариантным кубатурным формулам, перечисление которых заняло бы не одну страницу, автору известны лишь несколько, посвященных приближенному вычислению интегралов по пространству И" с центрально симметричной весовой функцией. (Они содержатся, в основном, в списке литературы статьи [4].)

В работе рассматривается вопрос о построении кубатурных формул для интеграла

1 (/) = / p(r)/ (x) dx,

J Rn

I Rn

( n V/2

x = (xi,...,xn ), r = I Xj=i Xj2 I , p(r) — неотрицательная весовая функция такая,

оо

что существуют моменты Vk = f rkp(r) dr, k = 0, 1,..., vo > 0.

o

Формулы должны быть инвариантными относительно группы OnG всех ортого-

n

нальных преобразований гипероктаэдра On = {x \xj \ < 1} в себя и точными для

j=i

любого алгебраического многочлена относительно xi,...,xn не выше девятой степени. Обозначим

i/s) = -^L=(II_^l,0,...,0), s = 0,1,..., n — 1,

s+l

^Л.11 //п.....п-

HPuPI) = (/3b/32,^l-/3i2,-/322,0,...,0),

2k Ck 4n(n-i)

Sk (a)=Y. f(ag(k-i)), k = 0, 1,..., Sf (a) = ]T f(ag(t)), ii

48 C 3

S32)(a)= /(ah(pi,fo)) i

(суммирование распространяется на все элементы OnG-орбит точек, указанных в круглых скобках после знака функции /),

/ p(r)a%, (x) dx, s = 0,1,...,4, R 2

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 01-02-00742). © A. К. Пономаренко, 2003

m

s

= / р(т< (х< (х) в = 0,1, 2, Ш8 = / р(т< (х) Шя+9 = р(г)стб (х)ст^(х) .х,в = 0, 1, Шц = р(т)о~8(х) .X

— моменты для интеграла I(/).

Первая из рассматриваемых формул имеет вид:

I(/) - А/(О) + Ау) + Б^Ъ) + Н^Д) + ЕБп-1(в),

3 = 1

(1)

где Ау (] = 1, 2), Б, Н, Е — коэффициенты формулы, ау (] = 1, 2), Ъ, Д, е — радиусы соответствующих Оп С-орбит, О — начало координат.

Для нахождения радиусов орбит, коэффициентов формулы и параметров в1,в применяется теорема С. Л. Соболева об инвариантных кубатурных формулах ([1], [2]) , согласно которой формула (1) должна быть точна для многочленов 1, <74, <744,

п

ху4, <4 =2 ху2хк4, ...,

3 4 4 4

<4 , <4 , <4, <4<4, <4<44, <44, <6, <6<4, <8, где <4

у=1

<4п = х14х44 ... хп4 —базисные инвариантные формы группы ОпС.

Это требование для формулы (1) приводит к системе 12 нелинейных алгебраических уравнений

А + Е Ау

у=1 2

А

у=1

уу

+ Б1

+ Н1

2к

+ Б1Ъ4к + Н1Д

2к

уНД

2к

+ +

Е1

2к

АВ1Ъ2к + хН\Я2к +

^Ь8 + г4Я!Й8 +

Е1е к = 1, 2, 3,4,

п — 2 4к

-Е 1еАк

2(п - 1) к = 2, 3,4

(та- 2)4 4(та — I)4

Е1е8

+

а4

-2

3(п - 1)4 к = 3, 4

а3

Е1е

2к

г-2

4(п - 1)3

Е1е8

= шо, = Шк,

= Шк+з,

= Ш8, = Шк+6,

= шц

(2)

относительно 13 неизвестных А, Ау1 = 2пАу, ау, (] = 1, 2), Б1 = 2п(п — 1)Б, Н1 = 48аПН, Е1 = п2п-1Е, т, Д, е, вь в4.

Здесь г = (Д4 + в44)(1 — — в44) + в14вЛ У = (1 — в? — в4)в14в44. Решение этой системы , зависящее от свободного параметра е, отыскивается в основном так же, как в работах [2] и [3]. Укажем его:

А = т0 - А1 - А2 - В1 - Н1- Е1, а] =0.5(-р+ -4д),

^ , о

^Р4 — 4?

«1«4 — а2аз а3 — а2а4

Р=—2-ГТ-' -

а2 — а1аз а2 — а1аз

ак = тк — В]Ъ2к — Н1Д2к — Е1в2к, к = 1, 2, 3,4,

Д2 =е2

2 _ 2 (п - 4)шю - 4(п - 1)щц

(п — 4)тде2 — 4(п — 1)шц ' 3„

Е1 = Н1

24(п — 1)3т11

(п — 2)(п — 3)(п — 4)е8 ' тд(п — 4)е2 — 4(п — 1)тц (п-4)уе2Д6

=0.5(м + л/м2 — 4гг), = 0.5(м - л/«2 - 4г;), и — корень кубического уравнения

о о 5 — (в1 — 1)(в2 — 1) о — 1

и3 - 2и2 +--и - ^-^-^ = 0, V = и2 - и - —-,

4 4 4 '

(т7 — 4т8 + 12пт11/(п — 4))(2«2Д2 — «1Д4 — «э) «1 =-

«2 =

Д>2 — «1 «э) (т9(п - 4)е2 - 4(п - 1)тц)(2г;2Д2 - «1Й4 - «з) Д2е23(>| - г^зХ«-- 4) :

«2 — ^Н1Д6

62 = --ЕГШ' = "

«1 — гН1Д4

12(п — 1)2т11 12(п — 1)2т11

г;1=т5"(п-3)(п-4)е4' 1,2 = тб ~ (п — 3)(п — 4)е2 '

12(п — 1)2т11 «з = т7 - --—-—.

(п — 3)(п — 4)

Приведем примеры приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (1) для весовой функции

I г"1, г ^ 1 р(г) = < при п = 5 и е = 0.91:

0, 1 < г

А= 5.767354334023е + 01,

а1 = 1.308320717794е — 01, А1 = —7.518536504154е +00,

а2 = 7.766002519176е — 01, А2 = 8.371510944997е — 03,

Ъ = 3.148831086929е — 01, В = 4.907666924702е— 01,

Д = 9.206616169022е— 01, Н = 5.529717166576е — 03,

в2 = 6.868340332068е — 01, Е = 1.153638650636е— 02,

= 2.224525248563е — 01.

Следует отметить, что для приведенных выше весовых функций формула (1) имеет вещественные параметры при п = 5, 8, 9, 10, и 11. Для других значений п вещественные координаты узлов и коэффициенты не найдены. Рассмотрим далее формулу

2

I (/) = А/Аз Б1(ал) + ^^(г) + ЯЗД + ЕБп_1(е). (3)

3=1

(Здесь, как и выше, O—начало координат.)

Система уравнений относительно параметров формулы (3), аналогичная системе (2), имеет вид:

а + Е А

3 = 1 2

3 = 1

,2к 3 аз

+ Fl + Г1т2к

+ В1 + + В^2к +

¿6-°1С

Е1

2к

Р\г2ка + ±£>1 <Рк +

^1Г8сг2 + +

Е1е к = 1, 2, 3, 4,

2(п - 2) к = 2, 3, 4

(п — З)2 4(п — 2)2

Е1в8

¿А^ +

а2

-3

+

3(п - 2)2 к = 3,4

а3

Е1е

2к

3

4(п - 2)3

Е1в8

= то,

= тк,

= тк+з,

= т8, = тк+6,

= ти

(4)

относительно 12 неизвестных А, Аз1 = 2пАз, а3-, ^ = 1, 2), = 16СПВ, Г1 = 4п(п—1)^, Е1 = п2п-1Е, т, е, Ь.

Здесь Ь — параметр Ь-точки, а = Ь2(1 — Ь)2/(2Ь2 — 2Ь + 1)2.

Выпишем решение системы (4):

г = 1/а/й, с1 = 1/аД, е = И = (х1 ± л/х1 + Х1Х2) /хь

Х1 = 2/1/2/в(п — 6) + 121б(п — 4)) + 2^2, Х2 = Ы4к(п — 4) — 2/1/215, Хз = 21\1в(п — 4)(п — 6)т5 — 2/1/1 — /^(п — 4), г; = (/4 - /2м)/(4/1), -ш = (3(п - 6)т9 - 4/1?;)/((п - 2)/6), а = /з//2, 4 = 0.5 * (1 - ^/((1 " 2а/о-)/(1 + 2л/а))); /1 = (п — 5)тю — 4(п — 2)тц, /2 = (п — 4)т7 — (7п — 26)тю + 16(п — 2)тц), /3 = (п — 4)т8 — (2.5(п — 1) — 7)т10 + 42(п — 2)т11), /4 = (п — 4)тв — 3(п — 2)тд, /5 = (п — 3)(6тд — тв), /в = 16тц — шщ, = /¡и4//3/(п — 4), В1 = 64/1-у4/(п — 6)/3, Е1 = 2(п — 2)3/вад4/((п — 3)(п — 4)(п — 6)), ак = тк — ^1т2к — В^2к — Е1е2к, к = 1, 2, 3, 4, А = ш0 — А1 — А2 — ^ — В1 — Е1,

А1, А2, а1, а2 находятся по тем же формулам, что и в формуле (1).

Пример приближенных значений радиусов орбит и коэффициентов формулы (3)

для весовой функции р(г) = —— при п = 5:

Л= 6.471155390795е +00,

а1 = 2.084921266307е+ 00, Л1 = 1.716384691406е +00,

а2 = 3.006973319661е+ 01, Л2 = —2.256608799751е — 07,

г = 1.221630083671е + 01, ^ = 1.333588251751е — 04,

а = 5.500039480486е +00, В = 3.332704805796е — 02,

е = 1.221630083671е + 01, Е = 8.890588345005е — 05,

Ь = 2.928932188135е - 01.

Как и выше, отметим, что для приведенных выше весовых функций формула (3) имеет вещественные параметры при п =5, 7, 8, 9. Для других значений п такого вида формулы с вещественными координатами узлов и вещественными коэффициентами получить не удалось.

Третья из рассматриваемых формул имеет следующий вид:

I (/) = А ) + + ££4 И + ЕБп-1(в).

3 = 1

Выпишем систему уравнений для параметров этой формулы:

(5)

3=1

,2к 3 аз

+ ^Г

2к

+ В^2к +

Р1Г2ка + ±В1(12к +

^1Г8сг2 + +

Е1в2к к = 0,1, 2, 3, 4,

п~3 р Лк 2^) 1 к = 2, 3, 4, (п - 3)2

\Вхд2к +

4(п - 2)2

СП-3

Е1в8

2к

16

256^1'

+

3(п-2)2^1е! к = 3, 4,

р 8

4(п — 2)3

= тк, = тк+з,

= т8,

= тк+6,

= тп

(6)

относительно 13 неизвестных Ад = 2пАз, аз, (3 = 1, 2, 3), В2 = 16С^В, Г1 = 4п(п — 1)^, Е1 = п2п-1Е, г, а, е, Ь.

Решение системы (6), зависящее от свободного параметра а1, можно записать так:

%2 = 0.5 (р + у7р2 - Ад ^

Д1 + а5Лп

0.5 {р - у7р2 - Ад Д2 + агЛи

Д

А + а6Ап' 4 А + а6Ап'

а2 — а1аз, Д1 = а1а4 — а2аз, Д2 = — а2а4,

3 = т3 — Бф23 — Е1е23 — ^г23, 3 = 1, 2, 3, 4,

а5 = —а1а8 + а2а2 + аза\ — а4а1, аб = —а1а2 — 2а2а4 + аза1, а7 = а2а1 — 2аза2 + а4а4, а8 = а1 — Лца2, ад = а2 — Лца|, где Лц = — из/и2, «2 = Д2 + Да| — а2аб + Д1а2 + а7(Б1 + + Е1 — то), из = Д2(Б1 + + Е1 — то) — Да2 — Д1а1;

Aj+i i = ((-1 - a9)) / (qy/tf - 4<z), j = 1,2;

64^4 ¿2V p 2(n - l)3/6w4

= ; ^ = ^ГГТ); ^ = ((n — 2)9n — 3)(n — 5)'^ = («-4)mio-4(n-l)mlb

/2 = (n — 3)mr — (7n — 19}mio + 16(n — 1)тц, /3 = (n — 3)ms — (2.5n — 7)mio + 4(n — 1)тц, /4 = (n — 3)m6 — 2(n — 1)mg, /5 = (n — 3)(6mg — me), /e = — mio — 16mii; далее

X2 ± VxT+XiXs h-hu 3(n-5)m9-4/iw 2

и =-, -y = —--, w = ---—-, xi = 2/i/2/6(n-5) + /|/6(n-

Xi 4/i (n — 1)/б

3) + 2hll X2 = hhU{n - 3) - 2/1/3/5, Хз = 2Щп - 3)(n - 5)ms - 2/i/g - /|/6(n - 3);

r2 = u-\ b2 = v-K e2 = w-1: t = U 1 - " %

2 V V /2 +2/3

Примеры формул (5) с вещественными параметрами для весовой функции р(г) = г-3е-г , п = 8:

ai = 9.е — 01,

Ai = 1.091683858503е + 00,

a2 = 4.912926012357е — 01,

A2 = —3.597296236146е — 01,

a3 = 1.788501083678е + 00,

A3 = —7.113256465119е — 01,

t = 2.411809548975е — 01.

d = 3.048678191784е + 00,

D = 2.982330216413е — 04,

r = 1.887170514821е + 00,

F = 5.836373163027е — 02,

е = 1.887170514821е + 00,

E = 4.377279872271е — 03,

Проверено, что формула (5) имеет вещественные параметры при n = 5, 7, 8, 9. В заключение отметим, что имеются программы на языке C + +, вычисляющие кубатурные суммы формул (1), (3) и (5) для заданной функции f (x).

Summary

Ponomarenko A. K. Three invariant cubature formulae with a central symmetric weight function.

For integral over the те-space Rn with a central symmetric weight function three cubature formulae of the ninth degree invariant on the group of the hyperoctahedron are constructed. The examples of approximate values of parameters of these formulae are given. Bibliography: 4 items.

Литература

1. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сибирск. мат. журн. 1962. Т. 3, №2. С. 769-791.

2. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М., 1981.

3. Лебедев В. И. О квадратурах на сфере // Журн. вычисл. мат. и мат. физ. 1976. Т. 16, №2. С. 293-306.

4. Коняев С. И. Об одной инвариантной квадратурной формуле седьмого порядка для сферически симметричной весовой функции // Вопросы математического анализа. Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2001. Вып. 4. С. 54-64.

Статья поступила в редакцию 15 октября 2002 г.