Течение Пуазейля для жидкости с переменной вязкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.633

ТЕЧЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ

К.З. Хайрисламов

Рассматривается течение Пуазейля в трубе для неньютоновской жидкости, динамическая вязкость которой зависит от скорости сдвига по степенному закону. Интегрированием уравнений Навье-Стокса получено аналитическое выражение для профиля скорости в сечении трубы, а также выражение для потока жидкости через сечение трубы, которые обобщают закон Пуазейля для ньютоновской жидкости.

Ключевые слова: течение Пуазейля, ненъютоновская жидкость, вязкая жидкость.

1. Уравнения движения.

Уравнения движения вязкой жидкости в инвариантном виде (т. е. независимо от выбора системы координат) записываются следующим образом [1]

-Р + div (pv) = 0,

d(pv)

(1)

dt

+ div (v®v) = pF + divT,

где р и и - соответственно плотность и скорость жидкости, ^ - плотность массовых сил (далее полагаем ^ = 0), Т - тензор напряжений (запись и<8>и обозначает тензорное произведение).

Тензор напряжений выражается следующим образом:

Т = (р + G + 2це, (2)

где р - давление, 1 - динамический коэффициент вязкости, 1 - 2-й коэффициент вязкости. G - метрический тензор (определяемый системой координат), е - тензор скоростей деформаций, который определяется как

e = 1 (Vu+(Vd)t ),

(3)

где V - оператор набла, а символ Т обозначает транспонирование.

Несложно показать, что в цилиндрических координатах (г,ф, і) для ковариантных компо-

нент имеют место следующие соотношения:

,. () 1 ( д( )+ д f v. ^ + д ( )

div(v)=~ д~(Ur ) + д------------+^(rvz)

r dr дф r , dz

Л

1 ( d

[div (pv®v)) = div (p и v) = - — (rp vur)

г r dr

V

dv.

+

e„ =-

dr

ЄгФ 2

і (u +dV

d. dr dv,„

d.

r

+ bz (PUz)

гє

{r,ф, z}

(4)

(5)

(6)

=1 f и

21 dz dr

e =

фф

d.

- + rvr

є. 2

- + -dz d.

dvz

(7)

e = —-

zz dz

1 Хайрисламов Кирилл Зинатуллаевич - аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: haigh1510@gmail.com

17C

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

divT = -Vp + V (jd'divv) + 2div (jue), где компоненты div(ue) равны:

( u=r (I)+a^(u)+1

■((u))r=Г (Э (ruerr)+d-^ ^ j+dZ (K:ip) (= r (dr)+^(u‘-)+i(u)) •

(8)

-Ue

r3 ^

Л

(9)

Для случая осевой симметрии, т. е. когда -^— = 0, иф = 0, формулы (4)-(9) упрощаются и

принимают вид:

div(v)=1 (dr(rv)+dz(rVz)), div(pv)=r(дГ(rpv)+dz(rpVz));

({pv®v))i = 1 ^dL (rpuu ) + |_ (pvu)), /■ £ {r, z};

e,„ =-

dvr

dr

1 f dvr dv.

6rp~ , erz = 2 l "а."+17

eW = Vr :

e^z 0,

dv_

e = —— '

zz dz ’

(iv(ue)r = 1 [dr (uerr ) + dZ(rUezr ^ - Ue

(iv (ue)) = -r ( dr (ruerz )+dz (ruezz^ •

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2. Течение Пуазейля

Предположим, что в цилиндрической системе координат (r,ф, z) течение вязкой несжимаемой жидкости плотности p0 записывается в виде

u<p=Vr = 0, vz = и (r), 0 < r < R , (15)

причем u (R) = 0 , а течение стационарно. Т. e. рассматривается установившееся течение жидкости в прямой цилиндрической трубе радиуса R с условием прилипания на стенке.

Условие несжимаемости означает, что div(v) = 0 . Тогда тензор скоростей деформаций e согласно (12) определяется следующим образом:

1 ди

erz = ezr = 2 ЭТ :

остальные компоненты равны нулю.

Далее предположим, что динамическая вязкость и есть функция тензора e , т. е.

где IIe = — I — I - 2-й главный инвариант тензора e [1, 2], а жидкость подчиняется степенно-41 dr

1 ( ди

му закону, а именно справедливо соотношение

П—1

I . *2^^

n—1 ( /

= U (—4M2Ue )2 =U0 Л2 ^

n—1

2 ^ 2

(16)

2013, том 5, № 2

171

Краткие сообщения

где , Л, п - постоянные, п > 1 (дилатантная жидкость [3]).

Для записи уравнений движения несжимаемой жидкости в безразмерном виде отнесем величины г и г к R, скорость к средней скорости в трубе V, плотность к р0, время к R / V , вязкость к ц0 , давление к Р, а компоненты тензора скоростей деформаций к Р / ц0, где Р = ц0 V^ . Тогда второе уравнение в (1) принимает вид

(и® и) | = —Чр + (2цв), (17)

Re

dt

где Re =

Ро RV М

- параметр, называемый числом Рейнольдса. Выражение в скобках в левой части

уравнения (17) обнуляется согласно формулам (10)-(11) и принятым допущениям о стационарности течения и несжимаемости среды. Правая часть (17) преобразуется с помощью формул (12-14), и в безразмерном виде течение Пуазейля описывается соотношениями

др = дт дг дг др = 1 д(гт) дг

' * Л

R

ди

где и = и (г), 0 < r < 1, и (1) = 0, т = м—, М =

дг

Решением последних уравнений является функция

г дг :

с к ди \п-1

V дг J

(18)

(19)

i(r ) =

п Sign (pz )

к (п +1)

k|pz

1 / л

f п+1 ^

и --------

г п -1

(20)

где рг =Кр/Ь , Ар - разность давлений на концах рассматриваемого участка трубы длины Ь, а давление р есть линейная функция координаты г .

Подстановка в (20) п = 1 дает известный профиль Пуазейля и (г) = (г2 — 1) для жидкости с

постоянной вязкостью.

График скорости и (г) при различных значениях п (к = 10, pz =-о,8)

На рисунке показаны графики скорости и (г) в зависимости от значения п, включая

sign (p )

п ^ +°° - в этом случае, как следует из (20), и (г) =--- —— (г -1).

к

Поток, численно равный объему жидкости, протекающему через сечение трубы в единицу времени, определяется как

172

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Г

J0

или

rR

Q = 2nJo ги (г)ёг,

Q = ^|0 и (г )Ф2 .

Проинтегрировав по частям и воспользовавшись условием и (Я) = 0 , получим

„ (-я 2 ди

Q = —п I г — & .

* ^ дг

Переходя в (20) обратно к размерным величинам, получим

1

ди = з1вп(р2) Лр2|г

2М

дг Я

откуда

1

nnR sign(pz)(ЯPz|R^п

0

Q = -

3п +1 Я

2М

Z

(21)

Для жидкости с постоянной вязкостью (п = 1) получаем закон Пуазейля Q = -пП p

8М

Литература

1. Серрин, Дж. Математические основы классической механики жидкости / Дж. Серрин; под ред. Л.В. Овсянникова. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963. - 256 с.

2. Georgiou G.C. The time-dependent, compressible Poiseuille and extrudate-swell flows of a Carreau fluid with slip at the wall / G.C. Georgiou // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 2003. -Vol. 109, № 2. - P. 93-114.

3. Уилкинсон, У. Неньютоновские жидкости / У. Уилкинсон, под ред. А.В. Лыкова. -М.: Мир, 1964. - 216 с.

POISEUILLE FLOW OF A FLUID WITH VARIABLE VISCOSITY

K.Z. Khayrislamov

The Poiseuille flow in a pipe for non-Newtonian fluid was examined. It is assumed that fluid viscosity is dependent on shear rate by power law. By solving Navier-Stokes equations we obtained velocity and volumetric flow rate solutions which summarize Poiseuille law for a Newtonian fluid.

Key^o^s: Poise^Re flow, non-Newtonian flwd, viscomAwd.

References

1. Serrin Dzh. Matematicheskie osnovy klassicheskoy mekhaniki zhidkosti (Mathematical fundamentals of classical mechanics of fluids). Moscow: Izdatel'stvo inostrannoy literatury, 1963. 256 p. (in Russ.). [Serrin J. Mathematical principles of classical fluid mechanics. Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1959. 148 p.]

2. Georgiou G.C. The time-dependent, compressible Poiseuille and extrudate-swell flows of a Carreau fluid with slip at the wall. J. Non-Newtonian FlwdMech. 2003. Vol. 109, no. 2. pp. 93-114.

3. Uilkinson U. Nen'yutonovskie zhidkosti (Non-Newtonian Fluids). Moscow: Mir, 1964. 216 p. (in Russ.). [Wilkinson W.L. Non-Newtonian fluids; fluid mechanics, mixing and heat transfer. Pergamon Press, New York, 1960. 138 p.]

Поступила в редакцию 6 марта 2013 г.

1 Khayrislamov Kirill Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University.

E-mail: haigh1510@gmail.com

2013, tom 5, № 2 173