CC BY
71
УДК 519.633
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОСТЬЮ
К.З. Хайрисламов1
Рассматривается задача моделирования течения жидкости с нелинейной вязкостью. В уравнения Навье-Стокса вводится зависимость коэффициента динамической вязкости от скоростей деформаций. Полученные уравнения решаются численным методом.
Ключевые слова: вязкость; вязкая жидкость; уравнения Навье-Стокса.
Введение
При решении задач о течении вязких жидкостей предположение о постоянстве коэффициента динамической вязкости исключает из рассмотрения такие важные с практической точки зрения вещества, как масла, смазки, растворы и т. д.
Некоторые из них могут менять свои вязкостные свойства при движении и находят применение, например, в гидроамортизаторах, гидравлических муфтах сцепления и др.
В работе исследуется изменение свойств течения жидкости вследствие зависимости коэффициента вязкости от скоростей деформаций.
1. Постановка задачи
Для простоты будем рассматривать влияние коэффициента вязкости на течение жидкости в двумерном случае. Пусть в некоторой области на плоскости имеется несколько регионов, занимаемых вязкой несжимаемой жидкостью. Под действием внешней силы жидкости начинают двигаться и взаимодействовать друг с другом и границами области. В начальный момент времени все скорости нулевые. На границе расчетной области (жесткая граница) выполняется условие Неймана
^ = 0,
дп
(1)
на свободной границе при отсутствии поверхностного натяжения и нулевом давлении выполняется условие
(2те) ■ п = 0. (2)
В (1) и (2) под п понимается вектор внешней нормали к границе.
Цель - смоделировать течение с помощью численного метода и сравнить поведение жидкостей с постоянной и переменной вязкостью.
2. Система уравнений
Система уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости, в случае двух независимых переменных (х, у) может быть записана в следующем виде [1]:
(и ) = 0,
^ = --!- Vp + N (й), dt Re 1 '
(3)
где ^ - время; и - вектор скорости (и, и - соответственно х - и у -компонента); (и ) = — + - дивергенция скорости; N (и) имеет компоненты
дх ду
N (й ) = -
д(й2) д(иь) 1 д L диV 1 д ( (ди дь'
дх
ду
Re дх
+——I 2^— I +——
дх J Re ду ^ ^ ду дх
m
+
+ ёх
1 Хайрисламов Кирилл Зинатуллаевич - аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: haigh1510@gmail.com
Хайрисламов К.З. Моделирование течения жидкости
с нелинейной вязкостью
N (и + 1 3
( (ди дь^
- + -
т
1 д („ дь
+ * д? 121 +*;
дх ду Яе дх ^ ^ ду дх р - давление; ¡1 - коэффициент динамической вязкости; (gx,gy) - вектор массовых сил; Яе -число Рейнольдса.
Введем зависимость коэффициента вязкости т от скорости деформаций [1]. Под скоростью деформаций понимается величина
1
Ч = ( 2Тг (е2))2,
где е = 1 (Уи + (Уи )Т ) - тензор скоростей деформаций, Тг - оператор следа. Легко показать, что в данном случае
ди „(ди\2 (ди ди^2
— I + — + —
ду) \ ду дх
21 — I + 2 дх
п-1 2
Ч:
Выберем следующий закон зависимости
¡ = ¡0 (1 + ^2Ч2)(4)
описывающий довольно широкий класс жидкостей, где ц , 1, п - константы, характеризующие жидкость [2].
3. Общая схема численного решения
Система уравнений (3) решается численно. В численном методе используется сетка с разнесенной структурой расположения сеточных узлов, т.е. значения компонент скорости и, ь определены в полуцелых узлах вида (/ +1/2, ]), (/, ] +12) соответственно, а значения давления и вязкости - в целочисленных узлах (/, ]) [3].
Будем использовать следующую вычислительную процедуру (далее под давлением понимается величина И = р/Яе):
1) пусть имеется скорость и (¿0) в момент времени ¿0, а И* (¿0) - произвольное давление, согласованное с условиями на границе;
. ^ _* .
2) найдем промежуточную скорость и в момент времени (0 + Д из уравнения
^ = —У И* + N (и) дГ У '
при условии и * (¿0) = и (¿0);
3) решим уравнение Пуассона
Ду = У- и *
с граничными условиями: у = 0 на свободной границе и ^^ = 0 на жесткой границе;
дп
4) получим скорость и давление для момента времени ¿0 + Д:
и = и * -У у, И = И + уДг. Из пунктов 3 и 4 видно, что в каждый момент времени поле скоростей остается недивергентным, т.е. div(и) = 0, что согласуется с первым уравнением в (3).
4. Численный эксперимент и его результаты
Рассмотрим некоторую область О с круглой границей. Пусть внутри О в начальный момент времени имеются три подобласти, занимаемых жидкостью: две в форме тонких полос, ориенти-
и
Математика
рованных вертикально и горизонтально, и одна в форме круга (рис. 1, а). Под действием внешней силы, направленной вниз, жидкости приходят в движение и в дальнейшем вступают во взаимодействие друг с другом и с границей области О.
Сравним между собой жидкости с переменной и постоянной вязкостью. Для этого проведем два эксперимента, отличающиеся только тем, что в первом случае вязкость жидкости является константой в ходе всего процесса расчета (порядка 1 мПас, как у воды), а во втором случае меняется по выбранному закону (4), где возьмем п > 1, тогда с ростом скорости деформаций вязкость будет увеличиваться.
д) е) ж) з)
Рис. 1. Конфигурации системы с постоянной вязкостью в моменты времени: а) 0,00 с; б) 0,56 с; в) 0,88 с; г) 1,16 с; д) 1,30 с; е) 1,42 с; ж) 1,60 с; з) 2,88 с (стрелки характеризуют направления и модули векторов скорости в соответствующей окрестности жидкости)
Д) е) ж) з)
Рис. 2. Конфигурации системы с переменной вязкостью в моменты времени: а) 0,00 с; б) 0,56 с; в) 0,88 с; г) 1,16 с; д) 1,56 с; е) 1,84 с; ж) 2,46 с; з) 3,56 с (стрелки характеризуют направления и модули векторов скорости в соответствующей окрестности жидкости)
Из рис. 1, 2, где представлены результаты численного эксперимента, хорошо видно, сколь сильный эффект оказывает переменность коэффициента вязкости. В областях с большими скоростями деформаций жидкость с переменной вязкостью начинает терять свойства текучести (к
Хайрисламов К.З.
Моделирование течения жидкости с нелинейной вязкостью
примеру, кончик вертикальной полосы начинает «складываться» - рис. 2 е, ж) в отличие от жидкости с постоянным коэффициентом вязкости (рис. 1).
Заключение
В работе рассмотрена и численно решена задача моделирования течения жидкости в R2 с коэффициентом вязкости, зависящим от скорости деформаций. Согласно выбранной зависимости с ростом скорости деформаций вязкость увеличивалась, что приводило к ослаблению текучих свойств жидкости в таких областях течения.
Моделировать такие изменения свойств жидкостей важно, т.к. многие смазочные материалы, используемые в промышленности, не обладают постоянной вязкостью и меняют свои вязкостные свойства в зависимости от испытываемых деформаций.
Литература
1. Tome, M.F. A numerical technique for solving unsteady non-Newtonian free surface flows / M.F. Tome, B. Duffy, S. McKee // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1996. - Vol. 62. - P. 9-34.
2. Уилкинсон, У. Неньютоновские жидкости / У. Уилкинсон; под ред. А.В. Лыкова. -М.: Мир, 1964. - 216 с.
3. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович, Н.В. Розумнюк // Прикладная гидромеханика. -2008. - Т. 10, № 2. - С. 13-23.
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 3, pp. 54-57
SIMULATION OF NONLINEAR VISCOUS FLUID FLOW
K.Z. Khayrislamov
The problem of simulation of nonlinear viscous fluid flow is considered in the article. Dependence of dynamic viscosity coefficient on strain rate is introduced in Navier-Stokes equation. The equations given are solved by numerical method.
Keywords: viscosity, viscous fluid, Navier-Stokes equations
References
1. Tome M.F., Duffy B., McKee S. A numerical technique for solving unsteady non-Newtonian free surface flows. J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. Vol. 62. pp. 9-34.
2. Uilkinson U. Nen'yutonovskie zhidkosti (Non-Newtonian Fluids). Moscow, Mir Publ., 1964. 216 p. (in Russ.). [Wilkinson W.L. Non-Newtonian fluids; fluid mechanics, mixing and heat transfer. Per-gamon Press, New York, 1960. 138 p.].
3. Bruyatskiy E.V., Kostin A.G., Nikiforovich E.I., Rozumnyuk N.V. Prikladnaya gidromekhanika. 2008. Vol. 10, no. 2. pp. 13-23. (in Russ.).
Received 5 May 2015
1 Khayrislamov Kirill Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University.
E-mail: haigh1510@gmail.com
