CC BY
72
НАУКИ О ЗЕМЛЕ
УДК 548.12/15
СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОМБИНАЦИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОСТЫХ ФОРМ
Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков
ФГБУН Геологический институт КНЦ РАН
Аннотация
Для всех 30 закрытых простых форм впервые решена задача Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля о вершинных и реберных усечениях выпуклого кристаллического полиэдра. Полученные комбинации простых форм предложено рассматривать как специальные. Установлено, что в каждом классе симметрии простые формы допускают полные вершинное и реберное усечения закрытой простой формы. Дуальные формы можно видеть на природных кристаллах флюорита и алмаза (октаэдр vs. куб), топаза (ромбическая призма + пинакоид vs. ромбическая бипирамида) и т. д. Результаты показывают, что задачи теоретической и прикладной кристалломорфологии далеко не исчерпаны. Статья посвящена 280-летию со дня рождения Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля (1736-1790), одного из основателей кристаллографии. Ключевые слова:
кристаллический класс симметрии, закрытая простая форма, выпуклый дуальный полиэдр, вершинное и реберное усечение, специальные комбинации простых форм, задача Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля.
SPECIAL COMBINATIONS OF CRYSTALLINE SIMPLE FORMS
Yury L. Voytekhovsky, Dmitry G. Stepenshchikov
Geological Institute of the KSC of the RAS
Abstract
For the first time, the J. B. L. Rome de Lisle's problem on the vertex and edge truncations of a convex crystalline polyhedron, has been solved for all 30 closed simple forms. The obtained combinations of simple forms are suggested to consider as special ones. For any symmetry class, the simple forms are found to allow their full vertex and edge truncations with a closed simple form. The dual forms can be seen on the natural crystals of fluorite and diamond (octahedron vs. cube), topaz (rhombic prism + pinacoid vs. rhombic bipyramid), etc. These results show that the problems of both theoretical and applied crystal morphology
Keywords:
are not exhausted at all. The paper is devoted to the 280 (1736-1790), one of the founders of crystallography.
anniversary of J. B. L. Rome de Lisle
crystalline symmetry class, closed simple form, convex dual polyhedron, vertex and edge truncation, special combinations of simple forms, J. B. L. Rome de Lisle's problem.
Введение
В каждом из 32 классов симметрии разрешен определенный набор кристаллических простых форм. Они получаются размножением плоскостей частного и общего положения элементами соответствующей точечной группы симметрии. Далее теория допускает любые их комбинации. Что известно о них? Геометрическая кристалломорфология сообщает нам универсальные правила X. С. Вейса (каждая грань кристалла принадлежит как минимум двум зонам — совокупностям граней, пересекающихся по параллельным ребрам) и В. М. Гольдшмидта (грани одной зоны образуются последовательным притуплением ребер
по правилу компликации — согласно числовым рядам Брокочи). Физическая кристалломорфология добавляет правила Е. С. Фёдорова (преобладают грани с наибольшей ретикулярной плотностью) и Г. В. Вульфа (преобладают грани с наименьшей скоростью роста). Авторы утверждают, что вопрос о комбинациях кристаллических простых форм далеко не исчерпан. Статья посвящена 280-летию со дня рождения Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля (1736-1790), одного из основателей кристаллографии.
Комбинации простых форм как алгебраическая структура
Содержат ли комбинации простых форм другие смыслы? Например, какая алгебраическая система при этом реализуется? По аналогии с тем, что в структурах кристаллов реализованы 230 пространственных, а в их огранке — 32 точечные группы симметрии, что вторые суть фактор-группы от первых по подгруппам трансляций и т. д. Этот аспект теории до сих пор не обсуждался, кроме работы одного из авторов [1]. Пусть А, , Aj , Ак ... — простые формы одного класса симметрии; /, j, к ... = 1, ..., п; где п — число простых форм в классе. Обозначим их комбинацию А, х А,- х Ак х... . Операцию х естественно назвать умножением. Определим полную совокупность комбинаций простых форм в классе: X = {А, х А- х Ак х...; V /,к ... = 1, ..., п}. Каковы ее свойства?
Будем считать комбинацию А, х А- х Ак х. однозначно определенной набором входящих простых форм без морфологических и генетических смыслов; относительных площадей граней простых форм, последовательности их образования на кристалле и т. д. Тем самым определено, что X — группоид. При этом имеет место ассоциативность операции х; (А, х А-) х Ак = А, х (А- х Ак), т. е. X — полугруппа.
Очевидно, А, х А- = А- х А, для любых /, т. е. X — коммутативная полугруппа. Из А, х А-= А, х Ак следует А- = Ак. Аналогично; из А, х Ак = А- х Ак следует А, = А- — имеют место левое и правое сокращения, т. е. X — полугруппа с двусторонним сокращением.
Для любой простой формы выполнено А, х А, = А, — такие элементы в алгебраических системах называются идемпотентами. Каждый элемент полугруппы X идемпотентен. По сути, это означает, что каждая простая форма присутствует на кристалле в одном экземпляре.
Особую роль в X играет полная комбинация простых форм данного класса П = А1 х А2 х ... х Ап. Для любой простой формы Ак выполнено; Ак х П = П х Ак = П, т. е. П — двусторонний 0 полугруппы X, а каждый ее элемент — двусторонняя 1 для П.
Любое подмножество простых форм из полной совокупности {А1, А2, ... , Ап} порождает полугруппу X0, являющуюся подполугруппой для X. В полугруппе Е° есть свой двусторонний 0 — полная комбинация образующих ее простых форм — П°. Каждый элемент из Xo — двусторонняя 1 для По. Но в полугруппе X нет 1 (такой простой формы, комбинация которой с любой другой ничего к последней не добавляет), которую для полноты системы можно доопределить внешним образом.
Итак, полная совокупность комбинаций простых форм каждого класса симметрии образует коммутативную полугруппу, каждый элемент которой идемпотентен, с двусторонним сокращением и 0, а также внешне присоединенной 1. Эти свойства приводят к содержательному результату ввиду теоремы; всякая коммутативная полугруппа идемпотентов изоморфна некоторой полугруппе, элементами которой являются подмножества некоторого множества, а действием — операция пересечения [2]. Искомую полугруппу, изоморфную полугруппе X, образуют ее подмножества Rх всех элементов, делящихся на Х, т. е. всех комбинаций простых форм, содержащих форму Х.
Полугруппы этого вида играют в алгебре особую роль ввиду их связи с понятием частичной упорядоченности и теоремы; для каждой коммутативной полугруппы идемпотентов существует единственная сопряженная с ней полуструктура. Нужен более глубокий анализ выявленной фундаментальной полугруппы и сопряженной полуструктуры применительно к объектам минералогической кристаллографии. Выявленная коммутативная полугруппа
идемпотентов дана нам в комбинациях простых форм на природных кристаллах, что говорит о ее естественном характере.
Задача Роме-де-Лиля для закрытых простых форм
Кристаллический полиэдр сегодня рассматривают с точки зрения взаимного расположения граней (полиэдр — многогранник), что исторически обусловлено неоднократно открывавшимся законом постоянства плоских углов на ребрах кристалла и гониометрической техникой их измерений. Но так было не всегда. А. Г. Вернер различал кристаллы по вершинам [3], а Ж. Б. Л. Роме-де-Лиль в 1783 г. в труде «La cristallographie...» отдал должное всем элементам: «Какой-либо кристалл может быть усеченным в своих вершинах, а также вдоль ребер. <...> Наблюдаются кристаллы, часть которых имеет усечения или на вершинах, или даже и на вершинах, и на ребрах» [4, с. 13]. К сожалению, оригинальные труды Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля не удалось найти даже в богатой личной библиотеке А. Е. Ферсмана в Кольском научном центре РАН, и мы пользуемся переводами И. И. Шафрановского. В приведенном рассуждении вполне просматривается «задача Роме-де-Лиля»: для данного кристаллического полиэдра найти формы, получающиеся усечением вершин или ребер, в самом сложном варианте — тех и других одновременно. Для определенности исходных условий далее она решена для 30 закрытых (полиэдрических) простых форм (з. п. ф.). При этом эквивалентные (переводимые друг в друга преобразованиями симметрии) вершины и ребра усекаются одинаково — секущая плоскость ориентирована одинаково относительно эквивалентных граней, сходящихся в вершине или на ребре.
Легко видеть, что вершинные усечения приводят к геометрически дуальным формам. Для этого вершины следует усекать настолько глубоко, чтобы с поверхности полиэдра исчезли грани исходной формы. Дуальные полиэдры хорошо известны в минералогии: октаэдр дуален кубу на кристаллах флюорита и алмаза, комбинация призмы и пинакоида дуальна одноименной бипирамиде на кристаллах топаза и апатита (рис. 1) и т. д. Эти наблюдения обнаруживают в задаче Роме-де-Лиля реальную, диктуемую природой подоплеку. Одновременно эта часть задачи допускает иную, совершенно нетривиальную формулировку: в каждом ли классе симметрии допустима форма, геометрически дуальная исходной з. п. ф.?
Рис. 1. Флюорит (слева, Намибия) и топаз (справа, Урал) — примеры дуальных простых форм и их комбинаций на одном кристалле: куб vs. октаэдр (слева); ромбическая бипирамида vs. комбинация ромбической призмы и пинакоида [http://geo.web.ru/druza/L-Dalnegor_M.htm; http://geo.web.ru/druza/m-flu_33-pg138.htm]
Заметим, что об усечении (притуплении) ребер кристаллического полиэдра говорится в правиле компликации В. М. Гольдшмидта (1853-1933) [5, 6]. Но в нем не говорится об усечении вершин. Усечения вершин (операция а) и ребер (операция в) предусмотрел Е. С. Фёдоров (1853-1919) в своем алгоритме генерирования полного комбинаторного многообразия выпуклых полиэдров из тетраэдра [7-10]. Но они применимы лишь к простым (в каждой вершине сходятся ровно три грани / ребра) полиэдрам. В такой постановке усечением
вершин куба можно получить дуальный ему октаэдр, но операция оказывается необратимой, октаэдр — тупиковой формой. Таким образом, в максимальной полноте задача об усечениях кристаллического полиэдра по вершинам и ребрам, хотя и неявно, содержится именно в работе «La cristallographie...» Ж. Б. Л. Роме-де-Лиля.
Результаты
Для решения задачи составлены оригинальные компьютерные алгоритмы, позволяющие строить вершинные и реберные усечения любой з. п. ф., распознавать простые формы (их оказалось не более трех) в полученных комбинациях, изображать их отдельно и в любых парных сочетаниях, причем в разных вариантах — с видимыми задними ребрами и без них, с вращением форм в 3D и выбором желаемой проекции. Результаты сведены в табл. 1, 2 и на рис. 2.
При их рассмотрении следует иметь в виду различия кристаллографического и геометрического восприятия полиэдрических форм. Так, кристаллограф знает три различных по симметрии тетраэдра — простые формы: ромбический, тетрагональный и кубический. Все прочие «тетраэдры» суть комбинации, например, моноэдров (плоскостей). Октаэдр в разных
классах симметрии может быть истинным (m3, 432, m 3 m), а может лишь казаться таковым, будучи, по сути, композицией двух тетраэдров (23, 4 3 m) в том смысле, что грани октаэдра, взятые через одну и продолженные до замыкания, образуют два тетраэдра, в пересечении дающие исходный октаэдр. Призмы в кристаллографии не имеют оснований и как открытые простые формы отсутствуют в левых колонках табл. 1 и 2.
Обратим внимание на то, что в таблицах отсутствуют триклинная и моноклинная сингонии — в них вообще нет з. п. ф. Кристаллические полиэдры этих сингоний образованы комбинациями простых форм. Но исходное условие решаемой далее задачи — именно закрытая (полиэдрическая) простая форма. В связи с возможным обобщением задачи особый интерес вызывает примитивный класс симметрии триклинной сингонии (точечная группа симметрии 1), в котором разрешена лишь одна простая форма — моноэдр. Несмотря на кажущийся минимум возможностей, подходящей комбинацией моноэдров можно образовать выпуклый полиэдр любого комбинаторного типа. В этом смысле именно через примитивный класс симметрии триклинной сингонии кристалломорфология сообщается с комбинаторно-геометрической теорией выпуклых полиэдров.
Таблица 1
Вершинные усечения з. п. ф.
№ Исходная з. п. ф. Вершинное усечение
1 2 3
Ромбическая сингония
1 Тетраэдр ромб. (4) Тетраэдр ромб.
2 Бипирамида ромб. (2 + 2 + 2) 3 пинакоида
Тригональная и гексагональная сингонии
3 Бипирамида триг. (3 + 2) Призма триг. + пинакоид
4 Ромбоэдр (6 + 2) Ромбоэдр + пинакоид (триг. антипризма)
5 Трапецоэдр триг. (6 + 2) Трапецоэдр триг. + пинакоид
6 Бипирамида дитриг. (6 + 2) Призма дитриг. + пинакоид
7 Скаленоэдр дитриг. (6 + 2) Ромбоэдр + пинакоид (усеченная триг. антипризма, грани — трапеции)
8 Трапецоэдр гекс. (12 + 2) Трапецоэдр гекс. + пинакоид
9 Бипирамида гекс. (6 + 2) Призма гекс. + пинакоид
10 Бипирамида дигекс. (12 + 2) Призма дигекс. + пинакоид
Окончание таблицы 1
1 2 3
Тетрагональная сингония
11 Тетраэдр тетр. (4) Тетраэдр тетр.
12 Бипирамида тетр. (4 + 2) Призма тетр. + пинакоид
13 Скаленоэдр тетр. (4 + 2) Тетраэдр тетр. + пинакоид
14 Трапецоэдр тетр. (8 + 2) Трапецоэдр тетр. + пинакоид
15 Бипирамида дитетр. (8 + 2) Призма дитетр. + пинакоид
Кубическая сингония
16 Тетраэдр куб. (4) Тетраэдр куб.
17 Октаэдр (6) Куб
18 Куб (8) Октаэдр (т3, 432, т3т) или 2 тетраэдра (23, 4 3 т)
19 Ромбододекаэдр (8 + 6) Октаэдр (т3, 432, т3т) или 2 тетраэдра (23, 4 3 т) (архимедов кубооктаэдр) + куб
20 Пентагондодекаэдр (12 + 8) Пентагондодекаэдр + октаэдр (т3) или 2 тетраэдра (23) («икосаэдр» на кристаллах пирита)
21 Тригонтритетраэдр (4 + 4) 2 тетраэдра (усеченный тетраэдр)
22 Тетрагонтритетраэдр (6 + 4 + 4) Куб + 2 тетраэдра (тетраэдр, усеченный по ребрам и вершинам, грани — тригоны)
23 Пентагонтритетраэдр (12 + 4 + 4) Пентагонтритетраэдр + 2 тетраэдра
24 Гексатетраэдр (6 + 4 + 4) Куб + 2 тетраэдра (тетраэдр, усеченный по ребрам и вершинам, грани — гексагоны)
25 Тригонтриоктаэдр (8 + 6) Октаэдр + куб (усеченный куб)
26 Тетрагонтриоктаэдр (12 + 8 + 6) Ромбододекаэдр + октаэдр + куб (грани октаэдра — тригоны, остальные — тетрагоны)
27 Пентагонтриоктаэдр (24 + 8 + 6) Пентагонтриоктаэдр + октаэдр + куб
28 Тетрагексаэдр (8 + 6) Октаэдр (432, т3т) или 2 тетраэдра (4 3 т) + куб (усеченный октаэдр)
29 Дидодекаэдр (12 + 8 + 6) Пентагондодекаэдр + октаэдр + куб
30 Гексоктаэдр (12 + 8 + 6) Ромбододекаэдр + октаэдр + куб (грани ромбододекаэдра — тетрагоны, октаэдра — гексагоны, куба — октагоны)
Примечание. После названия исходной з. п. ф. в скобках даны числа эквивалентных вершин на ней. Сокращения: ромб. — ромбический, триг. — тригональный, дитриг. — дитригональный, гекс. — гексагональный, тетр. — тетрагональный, дитетр. — дитетрагональный, куб. — кубический. Номера соответствуют табл. 2 и рис. 2.
Таблица 2
Реберные усечения з. п. ф.
№ Исходная з. п. ф. Реберное усечение
Ромбическая сингония
1 Тетраэдр ромб. (2 + 2 + 2) 3 пинакоида
2 Бипирамида ромб. (4 + 4 + 4) 3 призмы ромб.
Тригональная и гексагональная сингонии
3 Бипирамида триг. (6 + 3) Бипирамида триг. + призма триг.
4 Ромбоэдр (6 + 6) Ромбоэдр + призма гекс.
5 Трапецоэдр триг. (6 + 3 + 3) Трапецоэдр триг. + 2 призмы триг.
6 Бипирамида дитриг. (6 + 6 + 6) Призма дитриг. + 2 бипирамиды триг.
7 Скаленоэдр дитриг. (6 + 6 + 6) 2 ромбоэдра + призма гекс.
8 Трапецоэдр гекс. (12 + 6 + 6) Трапецоэдр гекс.+ 2 призмы гекс.
9 Бипирамида гекс. (12 + 6) Бипирамида гекс. + призма гекс.
10 Бипирамида дигекс. (12 + 12 + 12) 2 бипирамиды гекс. + призма дигекс.
Тетрагональная сингония
11 Тетраэдр тетр. (4 + 2) Призма тетр. + пинакоид
12 Бипирамида тетр. (8 + 4) Бипирамида тетр. + призма тетр.
13 Скаленоэдр тетр. (4 + 4 + 4) Призма тетр. + 2 тетраэдра тетр.
14 Трапецоэдр тетр. (8 + 4 + 4) Трапецоэдр тетр. + 2 призмы тетр.
15 Бипирамида дитетр. (8 + 8 + 8) Призма дитетр. + 2 бипирамиды тетр.
Кубическая сингония
16 Тетраэдр куб. (6) Куб
17 Октаэдр (12) Ромбододекаэдр
18 Куб (12) Ромбододекаэдр
19 Ромбододекаэдр (24) Тетрагонтриоктаэдр
10 Пентагондодекаэдр (24 + 6) Дидодекаэдр + куб
21 Тригонтритетраэдр (12 + 6) Тетрагонтритетраэдр + куб
22 Тетрагонтритетраэдр (12 + 12) 2 тригонтритетраэдра
23 Пентагонтритетраэдр (12 +12 + 6) 2 пентагонтритетраэдра + куб
24 Гексатетраэдр (12 + 12 + 12) 2 тригонтритетраэдра + тетрагонтритетраэдр
25 Тригонтриоктаэдр (24 + 12) Тетрагонтриоктаэдр + ромбододекаэдр
26 Тетрагонтриоктаэдр (24 + 24) Тригонтриоктаэдр + тетрагексаэдр
27 Пентагонтриоктаэдр (24 + 24 + 12) 2 пентагонтриоктаэдра + ромбододекаэдр
28 Тетрагексаэдр (24 + 12) Тетрагонтриоктаэдр + ромбододекаэдр
29 Дидодекаэдр (24 + 12 + 12) Дидодекаэдр + 2 пентагондодекаэдра
30 Гексоктаэдр (24 + 24 + 24) Тригонтриоктаэдр + тетрагонтриоктаэдр + тетрагексаэдр
Примечание. После названия исходной з. п. ф. в скобках даны числа эквивалентных ребер на ней. Сокращения см. в табл. 1. Номера соответствуют табл. 1 и рис. 2.
Рис. 2. Усечения з. п. ф.: а — исходная; Ь — вершинное усечение; с — реберное усечение. Разным цветом показаны разные простые формы. Номера соответствуют табл. 1, 2 (начало)
Рис. 2. Усечения з. п. ф. (окончание)
Обсуждение результатов
Анализ табл. 1, 2 и рис. 2 показал следующее. Разрешенные в каждом классе симметрии простые формы позволяют построить полные вершинное или реберное усечения для любой з. п. ф. Соответствующие комбинации простых форм предлагается выделить как особые. Результат представляется интересным, поскольку геометрическая кристалломорфология ничего
не говорит об особых комбинациях простых форм в том или ином классе симметрии, положив, что для каждого минерала в реальных условиях их определяют физические законы.
Для вершинных усечений найдено, что все классы симметрии допускают геометрическую форму, дуальную исходной закрытой простой форме. В классах 23 и 4 3m кубу дуальна комбинация двух тетраэдров — гемиэдрических форм октаэдра. К сожалению, тема голо-, геми-, тетарто- и огдоэдрии, связывавшая родственные простые формы в ряды, незаметно исчезла из кристалломорфологии.
Между закрытыми простыми формами обнаружены новые связи. Так, в тригональной сингонии ромбоэдр и дитригональный скаленоэдр имеют в качестве дуальных различные комбинации ромбоэдра и пинакоида. Для первого она выглядит как тригональная антипризма. Для второго — она же, срезанная параллельно пинакоиду так, что треугольные грани стали трапециями. В кубической сингонии ромбододекаэдр, тетрагонтритетраэдр, гексатетраэдр, тригонтриоктаэдр и тетрагексаэдр имеют в качестве дуальных форм различные комбинации куба и октаэдра (или двух тетраэдров). Тетрагонтриоктаэдр и гексоктаэдр имеют в качестве дуальных различные комбинации ромбододекаэдра, октаэдра и куба. Отличия состоят в разном развитии простых форм. Одна комбинация получается из другой движениями граней вдоль нормалей. Им соответствуют повороты граней исходных з. п. ф. на ребрах. Так, грани дитригонального скаленоэдра, попарно сливаясь в параллельном положении, образуют грани ромбоэдра.
Для реберных усечений найдено, что у октаэдра и куба таковым является ромбододекаэдр, для тригонтриоктаэдра и тетрагексаэдра — комбинация тетрагонтриоктаэдра и ромбододекаэдра (в классе 4 3m тетрагонтриоктаэдр замещен комбинацией двух тригонтритетраэдров — еще один пример гемиэдрии). Это подчеркивает родство указанных исходных з. п. ф.
Заключение
Найдено, что полная совокупность комбинаций простых форм в каждом классе симметрии образует коммутативную полугруппу идемпотентов (с двусторонним сокращением, 0 и внешней 1), изоморфную полугруппе комбинаций Rx, содержащих простую форму Х, с групповой операцией пересечения. Но известно, что для каждой такой полугруппы есть единственная сопряженная с ней полуструктура. И нужен их более глубокий анализ применительно к объектам минералогической кристаллографии. Выявленная полугруппа реализована в комбинациях простых форм природных кристаллов, что говорит о ее естественном характере.
Всякая фундаментальная задача хороша расширениями и специализациями. Задача Роме-де-Лиля отвечает этому критерию. Ее очевидное расширение — одновременное усечение закрытых простых форм по вершинам и ребрам. Легко видеть, что решение многовариантно, поскольку определяется глубиной усечения тех и других, но тем интереснее с точки зрения поиска природных реализаций. Самая общая формулировка задачи: можно ли гарантировать полное вершинное или / и реберное усечения любого кристаллического полиэдра простыми формами, разрешенными в его классе симметрии. Поскольку перебор вариантов здесь невозможен, следует применить иные рассуждения.
Реберным усечением куба и октаэдра является ромбододекаэдр (табл. 2). Это наблюдение подчеркивает их родство (дуализм) и подсказывает специальную задачу. Из теоремы Эйлера следует, что у геометрически дуальных выпуклых полиэдров числа ребер совпадают. Но всегда ли совпадают их реберные усечения? Ответ не очевиден. Зато очевидно, что теоретический и практический разделы кристалломорфологии вовсе не исчерпали своих ресурсов.
Авторы надеются, что эта статья о задаче Роме-де-Лиля наглядно показала пользу от чтения старых книг, вроде бы имеющих лишь библиографический интерес. Этим качеством обладали наши учителя, выдающиеся ученые и историки науки проф. И. И. Шафрановский и академик Н. П. Юшкин, труды которых [3, 4, 11] не теряют актуальности уже несколько десятилетий.
ЛИТЕРАТУРА
1 Войтеховский Ю. Л. 12 этюдов на темы кристалломорфологии, минералогии и петрографии. Апатиты: K & M, 2011. 204 с.. 2. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960. С. 83-85. 3 Шафрановский И. И. История кристаллографии с древнейших времен до начала XIX столетия. Л.: Наука, 1978. 297 с. 4. Шафрановский И. И. Лекции по кристалломорфологии. М.: Высшая школа, 1968. 174 с. 5. Гольдшмидт В. О компликации и диспликации: пер. с нем. Ю. Л. Войтеховского. Апатиты: КНЦ РАН, 1998. 69 с. 6. Goldschmidt V. Über Complikation und Displikation. Heidelberg: Carl Winter's Universitätsbuchhandlung, 1921. 70 p. 7. Богомолов С. А. Классификация выпуклых многогранников по Фёдорову и Эбергардту // Зап. РМО. 1929. Ч. 58. С. 265-277. 8. Войтеховский Ю. Л. Развитие алгоритма Е. С. Фёдорова о комбинаторных типах многогранников и приложение к структурам фуллеренов // Зап. ВМО. 2001. № 4. С. 24-31. 9. Фёдоров Е. С. Основания морфологии и систематики многогранников // Зап. Импер. С.-Петербург. минерал. об-ва. 1893. Ч. 30. С. 241-341. 10. Voytekhovsky Yu. L. The Fedorov algorithm revised // Acta Cryst. 2001. A 57. Р. 475-477.11. Юшкин Н. П. История минералогии и эволюция фундаментальных минералогических идей: препринт 102. Сыктывкар: Ин-т геологии Коми ФАН СССР, 1984. 52 с.
Сведения об авторах
Войтеховский Юрий Леонидович — доктор геолого-минералогических наук, профессор, директор Геологического института КНЦ РАН E-mail: woyt@geoksc.apatity.ru
Степенщиков Дмитрий Геннадьевич — кандидат геолого-минералогических наук, научный сотрудник Геологического института КНЦ РАН E-mail: stepen@geoksc.apatity.ru
Author Affiliation
Yury L. Voytekhovsky — Dr. Sci. (Geology & Mineralogy), Professor; Director of the Geological Institute of the KSC of the RAS
E-mail: woyt@geoksc.apatity.ru
Dmitry G. Stepenshchikov — PhD (Geology & Mineralogy); Researcher of the Geological Institute of the KSC of the RAS E-mail: stepen@geoksc.apatity.ru
Библиографическое описание статьи
Войтеховский, Ю. Л. Специальные комбинации кристаллических простых форм / Ю. Л. Войтеховский, Д. Г. Степенщиков // Вестник Кольского научного центра РАН. — 2016. — № 3 (26). — С. 12-21.
Reference
Voytekhovsky Yury L., Stepenshchikov Dmitry G. Special Combinations of Crystalline Simple Forms. Herald of the Kola Science Centre of the RAS, 2016, vol. 3 (26), pp. 12-21. (In Russ.).
