Точность определения параметров демодулятора в системах с квадратурной амплитудно-фазовой модуляцией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.391.82

А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин

ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕМОДУЛЯТОРА В СИСТЕМАХ С КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Предложен метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, применяющих квадратурную амплитудно-фазовую модуляцию (например, в системе цифрового кабельного телевидения). Дан вывод выражения, связывающего отклонение параметра демодулятора и вероятность ошибки.

Ключевые слова: отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, допуск на параметры, расстояния между сигналами, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни, чувствительность.

Введение. Основные результаты классической теории помехоустойчивости [1] получены в предположении, что появление ошибок в канале связи вызывают присутствующие в нем аддитивные или мультипликативные помехи. Между тем к ошибкам впоследствии могут привести дестабилизирующие факторы, возникающие в процессе производства и эксплуатации приемопередающей аппаратуры. Таким образом, значения параметров аппаратуры отклоняются от номинальных, и как следствие — реальная вероятность ошибки отклоняется от значения, полученного с использованием теории помехоустойчивости [1].

В настоящее время широкое применение нашли системы многоуровневой квадратурной амплитудно-фазовой модуляции (КАМ), чувствительные к этим факторам. Поэтому необходимо установить зависимость отклонения вероятности ошибки от отклонения параметров аппаратуры и найти допуск на параметры аппаратуры при заданном допуске на отклонение вероятности ошибки. Способ решения этих задач применительно к демодулятору системы КАМ рассматривается в предлагаемой статье.

Квадратурная амплитудная модуляция заключается в одновременной амплитудной модуляции двумя сигналами двух квадратурных составляющих несущей с частотой юо и получении суммарного сигнала.

Для демодуляции используется синхронное детектирование, заключающееся в умножении сигнала на costo0i и на с последующим подавлением высокочастотных составляющих фильтром низкой частоты [2].

Если для каждой из квадратурных составляющих зафиксировать 16 уровней, то в результате получится модуляция (манипуляция) 256 КАМ с 256 возможными комбинациями амплитуды и фазы несущей частоты. Эти 256 комбинаций образуют так называемое „созвездие" — диаграмму, каждая из 256 точек на которой является вершиной вектора, длина которого соответствует амплитуде, а угол наклона к оси — фазе колебания несущей частоты.

Каждому из 256 сочетаний амплитуды и фазы колебания несущей частоты в системе цифрового телевидения DVB C соответствует одно из 256 возможных сочетаний четырех битов двоичного сигнала [3].

Основные расчетные соотношения. Вероятность ошибочного приема сигнала с КАМ находится по формуле:

p=Z

l=1

p( si )Z p(sj/ si)

j=1 j *l

(1)

где р($,) — вероятность передачи 1-го сигнала $, p(Sj / ) — вероятность ошибочного приема сигнала Sj при условии, что был передан сигнал $, т — число уровней сигнала, т.е. число возможных сигналов в поле сигналов КАМ. Здесь под вероятностью ошибочного приема сигнала понимается вероятность ошибочного приема символа, содержащего к = у" бит.

Считая, что в передаче появление всех сигналов равновероятно, т.е. р($,) = Ут, запишем

(1) в виде

p=3 Z

m

l=1

Z p( sj/ si)

j=1 j *l

(2)

Примем, что наибольший вклад в вероятность ошибки вносит ошибочный прием четырех соседних сигналов, ближайших к сигналу так как при всех реальных значениях вероятности ошибки, при которых передача данных еще имеет смысл, вероятность превышения последующего порогового уровня на порядок меньше, чем соседнего, и поэтому может не учитываться [4]. Поэтому при суммировании вероятностей ошибки приема пренебрежем всеми составляющими за исключением четырех ближайших:

1

Р =—Z [Р(sl+1/ sl) + Р(sl+2 / sl) + P(sl+3 / sl) + P(sl+4 / sl)].

m

(3)

l=1

Формула (3) справедлива только в случае, когда для переданного сигнала $ имеются все четыре ближайших сигнала. Однако на краях звездного поля КАМ, в том числе при I = т (это зависит от принятой нумерации сигналов), это условие не выполняется. Здесь и далее пренебрегается этим обстоятельством, так как таких сигналов значительно меньше, чем тех, для которых формула (3) справедлива, и их вклад в вероятность ошибки незначителен.

Вероятность ошибочного приема одного сигнала при передаче другого зависит от расстояния между ними, которое соответствует энергии разности двух соседних сигналов созвездия КАМ [4]. В системе КАМ расстояния между соседними сигналами одинаковы, поэтому справедливы соотношения:

V+ь

= Р

V+2 у

= Р

V+3/ =

=Р

V +4,

(4)

з, ГЧЛ, 1=1 т.

Следовательно, без потери общности можно принять, что передавался сигнал $ь Подставив (4) в (3), получим выражение:

р = Р(s2 / s1) + Р(s3 / s1) + Р(^4 / s1) + Р(s5 / s1) .

(5)

Формирование КАМ сигнала при передаче и демодуляция сигнала при приеме производятся по квадратурным каналам I (inphase) и Q (quadrature). Выразим соотношение (5) через квадратурные составляющие сигналов:

1 + Р

J = РI %

'Siq у

Р1 ySl 1=p

мл

, PI %У=pI% 1+p

' Sq^ / >

siq у

+ Р

4q

siq у

, Р

■Si у=Р1541+Р

5q>

siq у

Q

При передаче сигнала 51 и приеме его в канале I в соответствии с рисунком может быть принято правильное решение о передаче сигнала и возможны только два ошибочных решения — передан сигнал 52 либо передан сигнал 54. Поэтому вероятность ошибочных решений о передаче 53 либо 55 равна нулю, т.е.

' 55Х- )= 53Х, )=

Рассуждая подобным образом о приеме сигнала в канале Q, запишем аналогичные равенства

Л

2q .

Л

iq

= Р

4q .

= 0.

iq

Подставим полученные соотношения в формулу (5):

Л. /Л ^ /Л Г,

р=Р 1+Р

мг-

+Р

S3q .

siq

+ Р

S5q .

siq

(6)

Границами между сигналами в каналах, в соответствии с рисунком, являются следующие пороговые уровни и1г-, С/2г-, и1д, и2д [4]:

Uii =

s2i + sii

ТТ = S4i + Sii тт = S5q + Siq

U 2i = ~ , Uiq ="

U2q =

S3q + Siq

(7)

2 2 4 2 4 2 При отклонении пороговых уровней от их номинальных значений (7) возникает отклонение вероятности ошибки от теоретического значения.

В теории допусков при небольших отклонениях принято использовать линейную часть ряда Тейлора. Поэтому связь между отклонением вероятности ошибки и отклонениями пороговых уровней определяется следующей формулой [1]:

" (8)

d (ln Р) = Т d (ln Uii) + äUj2i d (ln U2i) + A^d (ln Uiq) + aU2 q d (ln U^),

ЛР и аР X

где Аи = р ии — чувствительность вероятности ошибки к изменению порогового уровня [1].

Выведем формулы для определения чувствительности, для этого прежде всего установим выражение для вероятности ошибки Р. Из-за наличия шумов в сигнале $1 его квадратурные составляющие являются случайными с математическим ожиданием 5Ц и имеют дисперсию о2 и распределены по нормальному закону.

Рассмотрим чувствительность вероятности ошибки к отклонению порогового уровня Ц.,. При нормальном законе распределения шумов вероятность ошибочного приема сигнала $2/ при переданном сигнале $1г-, есть вероятность того, что сигнал $ превосходит пороговое значение Ц.,, т.е.

% 1=р(

$1 >

Ц )=

1

72П(

2 л.

(9)

Оц -Ц\, )/а

Распределение плотности вероятности сигнала принято нормальным исходя из теоремы, в соответствии с которой сумма достаточно большого числа не связанных или слабосвязанных случайных процессов приближенно подчиняется нормальному закону. Кроме того, многие шумовые процессы описываются именно принятой нами моделью [4].

Перейдем в (9) к производной:

Г/ \2 Л

Ф($2, / $1/ ).

1 1

dU1i уры а

ехр

($1/ -Цц ) (2а)2

(10)

Используя выражение (10) и определение чувствительности, получим формулы

Цц ехр

ДР($2, / $1/ ) =__

и2 л

Ц\

а| ехр

И

Г р Л

(11)

Ж

И2 = ( -Ц1/ )

(а)2

(12)

Обозначим ё = - Цц — расстояние между средним и пороговым значением сигнала в

канале I. Расстояние между соседними сигналами в этом же канале равно Поэтому значение И2 пропорционально отношению мощности разности соседних сигналов в канале I к мощности шума (в реальных системах передачи намного больше единицы).

Упростим выражение (11). Считая параметр И сколь угодно большим, получим неопределенность вида О, для устранения которой используем правило Лопиталя. Окончательно выражение имеет следующий вид:

АР($2, /) = Ц1/И

Ц./

„ (13)

ц а

Так как в (6) только первое слагаемое зависит от порогового уровня Ц.,, то формула чувствительности вероятности ошибки к отклонению значения Ц1г- имеет вид

АР = р($2/ / $1/ ) АР($2/ /)

Ац\г = Р АЦ\г • В силу эквидистантности точек поля сигналов КАМ значения всех слагаемых в (6) равны и формула для чувствительности записывается в виде

Ар =--1 ЦцИ

Ц.-,

4 а

(14)

2

г

ж

ж

Повторив проведенные преобразования для пороговых значений и2г-, U\q, получим следующие соотношения:

ap _ 1 U2lh

Au _

A

P _ 1 U1qh AP 1 Ulqh

u1q _-- , AU2q =-

(15)

4 а ' 1q 4 а ' "2q 4 а В каждом из квадратурных каналов I и Q системы КАМ с m уровнями может появиться

один из n равновероятных сигналов (n _4m ). Мощность П в квадратурном канале, полученная усреднением значений мощности по всем равновероятным сигналам, находится по формуле [4]:

П_

n2-1 3

d 2.

(16)

Прибавив к разностному сигналу ё среднее значение напряжения л/Л в квадратурном

канале, получим среднее значение порогового уровня:

f

иср _ d

1+<

n2-1

С учетом (13) заменим в (15) значения пороговых уровней их средним значением:

A

P

u

1 i

- A

P

u

2 i

A

p

u

d

1+<

Г2—>

n2 -1

1 q

f

- A

p

u

2 q

h

1+<

n2-1

h2

-. (17)

4а 4

Выразим h через параметр отношение сигнал/шум (SNR). В соответствии с соотношени-

ем

(13) к2 _ d/2 . Из (16) следует, что d _ 3П , таким образом

а2 n2 -1

h2 _

3П

(n2-1)

3SNR

-11а2 n2-1

(18)

Все чувствительности в (17) равны по абсолютной величине и различаются только по знаку. В дальнейшем нам понадобится абсолютная величина чувствительности А, выражение для которой с учетом (18) имеет вид:

A _-

1+

m-1

SNR

4(m -1)

(19)

где m _ n — число уровней сигнала в системе КАМ. Переменные m и n могут принимать только определенные значения (положительные целые числа начиная с 2). Это требование возникает исходя из свойств КАМ [5].

Расчет допусков. Так как пороговые уровни между сигналами в квадратурных каналах I и Q не зависят друг от друга, то и их отклонения в (9) являются независимыми случайными величинами. С учетом этого обстоятельства, применяя выражение (19), перейдем от отклонений в (9) к дисперсиям:

а2 (d (ln P)) _ AV(d(ln uu))+а2^(1п u2i))+а2^(1п uXq))+а2^(1п ulq))]. (20)

Для нормального закона распределения с вероятностью 0,997 выражение (20) по правилу „ 3а " записывается в виде

A(ln P) = 3 ^ a2 (d (ln UXi))+a2(d (ln U2i))+a2(d (ln Ulq))+a2(d (ln U2q)),

где A(ln P) — допуск на случайную величину отклонения вероятности ошибки от своего номинального значения. Применив правило „ 3a" к отклонениям пороговых уровней, получим следующее выражение для допусков:

A(lnP) = A2(lnUii)+A2(lnU2l)+A2(lnUiq)+A2(lnU2q). (2l)

Как следует из (16), вероятность ошибки равночувствительна к отклонениям пороговых уровней от своих номинальных значений. Поэтому примем допуски на все пороговые уровни равными друг другу, т.е.

A(ln Uii) = A (ln U2i) = A(ln Uiq) = A (ln U2q) = A(ln U).

Подставим это условие в (2l) и получим следующую формулу для расчета допусков:

A(ln U)=AA). (22)

Это выражение является искомым и устанавливает связь между допуском и отклонением на параметр системы (пороговый уровень) и отклонением вероятности ошибки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973.

2. Смирнов А. В., Пескин А. Е. Цифровое телевидение: от теории к практике. М.: Горячая линия-Телеком, 2005.

3. ETSI TR i0i 290 Digital Video Broadcasting (DVB); Measurment guidelines for DVB. 200i.

4. Боккер П. Передача данных. Техника связи в системах телеобработки данных. М.: Связь, 1980.

5. EN 300 429 Digital Video Broadcasting (DVB); Framing structure, channel coding and modulation for cable systems. 1998.

Сведения об авторах

Антон Юльевич Янушковский — аспирант; Санкт-Петербургский государственный универси-

тет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: yanushkovskiy@mail.ru Анатолий Валентинович Кривошейкин — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: krivav@yandex.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

технической электроники 05.11.09 г.