Инвариантные свойства чистых сдвигов для одноосных кристаллов и квазикристаллов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 187-197

Механика =

УДК 539.3

Инвариантные свойства чистых сдвигов для одноосных кристаллов

гк

и квазикристаллов *

М. Ю. Соколова

Аннотация. Рассмотрены алгебраические инварианты первого, второго и высших порядков, характеризующие тензоры «чистых сдвигов» в одноосных кристаллах, аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материалов. На основе свойств «чистых сдвигов» впервые получены выражения для инвариантов в квазикристаллах, характеризующихся наличием поворотной оси пятого порядка.

Ключевые слова: кристаллы, квазикристаллы, чистые сдвиги, инвариантные подпространства, алгебраические инварианты.

Рассмотрим анизотропные материалы, симметрия свойств которых характеризуется наличием поворотной оси п-го порядка и плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси. Наличие поворотной оси п-го порядка означает, что физические свойства таких материалов инвариантны относительно поворота вокруг этой оси на угол 21. В кристаллических материалах могут существовать только оси симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков, что обусловлено периодической структурой (решетчатым строением) таких материалов. Для кристаллов тригональной сингонии п = 3, для кристаллов тетрагональной сингонии п = 4, для кристаллов гексагональной сингонии п = 6 [1, 2]. Оси пятого, седьмого, десятого и двенадцатого порядков обнаружены у материалов, названных квазикристаллами [3], которые характеризуются дальним порядком апериодического типа. Материал, свойства которого в качестве элемента симметрии имеют ось бесконечного порядка, называют трансверсально-изотропным. Такой материал обладает плоскостью изотропии свойств, перпендикулярной оси симметрии. В работах [4, 5] было показано, что аксиальные квазикристаллы в отношении термоупругих свойств ведут себя как трансверсально-изотропные материалы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-97501-р_центр_а, 15-01-01875-а).

В работах [4-6] были получены канонические представления тензоров упругости рассматриваемых материалов, которые в шестимерном пространстве А.А. Ильюшина [7] имеют вид:

n(3) = nooioo + noiiol + niiiii + «22(122 + 13э) + «44(144 + Í55) + «-24(124 + 13б),

(1)

n(4) = «ooioo + «oiioi + «iiiii + «22Í22 + «33Í33 + «44^44 + Í55), (2)

П(6) = «ooioo + «oi ioi + «iiiii + «22(i22 + i33) + «44 (i44 + i55), (3)

где iaß, a, ß = 0,1, 2, 3, 4, 5 — базисные тензоры пространства А.А. Ильюшина, «aß — упругие константы.

Тензор n(3) характеризует упругие свойства тригональных кристаллов, тензор n(4) характеризует упругие свойства тетрагональных кристаллов, тензор n(6) характеризует упругие свойства гексагональных кристаллов, аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материала. На основании представлений (1)—(3) для рассматриваемых материалов в шестимерном пространстве можно указать инвариантные относительно преобразований из группы симметрии материала базисные векторы и базисные диады.

1. Рассмотрим группы симметрии дд одноосных кристаллов, аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материала. Эти группы образованы порождающими элементами ортогональных преобразований, заданных в декартовом базисе ai, a2, a3. Для рассматриваемых материалов порождающими элементами групп симметрии являются:

1) тензор поворота вокруг оси, направленной вдоль вектора a3, на угол

2п

n

Q(n) = cos 2п ( ai ai + a2 a2) + sin 2n ( ai a2 - a2ai) + a3 (4)

« «

2) тензор отражения относительно плоскости симметрии

Qo = ai ai + a2 a2 - 0,3U3. (5)

В пространстве А.А. Ильюшина преобразованиям (4) и (5) соответствуют трехпараметрические преобразования базиса [6] с матрицами m(n) и mo:

т{п) =

1 0 0 1

0 0

0 0

4п 4п

0 0 еов --— в1П —

П , п

4п 4п

0 0 в1п — еов —

п п

00 00

тп =

0 0 2 еов -

0 0 - в1п

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 —1 0

0 0 0 0 0 —1

2п

п

2п

в1П

2П

п

еов

п

(6)

Базисный вектор шестимерного пространства га инвариантен относительно преобразований т из группы симметрии материала длб при выполнении условия

т = г а

Ут е длб,

базисная диада а = ^ (1а 1з + инвариантна относительно преобразований т из группы симметрии материала длб, если

тт • 1а/3 • т = 1а/3 Ут е длб •

Все инвариантные базисные векторы и базисные диады для анизотропных материалов с рассматриваемым типом симметрии свойств приведены в табл. 1.

Рассмотрим в трехмерном пространстве тензор деформаций е = е^ Тцаj и его образ в шестимерном пространстве — вектор деформаций М = Мага. Для тензора второго ранга е известно [6, 7] определение инвариантов относительно полной группы ортогональных преобразований базиса пространства через компоненты тензора в этом базисе:

II (е) = еп + е22 + езз,

12(е) = е11е22 + е22е33 + е33 е11 — е12 — е2з — е21>

(7)

13 (е) = ёе1 е^ •

Инварианты тензора второго ранга, определяемые соотношениями (7), назовем основными. Для анизотропных материалов, обладающих симмет-

0

0

а

рией свойств, тензор второго ранга имеет дополнительные инварианты, которые не изменяются только при преобразованиях из группы симметрии материала. В полные системы алгебраических инвариантов входят комбинации произведений компонент тензоров первого, второго и высших порядков, которые для материалов с различным типом симметрии свойств приведены в монографиях [2, 8].

Таблица 1

Инвариантные базисные векторы и базисные диады

Сингонии / Инвариантные Инвариантные

порядок поворотной оси базисные векторы базисные диады

1 2 3 4

Тригональная «1 = i22 + i33

/ n = 3 io, il ioi, i11 «2 = i44 + i55 «3 = i24 + i35

Тетрагональная «1 = i22

/ n = 4 io, il ioo, ioi, i11 «2 = i33 «3 = i44 + i55

Гексагональная,

квазикристаллы io, il ioo, ioi, i11 «1 = i22 + i33

/ n ^ 5 «2 = i44 + i55

Линейные и квадратичные инварианты тензора е для материалов с различным типом симметрии свойств определяются с помощью приведенных в табл. 1 инвариантных базисных векторов и базисных диад. Линейные инварианты деформаций могут быть вычислены как скалярные произведения вектора деформаций и инвариантных базисных векторов из столбца 2 табл. 1:

э« = э • га, (8)

а квадратичные инварианты деформаций определяются соотношениями

s2a = э • «а •э, (9)

где «а — инвариантные тензоры из столбца 4 табл. 1.

Для рассматриваемых одноосных кристаллов, аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материала линейными инвариантами деформаций являются компоненты вектора деформаций эо; Э1 или, исходя из связи между компонентами вектора деформаций э и тензора деформаций е [6], выражения е11 + е22, езз.

Квадратичные инварианты для рассматриваемых материалов различны и могут быть вычислены по формулам: для тригонального материала

э2 + э3; э2 + э2; э2э4 + эзэ5 или

(^11 - £22'Г + £23 (£11 — £22) £23 + 2£12£31;

для тетрагонального материала

222,2/ \2 2 2,2 Э2; Э3; Э4 + Э5 или (£П — £22) ; £12; £23 + £31;

для гексагонального материала, аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материала

2,22,2/' \2 , л 2 2,2

Э2 + Э3; Э4 + Э5 или (£11 — £22) +4£12; £23 + £31 •

2. Рассмотрим тензоры второго ранга Л(а) = аа^, определенные в трехмерном пространстве Е3 и являющиеся образами векторов деформаций Э(а) = э • длины которых совпадают с квадратичными инвариантами тензора второго ранга. Для анизотропных материалов с различным типом симметрии свойств тензоры Л(а) приведены в табл. 2.

Таблица 2

Базисные тензоры инвариантных подпространств

Сингонии /

порядок Вектор Э(а) Тензор Л(а)

поворотной оси

1 2 3

Тетрагональная Э(1) = Э2г 2 Л(1) = р (01 а1 — а2(12)

/ п = 4 Э(2) = Э3г3 Л(2) = р ( О1 (12 + а2(1)

Э(3) = Э4 ¿4 + Э5 г 5 Л(3) = р (02а,3 + а,30,2) + д (03 О1 + О1 03)

Тригональная

/ п = 3 Э(1) = Э2 ¿2 + Э3 13 Л(1) = а ( а1 а1 — а2 а2) + Ь ( а1 а2 + а2 а1)

Гексагональная,

квазикристаллы / п ^ 5 Э(2) = Э4 ¿4 + Э5 %5 Л(2) = р (о2а3 + а3О2) + д (03О1 + О1 03)

Все приведенные в табл. 2 тензоры Л(а) являются девиаторами, для них /1 (А(а)) = 0. Для одноосных кристаллов и квазикристаллов тензоры Л(а) имеют равный нулю определитель, для них /3 (Л(а)) = 0. На основании теоремы Кейли-Гамильтона, записанной для тензоров Л(а), имеют место следующие соотношения:

Л3а) = —/2Л(а) и Л2:)+1 = —/2Л2:)"1,

(10)

Л4а) = —/2Л2а) и Л20) = —ьл:-2,

В работе Я.К. Рыхлевского [9] тензоры, обладающие свойством (10), называют «чистыми сдвигами». Такие тензоры имеют только один независимый инвариант /2 (Л(а)) = А(а) • •Л(а).

Поскольку первый инвариант тензора А^ определяется соотношением 1\ (А(а)) = А(а) ' 'А(а)> Я На ОСНОВаНИИ (10)

/1 = А(а) • Е = -12А(в) . .Е = -/2/! (А(в)) = о,

то для рассматриваемых материалов

А(а) • -А¡а) = 0. (11)

Рассмотрим дополнительные инварианты тензоров А(а), определяемых группой симметрии свойств рассматриваемых материалов.

3. Инварианты «чистых сдвигов» для одноосных кристаллов. В соответствии с таблицей 2 тетрагональный материал характеризуется тремя тензорами. Простая проверка показывает, что для тензоров А^ = р(а\а\ — 0,20,2) и А(2) = р (а\а20201) все инварианты степени выше второй, входящие в систему алгебраических инвариантов для тетрагонального материала [2, 8], равны нулю. Для тензора А(з) = р (0,20,3 + 0,30,2) + # (Й3З1 +а,\а3) ненулевыми инвариантами являются:

*!=р2 + 92, «з=Р¥, П=РЯ(Р2~Я2)- (12)

Вектор э(3) = у/2рг± + \/2дг5 лежит в двумерном подпространстве, причем 2 = 2 (р2 + о2) = 2«з, то есть длина вектора определяется квадратичным инвариантом $3. Угол <р (рисунок 1) между вектором Э(з) и базисным векто-

ром ¿4 определяется соотношениями:

у/р1 + д2 у/р2 +

Рис. 1. Определение угла (р Вычислим отношения:

s4 s3

5(3)|

сp2+q2)2 (Vp^Tf) 'Ívprq2)

p2q2

= cos2 ф ■ sin2 ф = - (1 — cos 4ф);

4

s4 pq (p2 — q2) p q Í p2 q2

1 э(3)|4 (p2 + q2)2 Vv^Tq2 Vv^Tq2 \p2 + q2 p2 + q2

)

1

= cos ф ■ sin ф ■ (cos2 ф — sin2 ф) = 4 sin 4ф

Таким образом, инварианты s3, s4 определяют ориентацию вектора деформаций Э(з) относительно базисных векторов подпространства, а функции cos4ф, sin4ф для тетрагонального материала являются инвариантами.

Тригональные и гексагональные кристаллы характеризуются двумя тензорами Л(!) и A(2) (см. табл. 2).

Тензор Л(!) = a ( a1a1 — a2a2) + b (a1a2 + a2 a1) имеет ненулевые инварианты

si = a2 + b2, si = a (a2 — 3b2) , s3 = b (b2 — 3a2) . (14)

Вектор э(1) = V2ai2 + V2bi3 имеет длину |э(1)|2 = 2 (a2 + b2) = 2s2, то есть квадратичный инвариант определяет длину вектора Э(1). Угол ф между вектором Э(1) и базисным вектором i2 определяется соотношениями:

ab cos ф = , , sin ф = . . (15)

va^Tb2 va^Tb2

Вычислим отношения:

= a (a2 — 3b2) a fa2 o b2

13

3

|э(1)|3 2V2(Va^Tb^)3 2V2VaTT¥ \a2 T b2 a2 T b2j

cos ф (cos2 ф — 3 sin2 ф) = —cos ф (4 cos2 ф — 3) = —cos 3ф,

' ' 2^2

)

s3 = b (b2 — 3a2) = b Í b2 a2

| э(1)|3 = 2^2 (Va2Tb2)3 _ 2V2V02Tb2 V a2 T b2 a2 T b2

1 sin ф (sin2 ф — 3 cos2 ф) = —sin ф (4 sin2 ф — 3) =--sin 3ф.

2^/2 1 2^/2 1 2лД

3

s

1

Из приведенных вычислений следует, что инварианты sf, sf определяют ориентацию вектора деформаций Э(1) относительно базисных векторов ¿2, ¿3 подпространства, а величины cos 3ф, sin 3ф для тригонального и гексагонального материалов являются инвариантами.

Тензор A(2) = p ( а2 а3 + a3a2) + q ( a3af + af a3) имеет для тригонального материала ненулевые инварианты

s2 = p2 + q2, s2 = p (p2 - 3q2) , sf = q (q2 - 3p2) . (16)

Проводя вычисления, аналогичные предыдущим, можно утверждать, что для тригонального материала квадратичный инвариант определяет длину вектора э(2) = V2pi4 + V2qi5, |э(2) |2 = 2 (p2 + q2) = 2s2 , а отношения

sf p (p2 - 3q2) 1

2 — — cos 3ф,

1 э(2)13 2^2 (Vl^T^y

sf q (q2 - 3p2) 1

э(2)13 2V2 (^Tq2)3

sin3^,

где ф — угол между вектором Э(2) и базисным вектором ¿4.

Таким образом, в подпространстве с базисными векторами ¿4, г5 для тригонального материала инвариантными относительно преобразований из группы симметрии материала являются величины cos3ф, sin3ф.

В этом же подпространстве для тензора А(2) в случае гексагонального материала ненулевыми инвариантами являются:

52 = р2 + д2, з2 = р2 (р2 - 3д2)2 , 4 = д2 (д2 - 3р2)2 , (17)

^ = рд (р2 - 3д2) (д2 - 3р2) .

Квадратичный инвариант определяет длину вектора Э(2), а отношения инвариантов определяют величины cos6ф, sin6ф:

8 ^16

s6 = p2 (p2 - 3q2)2 _ 1 cos2 3ф = 1

1 Э(2)Г 8 (^p^Tq2)

s2 = q2 (q2 - 3p2)2 = 1sin2 = 1 1 э(2)16 8 (^Tq2)

6 = - cos 3ф = — (1 + cos 16ф) , 6 — _ 6 = ^ sin2 3ф = 77 (1 - cos 16ф),

8 16

pq (p2 - 3q2) (q2 - 3p2) 1

I Э(2)

R— о = ^т3ф • cos3ф =—sin16ф.

I6 8 (p2 + q2)3 8 ^ ^ 16 ^

2

Таким образом, установлено, что рассмотренные тензоры для одноосных кристаллов имеют квадратичные инварианты, совпадающие с основным инвариантом I2 (Л(а)), а также ненулевые инварианты высших порядков, что обеспечивает для каждого из тензоров инвариантность величин cos пф, sin пф, где ф — угол, определяющий направление вектора Э(а) относительно базисных векторов подпространства. Это означает, что в каждом двумерном подпространстве существует 2п векторов деформаций, которым соответствуют тензоры с одинаковыми инвариантами. Эти направления определяются углами фк = ф T nk, k = 0,1, 2,... ,п — 1. Если вектор Э(а) составляет угол ф с базисным вектором подпространства, то при ортогональном преобразовании пространства E3, состоящем в повороте системы координат вокруг главной поворотной оси на угол , вектор деформаций Э(а) поворачивается на тот же угол. Этот результат мог быть получен непосредственно из рассмотрения матрицы преобразования m(n) шестимерного пространства.

4. Инварианты аксиальных квазикристаллов и трансверсально-изотропного материала. Получим выражения для ненулевых инвариантов тензоров «чистых сдвигов» Л(1) = a ( a1 a1 — a2a2) T b ( a1 a2 a1) и

A(2) = p ( Й2 a3 T a3 0,2) T q ( 03a1 T Й1 Й3).

Тензоры Л(1) и Л(2) имеют для рассматриваемых материалов нулевые

линейные инварианты, а квадратичные инварианты совпадают с инвариан-22

тами s2 и s2 для гексагональных и тригональных кристаллов, определяемые формулами (14) и (17).

Вывод, сделанный относительно инвариантности величин cos пф, sin пф, позволяет найти инварианты аксиальных квазикристаллов степени выше второй. Квадратичный инвариант тензора Л(1) определяет длину вектора

деформаций |Э(1)|2 = 2 (a2 T b2) = 2s1, ориентация которого относительно базисных векторов i2 и i3 определяется формулами (15).

Рассмотрим аксиальный квазикристалл с осью пятого порядка. Инвариантными относительно преобразований из группы симметрии материала являются величины cos 5ф и sin 5ф. Используя известные выражения этих величин через косинус и синус угла ф, запишем

cos 5ф = cos ф (16 cos4 ф — 15 cos2 ф T 5 sin2 ф) =

a a4 a2 b2

16 , о . — 15То^о = (18)

Va^TW V (a2 + b2)2 a2 T b2 ' a2 T b2

2 , b2)5/2

(a2 T b2)

(a4 — 10a2b2 T 5b4)

sin 5ф = sin ф (16 sin4 ф — 15 sin2 ф T 5 cos2 ф) =

a

Ь4 Ь2 а2 \

16 , о точ2 - = (19)

^ТъП (а2 + Ь2)2 а2 + Ь2 а2 + Ь2

Ь ( )

(Ь4 - 10а2Ь2 + 5а4)

(а2 + Ь2)5/2

В знаменателях выражений (18) и (19) стоят величины, связанные с

-> 1 2 , 72\5/2 1 |5

длиной вектора Э(1): (а + Ь ) = |Э(1)1 , поэтому выражения, стоящие

в числителе этих выражений, являются инвариантами пятого порядка для

рассматриваемых квазикристаллов:

= а (а4 - 10а2Ь2 + 5Ь4) , ^ = Ь (Ь4 - 10а2Ь2 + 5а4) . (20)

В подпространстве с базисными векторами г4 и г5 вектор Э(2) = у/2рг4+ + +\/2дг5 является образом тензора А(2). Проводя выкладки, аналогичные предыдущим, получим выражения для инвариантов пятого порядка этого тензора:

¿52) = р (р4 - 10р2д2 + 5д4), ¿52) = д (д4 - 10р2д2 + 5р4). (21)

Таким образом, для аксиальных квазикристаллов с поворотной осью пятого порядка тензоры «чистых сдвигов» А(1) и А(2) имеют ненулевые инварианты второго и пятого порядков, определяемые соотношениями (20) и (21). Аналогичным образом могут быть получены инварианты высших порядков для «чистых сдвигов» в квазикристаллах с другим порядком поворотных осей. В трансверсально-изотропном материале порядок оси бесконечный, поэтому все инварианты порядка выше второго для «чистых сдвигов» в таком материале равны нулю.

Ь

Список литературы

1. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. 192 с.

2. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

3. Векилов Ю.Х., Исаев Э.И. Квазикристаллы. Структура и свойства // Кристаллография. 2007. Т. 52. № 6. С. 966-972.

4. Соколова М.Ю., Христич Д.В. О симметрии термоупругих свойств квазикристаллов // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 5. С. 728-734.

5. Христич Д.В. Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 81-88.

6. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Процессы упругопластического конечного деформирования. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 374 с.

7. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: учебник. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.

8. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.

9. Blinowski A., Rychlewski Y. Pure shears in the mechanics of materials // Mathematics and Mechanics of Solids. 1998. V. 4. P. 471-503.

Соколова Марина Юрьевна (m.u.sokolova@gmail.com), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Invariant properties of pure shears for uniaxial crystals and

quasicrystals

M. Yu. Sokolova

Abstract. An algebraic invariants of first, second and higher ranks, which characterize tensors of «pure shears» in uniaxial crystals, axial quasicrystals and transversally isotropic materials are examined in this article. On the basis of «pure shears» properties the expressions for invariants in quasicrystals which characterized by a presence of the rotational axis of fifth rank were obtained for the first time.

Keywords: crystals, quasicrystals, pure shears, invariant subspaces, algebraic invariants.

Sokolova Marina (m.u.sokolova@gmail.com), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 12.05.2015