CC BY
24
ВЕСТНИК 10/2012
УДК 539.3 + 624.073
О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, А.Н. Федосова
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
0 ТЕРМОУПРУГОМ КОЛЕБАНИИ ПЛАСТИНЫ, ТРИ КРАЯ КОТОРОЙ ЗАКРЕПЛЕНЫ ШАРНИРНО, А ОДИН — ЖЕСТКО
Описан математический метод, с помощью которого возможен аналитический вывод частотного уравнения колебания термоупругой пластины, имеющей специальный тип краевых условий (два противоположных края шарнирно оперты, а два других могут иметь произвольные граничные условия).
Ключевые слова: колебание пластины, термоупругое колебание пластины, собственные частоты колебаний, частотное уравнение.
В последнее время теория термоупругости получила существенное развитие в связи с важными проблемами, возникающими при разработке новых конструкций атомных и ядерных электростанций, паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов и др., а также в большинстве отраслей тяжелой промышленности, где различные структурные элементы часто подвергаются механическим нагрузкам при повышенной температуре [1, 2]. Элементы таких конструкций работают в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции, в то время как учет тепловых воздействий при расчете элементов конструкций вносит дополнительные трудности [3, 4]. 1. Уравнение колебания термоупругой пластины
Рассмотрим однородную изотропную прямоугольную пластину, срединная плоскость которой в недеформируемом состоянии совпадает с плоскостью ХОУ, а ось 2 направлена вертикально вверх. Пластина в недеформируемом состоянии занимает следующую область:
{0 < х < /1, 0 < у < 12, - И < г < И}.
При решении задач рассматривается приближенное уравнение четвертого порядка колебания пластины под действием теплового фактора [5]:
Я4 Я2 Я2 Я2
А~т Ж - 2А — ДЖ + А3 — Ж + Д2Ж - В,— О + В2 ДО _ 0, (1)
1 дг4 2 дг2 3 дг2 1 дг2 2
где Ж(х, у, г) — прогиб; О(х, у, г) — температура;
А = ^ ; А = ^; А = ^; ^ = ; В2 = 2(1 + ^ .
1 8Ь4 2 2Ь 3 2И2Ь2 1 12Ъ к2 2 3И2
Уравнение несвязной теории термоупругости, описывающее внешнее температурное действие на систему [6]:
д2 д
АО - ^1-у О - 2С2 - О - С3О = 0, (2)
дг2 дг
с _ 1 . с _ 1 . с _ 2. с2 _ к ; , _ к Ч ; с2 _ 2 ; с3 с0 _ ; с _ ,
с2 2с0 И2 ср с1
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
где с — скорость распространения температуры; с1 — параметр термоупругой среды; к — коэффициент теплопроводности; cp — теплоемкость при постоянном давлении. Подстановка (2) в (1) дает уравнение колебания термоупругой пластины [7]:
д4
A1—-W -2A2— AW + A3—— W + A2W +
дГ dt2 dt
д2 д
+ (B2C1 - Bi)—Q + 2B2C2 — Q + B2C3Q = 0. (3)
dt2 dt
2. Постановка начальных и граничных условий
2.1. Граничные условия для функции прогиба. Граничные условия для прогиба отражают условия закрепления пластины, для шарнирно опертых краев x = const и У = 0 [8]:
d2 d2
W = — W = 0 и W =—— W = 0. (4)
dx2 dy2
Для жестко закрепленного края y = l^
d
W = — W = 0. (5)
dy
2.2. Граничные условия для функции температуры. Граничные условия для температуры отражают тепловой режим на краях пластины, если на краях пластины поддерживается нулевая температура:
Q = 0 при x = const, y = const. (6)
2.3. Начальные условия уравнения (3). Общие начальные условия для пластины полагаются нулевыми [8]:
d d2 d3 d W = — W = — W = — W = 0 при z = 0; Q = — Q = 0 при z = 0. (7)
dz di2 dz3 dz
3. Вывод общего решения уравнения (3) в случае граничных условий специального вида Пусть край x = const шарнирно оперт и на нем поддерживается нулевая температура, тогда требуется отыскать решение дифференциального уравнения (3) при граничных условиях (4), (6). Начальные условия для уравнения (3) при этом полагаются нулевыми (7).
В силу краевых условий (6) и (7), функция Q(x, y, t) представима в виде
^ nn
Q(x,y,t) = Q0eh X Qm(y)sin—x, (8)
n,m=1 '1
где Qm (y) в зависимости от теплового режима на гранях y = 0, y = I2. Если на краях y = 0, y = I2 поддерживается нулевая температура:
Qm(y) = sin4qmy, Чт =
( У nm
V l2
m = 1,2, ... . (9)
В силу краевых условий (4) функцию прогиба будем искать в виде
^ ПП
W(х,у,Г) = в" X Wm(у)яд—х, (10)
т, п=1 '1
где Wm (у) — неизвестная функция [9].
Подстановка (8) и (10) в уравнение колебания (3) даст
й4 а2
— Wm (у) + Б0 — (У) + (у) = В3вт (у), (11)
йу йу
ВЕСТНИК
10/2012
где коэффициенты D0, D1 и D3 есть некие функции от £ , а Qm (y) определяется (9). Общее решение неоднородного уравнения (11) представляется в виде
^^m (У) = W00 + WV.
Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид
X4 + D0X2 + D1 = 0.
(12)
Заметим, что для всех проверенных материалов корни (12) представимы в виде
2 = ±а0/, 4 = ±а1,
где
ао =
D0
- D
1; ai =
Do 2
1
Do 2
- Di
(13)
Тогда общее решение однородного уравнения представляется в виде [10]
W00( y) = Ei
cos a0 y + cos a1 y
+ E
+ Ез
sin ao y + sin aiy
+ E,
cos a0 y cos a1 y
sin a0y sin aiy
(14)
(Xq UCJ
при этом целые числа к, p в формуле (14) выбираются при удовлетворении граничных условий на краю y = 0, а условия на краю y = ¡2 приводят к трансцендентным уравнениям для определения собственных частот колебания пластины [8].
Поскольку Qm (y) — функция специального вида, то частное решение:
W = -£>2 sin-Jq^y, где D2 есть некоторая функция от £ .
Таким образом, общее решение уравнения (11) для первой краевой задачи теплопроводности имеет вид
Wm(y)= Е
cos a0 y + cos a1y
a0
af
+ E2
cos a0 y cos a1 y
af
af
+ E3
sin a0 y sin a1 y
a
a
+ E,
sin a0 y sin a1 y
a
Варьируя условия закрепления на остальных краях пластинки, из общего решения (15) можно получить частотные уравнения пластин для различных граничных условий.
4. Задача о пластине, три края которой имеют шарнирное закрепление, а один — жесткое
Граничные условия для уравнения (15) на краях у = 0 и у = ¡2 примут вид (4) и (5) соответственно.
Подставляя (4) и (5) в (15), находим: 1) при Wm (0) = 0
- D2si^Vqmy • (15)
E1
1 1 + E2 1 1
~k + — ~k ~k
a0 a1 a0 a1
= 0, откуда k = 0, E1 = 0;
2
5
2) при — Wm (0) = 0
5у
E2
1
1
ak - 2 a0
af - 2
= 0 , откуда E2 = 0
2
2
0
+
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕ5ТЫ1К
_мвви
Из условий на краю y = ¡2, принимая p = 1, получим систему для нахождения неизвестных коэффициентов E3 и E4 :
sin а0 ¡2 sin a1¡2
E3
sin а0l2 + sin a,j/2
+ E
= A^V^;
(16)
E3 [cosа012 + cosа112 ] + E4 [cosа012 - sinа112] = D2*Jqm coss]qml2.
Будем искать нетривиальные решения системы (16). Найдем корни уравнений Д = 0, Дх = 0 и Ду = 0.
I. При Д = 0 получим трансцендентное тригонометрическое уравнение а^шаl/2COSа0^ -а^шao/2COSа^2 = 0 . (17)
Разложим в уравнении (17) тригонометрические функции в степенные ряды, ограничившись первыми тремя членами. После выполнения элементарных преобразований (17) примет вид
/23а0а1 (а2 - а? ) ) - ^(а02 + а°2)+ = 0.
При подстановке (13) полученное уравнение сводится к произведению уравнений: 1) уравнение четвертого порядка ?
^-1[3(1 -V) + 2у(2 -УЖ2 + у2 = 0, у = ^ 1 , (18)
8 2
V 11 J
решением которого при § > 0 являются действительные частоты:
& =
Y (2-V) + 3 (1-v)
- +
Y2 (2 + v2) + 3y(1 -v)(2-v) + 4(1 -v)2
7 - 8v
2) уравнение второго порядка
7 - 8v
(2-v)§2-2 (y + 5e- ) = 0, e =12, тогда v ' h
§3 = V2
-2
y + 5e 2-v
(19)
(20)
(21)
Таким образом, условие Д = 0 определяет алгебраическое уравнение шестого порядка Е (6) = 0, являющееся произведением уравнений (18) и (20). Его решение дает
три положительных действительных корня: и , определяемые формулами (19) и (21) соответственно, являющиеся частотами колебания пластины, свободной от температурной нагрузки.
II. Найдем корни Дх = 0 . Рассуждая аналогично, получим произведение уравнений:
1) уравнение (18);
2) уравнение второго порядка
2 ИЪ
4-ej§2 +<#+4 = 0, e = VCj , ? = , тогда £ = V4e-1
3 4e-1 4e-1 3) уравнение второго порядка (2 -v)§2 - 2 (y + 10e 2) = 0 с решением
Й = л/2
Y + 10е 2-v
(22)
(23)
(24)
(25)
2
вестник 10/2012
Так, условие Дх = 0 приводит к алгебраическому уравнению восьмого порядка Р (§8) = 0, являющегося произведением уравнений (18), (22) и (24). Решение данного уравнения дает четыре частоты: одну комплексно-сопряженную §3, определяемую
(23), и три действительных Ç?2 (19), Ç4 (25).
III. Условие Д у = 0 приводит к произведению уравнений (lS), (22) и
(2 -v)Ç2 - 2(y + 6e~2 ) = 0 с решением (26)
2 -2
« = . (27)
Так, корнями Д у = 0 являются четыре частоты: одна комплексно-сопряженная Ç3, определяемая (23), и три действительные Ç?2 (19), Ç4 (27), полученные при решении уравнения восьмого порядка F (çS ) = О, являющегося произведением уравнений (1S), (22) и (26).
Из условия нетривиальности системы (16) находим четыре собственные частоты колебания: Çu = Ç?2 (19), Ç3 = Çx4 (25) и Ç4 = Ç4 (27).
За частотное уравнение колебаний принимаем уравнение восьмого порядка F (çS ) = 0, являющееся произведением уравнений (1S), (24) и (26), корнями которых являются частоты Çl 2 (19), Ç3 (25) и Ç4 (27).
Таким образом, при термоупругом колебании пластины количество частот увеличивается на одну по сравнению со случаем свободного колебания. Две из полученных частот полностью соответствуют случаю свободного колебания пластины. Сравнивая
решения неоднородного уравнения Ç4 (25) и Ç4 (27) с решением однородного урав-
о 4
нения Ç3 (21), видим, что частоты отличаются на постоянную, значит, по сравнению
со случаем свободного колебания пластины с аналогичными условиями закрепления,
одной частоте свободного колебания пластины Ç? (21) соответствуют две частоты в
случае термоуругого Ç4 (25) и Ç4 (27), причем их значения достаточно близки.
Библиографический список
1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The numerical computation for ant symmetric modes of vibration of a transversely isotropic generalized thermoelastic plate // International Journal of Mathematical. Archive-3(3), 2012, Pp. 1091—1101.
2. Hetnarski RichardB., EslamiM. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications, Vol. 15S // Springer Science + Business Media, B.V. 2009. XXXIV, 562 с.
3. Бекназаров М.Н., Блажевич С.В., Немцев С.Н. К вопросу о термоупругих колебаниях тонкой эллиптической пластинки, возбуждаемых импульсным пучком заряженных частиц // Взаимодействие заряженных частиц с кристаллами : тезисы докладов ХХXV[I международной конференции (Москва 29 мая — 31 мая 2007). М., 2007. С. 27—2S.
4. Бондаренко Н.С. Термоупругое состояние трансверсально-изотропных пластин при сосредоточенных тепловых воздействиях : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Донецк : Донецкий национальный университет, 2010. 169 с.
5. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев : Штиинца, 19SS. 190 с.
6. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. Киев : Наукова Думка, 1976. 311 с.
7. Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Влияние граничных условий на решение задачи о термоупругом колебании пластины // Вестник гражданских инженеров. 2011. № 4. С. 26—30.
S. Егорычев О.О. Исследования колебаний плоских элементов конструкций. М. : Архи-тектура-С, 2009. 320 с.
9. Богданов А.В., Поддаева О.И. Собственные колебания упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других свободны от закрепле-
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕ5ТЫ1К
_мвви
ния // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. тр. III междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2010. С. 81—87.
10. Богданов А.В., Поддаева О.И. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко закреплены (аналитический метод решения) // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы : сб. трудов второй Междунар. науч.-практ. конф. М. : МГСУ, 2009. С. 65—69.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторах: Егорычев Олег Александрович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)739-33-63, misi@mgsu.ru;
Егорычев Олег Олегович — профессор, доктор технических наук, первый проректор, заведующий кафедрой теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)739-33-63, misi@mgsu.ru;
Федосова Анастасия Николаевна — старший преподаватель кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-30-38, hamim@inbox.ru.
Для цитирования: Егорычев О.А., Егорычев О.О., Федосова А.Н. Решение задачи о термоупругом колебании пластины, три края которой закреплены шарнирно, а один — жестко // Вестник МГСУ 2012. № 10. С. 62—68.
O.A. Egorychev, O.O. Egorychev, A.N. Fedosova
SOLUTION TO THE THERMOELASTIC PLATE VIBRATION PROBLEM IF THE THREE PLATE EDGES ARE SIMPLY SUPPORTED AND THE FOURTH ONE IS RIGIDLY FIXED
Operating conditions of uneven heating can cause changes in the physical and mechanical properties of materials. Awareness of the values and nature of thermal stresses are required for a comprehensive structural strength analysis. The authors propose their solution to the problem of identification of natural frequencies of vibrations of rectangular plates using a thermal factor.
The introductory part of the paper covers the derivation of equations of (a) the thermoelastic vibration of a plate, (b) initial and boundary conditions.
In the next part of the paper, the authors describe a method of frequency equation derivation for plates exposed to special boundary conditions, if the two opposite edges of the plate are simply supported, the temperature of the plate surface is equal to zero degrees Celsius, while the two other edges have an arbitrary type of fixation and an arbitrary thermal mode.
The authors have derived a general solution for the above boundary conditions, and by altering the method of fixation of the two edges of a plate, the authors obtain transcendental trigonometric equations reducible to algebraic frequency equations by using expanding in series. Thus, derivation of frequency equations different from the general solution is feasible for various types of boundary conditions.
The final part of the paper contains a derivation of the solution to the selected problem using the proposed method. The results demonstrate that the thermoelastic plate has four natural frequencies, two of them being equal to the frequencies of a plate free from the temperature influence, while the other two are close to the frequency of free vibrations of a plate.
Key words: thermoelastic plate vibration, plate vibration, vibration frequency.
References
1. Abo-el-nour N., Abd-alla, Nadia A. Askar. The Numerical Computation for Anti-symmetric Modes of Vibration of a Transversely Isotropic Generalized Thermoelastic Plate. International Journal of Mathematical Archive. 2012, no. 3(3), pp. 1091—1101.
2. Hetnarski Richard B., Eslami M. Reza. Thermal Stresses - Advanced Theory and Applications. Series: Solid Mechanics and Its Applications. Springer Science + Business Media, 2009, vol. 158, XXXIV, 562 p.
ВЕСТНИК 10/2012
3. Beknazarov M.N., Blazhevich S.V., Nemtsev S.N. K voprosu o termouprugikh kolebaniyakh tonkoy ellipticheskoy plastinki, vozbuzhdaemykh impul'snym puchkom zaryazhennykh chastits [Concerning Thermal Elastic Vibrations of a Thin Elliptical Plate Caused by a Pulsed Beam of Charged Particles]. Vzaimodeystvie zaryazhennykh chastits s kristallami [Interaction of Charged Particles with Crystals]. Proceedings of the 38th International Conference. 2007, Moscow, May 29-31, pp. 27—28.
4. Bondarenko N.S. Termouprugoe sostoyanie transversal'no-izotropnykh plastin pri sosredoto-chennykh teplovykh vozdeystviyakh [Thermoelastic State of Transversely Isotropic Plates Exposed to Concentrated Thermal Effects]. Donetsk National University, Donetsk, 2010, 169 p.
5. Filippov I.G., Cheban V.G. Matematicheskaya teoriya kolebaniy uprugikh i vyazkouprugikh plastin i sterzhney [Mathematical Theory of Vibrations of Elastic and Viscoelastic Plates and Rods]. Kishinev, Shtiintsa Publ., 1988, 190 p.
6. Podstrigach Ya.S., Kolyano Yu.M. Obobshchennaya termomekhanika [Generalized Thermal Mechanics]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1976, 311 p.
7. Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Vliyanie granichnykh usloviy na reshenie zada-chi o termouprugom kolebanii plastiny [Influence of Boundary Conditions onto Resolution of the Problem of Thermoelastic Vibration of a Plate]. Vestnik grazhdanskikh inzhenerov [Bulletin of Civil Engineers]. 2011, no. 4, pp. 26—30.
8. Egorychev O.O. Issledovaniya kolebaniy ploskikh elementovkonstruktsiy [Research of Vibrations of Flat Elements of Structures]. IVIoscow, Arkhitektura-S Publ., 2009, 320 p.
9. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Sobstvennye kolebaniya uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva pro-tivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh svobodny ot zakrepleniya [Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges are Pinned, While the Other Two Are Not Fixed]. Teoriya i praktika rascheta zdaniy, sooruzheniy i elementov konstruktsiy. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 3rd International Scientific Conference, Moscow, 2010, pp. 81—87.
10. Bogdanov A.V., Poddaeva O.I. Vyvod chastotnogo uravneniya sobstvennykh kolebaniy uprugoy trekhsloynoy plastiny, dva protivopolozhnykh kraya kotoroy sharnirno zakrepleny, a dva drugikh zhestko zakrepleny (analiticheskiy metod resheniya) [Derivation of the Frequency Equation of Natural Vibrations of an Elastic Three-layer Plate, If Its Two Opposite Edges Are Pinned, While the Other Two Edges Are Rigidly Fixed (an Analytical Solution). Teoriya i praktika rascheta zdanii, sooruzhenii i elementov kon-struktsii. Analiticheskie i chislennye metody [Theory and Practice of Analysis of Buildings, Structures and Structural Elements. Analytical and Numerical Methods]. Proceedings of the 2nd International Scientific Conference, Moscow, 2009, pp. 65—69.
About the authors: Egorychev Oleg Aleksandrovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@mgsu.ru, +7 (495) 739-33-63;
Egorychev Oleg Olegovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Chair, Department of Theoretical Mechanics and Thermodynamics, First Vice-Rector, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; misi@mgsu.ru, +7 (495) 739-33-63;
Fedosova Anastasia Nikolaeva — Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; hamim@inbox.ru; +7 (495) 183-30-38.
For citation: Egorychev O.A., Egorychev O.O., Fedosova A.N. Reshenie zadachi o termouprugom kolebanii plastiny, tri kraya kotoroy zakrepleny sharnirno, a odin — zhestko [Solution to the Thermoelastic Plate Vibration Problem if the Three Plate Edges Are Simply Supported and the Fourth One Is Rigidly Fixed]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 62—68.
