CC BY
110
Научные труды Дальрыбвтуза. Том 35
ISSN 2222-4661
УДК 681.883
1 12 П.А. Стародубцев , А.П. Шевченко , Е.Н. Бакланов
Тихоокеанское высшее военно-морское училище им. С.О. Макарова,
690006, г. Владивосток, Днепровский переулок, 6
Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,
690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б
ВЕЙВЛЕТЫ И НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РАССУЖДЕНИЯ ОБ ИХ ТЕОРЕТИЧЕСКОМ СОДЕРЖАНИИ
Рассмотрены история и современная практика применения вейвлет-преобразования для исследования сигналов с учетом особенностей применения его как функции и как алгоритма.
Ключевые слова: вейвлет, базисная функция, импульсная функция, преобразование Фурье, функции Дирака.
P.A. Starodubtcev, A.P. Shevchenko, E.N. Baklanov WAVELETS AND SOME ANALYTICAL CONSIDERATIONS ABOUT THEIR THEORETICAL CONTENT
The history and current practice of applying the wavelet transform to study signals, allowing for the use of it as a function and as an algorithm.
Key words: wavelet, basis function, impulse function, Fourier transform, Dirac function.
Введение
Рассматривая функцию как математическое понятие, отражающее связь между элементами «множеств», а преобразование - как «множество в себе», рассмотрим корреляционную связь между ними в рамках термина «вейвлет» (англ. wavelet - всплеск).
Самое первое упоминание о «вейвлетах» как базисных функциях или подобных функциях было сделано в 1909 г. в диссертационной работе Альберта Хаара - венгерского математика. Работа была проведена под руководством Давида Гильберта и связана с поиском базиса в пространстве непрерывных функций [1].
В дальнейшем эта базисная функция при проведении научных исследований была названа «вейвлетом» Альберта Хаара (рисунок) [1].
Как видно из рисунка, «вейвлет», или базисная функция Альберта Хаара, представляет собой короткое прямоугольное колебание на интервале ±1,0. Он ортогонален, обладает компактным носителем, хорошо локализован в пространстве, но не является гладким.
В процессе применения данной базисной функции для исследования сигналов и физических явлений было отмечено много противоположных мнений, как положительных, так и отрицательных.
Физик Paul Levy, исследуя броуновское движение, обнаружил, что базис Альберта Хаара лучше, чем преобразование Фурье для изучения данного движения. Но другими исследователями было замечено, что данная базисная функция интересна только теоретически, не является дифференцируемой функцией и имеет длинные «хвосты» в частотной области как функция, представляющая собой обычный прямоугольный импульс [2].
Упоминание о «вейвлетах» как термине или как преобразовании было обнаружено в научных трудах J.Morlet и A. Grossman. Они изучали сейсмические сигналы с помощью разработанной ими же базисной функции, которую впоследствии они же и назвали «вейвлетом» [1, 2].
52
Промышленное рыболовство. Акустика
Вейвлет Альберта Хаара Wavelet of Albert Haar
Основы широко используемого в современной практике экспериментальных исследований сигналов и физических явлений непрерывного вейвлет-преобразования (англ. continuous wavelet transform, CWT) разработали Гуппилауд, Гроссман и Морле [1, 2].
Ингрид Добеши (фр. Ingrid Daubechies, математик из США) обосновала ортогональные вейвлеты. Натали Делпрат создала в 1991 г. временно-частотную интерпретацию «CWT». Математическая формализация в работах Mallat и Meyer привела к созданию теоретических основ вейвлет-анализа, названного мультиразрешающим (кратномасштабным) анализом, или математическим микроскопом [1, 2].
Основная часть
По мнению авторов, достаточно интересным может быть объяснение частотновременного положения вейвлета среди огромного количества базисных функций. В связи с чем для вейвлета как функции, или как преобразования, требуется отдельное пояснение его связи с понятием «гармоническая базисная функция» и «импульсная базисная функция». И этот факт нельзя обойти вниманием, потому что это связано с преобразованиями Жан Батиста Жозефа Фурье и импульсными базисными функциями типа импульсов Леопольда Кронекера.
Гармонические базисные функции преобразования Фурье синусоидального и косинусоидального представления предельно локализованы в частотной области, вплоть до импульсных функций Поля Адриена Мориса Дирака - английского физика-теоретика (при T^-ro), и не локализованы во временной области [3], т.е. определены во всем временном интервале от -го до +ro.
Противоположностью данным «гармоническим базисным функциям» являются «импульсные базисные функции» типа импульсов Кронекера, которые локализованы во временной области и размыты по всему частотному диапазону. Между ними существует теоретическое пространство с частотно-временной локализацией, которую, по мнению авторов, и занимают современные «вейвлеты» (таблица).
В основу вейвлетного базиса положено пространство L2(R), R(-ro, +го), где применяются стремящиеся к нулю финитные функции из одного состояния.
В основе вейвлета лежит анализирующая функция Y(t), равная нулю за пределами конечного интервала и имеющая нулевое среднее значение по интервалу определения. Последнее необходимо для задания локализации спектра вейвлета в частотной области.
53
Научные труды Дальрыбвтуза. Том 35
ISSN 2222-4661
Базисные функции Basic functions
№ п/п Вид базисной функции Локализована функция Не локализована (размыта) функция Примечание
1 2 3 4 5
1 Гармоническая функция преобразования Фурье до импульсных функций Дирака (начало ряда базисных функций) В частотной области (до импульсных функций Дирака T^<x>) Во временной области, т.е. определены во всем временном интервале от -<хдо +<х>
2 Вейвлеты (середина ряда базисных функций) В частотной и временной областях Локализация ограничена функцией неопределенности. Для учета особенностей локализации можно использовать семейства функций
3 Импульсные базисные функции типа импульсов Кронеке-ра (конец ряда базисных функций) Предельно локализованы во временной области Не локализованы (размыты) по всему частотному диапазону
ПР - Фурье - Функции - Дирака ^ Вейвлеты ^ Импульсы - Кронекера *
* Частотно-временная взаимосвязь базисных функций и пространственное положение вейвлетов.
Конструируемый базис в пространстве Ь2(К) с помощью масштабных преобразований формируется путем учета [4]:
• частотной независимой переменной в спектральном представлении во временной области - Y(t) ^ x¥(amt), где а = const, m = 0, 1, ... M, чем обеспечивается самоподобие анализирующей функции Y(t);
• дополнительной независимой переменной последовательных сдвигов функции Y(t) вдоль оси, типа Y(t) = Y(t + k) для перекрытия всей оси пространства Я(-ю, +го).
Исходя из этого, вид базисной функции имеет следующий вид: Y(t) ^ 4(amt + k), где m, k - целочисленные значения.
Заключение
Таким образом, «вейвлет» нужно рассматривать в двух аспектах: как функцию и как преобразование (или алгоритм). Оба эти аспекта имеют свои особенности и взаимно зависят друг от друга. Функция ведет себя как исходный статус и полностью определяет правильность или неправильность всех последующих решений. Поэтому вейвлет и занимает положение между Фурье-функциями Дирака и импульсами Кронекера.
Вейвлет как преобразование (или алгоритм) определяет всю дальнейшую алгоритмизацию вычислительного процесса и правильность выбранного статуса самой функции как базисной, и он дает [5]:
• частотную характеристику или распределение энергии сигнала по частотным составляющим (данное состояние можно классифицировать как энергетический спектр сигнала);
• сведения о локальных координатах, где проявляются группы частотных составляющих или на которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигналов;
• значения сигналов на различных уровнях декомпозиции (разложения) функции на аппроксимирующую (грубую) с достаточно медленной временной динамикой изменений и на
54
Промышленное рыболовство. Акустика
детализирующую с локальной и быстрой динамикой изменения, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях декомпозиции сигналов. Последнее возможно как во временной, так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.
Из такого краткого анализа, представленного выше, необходимо отметить, что теория вейвлетов не является фундаментальной физической теорией, но она дает удобный и эффективный инструментарий для решения многих практических задач (в данном случае линейных задач или экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств).
Семейства вейвлетов во временной и частотной областях используются для представления сигналов и функций в виде суперпозиций вейвлетов на разных масштабных уровнях декомпозиции (разложения) сигналов.
Нельзя вейвлет-методы рассматривать как новую универсальную технологию. Их развитие не приведет к полной замене традиционных средств обработки и анализа информации. Вейвлеты позволяют только расширить инструментальную базу информационных технологий обработки данных.
Но надо всегда помнить:
• вейвлет-преобразование есть преобразование, похожее на преобразование Фурье (или гораздо больше на оконное преобразование Фурье) с совершенно иной оценочной функцией. Основное различие лежит в следующем: преобразование Фурье раскладывает сигнал на составляющие в виде синусов и косинусов, т.е. функций, локализованных в Фурье-пространстве; напротив, вейвлет-преобразование использует функции, локализованные как в реальном, так и в Фурье-пространстве;
• вейвлет-преобразование на самом деле является бесконечным множеством различных преобразований в зависимости от оценочной функции, использованной для его расчёта. Это является основной причиной, почему термин «вейвлет-преобразование» используется в весьма различных ситуациях и применениях.
Список литературы
1. Новиков, Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов / Л.В. Новиков. - СПб.: ИАНП РАН,
1999. - 152 с.
2. Яковлев, А.Н. Введение в вейвлет-преобразования / А.Н. Яковлев. - Новосибирск: Новосиб. гос. техн. ун-т, 2003. - 104 с.
3. Хамухин, А. А. Математическая модель ячейки однородной структуры для вычисления непрерывного вейвлет-преобразования / А.А. Хамухин // Проблемы информатики. -
2011. - № 5. - С. 87-93.
4. Переберин, А.В. О систематизации вейвлет-преобразований / А.В. Переберин // Вычислительные методы и программирование. - 2002. - Т. 2. - С. 15-40.
5. Сонечкин, Д.М. Оценка тренда глобального потепления с помощью вейвлетного анализа / Д.М. Сонечкин, Н.М. Даценко, Н.Н. Иващенко // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1997. - Т. 33, № 2. - С. 184-194.
Сведения об авторах: Стародубцев Павел Анатольевич, доктор технических наук,
профессор, e-mail: spa1958@mail.ru;
Шевченко Александр Петрович, e-mail: vunc-vmf-tovmi@mil.ru;
Бакланов Евгений Николаевич, доцент, e-mail: baklanoven@mail.ru.
55
