Свойства преобразования n-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.521: 004.046

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ я-МЕРНЫХ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ ПО БАЗИСУ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ВСПЛЕСКОВ А.Ю. Гришенцев

Рассмотрены свойства способа декомпозиции и-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков. Показано выполнение свойства линейного преобразования и условия сохранения энергии сигнала при переходе от пространственного к частотно-пространственному представлению. Сформулирован переход к ортогональной форме преобразования.

Ключевые слова: декомпозиция и-мерных сигналов, спектральный анализ, цифровая обработка сигналов.

Введение

На сегодняшний день наиболее востребованными способами взаимного преобразования цифрового сигнала из частотной в пространственную область являются Фурье- и вейвлет-преобразование [1, 2]. Вейвлет-преобразование, также как и оконное преобразование Фурье, позволяет не только получить спектр сигнала, но и локализовать его в пространстве. В настоящей работе рассматриваются свойства способа преобразования по базису прямоугольных всплесков (БПВ) [3, 4], который также позволяет получить пространственную локализацию спектра цифрового сигнала, при этом достаточно просто реализуется с помощью программных или только аппаратных средств.

Свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков

Основной задачей рассматриваемого способа декомпозиции по БПВ является получение спектра п-мерного цифрового сигнала и его локализация в пространстве Я", фактически отображение цифрового сигнала в фазовое пространство. Эта задача решается в ходе прямого преобразования (декомпозиции) путем последовательных итеративных вычислений в соответствии с выражением

/-1 = / - ^, (1) где к - номер спектрального элемента декомпозиции Бк, выделяемого по масштабному признаку из сигнала /к. Значение индекса к соответствует протяженности взаимно перпендикулярных и параллельных элементов спектральных компонент, /к - остаточный сигнал. Максимальное (исходное) значение к равно К, Бк - спектральные элементы декомпозиции, отобранные по масштабному признаку. Сумма всех полученных в ходе прямого преобразования спектральных элементов декомпозиции Бк является результатом обратного преобразования (синтеза) и равна

/к . (2)

к =1

Таким образом, разложение и-мерного сигнала происходит не по выбранному заранее и-мерному базису (базисной функции), а по взаимно параллельным и перпендикулярным элементам исходного сигнала, которые образуют множество уникальных для данного сигнала и-мерных базисов, являющихся частью исходного сигнала. Основой для формирования таких базисов разложения и-мерного сигнала служит меандр-подобный сигнал, называемый в рамках рассматриваемого способа элементарным всплеском. Под элементарным всплеском будем понимать дискретную структуру, имеющую размерность, равную размерности исходного сигнала с отличной от нуля амплитудой. В направлении выделения элементарного всплеска его протяженность может иметь любое отличное от нуля значение, но не более размера исходного сигнала в данном направлении. По другим направлениям размеры элементарного всплеска равны единице дискретизации соответствующих направлений [3, 4].

На рис. 1 показаны некоторые свойства конфигурации элементов декомпозиции на примере одномерных сигналов. Приведены варианты четырех одномерных сигналов / [х] и некоторые возможные

способы декомпозиции. Стрелками обозначены переходы к корректным вариантам декомпозиции, перечеркнутые стрелки обозначают некорректные варианты декомпозиции (присутствуют на рис. 1, в, г) с последующим переходом к корректным. В ходе наблюдения за возможными вариантами декомпозиции и разделением их на корректные и некорректные можно сделать некоторые обобщения:

(1) менее протяженные элементарные всплески конфигурационно могут быть расположены только полностью над непрерывным более протяженным, либо над нулевым (имеется в виду его отсутствие) всплеском;

(2) соседние всплески не могут быть расположены неразрывно, между всплесками по оси положения в пространстве должен присутствовать разрыв, минимальная протяженность которого равна единице дискретизации сигнала в данном направлении.

|/Е* А [/и А Л* А |/М

1 X X 1 X 1 1 1 X

т [-Т } х}) П1

А 5„

(3)

б

Рис. 1. Допустимые и недопустимые варианты конфигурации элементов декомпозиции по БПВ: /[х] - исходные сигналы с амплитудой А ; 8к - спектральный элемент декомпозиции, полученный

выделением всплесков протяженностью к

Указанные свойства (1)-(2) являются следствием декомпозиции сигнала в соответствии с алгоритмом, рассмотренным в [3, 4], и могут быть обобщены на случай многомерного сигнала. Из свойства (2) можно вывести понятие периода Т = к +1 (или минимального периода) элементарного всплеска как минимально допустимого периода повторения элементарных всплесков заданной протяженности к . Покажем, что декомпозиция по БПВ является линейным преобразованием, т.е. обладает свойствами линейной системы - аддитивностью и однородностью [5].

Аддитивность декомпозиции по БПВ обусловлена тем, что суммирование сигналов /[х] + §[х] в пространственной области эквивалентно суммированию сигналов в пространственно-частотной области Р{/[х]} + Р х]}, причем при суммировании сигналов в пространственно-частотной области необходимо приводить результат суммирования к конечному виду в соответствии со свойствами (1)-(2). Аддитивность преобразования является следствием равенства суммы /[х] + §[х] = Р 1 { {/[х]} + Р х]}} для каждого конкретного значения х и одновременной инвариантности декомпозиции по БПВ. Однородность декомпозиции по БПВ Р {т • /[х]} = т • Р {/[х]} является следствием равенства

К

т^ 8к [х] = т • /[х], где т - рациональное число.

к =1

Для «-мерного пространства Я" можно записать свойства линейности преобразования по БПВ: аддитивность - /[Я" ] + g[Я" ] = Р 1 { {/[Я" ]} + Р Я" ]}} ,

К

однородность - т^ [Я" ] = т • /[Я" ].

к=1

Отметим, что декомпозиция по БПВ не является инвариантом относительно сдвига сигнала /[Я" ], так как сдвиг исходного сигнала вызывает соответствующее смещение положения элементарных всплесков. При сдвиге сигнала /[Я" ] инвариантом является спектральная плотность р, рассчитываемая как отношение суммы всех элементов каждого спектрального элемента декомпозиции Бк [Я" ] к числу всех дискретных элементов, в котором задана функция /[Я" ]. Покажем, что при преобразовании по БПВ неизменной остается энергия. В случае одномерного сигнала /[х], заданного на интервале X, его энергия может быть определена как

а

в

г

Е = Х I 2[ х]..

(3)

из выражения (2) [1] следует, что

I 2[ х] ^Х^ [ х]

V к =1

Раскрывая выражение (4) как полиномиальный многочлен второй степени, получаем

/ К \ 2 к к_1 К

I X ^к [х] I = X ^к2[х] + 2£ X [х^ [х],

V к =1 / к =1 ,=1 ]=,+1

или, в конечном виде,

К К _1 К

(4)

x i 2[ х] =х

x ^х] + 2хх ^ [х]^ [х] . (5)

_ к=1 ,=1 у=,+1 _

Правую часть, стоящую под общей суммой выражения (5), можно записать в виде

К к_1 К К К

x Я1, [х] + 2x5 3 [х]^ [х] = x x Я, [х^ [х]. (6)

к=1 ,=1 у= ,+1 ,=1 у=1

На рис. 2 приведен пример произведений ненулевых спектральных элементов декомпозиции Бк сигнала / [ х] в соответствии с выражением (6). Заметим, что произведения спектральных элементов декомпозиции имеют протяженность наименьшего значения шш(/, у) и размерность квадрата амплитуды А2. Извлекая корень из суммы произведений , выделенных по признаку равных протяженностей, получаем взаимно ортогональные формы спектральных элементов декомпозиции:

3 [х] = Ь,2[х] + 2 x Я, [х]^ [х].

V у=,+1

В силу ортогональности (выполняется равенство Парсеваля как обобщение теоремы Пифагора для п -мерного случая) обратное преобразование будет иметь вид

(7)

I [ х] = .Х ^ х],

V ,=к

а эквивалент выражения (3) записывается в форме

х 12[ х]=хГх^2[ х]

X X _ к=1

для Я, [ х] и в форме

x12[яп ]=х|х^2[ яп ]

(8)

(9)

для пространства Я". Отметим, что выражение (9) для преобразования по БПВ можно рассматривать как аналог уравнения Парсеваля для преобразования Фурье [5-7].

Рассмотрим в качестве примера переход к ортогональной форме Я, [ х] для сигнала I [ х] на рис. 2. Вначале производится расчет множества спектральных элементов декомпозиции Я = Б3, Б2, ) в

соответствии с (1), подробное описание декомпозиции можно найти в [3, 4]. Далее формируются элементы произведений Я х Я (упорядоченные пары), для которых, впрочем, выполняется условие коммутативности Я, х = х Я,. Результат произведений отображен в центральной части рис. 2. Произведем запись значений амплитуд спектральных элементов декомпозиции в ортогональной форме для 4-го отсчета (отсчет производится слева, начиная с нуля по оси х, шкала отображена на графике I [ х]): [4] = Т22 = 2, £,[4] =л/ 32 + 2 • 3 • 2 =л/21, &,[4] = >/12 + 2-1-2 + 2-1-3 = 7Т1, ^[4] = >/22 + 2 • 2 • 2 + 2 • 2 • 3 + 2 • 2-1 = 2^7 . Результаты расчетов Я,[х] представлены на рис. 2 (столбец справа). Очевидно, что амплитуды исходного сигнала по значениям Я,[х] могут быть восстановлены в соответствии с выражением (7). Далее рас-

считаем полную энергию Е в соответствии с (8): X

X х]

= 5 • 4 + 3 • 21 + 2-11 +1-28 = 133 , вычисле-

ние по выражению (3) дает результат X12[х] = 02 + 22 + 52 + 62 + 82 + 22 + 02 + 02 = 133 .

Рис. 2. Получение ортогональной формы декомпозиции по БПВ: /[х] - исходный сигнал с амплитудой А ; 8к - спектральный элемент декомпозиции, полученный

выделением всплесков протяженностью к

Порядок вычислительной сложности алгоритма прямого преобразования по БПВ для одномерного случая можно оценить как О (Ы), где N - размер массива данных.

Для прямого преобразования по БПВ в " -мерном пространстве Я" сигнала /[Я" ], ограниченного

размерами пространства, в котором задан сигнал Х1 • Х2•,..., • Хп, порядок вычислительной сложности

можно оценить как О (" • Х1 • Х2•,..., • Хп).

Отметим, что все преобразование в соответствии с (1) и (2) может быть выполнено на кольце целых чисел, что обеспечивает высокое быстродействие и достаточно простую реализацию способа преобразования по БПВ полностью аппаратными средствами.

Заключение

В работе показаны свойства преобразования по базису прямоугольных всплесков - линейность, сохранение энергии сигнала, ортогональная форма преобразования. Рассмотрен ряд примеров, выполнена оценка вычислительной сложности. Приведены выражения, готовые к непосредственному применению в практических вычислениях.

Литература

1. Чобану М. Многомерные многоскоростные системы обработки сигналов. - М.: Техносфера, 2009. -480 с.

2. Шарк Г.Г. Применение вейвлетов для ЦОС. - М.: Техносфера, 2007. - 192 с.

3. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Декомпозиция я-мерных цифровых сигналов по базису прямоугольных всплесков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2012. - № 4 (80). - С. 75-79.

И.Ю. Голубев, В.А. Богатырев

4. Заявка на изобретение. Способ построения спектра п-мерных неразделимых цифровых сигналов. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. № 2011126856, от 29.06.2011.

5. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников. - М.: Додека-ХХ1, 2011. - 720 с.

6. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. - 2-е изд. - М.: Техносфера, 2009. - 856 с.

7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. - 2-е изд. Пер. с англ. - М.: Бином пресс, 2009.- 656 с.

Гришенцев Алексей Юрьевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, tigerpost@ya.ru

УДК 004.75

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАПРОСОВ В СИСТЕМЕ КЛАСТЕРОВ ПРИ СОЧЕТАНИИ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ИМИТАЦИОННОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ И.Ю. Голубев, В.А. Богатырев

Предложена многоэтапная процедура оптимизации распределения потока запросов между кластерами вычислительной системы, использующая аналитическое и имитационное моделирование. Процедура позволяет найти оптимальную долю перераспределяемого потока запросов при различных законах распределения интервалов между поступающими в систему запросами и времени их обслуживания.

Ключевые слова: распределение нагрузки, имитационное моделирование, кластер, оптимизация.

Введение

Основными требованиями, предъявляемыми к распределенным вычислительным системам, являются их надежность, отказоустойчивость и производительность [1]. Высокая отказоустойчивость и производительность распределенных систем достигается в результате эффективного распределения запросов (нагрузки) между их узлами [2-8]. В распределенных вычислительных системах, объединяющих множество кластеров, перераспределение запросов может осуществляться между узлами как одного, так и различных кластеров, соединенных через сеть. Во втором случае увеличиваются издержки на межмашинный обмен, но возрастают возможности балансировки загрузки и сохранения работоспособности при накоплении отказов, что обусловливает актуальность оптимизации процесса распределения запросов и разработки соответствующих процедур оптимизации. д

Постановка задачи

Цель представленной работы - разработка процедуры оптимизации распределения запросов между кластерами вычислительной системы при различных законах распределения интервалов между поступающими в систему запросами и времени их обслуживания.

Структура исследуемой распределенной вычислительной системы кластеров представлена на

рис. 1.

Рис. 1. Структура распределенной вычислительной системы