Совмещение спектрального подхода и метода пространства состояний для анализа и синтеза цифровых фильтров Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.511: 681.32

МОКЕЕВ Алексей Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» Архангельского государственного технического университета, докторант кафедры электрических станций и автоматизации энергосистем Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Автор 112 научных публикаций, в. т.ч. 4 монографий, 2 учебных пособий (из них одно с грифом УМО), 2 учебно-методических пособий

СОВМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО ПОДХОДА И МЕТОДА ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Рассмотрены вопросы анализа цифровых фильтров на основе совмещения метода, который базируется на спектральных представлениях сигналов в координатах комплексной частоты, и метода пространства состояний. Показана возможность использования указанного подхода для синтеза быстрых алгоритмов цифровых фильтров.

Комплексная частота, спектральные представления, метод пространства состояний, цифровой фильтр, алгоритмы

Введение. В теории автоматического управления метод пространства состояний рассматривается как альтернатива спектральным методам анализа линейных систем [1]. В настоящей статье на основе спектральных представлений сигналов и систем в координатах комплексной частоты [2-4] предложено совмещение спектрального подхода и метода пространства состояний для анализа и синтеза цифровых фильтров.

Математическое описание аналоговых фильтров. Проектирование и анализ цифровых фильтров часто производится на основе решения вышеперечисленных задач для их аналоговых фильтров-прототипов. Для перехода от

математического описания аналогового фильтра-прототипа к описанию цифрового фильтра используются специальные преобразования, в том числе основанные на использовании следующих методов: дискретизации дифференциального уравнения, инвариантных импульсных характеристик или билинейного преобразования [5-7]. Для систем цифровой обработки сигналов аналоговой природы такой подход наиболее целесообразен, т.к. аналоговые фильтры в данном случае являются «идеальными» фильтрами с теоретической точки зрения. Но такой подход к проектированию (синтезу) и анализу цифровых фильтров справедлив только для одного из двух основных классов цифровых филь-

тров - фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров).

Для второго класса цифровых фильтров, называемых фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры), указанное преобразование невозможно, так как считается, что для таких фильтров не существует аналоговых фильтров-прототипов [5], а точнее, не существует самих аналоговых КИХ-фильтров. Вместе с тем, представляется целесообразным введение этого класса аналоговых фильтров как «идеальных» фильтров для обработки аналоговых сигналов и как фильтров-прототипов по отношению к цифровым КИХ-фильтрам.

В работах автора [2, 3] предложены математические модели аналоговых КИХ-фильтров, импульсные функции которых представляют собой совокупность сдвинутых по времени затухающих колебательных составляющих. При этом параметры указанных составляющих подбираются таким образом, чтобы обеспечить конечную длительность (длину) импульсной характеристики фильтра.

На основе рассмотренных в работах автора [2, 3] математических моделей аналоговых КИХ-фильтров можно записать выражение для обобщенной комплексной импульсной функции фильтра в следующей компактной форме:

- квадратная матрица М^М с вектором Ч на главной диагонали,

= к^е~и = (ЗеРтТт -

.V ^ ^ ^ комп-

т т т т

лексные амплитуды двух компонент т-ой составляющей импульсной функции фильтра,

Рт = -ат + и -Тт соответственно

комплексная частота и длина т-ой составляющей импульсной функции КИХ-фильтра.

Вещественная и мнимая части обобщенной комплексной импульсной функции КИХ-фильт-ра (1) соответствуют двум импульсным функциям обычных КИХ-фильтров. Из представленного математического описания КИХ-фильтров (1) следует, что БИХ-фильтры являются частным случаем КИХ-фильтров при (^ = 0.

Выражение для т-ой составляющей импульсной функции КИХ-фильтра (1) имеет следующий вид:

8 т ) = &шеРт' - &т еР" (? _7"

Применяя к выражению для импульсной функции преобразование Лапласа, получим следующее выражение для т-ой составляющей передаточной функции:

І (і) = (І т є* - б'1 ейіщ ч( ° “Т(1) Кт (р) =

1

где (і =

<?!

(г

М

И

О

м

векто-

ры-столбцы комплексных амплитуд двух компонент импульсной функции,

Ч = [Р1 Р2 Рз ••• Рм ] - вектор-

столбец комплексных частот,

Т = [?! Т2 Т3 ... Тм ]т - вектор-

столбец длительности составляющих импульсной функции,

С - единичный вектор-столбец,

Р-Рм

На основе выражения для передаточной функции (2) получим следующее дифференциальное уравнение:

= РшУш (О + <^0) - вт*0 - Тт). (3)

Тогда система из М-го числа уравнений первого порядка с комплексными коэффициентами (3) может быть представлена в матричной форме с помощью следующего выражения:

(Ж (V)

Ж

= А • У(г)+В • х(і)~ Б • х(С ■ і - Т), (4)

где х(С • ^ — Т) —

= [* ^ _ Гі) Х (* ~ Т2) ■■■ Х (* “ Тм ) ]Т

А - diagq,

В - £,

Б = ,

^ (? ) = [У\(*) Уіі*) ••• Ум (? )]Т-

Выходной сигнал КИХ-фильтра с импульсной функцией (1) определяется следующим образом:

у (г) = СТУ (/) = ух(і) + у2(і) + ... +

+ Ут (*) + ••• + УМ (*)

Решения т-го дифференциального уравнения

(3) может быть представлено следующим образом: (

Ут (О = | Х^)ЄтЄРт('~Т)<3Т = і -Т

1 ±т

= <Цгг (р„ К"'. (5)

Из последнего выражения следует, что т-ая составляющая выходного сигнала зависит от значения мгновенной спектральной плотности ХТ (р) на комплексной частоте р т . Следовательно, элементы вектора У (?) определяются решением М-го числа независимых уравнений (5), каждое из которых можно трактовать как значение мгновенного (КИХ-фильтр) или текущего (БИХ-фильтр) спектра по Лапласу на соответствующей комплексной частоте составляющей импульсной функции фильтра.

Для БИХ-фильтров О = 0, и выражению

(4) соответствует одно из классических представлений описания линейных систем с помощью пространства состояний [1].В результате, с одной стороны, уравнение (4) подобно или совпадает (для БИХ-фильтров) с классическим описанием линейных систем с помощью мето-

да пространства состояний, а с другой - решение каждого уравнения пропорционально значению мгновенного или текущего спектра по Лапласу на комплексной частоте составляющей импульсной функции фильтра. Таким образом, можно говорить о совмещении временного подхода (метод пространства состояний) и частотного подхода в координатах комплексной частоты.

В силу двойственности трактовки математического описания для анализа КИХ- и БИХ-фильтров может быть использованы как спектральные методы анализа, в том числе метод анализа с использованием особенностей спектральных представлений в координатах комплексной частоты [2, 3], так и анализ во временной области путем решения системы интегральных уравнений вида (5).

Приведем решение уравнения (4) с использованием первого из перечисленных методов при подаче на вход БИХ-фильтра сигнала в виде совокупности затухающих колебательных составляющих. Запишем выражение для обобщенного входного сигнала фильтра в комплексной форме:

X 0) = XТ ер1, (6)

где X = Х2 Х3 ... Хи]Т- вектор-

столбец комплексных амплитуд составляющих входного сигнала размерности Ы,

Р = [р\ Рі Рз ••• Рм]Т - вектор-столбец комплексных частот,

Хп = Хтпе ~ ^ И рп =-ри +уюи -соответственно комплексная амплитуда и комплексная частота и-ой составляющей входного сигнала.

Введем квадратные матрицы V и \У с комплексными коэффициентами, зависящими от комплексных амплитуд и частот составляющих весовой функции и входного сигнала:

X С X Ст

-у- _ п^т уту _ п^т

' І/і 1ЛЛ ' ' И _ *!

где рда и Сгт являются комплексно-сопряженными ПО отношению И Сг .

у Ш Ш

При использовании метода анализа фильтров, основанного на особенностях спектральных представлений сигналов в координатах комплексной частоты [2, 3], получим следующие выражения для принужденных составляющих:

£ + )Т еР' ] (7)

V п=\ )

и для свободных составляющих выходного сигнала

Ур(?) = -^Re

Л (t) = -

+

V

Лт

f M V ш-\

1V1

K*T1

л

T

V m-1

,4'

(8)

где \п - и-й столбец матрицы V ,

(V ) - т-й столбец транспонированной

' 'т

матрицы V,

д - вектор-столбец с сопряженными

по отношению к вектору-столбцу Ч элементами.

Выходной сигнал определяется как сумма принужденных и свободных составляющих согласно следующему выражению:

У (1) = Ур(*) + У Л* )•

Полученные зависимости (7) и (8) могут использоваться для анализа частотных фильтров при использовании математических пакетов МаШсаё, Ма11аЬ. В качестве иллюстрации на рис. 1 приведен пример анализа БИХ-филь-тра при подаче на его вход сигнала, описываемого совокупностью затухающих колебательных составляющих. При этом для расчета тре-

буется задание только векторов комплексных амплитуд и комплексных частот входного сигнала и импульсной функции фильтра. Остальные расчеты производятся автоматически.

Если для фильтра задана только передаточная функция, то необходимо определение комплексных амплитуд импульсной функции. При этом предполагаем, что все полюса передаточной функции К(р) БИХ-фильтра известны, и требуется найти параметры комплексных амплитуд G = к е^т ■

J т vnr

Для определения кт и ф т для двух комплексно-сопряженных корней необходимо использовать следующие формулы [8]:

кт = \Н(Рт )|/ Wm > Ф т =Л /2~ аГ§( Н(Рт ))> где н(рт) - (р - рт)(р - рт+1)К(р)\р,

Рт и Р т+1 - комплексно-сопряженные корни.

Если корень вещественный (рт =—ат,

Qm — кт), то можно использовать следующее известное выражение [1]:

К = (Р -Рт )К(Р)| p_D .

г Ут

На основании полученных ранее выражений (7) и (8) может быть определено общее решение уравнения (4) в случае подачи на вход БИХ-фильтра финитных сигналов, а также общие решения для КИХ-фильтра при «полубесконеч-ных» и финитных входных сигналах.

Математическое описание цифровых фильтров. Синтез цифровых фильтров, используемых в микропроцессорных автоматических системах обработки аналоговых сигналов, предпочтительно производить на основе аналоговых фильтров-прототипов. При этом переход от математического описания аналоговых фильтров-прототипов к описанию цифровых фильтров осуществляется с помощью специальных методов синтеза, в том числе метода дискретизации дифференциального уравнения, метода инвариантных импульсных характеристик и метода билинейного преобразования [5-7]. В настоящей статье ограничимся рассмотрением первых двух мето-

J уЛ ORIGIN 1

Комплексные амплитуды и частоты входного сигнала и импульсной функции фильтра

Т т

р (0 190 j 300 120 j 1200)Т

чТ

X 0.53 12.78 3.2 eJ °'5 8.4е J °2

G 4.1 9.8 300 е J °'727 0.005

q ( 40 20 60 j 300 30)

Формирование матриц N length (X) М length (G) n 1 N m 1 М V

X G

n m

W

X G

n m

n m „ л пт

п т Р q

и ш i-n чт

Принужденные и свободные составляющие выходного сигнала, выходной сигнал

N _ _ Т М

yp(t) 0.5 Re V* W* eP 1 ys(t) 0.5 Re VT e4*

W

i 1

y(t) yp(t) ys(t)

i 1

i 1

Рис. 1. Программа и результаты расчета выходного сигнала БИХ-фильтра

дов синтеза цифровых фильтров. Особенности перехода от аналоговых КИХ-фильтров к цифровым фильтрам рассмотрены в работе [8].

Переход от описания фильтра-прототипа к цифровому фильтру существенно упрощается из-за совмещения временного и частотного подходов в представленном ранее описании аналоговых фильтров.

В случае использования адаптируемых к КИХ-фильтрам методов дискретизации дифференциального уравнения и метода инвариантных импульсных характеристик [8] получим следующие выражения для т-го разностного уравнения:

Чут (*) = РтУт (к) + &тХ(к) “ х{к - Ыт ), (9)

Уут (к) - гтут (к) + <Этх(к) - <Этх(к - Ыт),

ГЯР ^ = ——-------- х =

гДе гт ^ т >

Т - шаг дискретизации, к • Т - дискретное время ( к = 0,1,2...),

т

А! — т

- количество отсчетов, приходящихся на длительность т-ой составляющей КИХ-фильтра.

Тогда система из М-го числа уравнений (9) может быть записана в матричном виде следующим образом:

УУ (к ) = А • У (к )+В • х (к )-

- Б • х (С • к - К), (10)

где

х(С • к - N) = [х(£ - Их) х{к - И2) ■■■

... х {к - Ым )]Т,

А - диагональные матрицы размером М х М с элементами т =

лексной частоте рт (гт = еРтТ)• Частным

случаем ХТ {їт) является значение спектральной плотности дискретного оконного преобразования Фурье при ът = е]'™тТ (рт = У • ).

Анализ цифровых фильтров, подобно аналоговым, в силу двойственности трактовки математического описания (10) может быть проведен как на основе спектральных, так и временных методов анализа.

Представленное математическое описание цифровых БИХ- и КИХ-фильтров может быть эффективно использовано не только для анализа фильтров, но и для синтеза быстрых алгоритмов реализации КИХ-фильтров.

Синтез быстрых алгоритмов КИХ-филь-тров. Раскрыв разности в уравнении (10), получим следующий быстрый алгоритм реализации

КИХ-фильтра:

У (к ) = Г • У (к - 1)+Н • х (к)- д • х (С • к - N), у (к ) = Ст Ї (к),

где Р и Q- диагональные матрицы размером

1

и

М х М с элементами А тт —рт

ИЛИ

д _ Т°т

хт.)

1 ~РтТ в случае применения метода

Б = ,

В - £,

N и = ^.

Из решения т-го разностного уравнения

(10)

к

Ут (Ю = X = т ) 4

г=к - Кп

следует, что т-ая составляющая выходного сигнала определяется через значение мгновенной спектральной плотности ХТ (2) на комп-

1 ~РтТ

дискретизации дифференциального уравнения, Н - вектор размерностью М с элемента-

ми

Я

1 -РтТ

Алгоритм фильтра в матричной форме представлен на рис. 2, где Z и Х(к ) являют-

ГГ - N

ся векторами с элементами /,т = г т ■ Предлагаемый способ формирования математического описания цифровых фильтров основан одновременно на спектральных представлениях фильтров в координатах комплексной

Рис. 2. Структурная схема алгоритма КИХ-фильтра

частоты и на методе пространства состоянии. Преимущество метода пространства состояний, как известно, состоит в однотипности математического описания стационарных и нестационарных систем [1]. Поэтому на основе предложенного подхода может быть получено и аналогичным образом интерпретировано описание и для нестационарных фильтров. При этом матрицы Г, Q и н в уравнении (10) будут зави-

сеть от времени

У (к ) = ¥(к) • У (к - 1)+Н (к) - Q(k) • х (N • к - N).

■{к )■

(11)

Так, например, по аналогии с выражением (10) может быть получено разностное уравнение для нестационарного фильтра с периодическими коэффициентами [9], используемого для реализации быстрого дискретного преобразования Фурье

УУ [к) = У(к) • х[к)+У{к - N) • х[к - N), где \т (к) = Є",

ют = тш0, 2к

N = ■

ю0Г’

Ут {к) - спектральная плотность оконного преобразования Фурье на частоте тю0 при использовании прямоугольного временного окна.

Раскрыв разности, получим быстрый алгоритм нестационарного фильтра с периодическими коэффициентами:

У (к) = У (к -1) +'^£) • х (к) -

- ^{к - N) • х(к - N), (12)

где (к) = V (к) • Т.

Каждый компонент уравнения (12) является анализатором мгновенного спектра сигнала на заданной частоте , и в отличие от т-ой составляющей КИХ-фильтра (1) при рт = ] • тю0 спектральная плотность определяется непосредственно, а не как огибающая комплексной экспоненциальной функции.

Алгоритм нестационарного фильтра с периодическими коэффициентами (12) является частным случаем более общего алгоритма (11), с помощью которого могут быть описаны более сложные типы фильтров, в том числе адаптивные цифровые фильтры.

Заключение. В статье показана эффективность использования метода анализа цифровых фильтров, основанного на совмещении частотного подхода с использованием спектральных представлений в координатах комплексной час-

тоты и временного подхода на основе метода пространства состояний. Дополнительным преимуществом рассматриваемого подхода является возможность синтеза быстрых алгоритмов цифровых КИХ-фильтров.

Рассмотренные в настоящей статье методы анализа и синтеза цифровых фильтров могут эффективно применяться в практике разработки и исследования современных измерительных устройств и устройств автоматики.

Список литературы

1. Теория автоматического управления / под ред. А.А. Воронова. М., 1986. Ч. 1. С. 1-367.

2. Мокеев А.В. Анализ фильтров в координатах комплексной частоты II Тр. РНТОРЭС им. А.С. Попова. Сер. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Вып. IX. М., 2007. Т. 1. С. 40-44.

3. MokeevA. V. Spectral Expansion in Coordinates of Complex Frequency Application to Analysis and Synthesis Filters II in Proc. Int. TICSP Workshop Spectral Meth. Multirate Signal Process. (SMMSP2007). М., 2007. P. 159-167.

4. Ванин В. К., Мокеев А.В., Попов М.Г. Аналоговые и цифровые фильтры в измерительных устройствах и устройствах автоматики энергосистем: учеб. пособ. СПб., 2008. С. 1-197.

5. Айфичер Э. С., Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов: практический поход. 2-е изд. М., 2004. С. 1-992.

6. Гадзиковский В.И. Методы проектирования цифровых фильтров. М., 2007. С. 1-416.

7. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. для вузов. 2-е изд. СПб., 2005. С. 1-751.

8. Мокеев А.В. Обработка сигналов в интеллектуальных электронных устройствах энергосистем. Архангельск, 2008. Т. 4. С. 1-201.

9. Его же. Синтез быстрых алгоритмов КИХ-фильтров, преобразований Фурье и Лапласа II Тр. РНТОРЭС им. А.С. Попова. Сер. «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Вып. X. М., 2008. Т. 1. С.43-47.

Mokeev Alexey

COMBINATION OF SPECTRAL APPROACH AND STATE SPACE METHOD FOR ANALYSIS AND SYNTHESIS OF DIGITAL FILTERS

The paper considers a mathematical description of stationary and non-stationary digital filters based on the combination of the state space method and the method of spectral approach. The given approach availability for the synthesis of fast algorithms for digital filters is shown.

Контактная информация: e-mail: amokeev@inbox.ru, a.mokeev@ens.ru

Рецензент-ПоповB.H., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова