CC BY
50
Kostrov Boris Vasilevich, doctor of technical science, professor, ko-strov.b.v@evm.rsreu.ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,
Bastrychkin Alexander Sergeevich, student, a s bas@mail.ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University
УДК 004.93; 631.1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБРАБОТКИ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КВАЗИДВУМЕРНОМ СПЕКТРАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Б.В. Костров, В.Н. Ручкин
Приводятся теоретические и методологические обобщения в области обработки аэрокосмических изображений, основыванные на выборе наиболее приемлемого варианта построения системы базисных функций из всего многообразия функций Ви-ленкина-Крестенсона (ВКФ) в нетригонометрической, минимально возможной форме их построения в виде функций Уолша. Методология применения такого преобразования базируется на ряде теорем, отличающихся от соответствующих теорем классического спектрального анализа [5]. Следствия из этих теорем позволяют строить эффективные алгоритмы фильтрации и корреляционного анализа аэрокосмических изображений при различных искажениях и помехах.
Ключевые слова: аэрокосмические изображения, мультипликативные помехи, функции Виленкина-Крестенсона, функции Уолша, функции Радемахера, алгоритмы фильтрации, квазидвумерная фильтрация, корреляционный анализ изображений.
Изображение можно рассматривать как дискретный сигнал, определённый на конечном интервале своих отсчётов координат на плоскости. Наилучшие результаты по обработке аэрокосмических изображений получены в настоящее время при построении алгоритмов в пространственных координатах без учета пространственно-частотных свойств изображений. Сведения об использовании классического гармонического анализа для обработки изображений можно найти в [1]. Однако вычислительная сложность реализации преобразования Фурье сдерживает широкое применение данных методов на практике обработки аэрокосмических снимков. Для решения задач спектрального анализа в общем случае могут быть использованы любые системы, содержащие необходимое количество ортогональных функций. Выбор системы функций будет определяться требованиями удобства вычислений и, в конечном счёте, трудоёмкостью алгоритмов реализации искомого преобразования. Применение альтернативных систем базисных функций требует методологического осмысления возможности их применения для решения поставленных задач.
119
В данной статье проводится теоретическое и методологическое обобщение известных и доказанных авторами ранее положений, позволяющих расширить методологию применения ортогональных преобразований в области обработки аэрокосмических изображений. Таким образом, создается теоретическая и методологическая основа применения систем функций Виленкина - Крестенсона (ВКФ) в нетригонометрической, минимально возможной форме их построения в виде функций Уолша со своеобразным «каркасом» функций Радемахера. Полученные теоретические и методологические положения необходимы для разработки алгоритмов фильтрации и корреляционного анализа аэрокосмических изображений при различных возникающих искажениях и помехах.
На основе анализа принципов и средств формирования аэрокосмических изображений (АКИ) [2] все видеодатчики радиотехнических систем можно разделить на пять групп:
первую группу составляют датчики, построенные на основе приборов с зарядовой связью (ПЗС-линейки);
во вторую группу входят однолучевые датчики с конической или плоскостной разверткой;
третью группу образуют датчики сканового типа; к четвертой группе относятся радиолокационные станции различного базирования и принципа действия;
к пятой группе можно отнести тепловизионные и телевизионные приборы и системы базирующиеся, как правило, на атмосферных летательных аппаратах или наземных станциях.
Все рассмотренные методы и системы съемки формируют панхроматические видеоданные, которые могут быть зарегистрированы или сохранены любым известным способом. Все они имеют определенную геометрическую структуру, отражают содержательную часть в виде определенной плотности почернения видеотона и могут распространяться по любым известным системам передачи данных на некоторое расстояние, т.е. обладают определенной общностью, что позволяет назвать их общим термином - аэрокосмические изображения (АКИ).
Для решения задач анализа и обработки АКИ необходимо определить термин «изображение» как некий математический объект, обладающий определенными аналитическими свойствами. Проведение математических операций над изображением в современном представлении предполагает, что оно существует в цифровой форме - «цифровое изображение» [2], которое представляется дискретным массивом чисел, образующих матрицу элементов Ьу с параметрами (¡у), где 1 £ ¡ £ п и 1 £ у £ п. Элементы
Ьу являются квадратом (апертурой, пикселем), определяемым неравенством ¡-1 £ х < ¡ и у-1 £ у < ¡ (х и у - пространственные координаты не-
Информатика, вычислительная техника, обработка и защита информации прерывного изображения). Тогда любой матрице [Ьу ] порядка п х п
можно сопоставить изображение, значение яркости которого в квадрате [1 -1 £ х < 1]х [у -1 < у < у ] равно постоянной величине Ьу для каждой пары (/, у). Элемент цифрового изображения можно представить в виде случайной величины Ьу, а матрицу ], как матрицу случайных величин. Поскольку числа Ьу можно принять за полноправные представители случайной величины Ьу распространим их значение на площадь всего элемента.
Совокупность случайных величин яркостей элементов изображения порождает соответствую ковариационную матрицу
Iв=м{(в - в )(в = в ) },
где М - оператор математического ожидания, В - соответствует среднему
вектора, (в - В) - представляет матрицу столбец, а (в - В) - матрицу строку.
2 2
Полученная матрица содержит п х п элементов, диагональные элементы являются дисперсиями отдельных случайных величин, а все остальные элементы соответствуют ковариациям двух случайных величин, Ь у взятых при разных сочетаниях 1 и у. Ковариационная матрица строго
симметрична.
Таким образом, используя средства и методы математической статистики и матричного счисления можно описать все существенные свойства изображений.
На сформированных АКИ в соответствии с физическими принципами их формирования и условиями их передачи, возникают специфические искажения, которые можно объединить в следующие группы:
1. синхронные искажения, обусловленные изменением передаточных характеристик тракта формирования яркостей пикселов, и жестко связанные с законом сканирования АКИ (проявляется в виде характерной «синхронной полосатости» вдоль строк или столбцов);
2. искажения в виде групповых помех, для которых характерно абсолютно разрушительное действие (проявляются в виде «выбитых пикселей» сгруппированных как правило вдоль строки АКИ);
3. несинхронные искажения не связанные с процессом формирования яркостей пикселей и законом сканирования (проявляются в виде характерной периодической «несинхронной полосатости» со случайным углом наклона к столбцам АКИ).
Устранение указанных искажений является основной задачей предварительной обработки АКИ для формирования условий использования их по назначению.
Существование изображения в цифровой форме определяет математический аппарат, применимый для осуществления операций по его обработке. Это, прежде всего, дискретные преобразования, определенные на конечных интервалах. Введение понятия конечности позволяет уйти от противоречий, вызванных использованием преобразования Фурье, для пространственно-спектрального анализа изображений, описываемых в общем случае нестационарным случайным процессом. Таким образом, использование основных положений и выводов, следующих из теории дискретных сигналов на конечных интервалах, представляется оправданным. Данная теория основывается на выборе наиболее приемлемого варианта построения системы базисных функций из всего многообразия ВКФ, для которых сдвиг сигнала определяется как поразрядное сложение чисел по некоторому модулю. Понятие ВКФ охватывает в качестве частного случая систему функций Уолша, основанную на двоичной арифметике.
Методология применения данной системы функций базируется на следующих свойствах:
1. Все функции системы являются действительными функциями на интервале определения N = 2п.
2. Так как функции системы принимают значения только +1 и -1, то основными операциями при использовании разложения по системе Уолша являются операции сложения и вычитания.
3. Система функций Уолша является ортогональной на интервале определения N, а матрица Адамара, построенная по функциям Уолша, является симметрической.
4. Поскольку матрица Адамара имеет размерность N х N , то в неё входят N ортогональных функций и, следовательно, её нельзя дополнить ни одной новой ортогональной функцией. Это значит, что такая система функций является полной и может быть использована для построения унитарных преобразований негармонического спектрального анализа. Вычислительная сложность такого преобразования будет минимальна, так как все операции заменяются на операции сложения действительных чисел в отличие от дискретных экспоненциальных функций, где все числа комплексные
[5].
С другой стороны, ВКФ могут быть представлены через функции Радемахера - комплексные функции, заданные на том же интервале
N = тп :
Я1 (х) = еу (2Р/т) ^
где индекс i обозначает порядок функции Радемахера.
Тогда в соответствии с (1), ВКФ могут быть записаны как
п-1 < P > F (p, х) = П [ Ъ (х)] < ^ > . i = 0
Для случая т = 2 функции Радемахера могут быть заданы следующим образом:
П (х) = (-1) < х > , где < > - есть I -й разряд двоичного представления переменной х .
При таком задании все функции Радемахера являются действительными и нечётными на интервале N. Составленная из них система не является полной. Дополнение её до полной приводит к системе функций Уол-ша:
п < ^^ * >
wal (w, х) = П [ Г (х) 1 ] , I=1
где < wj > значение 1-го разряда номера функции Радемахера, представленного в коде Грея; I = 1,2,3,..., п .
Если в номере функции Радемахера присутствует только одна единица, то функция Уолша совпадает с функцией Радемахера с соответствующим номером.
Таким образом, на интервале определения N = 2п систему функций Уолша можно разделить на п групп. При этом функция нулевого порядка не учитывается. Если эти группы обозначить номерами к = 1,2,3,..., п , то каждая группа начинается с функции Радемахера гпк и каждая группа
включает в себя 2п к функций с учётом самой функции Радемахера. Таким образом, система функций Радемахера создаёт своеобразный «каркас», на котором строится система Уолша, при этом неизбежно возникает идея использования данного факта при спектральном анализе сигналов.
Методология применения такого преобразования базируется на ряде теорем, отличающихся от соответствующих теорем классического спектрального анализа [5]. Следствия, вытекающие из этих теорем, позволяют строить эффективные алгоритмы фильтрации и корреляционного анализа аэрокосмических изображений.
1. Теорема о диадной свёртке.
Если {Хп} и [Уп} - цифровые последовательности, заданные на интервале N, то последовательность свёртки (корреляции) {18}:
1 N-1
18 =— 1 Хп^п © Л N п=0
будет определяться следующим образом:
N -1 Х V = I N(cX х суи х и = 0
X V
где Си - спектральные коэффициенты последовательности {Хп} и Си -
спектральные коэффициенты последовательности {Уп}.
123
Теорема позволяет понять механизм формирования элементов сигнала после фильтрации в спектральном пространстве.
2. Теорема о вещественно-диадной свёртке (ВДС).
Если {Хп} и {Уп} - цифровые последовательности, заданные на интервале N, то последовательность свёртки (корреляции) {7$}
1 N -1
7 = — УХУ $ м у п п - $
м п = 0
может быть найдена как
N-1 Х У
7$ = у Си (Си ) $, и=0
X
где Си - спектральные коэффициенты последовательности {Хп} и
у
(Си )$ - спектральные коэффициенты, вычисляемые при сдвиге последовательности {Уп} .
Теорема позволяет строить сложные спектральные фильтры и эффективные алгоритмы корреляционного анализа. Доказательство теоремы и методы построения корреляционной функции двух изображений можно найти в [4]. Выявление физических принципов функционирования ВДС приводится в [3].
3. Теорема об инвариантности прореженного базиса.
Если {Уп} - цифровая последовательность, полученная из последовательности {Хп} в результате диадного сдвига на I, т. е. Уп = X, и
СУ = N и Сх = N И^Х,
где Су - коэффициенты спектра Уолша последовательности {¥п}, Сх - коэффициенты секвентного спектра последовательности {Хп}, И0№ -прореженная произвольным образом и И, - исходная матрица Адамара
О О
соответственно, то есть (Су) = (Сх) .
Теорема позволяет производить некоторые виды фильтрации в процессе получения спектрального представления, что несвойственно другим системам базисных функции. Доказательство теоремы можно найти в [4]. 4. Теорема об ограничении нетригонометрического спектра Если п - порядок системы функций Радемахера и к - номер группы функций в системе Уолша, а ограничение спектра осуществляется на уровне функций Радемахера с номером п+1- к, то во вновь образованном
изображении яркость полученных элементов ] будет равна:
и
ЬN]=± у у ь °и с2 у у Ь£Р
Ъ g=\Р=1
где N3 £ = ¿,] = 1,, зависимость ¿(з);у(з);g(/);^(у) здесь не
$
показана, чтобы не загромождать написание формулы.
Интуитивное использование данного свойства позволило построить двухуровневый алгоритм совмещения изображений, обладающий в десятки раз меньшими вычислительными затратами, чем алгоритмы, описанные в [6]. Пример реализации такого подхода описан в [3,4].
5. Теорема об энергетической полноте квазидвумерного спектрального представления
Если Ь - матрица цифрового изображения размером М х N и С -коэффициенты его квазидвумерного спектрального представления, то справедливо равенство:
1 М-1N-1 - 1 М-1 N-1 0
X X Ь2 = — X X С2
MN I=о у=о у М ^=о у=о ^
Выражение является равенством Парсеваля для квазидвумерного представления двумерных сигналов. Его доказательство не требует особого пояснения, так как оно вытекает из известных свойств спектрального анализа. Использование данной теоремы позволяет в два раза сократить вычислительные затраты и получить некоторые другие преимущества при устранении отдельных видов искажений [9].
6. Теорема о постоянной составляющей спектра
Если предположить, что Ь(х,0) = 0 конкретное значение элемента изображения в каждой строке, то нет необходимости передавать постоянную составляющую изображения через канал связи - её можно всегда восстановить по формуле:
N-1 п / \
в0 =- X В (х, V - 1)(- 1) <^-1)|'*1 > .
11 — 1
Передаваемый спектр в этом случае не имеет постоянной составляющей [1о].
Экспериментальные результаты фильтрации изображений.
На рисунке приводится результат использования теоремы 1 и 5 для фильтрации изображения с синхронными мультипликативными помехами [8]. Фильтрация проводится посредством применения диагонального фильтра в квазидвумерном спектральном пространстве Уолша. Восстановление изображения осуществляется по формуле:
В = НтеИииС,
где В - матрица восстановленного изображения; С - матрица спектральных коэффициентов; - матрица Уолша - Адамара; Нии - матрица, строки которой составлены из коэффициентов диагональных фильтров строк Ки :
С? \ш
гДе (X с \ш и 12 /7 )ш ~ ковариационные матрицы строк изображения с
помехой и самой помехи соответственно, вычисленные в спектральном пространстве.
а б
Пример фильтрации изображения с мультипликативной синхронной помехой: а - исходное изображение с СКО=7,4184; б - результат фильтрации СКО=2,77
Устранение искажений возникающих в процессе формирования и передачи аэрокосмических изображений является основной задачей предварительной обработки АКИ для формирования условий использования их по назначению.
Большие объемы обрабатываемых данных заставляют постоянно искать методы и средства ускорения этого процесса, совершенствовать математический аппарат, применимый для осуществления операций по их обработке в виде дискретных преобразований на конечных интервалах. Введение понятия конечности позволяет уйти от противоречий, вызванных использованием преобразования Фурье, для пространственно-спектрального анализа изображений, описываемых в общем случае нестационарным случайным процессом. С этой точки зрения использование основных положений и выводов из теории дискретных сигналов на конечных интервалах представляется оправданным. Данная теория основывается на выборе наиболее приемлемого варианта построения системы базисных функций из всего многообразия ВКФ, для которых сдвиг сигнала определяется как поразрядное сложение чисел по некоторому модулю. Применение данной методологии дает значительное снижение вычислительных за-
трат примерно на порядок и более и повышение качества предварительной обработки аэрокосмических изображений. Примеры использования описанных подходов при построении систем, решающих практические задачи, описаны в [13 -1б].
Список литературы
1. Gonzalez R.C., Woods R.E. Digital Image Processing.: Prentice Hall. New Jersey, 2002. P. 1072.
2. Костров Б.В. Особенности формирования аэрокосмических изображений радиотехническими системами // Проектирование и технология электронных средств, 2011. № 1. С. 41-43.
3. Костров Б.В. Корреляционно-экстремальный метод обнаружения цифровых сигналов // Цифровая обработка сигналов, 2011. № 2. С. 4б-50.
4. Злобин В.К., Колесенков А.Н., Костров Б.В. Корреляционно-экстремальные методы совмещения аэрокосмических изображений // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета, 2011. № 37. С. 12-17
5. Злобин В.К., Костров Б.В., Саблина В. А. Место и роль методов секвентного анализа в обработке аэрокосмических изображений // Радиотехника, 2012. № 3. С. б4-72.
6. Колесенков А. Н., Костров Б. В. Метод прореживания базисных функций в корреляционно-экстремальных алгоритмах // Вопросы радиоэлектроники, 2010. Вып. 1. С. 17б - 1S4.
7. Злобин В.К., Костров Б.В., Саблина В.А. Алгоритм секвентной фильтрации групповых помех на изображении // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета, 2009. № 30. С. 3-7.
S. Костров Б.В., Саблина В.А. Адаптивная фильтрация изображений со структурными искажениями // Цифровая обработка сигналов, 200S. № 4. С. 49-53.
9. Костров Б.В., Упакова А.Г. Квазидвумерная фильтрация синхронных помех на изображении // Проектирование и технология электронных средств, 2012. № 1. С. 32-35.
10. Костров Б.В., Гринченко Н.Н., Степанов Д.С., Упакова А.Г. Алгоритм передачи изображения с восстановлением постоянной составляющей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 244-249.
11. Ahmed N., Rao K.R. Orthogonal Transforms for Digital Signal Processing: Springer-Verlag Berlin, Heidelberg New York, 1975. P. 250.
12. Костров Б.В., Костров В.В. Метод вычисления свертки в нетригонометрическом конечном базисе // Радиотехнические и телекоммуникационные системы, 2015. № 2 (1S). С. бб-73.
127
13. Kolesenkov A., Kostrov B., Ruchkina E., Ruchkin V. Аnthropogenic situation express monitoring on the base of the fuzzy neural networks // В сборнике: Proceedings - 2014 3rd Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO, 2014. Including ECyPS 2014 3. 2014. P. 166-168.
14. Ruchkin V.N., Kostrov B.V., Kolesenkov A.N., Ruchkina E.V.Algorithms of Fire seat Detection, Modeling Their Dynamics and Observation of Forest Fires via Communication Technologies // В сборнике: Proceedings - 2015 4th Mediterranean Conference on Embedded Computing. BUDVA, 2015. P. 254 -257.
15. Kolesenkov A.N., Kostrov B.V., Ruchkin V.N. Emergencies monitoring and preventing // В сборнике: Proceedings - 2013 2nd Mediterranean Conference on Embedded Computing, MECO - 2013. 2013. P. 263-265.
16. Злобин В.К., Костров Б.В., Свирина А.Г. Спектральный анализ изображений в конечных базисах. М.: КУРС: ИНФРА, 2016. 172 с.
Костров Борис Васильевич, д-р техн. наук, проф., kostrov. b. vaevm.rsreu.ru, Россия, Рязань, Рязанский государственный радиотехнический университет,
Ручкин Владимир Николаевич, д-р техн. наук, проф., v.ruchkin a rsu.edu.ru, Россия, Рязань, Рязанский государственный радиотехнический университет
THE ORETICAL ASPECTS OF SPATIAL IMAGE PROCESSING IN QUASI-TWO-DIMENSIONAL SPECTRAL SPACE
B. V. Kostrov, V.N. Ruchkin
This article summarizes the theoretical and methodological generalizations in the field of aerospace image processing based on the selection of the most appropriate option of construction of the system basic functions of the variety of functions, Vilenkin-Chrestenson (VKF) in nutrigenetics, the lowest possible form of their construction in the form of Walsh functions. The methodology for applying this transformation is based on the number of theorems, different from the corresponding theorems of classical spectral analysis [5]. The investigation of these theorems allow us to construct efficient algorithms for filtering and correlation analysis of aerospace images with different distortions and disturbances.
Key words: aerospace images, multiplicative noise, functions, Vilenkin-Chrestenson functions, Walsh functions Rademacher, filtering algorithms, quasi-two-dimensional filtering, correlation analysis of images.
Kostrov Boris Vasilevich, doctor of technical science, professor, kostrov. b. vaevm.rsreu.ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,
Ruchkin Vladimir Nikolaevich, doctor of technical science, professor, v. ruchkinarsii. edu. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University
