CC BY
51
ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
УСТРОЙСТВА
УДК 621.391.82
А. Ю. Янушковский А. В. Кривошейкин
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИЕМА СИГНАЛОВ ФАЗОАМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИИ В УСЛОВИЯХ НЕИДЕАЛЬНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ КАНАЛОВ
Предлагается метод нахождения допусков на параметры демодулятора в цифровых системах связи, в которых применяется квадратурная амплитудно-фазовая модуляция. Приводится выражение, связывающее отклонение угла сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов демодулятора и вероятность ошибки.
Ключевые слова: номинальные значения, отклонение вероятности ошибки, квадратурная амплитудно-фазовая модуляция, поле сигналов, квадратурные каналы, пороговые уровни.
Введение. Квадратурная амплитудно-фазовая модуляция (КАМ) — это вид модуляции, при котором информация передается путем изменения амплитуды и фазы сигнала несущей частоты. При передаче цифровых сигналов некоторое число битов цифрового потока ставится в соответствие определенному сочетанию амплитуды и фазы; прием сигнала с такой модуляцией заключается в принятии решения о том, какое из возможных сочетаний амплитуды и фазы ( далее — сигналов) было передано. Такая модуляция может быть реализована путем амплитудной модуляции двух синусоидальных колебаний, угол сдвига фаз которых составляет 90° (квадратурные каналы г и с последующим их сложением. При приеме сигнала, в процессе демодуляции, также производится его разделение на квадратурные составляющие (поэтому в данной статье вывод всех выражений осуществляется для двух каналов г и
Показателем качества работы цифрового канала связи является вероятность возникновения ошибки, т.е. вероятность того, что при передаче какого-либо из сигналов было принято решение о приеме другого сигнала. Такая ошибка может возникнуть из-за наличия шумов в канале связи [1]. Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал/шум для систем, использующих КАМ, известна и регламентируется соответствующими стандартами [2]. Однако на вероятность возникновения ошибки могут также влиять и отклонения параметров систем, составляющих канал связи, а также неточное их изготовление.
В настоящей статье рассматривается влияние отклонения одного из параметров системы от номинального значения на помехоустойчивость системы, в которой используется квадратурная амплитудно-фазовая модуляция. В качестве параметра системы, вызывающего увеличение вероятности ошибки, принят угол сдвига фаз несущих колебаний квадратурных каналов.
При выводе выражений было принято допущение, что на вероятность ошибки влияют только четыре сигнала ¿2, ¿з, £4, £5, ближайшие к переданному сигналу ¿1 (см. рисунок). Справедливость такого допущения объясняется в работе [3].
В данной статье рассматривается модель канала связи, в котором области сигналов приемника разделены некоторыми пороговыми уровнями Цц, и2г-, и1ч, и2д (см. рисунок), именно с этими значениями происходит сравнение принятого сигнала.
Расчетные соотношения. Фазы сигналов несущей частоты в квадратурных каналах многоуровневых систем передачи должны быть сдвинуты относительно друг друга на 90°. Неточность исполнения реальных систем (т.е. неточность выполнения операции сдвига несущих колебаний на 90° как в цифровых системах, так и в аналоговых) приводит к дополнительному сдвигу на угол ф, что вызывает увеличение вероятности ошибки при приеме сигнала. В этом случае передаваемый сигнал ^ определяется как
S1 = sXi cos(rat + ф) + ^г- + s1q sin (rat) + ^q =
= s1i cosфcos(cot) + ^i + (s1q -s1i sinф)п(rat) + ^q, (1)
где sy и Siq — амплитуды квадратурных составляющих сигнала ^ при ф = 0; í)i, 't>q — гаус-
совские некоррелированные шумы в каналах i, q.
Из выражения (1) следует, что сигналы в каналах i и q приемника определяются соответственно соотношениями
S1i = sli cos ф + ^i, (2) S1q = S1q - S1i sin ф + ^q . (3)
Распределение плотности вероятности принято нормальным исходя из закона больших чисел [4]. Математические ожидания сигналов (2) и (3) вычисляются как
M [Su ] = su cos ф, (4)
M [S1q ] = S1q - s1i sin ф . (5)
Рассмотрим сначала канал i. Вероятность ошибки Pi, возникающая в канале i, равна сумме вероятности того, что сигнал Sy превысит пороговое значение Un, и вероятности того, что сигнал Sy будет меньше значения U2i. Таким образом, справедлива формула
2 U2i -M[S1i ] 2 1 ю 1 CT -p
P (( [Sy ]) = P(S1i > Uy) + P(S1i < U2i ) = ^= J e 2 dp + -= J e 2 dp ,(6)
V2n U -M[S, ] V2n _
Uh -M [Sh.]
CT
где р — переменная интегрирования, а — среднее квадратическое отклонение.
Разложим функцию Рг ((М ]) в ряд Тейлора по переменной М [¿^ ] в окрестности значения и ограничимся тремя членами разложения. Найдем выражения для первой и вто-
рой производном и определим их значения при условии sXi =
U2i + Un
2
т.е. при номинальном
значении сигнала, находящемся в середине области (между пороговыми уровнями) [5]:
ар (,1,)
d2Р (sii) = 2 d (м S ])2 а3Т2П
Г i = 0,
dM [Su ] '
f
exp
(Uii - M [Уц ]] 8a2
2 Л
f Uii - U
2i
(7)
(8)
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (6) в следующем виде:
р М и) р (-1-)+[х"']-[Яв]-,1')2' (9)
Подставив уравнения (7) и (8) в формулу (9), получим
Р (М ])- Р, )
1 expf.U« - U2' Y U" - U
а3л/2л
8az
2i
-](M [Sii ]-sii )2. (10)
Введем функцию X (ф) = (M [Si ] - s^ )2, которая с учетом выражения (4) имеет вид
X(ф) = sii2 (i - cosф)2. (ii)
Для разложения функции (ii) в ряд Тейлора по переменной ф при ф = 0 определим коэффициенты разложения:
dX (ф)
d ф
= 0,
d2 X (ф)
ф=0
d ф
= 0,
d3 X (ф)
ф=0
d ф3
= 0,
d4 X (ф)
ф=0
d ф
= 6 si2 .
ф=0
Ограничимся пятью членами разложения и представим выражение (11) в следующем
виде:
X (ф) = 4 s2V = 4 s2^4.
(i2)
Подставив формулу (12) в (10) и разделив обе части выражения (10) на величину Р (-1-), после выполнения преобразований получим
Р (M S- ]) i + Р (Sii)
i Uii - U2i 2
Si2 exp
f
(Uii -U2l) 8a2
2 Л
ф
Рг (Sii)
(i3)
Из уравнения (13) следует, что при любом отклонении разности фаз от значения 90° вероятность ошибки увеличится.
Используя соотношение s^- = M S ] =0 = sii, в результате получим
Ц* + Щ 2
подставим в формулу (6) значение
2 U 2 i U 2
ю Z^ 1 2ст -р
Pi (s1i ) = -/= í e 2 dp + "/= f e 2 dp = -= f е 2 dp. V2n и..U. V2n -1 V2n и..-/,..
(14)
Uli -U 2 i
2а
Uli -U 2i
2а
Введем обозначение hi = —^—— и подставим выражение (14) в (13):
2а
P (( К ]) = n +
P (sli)
.£) ¿ he2 ф4
2
ю -p
f e 2 d p
(15)
Величина к1 в реальных системах с многоуровневой модуляцией значительно больше единицы. Поэтому, считая величину к1 в уравнении (15) сколь угодно большой, воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности, в результате получим
P (M [ ¿1,- ]) = 1 +1 г Pt (S1i)
s1i I U2,J
- I hi Ф .
(16)
Перейдем теперь к рассмотрению канала д. Вероятность ошибки Рд, возникающая в канале д, определяется по формуле
¿1
1q
) = P ( ¿1q > U1q ) + P ( ¿1q < U2q ):
2 U2q[¿1q ] 2
-P 1 а -P
1— f e 2 dp+ .— f e 2 dp. V2n „ Л[с ] V2n J
U1q -M [ ¿1 q ] "
(17)
Выполнив преобразования уравнения (17), идентичные проведенным для канала г, получим формулу, аналогичную выражению (10):
(( [¿1q ])- Pq (S1q ) =
Pq (
г U1q U|ГU1q U2q 1
exp
1q 2q
8а2
(( [ ¿1q ]-S1q )2. (18)
Введем функцию У (ф) = (м ¿ц - Slq ) , которая с учетом уравнения (3) имеет вид
Y (ф) = s2 sin2 ф. (19)
Разложим (19) в ряд Тейлора по переменной ф при ф = 0, для этого определим коэффициенты разложения:
dY (ф)
d ф
= 0,
d2 Y (ф)
ф=0
d ф
= 2 4.
ф=0
Ограничимся тремя членами разложения и представим выражение (19) в следующем виде:
Y (ф) = s2 ф2.
(20)
а
Подставив формулу (20) в (18) и разделив обе части выражения (18) на величину Рд (51д ), после выполнения преобразований получим
рч ((
Я
1д
Р )
1 =. +
1 и1д - и2д 2
"Т^-- ехР
( / \2 ^ (д - У2д )
8а2
Ф
Р
К)
(21)
и2а + и1д
Используя соотношение =---, подставим в формулу (17) величину
2
М
Я
1д
Ф=0
= , в результате получим
У2д -Ухд
ю 1
2а ^ 2
Р К ) = 72Л I в 2 Ф+Т2П I в 2 Ф = ~/2Л I в 2 ар.
(22)
Чд-У 2д
2а
Уд— 2а
и1д - и2д
Введем обозначение кд =--- и подставим выражение (22) в (21):
2а
Рд (
Я
1д
Рд (51д)
) =! +
\2 к
д 2 2 —в 2 ф
ю -Р
I в2 а р
(23)
Считая величину кд в уравнении (23) сколь угодно большой и используя правило Лопиталя для устранения неопределенности, получаем
Рд (
Я
1д
Рд (*1д)
1 = 1 +1Г '
, 2 2 кд Ф .
(24)
В силу того, что точки звездного поля [2] находятся на равном расстоянии друг от друга, справедливы следующие соотношения:
У,; - У2
кд = к =-2-
д 1 2а
■; Рд К ) = Рг (-11 ).
(25)
Введем обозначения для вероятностей ошибок в каналах г и д при наличии угла ф и его отсутствии, т.е. при ф = 0 :
Р (ф) = Р (М[ц]), Р(0) = Р (11);
Рд (ф) = Рд (М [ Яд ]) , Рд (0 ) = Рд ^ ) = Р, (0).^
Полная вероятность ошибки Р (ф)при наличии дополнительного угла ф равна сумме вероятностей ошибок в каналах I и д. Используя выражения (16) и (24)—(26) , получаем
(26)
1 ( -1
Р(ф) = Рг (ф) + Рд (ф) = Р (0) + Рд (0) + Рг (0^ ^ I к? ф4 + Рд (0)^ ^ | ^ ф2. (27)
1 (
.22
81 а
2 ^ а
2
д
Из уравнений (26) следует, что Рг(0)=Р(0)/2, где Р(0) — полная вероятность ошибки при ф=0. Преобразуем выражение (27):
Р^+Н^ф2 +М (28)
Так как значение угла ф <<1, то в уравнении (28) можно пренебречь вторым слагаемым. Запишем окончательную формулу:
к=£Щ=1+!Г %ф2. (29)
Р(0) 4^
Соотношение (29) показывает, во сколько раз увеличится вероятность ошибки при появлении дополнительного угла ф сдвига фаз несущих колебаний в каналах г и д.
При известном допустимом увеличении вероятности ошибки к можно рассчитать допустимое значение угла ф.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных цепей. М.: Сов. радио, 1973.
2. ETSI TR 101 290 Digital Video Broadcasting (DVB); Measurment Guidelines for DVB V1.2.1 (2001-05).
[Электронный ресурс]: <http://www.etsi.org>.
3. Боккер П. Передача данных. Техника связи в системах телеобработки данных. М.: Связь, 1980.
4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
5. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965.
Сведения об авторах
Антон Юльевич Янушковский — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ки-
но и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: yanushkovskiy@mail.ru Анатолий Валентинович Кривошейкин — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный
университет кино и телевидения, кафедра технической электроники; E-mail: krivav@yandex.ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
технической электроники 23.12.10 г.
