Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 + 624.073

О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, А.Н. Федосова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ТЕПЛОВОЙ УДАР ПО ТЕРМОУПРУГОЙ ПЛАСТИНЕ,

ИМЕЮЩЕЙ СМЕШАННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Приведено аналитическое решение задачи о нормальном тепловом ударе по прямоугольной пластине, два противоположных края которой шарнирно оперты, при этом на них поддерживается нулевая температура, а два других могут иметь произвольный тип закрепления и произвольный температурный режим. На основании строго математического подхода найдено решение данной задачи в виде интеграла для функции прогиба пластины. При помощи разложения тригонометрических функций найденного решения в степенные ряды из решения возможно получение алгебраических частотных уравнений при тепловом ударе для класса задач со смешанными граничными условиями.

Ключевые слова: нормальный тепловой удар, термоупругое колебание пластины, колебание пластины.

Задачи о вынужденных колебаниях пластин при тепловом ударе имеют не только теоретический интерес, но и большое прикладное значение. При тепловом ударе возникает резко нестационарное температурное поле. Действие тепловых напряжений может вызвать значительную пластическую деформацию, ведущую к полному или прогрессирующему разрушению конструкции, термовыпучивание тонкостенной конструкции и т.п. [1, 2]. Повторное действие тепловых напряжений приводит к термоусталостному разрушению элементов конструкции.

Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции, в то время как учет тепловых воздействий при расчете элементов конструкций вносит дополнительные трудности [3, 4].

1. Уравнение теплового удара по термоупругой пластине. Рассмотрим однородную изотропную прямоугольную пластину, срединная плоскость которой в недефор-мируемом состоянии совпадает с плоскостью XOY, а ось Z направлена вертикально вверх. Пластина в недеформируемом состоянии занимает следующую область: {0 < x < 11,0 < у < 12, - h < z < Щ.

При решении задач рассматривается приближенное уравнение четвертого порядка колебания пластины под действием теплового фактора [5]:

р.4

А—Т W - 2А2 — ДW + А3 —г W + Д^ - Я— Q + B2 ДQ = 0, (1)

1 дt4 2 Ы2 3 дt2 1 Ы2 2

где W(x, у, t) — прогиб; Q(x, у, t) — температура;

7 - 8у ; 2 - V , 3(1 - у) , в (1 + у)ар , в 2(1 + у)ар

A1 =-Т~; а2 = —Т; А3 = —Т^Г; В1 =-Г"? ; в2 =-2-'

8Ь4 2Ь 2Н2Ь2 12Ь п 3h2

где у — коэффициент Пуассона; а0 — коэффициент линейного расширения; h — полутолщина; Ь — скорость распространения поперечных волн.

Уравнение несвязной теории термоупругости, описывающее внешнее температурное действие на систему [6]:

д2 д

ДQ - Cx—Q - 2С2 — Q - CзQ = F(x,y,t), (2)

дt дt

где ^ (х, у, t) — внешнее температурное воздействие на пластину, а коэффициенты

ВЕСТНИК 9/2012

1 п _ 1 2 2 _ k 2 _ k C1 _ —Т ; C2 _ 2 ; C3 _ ~2 ; С0 _ ; с _ ;

с2 2с2 И2 Cp с1

где с — скорость распространения температуры; с1 — параметр термоупругой среды; k — коэффициент теплопроводности; ср — теплоемкость при постоянном давлении.

Подстановка (2) в (1) дает уравнение вынужденного колебания термоупругой пластины, описывающее тепловой удар по пластине: d 4 ^ 2 ^ 2

A1 —— W - 2 A2— AW + A3 —— W + A2W + dt4 dt2 dt

+ ((C - ^ ))-Q + 2^ ^Q + fiAQ _ -^2F(x,y, t). (3)

dt dt

2. Постановка граничных условий для уравнения (3). Рассмотрим задачу о тепловом ударе по пластине, два края которой шарнирно оперты, а два других могут иметь произвольные граничные условия (специальный тип граничных условий). В этом случае граничные условия для функции прогиба примут вид [7]

d2

W(x,y,t) _— W(x,y,t) _ 0 при x _ 0,l1. (4)

dx2

Пусть на краях x _ const поддерживается нулевая температура, а два других могут иметь произвольный тепловой режим:

Q(x, y, t) _ 0 при x _ const. (5)

3. Нахождение функции температуры. В силу граничных условий (5) общее решение уравнения (2) будем искать в виде

Q(x,y,t) _ eh X Qm(У)sin — x, (6)

n,m_1 1

где Qm (y) — неизвестная функция; — частота собственных колебаний пластины. Подстановка (6) в (2) приводит к уравнению относительно искомой Qm ( y) :

d2

—2 Qn (у) + %Qm (у) _ Fm (y), (7)

dy 2

где предполагается, что функция F (x, y, t) допускает представление в виде [7]

—/у » ч д,/7

F(x,y,t) _ eh X Fm(t)sin—x,

n,m _1 l1

а q0 определяется формулой

2 и i___Л 2

q0 _ C I Ь- I - 2C2 C3 -

тп

чТ,

Общее решение неоднородного уравнения (7) представляется в виде

(у)=е„,оо( у)+у),

где Qm (у) — любое частное решение уравнения (6); Qm оо (у) — общее решение соответствующего (6) однородного уравнения:

5 2

—2 Qm (у) + Ч&т (У) = 0. (8)

5у 2

Общее решение (8):

Qm,oo (у) = Ай( у) + (С2Q2( у),

где С2 — произвольные константы. Характеристическое уравнение (8):

X2 + <50 = 0, Я, 1,2 = , <0 > 0 ,

отсюда

< (у) = со^л[д0у; 62(У) = вт у . (9)

Тогда общее решение уравнения (8):

Яп (У) = С1С°5^У + С^п 7<0у.

Л

Найдем частное решение (у) уравнения (7). В силу произвольности правой части (7) функции Рт (у) воспользуемся методом вариации произвольных постоянных, а именно:

Л

Ят (у) = к у<( у) + Г2( уШ у),

где у), у) — неизвестные функции; £>!(у), у) определяются формулами (9). Найдем г(у), Г2(у).

Основной определитель:

Д =

Qi( у) Qi( у) Qi(y) Qi'(y)

"л/^Шд/дОу Л/<0Со^л/<0у Дополнительные определители:

Д1 = -Рт (у)51^Л/<0у ; Д2 = Рт (у)со5л[%у .

Тогда

,. Д1 Рт С^ЯП^у , ^ рт(у)со^4<0у г1(у)=*=--—; г2(у) = * =-г= —.

Д а/<0 д А/<0

Таким образом, общее решение уравнения (7) найдено:

Яп (у) = С1 соь^у + <С2 ьт^у -

1 у 1 у

--Т= |Рт (п)• соьу[д0у + ~!= |Рт (п) соЪ • ЪШ^у . (10)

0 V <0 0

4. Нахождение функции прогиба. Отыщем неизвестную функцию прогиба Г (х, у, ()■

В силу граничных условий (4) решение уравнения (1) будем искать в виде [8]

х ПП

W (х, у, Г) = ^ X ^т (у)5Ш — X, (11)

п,т=1 1

где Wm (у) — неизвестная функция.

Для нахождения Wm (у) подставим в уравнение (1) соотношение (14) и известную функцию < х, у, /) (6). Получим уравнение четвертого порядка для неизвестной функции Wm (у):

д4 д2

—(у) + В0— (у) + Б1Шт (у) = Ф т (у), (12)

ду ду

где коэффициенты Ц, Ц определяются формулами

ВЕСТНИК

9/2012

и \2 b \ „2

Do = 2 - I Г - 2

2

nn

b

; d = A^) I4-If | I

i -л b \ „2

2 A2

v ¡1

+ A3

4

v ¡1 у

а Фт (у) = B- A- Qm (y) + Qm (y) -j-Bj | + B,

dy

h

inn V

v ¡1 у

Подставив Qm (y) (10) в уравнение (13), найдем выражение для Фm (y):

Ф m (у) = B2 Fn (y) - Q„,00 (y) ^ B2 qo + B1 - II - B2

inn V

v ¡1 у

-Qm (у) Uvqo+в ibij - b2

inn ^2

¡1

Общее решение неоднородного уравнения (12) представляется в виде

(У) = Woo(У) + Wm(У),

(13)

(14)

где йт (у) — любое частное решение уравнения (16); ййоо (у) — общее решение соответствующего (16) однородного уравнения:

d

d2

—Wm (y) + Do—- Wm (y) + DWm (У) = 0 . dy4 dy-

Тогда Woo (y) определяется как

Ко (У) = Ef (y) + E2 f2 (y) + E3 f3 (y) + Ea f (y), где ..., E4 — произвольные постоянные. Характеристическое уравнение для (15): 4 2

X + Do^ + D1 = 0, корни которого X1 - = ^3 4 = -а1; :

(15)

(16)

где а0 =

Do

Т!

D-)2-D ; а. =v

Do

2 1

- D1

Тогда функции в формуле (16) представляются в виде [9]

. . cos а0 y cosai y . cosа0 y cosy

Ж У) _—^+—^; J~2 ( у) _-—--— •

а0

af

а0

af

(y) sinа0У + Sin а1 У ; (y) sin а0У Sin a^y /3(У) = -— +-=— ; /4(У) =-Р---p— =

(17)

а

а

при этом целые числа к, р в формулах (17) выбираются при удовлетворении граничных условий на краю у = 0, а условия на краю у = 12 приводят к трансцендентным уравнениям для определения собственных частот колебания пластины [7]. Подставляя (17) в (16), получим общее решение уравнения (15). Для нахождения частного решения (12), так как правая часть уравнения (12), функция Фт (у) — функция общего вида, воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.

й (у) = Щ (у)/ (у) + Н2 (у)/2 (у) + Н3 (у)/3 (у) + Н4 (у)/4 (у) , где /\(у), ..., /4(у) выражаются формулами (16); И^у),..., Н4(у) — неизвестные функции.

Найдем Щ(у),..., И4(у).

+

4

2

0

м.

м.

ВЕСТНИК

-МГСУ

Основной определитель (определитель Вронского, составленный из функций

(16)):

А =

/1(y) Л( y) fl'( y) f2'(y) f1//( y) /Л y)

Ш) /4 (y) /'( y) //( y) f//(y) /"(y)

f1///(y) //"(y) f3///(y) //"(y)

4 ( -a 0 )2

a0ai)

Дополнительные определители вычисляются как

А,2 = +2Фm (y)

(a 0-af)(

(x0a1 sin a0y + a0af sin a1 y)

(aoai)

k + p

(af -af )(ap(i cos aoy + aoap cos a

.>)

А'-' = 2Ф"(y) (aoai)-p

Тогда неизвестные функции H(y), ..., H4(y) находим по формулам

y А,- (л)

Н (y) = J-

-d л, i = 1, ...,4.

o А(л)

Тогда общее решение уравнения (12) имеет вид

W (y) =

j J Фm (Л) (aoa1 sin aoЛ - (oaf sin a1 л) dл • f1(y) -

(18)

2 (a2 -af)

y

-J Ф m (л) ( a1 cos ao л + ao af cos a^) d л • f2 (y) +

o

y

+J Фm (л) (apa1 cos aoл - aoap cos ^ л) dл • f (y) -

o

+ JФm(л)(apa1 cosaoЛ + aoap cosalл)dл^/,(y)| +

+Е1Л (y) + £2/2 (y) + E3/3 (y) + E4/4 (y), где f(y), ..., /4(y) определяются формулами (16), функция Фт (y) — соотношением (14), а общее решение уравнения (3) — подстановкой в (11) равенства (18).

Используя граничные условия на остальных краях пластинки, возможно сведение (14) к трансцендентным частотным уравнениям, которые разложением тригонометрических функций в степенные ряды преобразуются в алгебраические уравнения относительно частоты свободных колебаний пластины [7].

Таким образом, возможно решать задачи о тепловом ударе по поверхности прямоугольной пластины для класса задач, обусловленных граничными условиями специального вида.

Библиографический список

1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The numerical computation for ant symmetric modes of vibration of a transversely isotropic generalized thermoelastic plate // International Journal of Mathematical. Archive-3(3), 2o12, Pages: Ю91—1Ю1.

2. HetnarskiRichardB., EslamiM. Reza. Thermal Stresses — Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 158 // Springer Science + Business Media, B.V. 2oo9.

3. Бекназаров М.Н., Блажевич С.В., Немцев С.Н. К вопросу о термоупругих колебаниях тонкой эллиптической пластинки, возбуждаемых импульсным пучком заряженных частиц // Взаимодействие заряженных частиц с кристаллами: тезисы докладов ХХХ'УП международной конференции (Москва 29 мая — 31 мая 2oo7). М., 2oo7. С. 27—28.

ВЕСТНИК 9/2012

4. Бондаренко Н.С. Термоупругое состояние трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных тепловых воздействиях : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Донецк : Донецкий национальный университет, 2010. 169 с.

5. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 1988.

6. Подстригая Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев : Наукова Думка, 1976.

7. Егорычев О.О. Исследования колебаний плоских элементов конструкций. М. : Архи-тектура-С, 2009.

8. Богданов А.В., Поддаева О.И. Собственные колебания упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепления // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. III Междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2010. С. 81—87.

9. Богданов А.В., Поддаева О.И. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения) // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. второй междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2009. С. 65—69.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Егорычев Олег Александрович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)739-33-63, misi@mgsu.ru;

Егорычев Олег Олегович — профессор, доктор технических наук, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)739-33-63, misi@mgsu.ru;

Федосова Анастасия Николаевна — старший преподаватель кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-30-38, hamim@inbox.ru.

Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Тепловой удар по термоупругой пластине, имеющей смешанные граничные условия // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 109—115.

O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, A.N. Fedosova

THERMAL IMPACT PRODUCED ONTO A THERMOELASTIC PLATE THAT DEMONSTRATES SPECIAL BOUNDARY CONDITIONS

The problem of forced vibrations of plates exposed to the thermal impact is interesting both as a theoretical implication and an issue of practical importance. A thermal impact causes formation of a non-steady temperature field. Thereafter, some materials turn fragile and cannot withstand the exposure to the impact of a thermal field.

The authors propose a solution to the problem of influence of a thermal impact onto an iso-tropic plate that demonstrates special boundary conditions, if its two opposite edges are simply supported, and the surface temperature is equal to zero, while the two other edges might have an arbitrary type of fixation and an arbitrary thermal mode.

In the first part of the paper, the authors provide their derivation of the elastic plate vibration equation, if the plate is exposed to the thermal impact under the pre-set boundary conditions.

In the second part of the paper, the authors provide their solution to the aforementioned problem based on a strictly mathematical approach. Their solution is presented as an integral function of the plate deflection. The solution in question may be reduced to algebraic frequency equations by using the method of expansion of trigonometric functions. Thus, it is possible to identify natural frequencies of the plate vibration caused by the thermal impact.

Key words: thermal impact, thermal elastic plate vibration, plate vibration, vibration frequency.

References

1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The Numerical Computation for Anti-symmetric Modes of Vibration of a Transversely Isotropic Generalized Thermoelastic Plate. International Journal of Mathematical Archive. 2012, no. 3(3), pp. 1091—1101.

2. Hetnarski Richard B., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Springer Science + Business Media, 2009, vol. 158.

3. Beknazarov M.N., Blazhevich S.V., Nemtsev S.N. K voprosu o termouprugikh kolebaniyakh tonkoy ellipticheskoy plastinki, vozbuzhdaemykh impul'snym puchkom zaryazhennykh chastits [Concerning Thermal Elastic Vibrations of a Thin Elliptical Plate Caused by a Pulsed Beam of Charged Particles]. Vzaimodeystvie zaryazhennykh chastits s kristallami [Interaction of Charged Particles with Crystals]. Proceedings of the 38th International Conference. 2007, Moscow, May 29-31, pp. 27—28.

4. Bondarenko N.S. Termouprugoe sostoyanie transversal'no-izotropnykh plastin pri sosredoto-chennykh teplovykh vozdeystviyakh [Thermoelastic State of Transversely Isotropic Plates Exposed to Concentrated Thermal Effects]. Donetsk National University, Donetsk, 2010, 169 p.

5. Filippov I. G., Cheban V. G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkouprugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988.

6. Podstrigach Ya.S., Kolyano Yu.M. Obobshchennaya termomekhanika [Generalized Thermal Mechanics]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1976.

7. Egorychev O.O. Issledovaniya kolebaniy ploskikh elementovkonstruktsiy [Research of Vibrations of Flat Elements of Structures]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2009.

8. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Sobstvennye kolebaniya uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva pro-tivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh svobodny ot zakrepleniya [Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges are Pinned, While the Other Two Are Not Fixed]. Teoriya i praktika rascheta zdaniy, sooruzheniy i elementov konstruktsiy. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 3rd International Scientific Conference, Moscow, 2010, pp. 81—87.

9. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Vyvod chastotnogo uravneniya sobstvennykh kolebaniy uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva protivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh zhestko zakrepleny (analiticheskiy metod resheniya) [Derivation of the Frequency Equation of Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges Are Pinned, While the Other Two Edges Are Rigidly Fixed (an Analytical Solution). Teoriya i praktika rascheta zdanii, sooruzhenii i elementov kon-struktsii. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 2nd International Scientific Conference, Moscow, 2009, pp. 65—69.

About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@mgsu.ru, +7 (495) 739-33-63;

Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Rector, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@mgsu.ru, +7 (495) 739-33-63;

Fedosova Anastasia Nikolaeva — Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; hamim@inbox.ru; +7 (495) 183-30-38.

For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Teplovoy udar po termouprugoy plastine, imeyushchey smeshannye granichnye usloviya [Thermal Impact Produced onto a Thermoelastic Plate That Demonstrates Special Boundary Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 109—115.