CC BY
44
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 102-109
Механика =
УДК 539.3
Термомеханическая модель нелинейного анизотропного материала *
М. Ю. Соколова, Ю. В. Астапов
Аннотация. Предложенная модель анизотропного упругопластического материала конкретизирована по известным экспериментальным данным о поведении мелкозернистого графита при его нагружении по различным лучевым траекториям в пространстве напряжений.
Ключевые слова: термомеханика, анизотропия, определяющие соотношения.
Известны анизотропные материалы, ведущие себя существенно нелинейным образом как на стадии активного нагружения, так и на стадии разгрузки после пластического деформирования. Одним из примеров таких материалов является мелкозернистый графит, являющийся трансверсально-изотропным и обладающий разносопротивляемостью при растяжении-сжатии. Данные о свойствах графита в широком спектре приложения нагрузок к сплошным и тонкостенным трубчатым образцам приведены в статье [1].
Существенная нелинейность в поведении мелкозернистого графита даже в области малых (до 3%) деформаций не описывается известными моделями анизотропных материалов [2]. Остается открытым вопрос и о построении модели упругопластического деформирования анизотропных материалов [3, 4]. В связи с этим требуется разработка термомеханически обоснованных определяющих соотношений, описывающих поведение начально анизотропных материалов как в области обратимых (упругих), так и в области необратимых (упругопластических) деформаций.
1. Основные термомеханические соотношения модели. Рассмотрим шестимерное пространство [3], в котором тензору деформаций е = ецЩ соответствует вектор э = эага. Связь между их компонентами в ортонормированных базисах ег (г = 1, 2, 3) и га (а = 0,1, 2, 3, 4, 5) определяется соотношениями [3]:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-97501-р_центр_а, 12-01-31176-мол_а).
э0 = 3 (е11 + е22 + £33) , э1 = (2е33 — £11 — е22) , э2 = (е22 — е11) ,
э3 = -^у2 (е12 + е21) , э4 = -^2 (е23 + е32) , э5 = (е31 + е13) • (1-1)
Векторы га шестимерного пространства являются образами тензоров
канонического базиса 1а:
I0 = (в1в1 + 6*26*2 + ё*3ё*3), I1 = —= (2ё*3ё*3 — 6*16*1 — 6262),
I2 = —(ё2в2 — 6161), I3 = —2(6162 + 6261), (1-2)
I4 = —26263 + 6362), I5 = —7= (6361 + 6163),
для которых справедливы условия нормировки I“ • -Iе = 5ав.
Аналогичным образом тензору напряжений Б = Бг^егё^ ставится в соответствие шестимерный вектор а = иа%а.
Пусть рассматриваемые тензоры е и Б энергетически сопряжены, то есть свертка Б ■ ■ (е представляет элементарную удельную работу напряжений
(Л(г), тогда в шестимерном пространстве
(Л(г) = — а ■ (э- (1-3)
ро
Запишем основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса [3]:
— э ■ (а + в(Т + (С = —('■ш ^ 0, (1-4)
р0
где в, Т — удельная энтропия и абсолютная температура, С — термодинамический потенциал Гиббса, — элементарное производство диссипации.
Полагают, что потенциал Гиббса является функцией напряжений и температуры С = С(а,Т), тогда выражение для его дифференциала имеет вид
дС _ дС _
(С = трг ■ (а + —— (Т- (1-5)
да д!
Соотношения, определяющие поведение материала при обратимом и необратимом деформировании, удовлетворяют соотношению (1.4) и могут быть получены путем задания конкретных форм выражений для потенциала Гиббса и производства диссипации.
2. Модель обратимого деформирования. В случае обратимых процессов диссипация отсутствует d'w = 0, тогда из соотношения (1.4) следует, что
dG = — — э • da — sdT. (2.1)
Ро
Сопоставляя выражения (2.1) и (1.5), получим в случае обратимых процессов, что
dG dG . .
э = —Р0da’ s = — дТ■ (2-2)
Примем для потенциала Гиббса простейшее квадратичное представление G = —а • A (a) • a — а • a(T — То) + G(0)(T), (2.3)
где A(a), а — материальные характеристики, G(0)(T) — составляющая потенциала Гиббса, зависящая только от температуры.
На основании (2.2) и (2.3) получим
dA
э = роА(а) • а + роа • — •а + роа (T — To), (2.4)
da
s = a •a — Ir- (2-5)
В соотношениях (2.4) представим тензор свойств A(a) линейной функцией напряжений в виде
т—1
РоA(a) = C + ^ са (гаа + ata) , (2.6)
а=о
где C, ca — постоянные, ia — базисные векторы шестимерного пространства, инвариантные относительно группы ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств анизотропного материала [4, 5], m — число инвариантных базисных векторов для рассматриваемого материала.
Подставляя (2.6) в (2.4), получим нелинейные определяющие соотношения для анизотропного материала в виде
т—1
э — lC + 7 ^a V ьа
а=о
C + ¿ Ca {íaJ + Ola + (a • 4)e) ) • a + a(T — ^). (2.7)
Определим термомеханический смысл констант, входящих в соотношения
(2.7). Рассмотрим линейный случай, когда са = 0 (а = 0,1, •••, т — 1):
э = С ■а + а(Т — То)•
Положив напряжения отсутствующими, определим температурные деформации в материале
эи=о = а(Т — То),
тогда а = роа — шестимерный вектор, являющийся образом тензора теплового расширения [6]. Если процесс деформирования является изотермическим, то
э1т=т0 = С ■ а
и тензор С является шестимерным образом тензора упругих податливостей, который может быть определен по начальному участку кривых деформирования.
Для конкретизации выражения (2.5) учтем, что энтропия сама является термодинамическим потенциалом [3, 6], поэтому может быть представлена функцией параметров состояния в = в(а,Т), тогда
дв дв
йв = — ■ йа + —йТ• (2^8)
да о1
Из (2.5) следует, что йв = а ■ йа — йТ, тогда дт = — .
Величина Т дт представляет собой меру количества тепла, образованного в единице массы при изменении температуры и при постоянных напряжениях — удельную теплоемкость при постоянных напряжениях: са = —Т . Если считать са постоянной величиной, то после
интегрирования получим
йО(о) , Т ,о) / Т . Т Т 1
------= са 1п —, = —са То — 1п-----------+ 1
йТ а То ’ * Ч То То То
тогда энтропия имеет выражение
Т
в = а ■а + са 1п — • (2^9)
То
Соотношение са = се + а ■ С-1 ■ а связывает теплоемкость при постоянных напряжениях са с теплоемкостью при постоянных деформациях се [3, 6].
3. Идентификация модели для мелкозернистого графита. В
статье [1] приведены кривые изотермического растяжения графита в трех направлениях: вдоль трансверсальной оси, в плоскости изотропии и под углом 45° к трансверсальной оси.
Для трансверсально-изотропного материала входящий в соотношения
(2.7) тензор С имеет разложение по базису га шестимерного пространства в виде
C — Cocido + Coi (ioh + Mo) + Спйй + C22 (hh + hh) + C44 (¿4^4 + ¿5^5) >
а отличными от нуля константами ca являются только со и С1 [3].
Компоненты тензора податливости Сар могут быть определены по данным статьи [1]. Константы со и С1 могут быть определены из опытов. В частности, из опытов на растяжение вдоль трансверсальной оси (кривые 5 на рисунке 1) и в плоскости изотропии (кривые 1 на рисунке 1) установлены значения со — 2, 626 • 10_8 и С1 — 1, 575 • 10-8. Найденные значения констант co и c1 использованы при расчете зависимости между напряжениями и деформациями при растяжении образцов в направлении, составляющем 45° относительно трансверсальной оси. Соответствующие кривые на рис. 1 имеют номер 3.
0 0.0024 0.0048 0.0072 0.0096 £ 0.012
Рис. 1. Зависимости между напряжениями и деформациями: кривые 1 — растяжение в плоскости изотропии; кривые 5 — растяжение вдоль трансверсальной оси; кривые 3 — растяжение под углом 45°
На рисунке экспериментально полученные кривые растяжения показаны сплошными линиями с точками. Кривые, полученные по результатам расчетов, показаны штриховыми линиями. Рисунок показывает хорошее соответствие между результатами расчетов и данными экспериментов для всех направлений растяжения, в том числе и при растяжении под углом к трансверсальной оси, когда экспериментальные данные не использовались для определения констант.
4. Термомеханическая модель необратимого деформирования. При рассмотрении необратимых процессов полагают, что диссипация отлична от нуля и 6'^} > 0.
В шестимерном пространстве вводится термомеханический базис Ьо ,Ь\, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5 такой, что составляющие векторов деформаций и напряжений Э(о) =
= (э • Ь0)Ь0, <Г(0) = ((Г ■ Ь0)Ь0 в течение всего процесса остаются обратимыми, то есть необратимые деформации в направлении вектора ¿0 не происходят, они полностью расположены в подпространстве векторов ¿1, ¿2, ¿3, ¿4, ¿5, ортогональном к вектору ¿0- Используя разложения деформаций и напряжений по термомеханическому базису э = Э(0) + э^, Г = Г(0) + а±, запишем выражение для свертки
э ■ Г = э(0) ■ Г(0) + э± ■ а±. (4.1)
Тогда основное термомеханическое соотношение в форме Гиббса (1-4) может быть представлено в виде
— э(0) ■ (0) + — э^ ■ + 86Т + 60 = —6 w < 0. (4.2)
Р0 ^ 1 ; Р0
Представим потенциал Гиббса суммой двух функций, первая из которых зависит только от составляющей напряжений 7(0) и температуры, а вторая — только от составляющей напряжений ¿г^:
0 (Г,Т) = 0(0) [(7(0), Т) + С± (а±). (4.3)
В этом случае (4-2) можно записать в виде
— э (0) ■ 6г(0) + —э^ ■ + з6Т + 60(0) + 60 = —6 w < 0,
Р0 ^ 1 ’ Р0 у ’
причем
60(0) =------э(0) ■ 6г(0) — з6Т, 60+ —э± ■ = —6^.
к 1 р0 к 1 к 1 р0
Предположим, что работа необратимой составляющей напряжений
полностью рассеивается:
= —Г± ■ 6э±. (4.5)
р0
Из предположения (4-5) и выражения (4-4) следует, что
60± = — — э^ ■ 67± ——Г± ■ 6э± = — — 6 (э± ■ а±). (4.6)
Р0 Р0 Р0
Известна связь термодинамического потенциала Гиббса и свободной энергии [3, 6]:
0 = Ф — —э ■ Г. (4.7)
р0
Представляя свободную энергию в виде
Ф (э, Т) = Ф(0) (э(0) ,Т) + Ф± (э±), (4.8)
дифференцируя (4.7) с учетом (4.1), (4.3) и (4.8), получим
1
d (э(0) • <?(0) + э± • &±)
ро
и
dG (0) — d^(0)
1
d(s(0) • а(0)) , dG± — dФ±
1
d (э± • а±).
р0
р0
Учитывая в последнем равенстве выражение (4.6), получим, что предположение (4.5) о рассеивании работы необратимой составляющей напряжений приводит к требованию
в соответствии с которым (4.5) эквивалентно утверждению, что в пространстве деформаций существует поверхность нагружения, отделяющая область обратимого деформирования от области необратимого деформирования, которая совпадает с эквипотенциальной поверхностью составляющей свободной энергии Ф^ (э±) = Ф^. Такое предположение было использовано при построении термомеханической модели упругопластического деформирования анизотропных материалов в монографии [3].
1. Огибалов П.М., Кузнецов В.Н., Савов П.М., Алифанов А.В. Экспериментальное исследование пластичности начально-анизотропного материала при простом деформировании // Упругость и неупругость / Под. ред. А.А.Ильюшина. М.: МГУ, 1987. С. 136-146.
2. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: ТулГУ, 2000. 149 с.
3. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. Тула: ТулГУ, 2011. 374 с.
4. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич, Д.В. Постулат А.А.Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 38-45.
5. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.
6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
с!Ф± — 0,
(4.9)
Список литературы
Соколова Марина Юрьевна (socolova-m-u@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Астапов Юрий Владимирович (ast3x3@gmail.com), студент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Thermomechanical model of a nonlinear anisotropic material
M. Yu. Sokolova, Yu. V. Astapov
Abstract. An offered model of an anisotropic elastic-plastic material is concretized by known experimental data about fine grain graphite behavior at its loading by different ray trajectories in a stress space.
Keywords: thermomechanics, anisotropy, constitutive relations.
Sokolova Marina (socolova-m-u@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Astapov Yuri (ast3x3@gmail.com), student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 22.09.2012
