CC BY
52
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
УДК 621.391.82
А. Ю. Янушковский, А. В. Кривошейкин
ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕМОДУЛЯТОРА В СИСТЕМАХ С КВАДРАТУРНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Предложен метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, применяющих квадратурную амплитудно-фазовую модуляцию (например, в системе цифрового кабельного телевидения). Дан вывод выражения, связывающего отклонение параметра демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, допуск на параметры, расстояния между сигналами, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни, чувствительность.
Введение. Основные результаты классической теории помехоустойчивости [1] получены в предположении, что появление ошибок в канале связи вызывают присутствующие в нем аддитивные или мультипликативные помехи. Между тем к ошибкам впоследствии могут привести дестабилизирующие факторы, возникающие в процессе производства и эксплуатации приемопередающей аппаратуры. Таким образом, значения параметров аппаратуры отклоняются от номинальных, и как следствие — реальная вероятность ошибки отклоняется от значения, полученного с использованием теории помехоустойчивости [1].
В настоящее время широкое применение нашли системы многоуровневой квадратурной амплитудно-фазовой модуляции (КАМ), чувствительные к этим факторам. Поэтому необходимо установить зависимость отклонения вероятности ошибки от отклонения параметров аппаратуры и найти допуск на параметры аппаратуры при заданном допуске на отклонение вероятности ошибки. Способ решения этих задач применительно к демодулятору системы КАМ рассматривается в предлагаемой статье.
Квадратурная амплитудная модуляция заключается в одновременной амплитудной модуляции двумя сигналами двух квадратурных составляющих несущей с частотой юо и получении суммарного сигнала.
Для демодуляции используется синхронное детектирование, заключающееся в умножении сигнала на costo0i и на с последующим подавлением высокочастотных составляющих фильтром низкой частоты [2].
Если для каждой из квадратурных составляющих зафиксировать 16 уровней, то в результате получится модуляция (манипуляция) 256 КАМ с 256 возможными комбинациями амплитуды и фазы несущей частоты. Эти 256 комбинаций образуют так называемое „созвездие" — диаграмму, каждая из 256 точек на которой является вершиной вектора, длина которого соответствует амплитуде, а угол наклона к оси — фазе колебания несущей частоты.
Каждому из 256 сочетаний амплитуды и фазы колебания несущей частоты в системе цифрового телевидения DVB C соответствует одно из 256 возможных сочетаний четырех битов двоичного сигнала [3].
Основные расчетные соотношения. Вероятность ошибочного приема сигнала с КАМ находится по формуле:
p=Z
l=1
p( si )Z p(sj/ si)
j=1 j *l
(1)
где р($,) — вероятность передачи 1-го сигнала $, p(Sj / ) — вероятность ошибочного приема сигнала Sj при условии, что был передан сигнал $, т — число уровней сигнала, т.е. число возможных сигналов в поле сигналов КАМ. Здесь под вероятностью ошибочного приема сигнала понимается вероятность ошибочного приема символа, содержащего к = у" бит.
Считая, что в передаче появление всех сигналов равновероятно, т.е. р($,) = Ут, запишем
(1) в виде
p=3 Z
m
l=1
Z p( sj/ si)
j=1 j *l
(2)
Примем, что наибольший вклад в вероятность ошибки вносит ошибочный прием четырех соседних сигналов, ближайших к сигналу так как при всех реальных значениях вероятности ошибки, при которых передача данных еще имеет смысл, вероятность превышения последующего порогового уровня на порядок меньше, чем соседнего, и поэтому может не учитываться [4]. Поэтому при суммировании вероятностей ошибки приема пренебрежем всеми составляющими за исключением четырех ближайших:
1
Р =—Z [Р(sl+1/ sl) + Р(sl+2 / sl) + P(sl+3 / sl) + P(sl+4 / sl)].
m
(3)
l=1
Формула (3) справедлива только в случае, когда для переданного сигнала $ имеются все четыре ближайших сигнала. Однако на краях звездного поля КАМ, в том числе при I = т (это зависит от принятой нумерации сигналов), это условие не выполняется. Здесь и далее пренебрегается этим обстоятельством, так как таких сигналов значительно меньше, чем тех, для которых формула (3) справедлива, и их вклад в вероятность ошибки незначителен.
Вероятность ошибочного приема одного сигнала при передаче другого зависит от расстояния между ними, которое соответствует энергии разности двух соседних сигналов созвездия КАМ [4]. В системе КАМ расстояния между соседними сигналами одинаковы, поэтому справедливы соотношения:
V+ь
= Р
V+2 у
= Р
V+3/ =
=Р
V +4,
(4)
з, ГЧЛ, 1=1 т.
Следовательно, без потери общности можно принять, что передавался сигнал $ь Подставив (4) в (3), получим выражение:
р = Р(s2 / s1) + Р(s3 / s1) + Р(^4 / s1) + Р(s5 / s1) .
(5)
Формирование КАМ сигнала при передаче и демодуляция сигнала при приеме производятся по квадратурным каналам I (inphase) и Q (quadrature). Выразим соотношение (5) через квадратурные составляющие сигналов:
1 + Р
J = РI %
'Siq у
Р1 ySl 1=p
мл
, PI %У=pI% 1+p
' Sq^ / >
siq у
+ Р
4q
siq у
, Р
■Si у=Р1541+Р
5q>
siq у
Q
При передаче сигнала 51 и приеме его в канале I в соответствии с рисунком может быть принято правильное решение о передаче сигнала и возможны только два ошибочных решения — передан сигнал 52 либо передан сигнал 54. Поэтому вероятность ошибочных решений о передаче 53 либо 55 равна нулю, т.е.
' 55Х- )= 53Х, )=
Рассуждая подобным образом о приеме сигнала в канале Q, запишем аналогичные равенства
Л
2q .
Л
iq
= Р
4q .
= 0.
iq
Подставим полученные соотношения в формулу (5):
Л. /Л ^ /Л Г,
р=Р 1+Р
мг-
+Р
S3q .
siq
+ Р
S5q .
siq
(6)
Границами между сигналами в каналах, в соответствии с рисунком, являются следующие пороговые уровни и1г-, С/2г-, и1д, и2д [4]:
Uii =
s2i + sii
ТТ = S4i + Sii тт = S5q + Siq
U 2i = ~ , Uiq ="
U2q =
S3q + Siq
(7)
2 2 4 2 4 2 При отклонении пороговых уровней от их номинальных значений (7) возникает отклонение вероятности ошибки от теоретического значения.
В теории допусков при небольших отклонениях принято использовать линейную часть ряда Тейлора. Поэтому связь между отклонением вероятности ошибки и отклонениями пороговых уровней определяется следующей формулой [1]:
" (8)
d (ln Р) = Т d (ln Uii) + äUj2i d (ln U2i) + A^d (ln Uiq) + aU2 q d (ln U^),
ЛР и аР X
где Аи = р ии — чувствительность вероятности ошибки к изменению порогового уровня [1].
Выведем формулы для определения чувствительности, для этого прежде всего установим выражение для вероятности ошибки Р. Из-за наличия шумов в сигнале $1 его квадратурные составляющие являются случайными с математическим ожиданием 5Ц и имеют дисперсию о2 и распределены по нормальному закону.
Рассмотрим чувствительность вероятности ошибки к отклонению порогового уровня Ц.,. При нормальном законе распределения шумов вероятность ошибочного приема сигнала $2/ при переданном сигнале $1г-, есть вероятность того, что сигнал $ превосходит пороговое значение Ц.,, т.е.
% 1=р(
$1 >
Ц )=
1
72П(
2 л.
(9)
Оц -Ц\, )/а
Распределение плотности вероятности сигнала принято нормальным исходя из теоремы, в соответствии с которой сумма достаточно большого числа не связанных или слабосвязанных случайных процессов приближенно подчиняется нормальному закону. Кроме того, многие шумовые процессы описываются именно принятой нами моделью [4].
Перейдем в (9) к производной:
Г/ \2 Л
Ф($2, / $1/ ).
1 1
dU1i уры а
ехр
($1/ -Цц ) (2а)2
(10)
Используя выражение (10) и определение чувствительности, получим формулы
Цц ехр
ДР($2, / $1/ ) =__
и2 л
Ц\
а| ехр
И
Г р Л
(11)
Ж
И2 = ( -Ц1/ )
(а)2
(12)
Обозначим ё = - Цц — расстояние между средним и пороговым значением сигнала в
канале I. Расстояние между соседними сигналами в этом же канале равно Поэтому значение И2 пропорционально отношению мощности разности соседних сигналов в канале I к мощности шума (в реальных системах передачи намного больше единицы).
Упростим выражение (11). Считая параметр И сколь угодно большим, получим неопределенность вида О, для устранения которой используем правило Лопиталя. Окончательно выражение имеет следующий вид:
АР($2, /) = Ц1/И
Ц./
„ (13)
ц а
Так как в (6) только первое слагаемое зависит от порогового уровня Ц.,, то формула чувствительности вероятности ошибки к отклонению значения Ц1г- имеет вид
АР = р($2/ / $1/ ) АР($2/ /)
Ац\г = Р АЦ\г • В силу эквидистантности точек поля сигналов КАМ значения всех слагаемых в (6) равны и формула для чувствительности записывается в виде
Ар =--1 ЦцИ
Ц.-,
4 а
(14)
2
г
ж
ж
Повторив проведенные преобразования для пороговых значений и2г-, U\q, получим следующие соотношения:
ap _ 1 U2lh
Au _
A
P _ 1 U1qh AP 1 Ulqh
u1q _-- , AU2q =-
(15)
4 а ' 1q 4 а ' "2q 4 а В каждом из квадратурных каналов I и Q системы КАМ с m уровнями может появиться
один из n равновероятных сигналов (n _4m ). Мощность П в квадратурном канале, полученная усреднением значений мощности по всем равновероятным сигналам, находится по формуле [4]:
П_
n2-1 3
d 2.
(16)
Прибавив к разностному сигналу ё среднее значение напряжения л/Л в квадратурном
канале, получим среднее значение порогового уровня:
f
иср _ d
1+<
n2-1
С учетом (13) заменим в (15) значения пороговых уровней их средним значением:
A
P
u
1 i
- A
P
u
2 i
A
p
u
d
1+<
Г2—>
n2 -1
1 q
f
- A
p
u
2 q
h
1+<
n2-1
h2
-. (17)
4а 4
Выразим h через параметр отношение сигнал/шум (SNR). В соответствии с соотношени-
ем
(13) к2 _ d/2 . Из (16) следует, что d _ 3П , таким образом
а2 n2 -1
h2 _
3П
(n2-1)
3SNR
-11а2 n2-1
(18)
Все чувствительности в (17) равны по абсолютной величине и различаются только по знаку. В дальнейшем нам понадобится абсолютная величина чувствительности А, выражение для которой с учетом (18) имеет вид:
A _-
1+
m-1
SNR
4(m -1)
(19)
где m _ n — число уровней сигнала в системе КАМ. Переменные m и n могут принимать только определенные значения (положительные целые числа начиная с 2). Это требование возникает исходя из свойств КАМ [5].
Расчет допусков. Так как пороговые уровни между сигналами в квадратурных каналах I и Q не зависят друг от друга, то и их отклонения в (9) являются независимыми случайными величинами. С учетом этого обстоятельства, применяя выражение (19), перейдем от отклонений в (9) к дисперсиям:
а2 (d (ln P)) _ AV(d(ln uu))+а2^(1п u2i))+а2^(1п uXq))+а2^(1п ulq))]. (20)
Для нормального закона распределения с вероятностью 0,997 выражение (20) по правилу „ 3а " записывается в виде
A(ln P) = 3 ^ a2 (d (ln UXi))+a2(d (ln U2i))+a2(d (ln Ulq))+a2(d (ln U2q)),
где A(ln P) — допуск на случайную величину отклонения вероятности ошибки от своего номинального значения. Применив правило „ 3a" к отклонениям пороговых уровней, получим следующее выражение для допусков:
A(lnP) = A2(lnUii)+A2(lnU2l)+A2(lnUiq)+A2(lnU2q). (2l)
Как следует из (16), вероятность ошибки равночувствительна к отклонениям пороговых уровней от своих номинальных значений. Поэтому примем допуски на все пороговые уровни равными друг другу, т.е.
A(ln Uii) = A (ln U2i) = A(ln Uiq) = A (ln U2q) = A(ln U).
Подставим это условие в (2l) и получим следующую формулу для расчета допусков:
A(ln U)=AA). (22)
Это выражение является искомым и устанавливает связь между допуском и отклонением на параметр системы (пороговый уровень) и отклонением вероятности ошибки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973.
2. Смирнов А. В., Пескин А. Е. Цифровое телевидение: от теории к практике. М.: Горячая линия-Телеком, 2005.
3. ETSI TR i0i 290 Digital Video Broadcasting (DVB); Measurment guidelines for DVB. 200i.
4. Боккер П. Передача данных. Техника связи в системах телеобработки данных. М.: Связь, 1980.
5. EN 300 429 Digital Video Broadcasting (DVB); Framing structure, channel coding and modulation for cable systems. 1998.
Сведения об авторах
Антон Юльевич Янушковский — аспирант; Санкт-Петербургский государственный универси-
тет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: [email protected] Анатолий Валентинович Кривошейкин — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
технической электроники 05.11.09 г.
