CC BY
37
ИНВАРИАНТНАЯ КУБАТУРНАЯ ФОРМУЛА СТЕПЕНИ 9 ДЛЯ ГИПЕРКУБА
Сребра Б. Стоянова
Department of Mathematics Technical University, Varna (Bulgaria), Технический университет г. Варна (Болгария),
PhD, petwardoz@yahoo.com
1. Введение
Обозначим через Сп гиперкуб в И” :
Сп = {Х = (ж1, Ж2, . .., хп) £ И” | — 1 < Хг < 1, г =1, 2, .. ., п} . (1)
Пусть Сп означает гипероктаэдр в И” :
Сп = |Х = (Х1,Х2, ...,Х”) £ И” | ^ |хг| < 11 .
Гипероктаэдр Сп есть многогранник в Ип с вершинами в 2п точках (±1,0,..., 0), (0, ±1,0,..., 0), ... , (0,..., 0, ±1) .
Группу всех ортогональных преобразований гипероктаэдра Сп на себя будем обозначать СпС. Известно [1, р. 232], что порядок группы СпС равен п!2п.
Группу всех ортогональных преобразований гиперкуба (1) на себя будем обозначать
СпС. Группа СпС конгруентна группе СпС [1, р. 232].
В этой статье теорема Соболева [2] применяется для построения кубатурных формул для вычисления интегралов по гиперкубу (1), точных для всех полиномов степени, не превосходящей 9, и инвариантных относительно группы СпС.
В разделах 2 и 3 найдены параметры кубатурных формул для п > 4 и п = 3 соответственно. Численные результаты представлены в разделе 4.
Кубатурные формулы девятой степени точности для гиперкуба (1), инвариантные относительно группы СпС, представлены в [3]: формула Сп : 9 — 1 для п > 4 (рр. 236238) и формула Сп : 9 — 2 для п > 2 (рр. 238-240). Число узлов в формуле (4), построенной в настоящей работе, меньше числа узлов как в формуле Сп : 9 — 1 для
п > 4 , так и в формуле Сп : 9 — 2 для п < 15.
Инвариантные кубатурные формулы девятой степени точности для гиперкуба Сп получены в [4-8].
Формула (6) из работы [4] существует только для п = 4 и имеет 128 узлов. Формула (4) настоящей работы имеет 137 узлов для п = 4. Заметим, что во всех других случаях число узлов формулы (4) меньше такового в формулах из [4, 5].
Полученные в [6, 7] формулы имеют 53 узла для п =3. Формула (4) имеет 57 узлов для п = 3 , а для 4 < п < 15 число ее узлов меньше, чем у формул из работ [6, 7].
Число узлов построенных в [8] формул для п = 3 и п = 4 такое же, как и для
формулы (4), а для 5 < п < 14 в формуле (4) оно меньше, чем у формул из [8].
© Сребра Б. Стоянова, 2009
2. Кубатурные формулы для n > 4
Известно [1, p. 232], что симметрические полиномы от x1, . . . , хП
n
а2 = х2, а4 = х2'х2 , ... , CT2n = x2x2 . . . xn , (2)
i=1 i<j
образуют множество базисных инвариантных форм для GnG.
Из теоремы 13 [1, p. 231] следует, что любой полином, инвариантный относительно группы GnG, является полиномом от базисных форм (2), поскольку группа GnG порождается отражениями [1, p. 232].
Так как кубатурная формула должна быть точна для всех полиномов степени не выше 9, по теореме Соболева (см. [2] или [1, Theorem 12, p. 230]) для n > 4 она должна быть точна для 12 инвариантных полиномов
-I 2 3 4 22 /о\
1, °2, ^2, °2, °2, а4, 02^4, 04, 0а4, 06, ^2^6, 08, (3)
определяемых формулой (2) для к = 1, 2, 3, 4.
Следовательно, узлы кубатурной формулы выбираются так, что кубатурная сумма зависит по крайней мере от 12 параметров.
Узлы кубатурной формулы выбираем на следующих семи орбитах:
1) GnG(0,0,..., 0), 2) GnG(ab 0,..., 0), 3) GnG(a2,0,..., 0),
4) GnG(b1, b2,0,..., 0), 5) GnG(e, e, 0,..., 0),
6) GnG(c, c, c, 0,..., 0), 7) GnG(d, d,d,..., d),
где ai =0 , a2 = 0 , a2 = a2 , bi =0 , 62 =0 , b2 = b2 , e = 0 , c = 0 , d = 0.
Первая из них содержит лишь один узел в = (0, 0,..., 0). Для следующих орбит здесь выписан только один узел, остальные узлы получаются всевозможными перестановками и изменением знака координат.
Кубатурная формула может быть записана в форме
2n
/ f (x)dx ~ Ff (0, 0,..., 0) + A1 f (a1, 0,..., 0)+
1
2n 8C2
+ f (a2, 0,..., 0) + B^f (61,62,0,..., 0) +
11
4C2 8C3 2n
+ E ^ f (e, e, 0,..., 0) + C ^ f (c, c,c, 0,..., 0) + D ]T f (d, d,...,d), (4)
где суммирование проводится по всем точкам соответствующей орбиты.
Число узлов формулы равно N = 2” + (4п3 + 6п2 + 2п + 3)/3 , п > 4.
Кубатурная сумма зависит от 14 параметров. Параметры ! = 0 и е = 0 выбираются произвольно. Остальные параметры Е, Ах, А2, В, Е, С, Д, ах, а2, 61, 62, с вычисляются.
Требование точности формулы (4) для полиномов (3) приводит к нелинейной системе 12 уравнений с 12 неизвестными F, A1, A2, B, E, C, D, a1, a2, 61, 62, c :
(1): F + 2nA1 + 2nA2 + 8СП B + 4СПЕ + 8C3 C+
+2nD = 2n,
(02) : 2nA1a2 + 2nA2a2 + 8СПB(62 + 62) + 8СПEe2 +
+24C3Cc2 + n2nDd2 = n2n/3,
(02) : 2nA1a1 + 2nA2a4 + 8C^B(61 + 62)2 + 16C^Ee4+
+72C3Cc4 + n22nDd4 = n(5n + 4)2n/45,
(a3) : 2nA1a1 + 2nA2a^ + 8C^B(62 + 62)3+
+32C^Ee6 + 216CnCc6 + n32nDd6 =
= n(35n2 + 84n + 16)2n/945,
(a|) : 2nA1a1 + 2nA2a| + 8C^B(62 + 62)4+
+64C^Ee8 + 648CnCc8 + n42nDd8 =
= n(175n3 + 840n2 + 656n - 96)2n/14175,
(04): 8CnB6162 +4CnEe4 + 24CnCc4+ (5)
+n(n - 1)2nDd4/2 = n(n - 1)2n/18,
(0204) : 8CnB(62 + 62)6162 + 8CnEe6 + 72^Cc6+
+n2(n - 1)2nDd6/2 = n(n - 1)(5n + 8)2n/270,
(a!) : 8CnB646| + 4CnEe8 + 72C?Cc8 + n2(n - 1)2Dd8/4 =
= n(n - 1)(25n2 + 55n - 48)2n/8100,
(a2a4) : 8CnB(62 + + 16CnEe8 +
+216CnCc8 + n3(n - 1)26nDd8/2 =
= n(n - 1)(175n2 + 700n + 384)2n/28350,
(a6) : 8CnCc6 + 2nCnDd6 = 2nCn/27,
(a2a6) : 24CnCc8 + n2nC?Dd8 = (5n + 12)2nCn/405,
(08) : 2nCnDd8 = 2nCn/81.
Система (5) для всех n > 4 может быть решена следующим образом. Из уравнения (og) находим D. Из уравнения (0206) определяем
Cc8 = 2n/810. (6)
Из уравнения (06) находим
т
Из (6) и (7) определяем c2 и C.
Из уравнений (04), (0204), (04), (0204) после введения обозначений
и = + 62 , V = 61&2 , т = 8В-У, (8)
получим нелинейную систему
(9)
2 ^и2 + 16Ее8 = 21,
2wv + 8Ее8 = 22,
ти + 8Ее6 = 23,
т + 4Ее4 = 24
тными и, V, т, Е, где
21 = 2”+1(-175п2 + 245п + 1452)/14175 + п(п - 3)2"+1Ш8,
22 = 2”(-25п2 + 35п + 192)/2025 + п(п - 3)2"Ш8,
23 = 2”+1(19 - 5п)/135 + (п - 3)2"+1Ш6,
24 = 2”/9 - 2"Ш4 - (п - 2)2”(1 - 27Ш6)/(27е2).
Решение системы (9) таково:
и = (22 - 22зе2)/(2з - 224в2), Е = (24 - т)/(4е4),
+8Ее8 + 27(п - 2)Сс8] - п32”-1Ш8.
(10)
(11)
ад = (23 - 2г4е2)2/(,г1 - 423е2 + 424е4), V = (г2 - 8Ее8)/(2т).
Используя (8), находим 62, 62 и В.
Из уравнений (02), (о!), (03), (о|), вводя обозначения
А = А1а1 , А2 = А2а|, (12)
получаем нелинейную систему
(13)
А2 + А2 = Хь
А^ + А?; а| = Х2, А^а4 + А2 а4 = Х3, А1а1 + А2 а6 = Х4
четырех уравнений с неизвестными А*, А2, а1, а2, где
Х1 = 2”/6 - 2(п - 1)[Ви + Ее2 + (п - 2)Сс2] - 2”-1Ш2,
Х2 = (5п + 4)2п/90 - 2(п - 1)[Ви2 + 2Ее4+
+3(п - 2)Сс4] - п2”-1Ш4,
Х3 = (35п2 + 84п +16)2п/1890 - 2(п - 1)[Ви3 + 4Ее6+ (14)
+9(п - 2)Сс6] - п22"-1Ш6,
Х4 = (175п3 + 840п2 + 656п - 96)2п/28350 - 2(п - 1)[Ви4+
Система (13) решается следующим образом.
Предположим, что мы нашли коэффициенты p и q квадратного уравнения
t2 + pt + q = 0 (15)
22
с корнями a2 и a2.
Домножив первое уравнение системы (13) на q, а второе — на p и сложив три первые уравнения системы (13), получим
qXl + pX2 + X3 = A1 (a4 + pa2 + q) + A2 (a| + pa2 + q) = 0,
поскольку a21 и a22 — корни уравнения (15).
Аналогично, из второго, третьего и четвертого уравнений системы (13) получаем
qX + pX + X4 = Ala2 (a4 + pa2 + q) + A2 a2(a| + pa2 + q) = 0.
В итоге получаем линейную систему
pX + qXl = — X3, (16)
pX + qX2 = —X4 (16)
двух уравнений с двумя неизвестными p и q. Из системы (16) находим p и q, а затем
и значения a21 и a22 — корни уравнения (15).
Далее, из первых двух уравнений системы (13) определяем неизвестные A1 и A2, а затем, используя (12), находим коэффициенты Ai и A2.
Коэффициент F определяем из первого уравнения системы (5).
Приведем решение системы (5) для n > 4:
F = 2n(1 — D) — 2n(A1 + A2) — 2n(n — i)[2B + E + 2(n — 2)C/3],
Ai = [X2 - a\Xi]/[a\{a\ - a%)], a\ = (-ri + y/r^)/(2r),
A2 = [afXi — X2]/[a2(a2 — a?,)], 0% = (— r\ — ^/ro)/(2r),
В = w/( 8v), b\ = (u + %/ u2 — 4-y)/2,
E = (Z4 — w)/(4e4), Щ = (u — a/m2 — 4-y)/2,
C = І2Б^42п/БІ2), c2 =4/(ІБ5),
D = i/(8id8), d = 0 и e = 0 — произвольные числа, где
S = і — 1/(3d2), p = rl/r, q = r2/r, r = — X1X3,
Г1 = X1X4 — X2X3, Г2 = X32 — X2X4, ro = r2 — 4rr2, X1,..., X4 находятся из (14), u, v, w — из (11), а Z4 — из (10).
3. Кубатурная формула для п = 3
В случае п = 3 число инвариантных полиномов степени не выше девяти равно 11 (полином 08 не базисный). В этом случае уравнение (а8) в системе (5) отсутствует.
Для уменьшения числа параметров положим Б = 0. Кубатурная сумма в формуле (4) зависит от 12 параметров. Выберем е = 0 произвольно. Остальные 11 параметров находятся из системы (5), состоящей из 11 уравнений относительно неизвестных Е, А1, А.2, В, Е, С, а1, а2, &1, 62, с.
Из уравнений (020б) и (ав) находим с2 = 3/5 и С = 125/729. Затем решаем систему (5) при п = 3 и Б = 0. Число узлов формулы равно N = 57.
4. Численные результаты для п > 3
Была написана программа, вычисляющая параметры формулы (4) для любых п > 3, если формула существует, либо устанавливающая, что формула не существует, и почему.
Программа проверяет, лежат ли узлы внутри области Сп. Из множества кубатурных формул с произвольными параметрами ! = 0 и е = 0 можно выбрать такие, узлы которых расположены внутри Сп.
Проведенные вычисления показали, что для п =3, 4,..., 10, формула (4) существует. В случае п = 4, 5,..., 10 все узлы расположены внутри Сп. При п = 3 часть узлов выходит из Сп.
Результаты вычислений для п = 3, 4, 5 приведены в табл. 1.
Таблица 1
п 3 4 5
F 0.286785389949 -3.773514439370 -0.770935901812
А! -1.640754975120 -0.995015212525 -4.544580839280
А2 0.983090659342 1.357894998510 8.247543896900
В 0.417776261540 0.426316756937 2.634659917670
Е 0.021735676274 -0.366049185707 -6.764751445180
С 0.171467764060 0.021081625022 0.766166414119
D - 0.282365017176 0.037614990820
а 1 0.834941617556 0.945032864930 0.956166844845
«2 0.719677858359 0.528764836833 0.833671930324
bi 0.871435284448 0.912995660428 0.886892510741
Ь2 0.340647393559 0.520290900783 0.746144127910
е 1.037 0.651 0.79
с 0.774596669241 0.991896504843 0.690307721337
d - 0.67622 0.87
Литература
1. Mysovskikh I. P. The approximation of multiple integrals by using interpolatory cubature formulae / R. A. De Vore, K. Scherer (Eds.) // Quantitative Approximation. AP. N.-Y. 1980. P. 217243.
2. Соболев С. Л. О формулах механических кубатур на поверхности сферы // Сиб. матем. ж. 1962. №3. С. 769-796.
3. Stroud A. H. Approximate calculation of multiple integrals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971. 431 p.
4. Пономаренко А. К. О некоторых кубатурных формулах девятой степени для гиперкуба, инвариантных относительно группы гипероктаэдра // Кубатурные формулы и их приложения. Сб. трудов IV семинара-совещания. Улан-Уде. 1997. С. 80-90.
5. Пономаренко А. К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения. Сб. трудов III семинара-совещания. Уфа. 1996. С. 70-76.
6. Стоянова С. Б. Инвариантная кубатурная формула для гиперкуба девятой степени точности // Кубатурные формулы и их приложения. Сб. трудов III семинара-совещания. Уфа. 1996. С. 116-122.
7. Стоянова С. Б. Кубатурная формула для гиперкуба девятой степени точности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. №9. С. 1043-1047.
8. Стоянова С. Б. Кубатурная формула девятой степени точности для гиперкуба // Методы вычислений. Вып. 21. Изд-во С.-Петерб. ун-та. СПб., 2005. С. 172-179.
Статья поступила в редакцию 11 ноября 2008 г.
