CC BY
15
Общая формула для определения абсциссы «центра тяжести результирующей фигуры» записывается в виде
1
|иц(и) йи 0
—. (11)
и. = -
С 1
J|( и) db
Абсцисса «центра тяжести результирующей фигуры» при А < В определяется по формуле
(1 - a)A (1 - a)B 1 A J bdb + J 1-bdb + B J bdb
0 ( 1 - a)A ( 1 - a )B
(1 - a)A (1 - a)B 1
A J db + J 1—a db + B J db
0 (1 - a)A (1 - a)B
при A < B. После несложных вычислений находим:
(12)
В / 2 + ( 1 - а) 2 (А3 - В3 ) / 6 ис = ----2—— при А <В. (13)
В + (1 - а)(А - В )/2
Абсцисса «центра тяжести результирующей фигуры» при А > В определяется по формуле
1-( 1 - а)А 1 -(1 - а)В 1
А | ийи + | 1—и ийи + В | ийи
0 1-( 1 - а)А 1 -( 1 - а )В
Ис 1 -(1 - a)A 1 -(1 - a)B
1
A J db + J 0
1 - и
db + B
db
1 - a
1-( 1 - a)A 1-( 1 - a)B
при A > B. (14)
= A / 2-( 1 - a ) (A2 - B2 ) /2 + ( 1 - a ) 2 (A3 - B3 ) / 6
A-(1 - a)(A2 - B2)/2 при A > B.
(15)
После несложных вычислений находим:
Полученное значение ис затем преобразуется в значение управляющего воздействия на объект управления
= mmin( 1 - 2ис) .
В качестве примера приведем следующие результаты расчетов.
При А = 0,1, В = 0,3, a = 0,25 получаем ис = 0, 6082.
При А = 0,3, В = 0,1, a = 0,25 получаем ис = 0, 3918.
ВЫВОД
Полученные формулы позволяют использовать точный метод вычисления абсциссы «центра тяжести результирующей фигуры» при идентичных треугольных функциях принадлежности с ограничением и дают возможность упростить алгоритм расчета управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора. Изложенную методику можно также использовать для расчета управляющих воздействий на выходе нечеткого регулятора при функциях принадлежности другого вида.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Гостев В. И. Синтез нечетких регуляторов систем автоматического управления. - К.: Издательство «Радю-аматор», 2005. - 708 с.
Надшшла 5.06.07
Отримано анал1тичт вираження для керуючих впли-eie на виход1 неч1ткого регулятора при 1дентичних три-кутних функщях приналежноcтi з обмеженням.
Analytical expressions for controlling actions on an output of an fbzzy controller are received at identical triangb lar membership frnctions with restriction.
УДК 681.5.01.23
Т. Б. Никитина
СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО НЕЛИНЕЙНОГО Р0БАСТН0Г0 УПРАВЛЕНИЯ МНОГОКАНАЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ
Разработан метод синтеза нелинейного робастного управления многоканальными системами, работающими по принципу грубого и точного управления в соответствии с итерационным алгоритмом. Приведен пример динамических характеристик синтезированной двухка-нальной электромеханической системы.
© Никитина Т. Б., 2007
ВВЕДЕНИЕ
Многоканальные системы, работающие по принципу грубого и точного управления, позволяют существенно повысить точность управления, а в ряде случаев обес-
b
c
bc =
печить точность, недостижимую в одноканальных системах [1-4]. Такие системы обыино применяются в тех случаях, когда с помощью одноканальных систем принципиально невозможно обеспечить требуемую точность управления. Это, в частности, касается систем управления большими антеннами и радиотелескопами, тяжелыми станками с ЧПУ, роботами и манипуляторами, прокатными станами, системами частотной и фазовой автоподстройки генераторов, оптических дисковых систем записи информации, источников питания с высоким качеством выходной энергии и многих других. Так, например, в тяжелых металлорежущих станках находит применение схема двухдвигательного электропривода, суммирование силовых воздействий от которых осуществляется через механический дифференциал. Особенно эффективно совместное использование электромеханических и гидравлических приводов, когда реализация уточняющего движения может осуществляться за счет управляющего зазора в паре винт -гайка и т. д. Третий точный канал может быть реализован в виде магнитострикционного либо пьезострик-ционного двигателя, жестко закрепленного на подвижной каретке, управляемой основными силовыми приводами.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗЬ
С НАУЧНЫМИ И ПРАКТИЧЕСКИМИ
ЗАДАЧАМИ
Повышение точности многоканальных систем сдерживается наличием нелинейных и упругих элементов, что проявляется в неплавном движении рабочего органа, сопровождающегося остановками и рывками при движении рабочего органа на нижнем пределе рабочих скоростей. Рассмотрим синтез многоканальных систем цифрового нелинейного робастного управления с учетом нелинейных и упругих элементов. При этом рассматриваются аналитические нелинейности, которые могут быть аппроксимированы аналитическими выражениями в виде степенных рядов по векторам состояния и управления.
АНАЛИЗ ПОСЛЕДНИХ ДОСТИЖЕНИЙ
И ПУБЛИКАЦИЙ ПО ДАННОЙ ПРОБЛЕМЕ
В работах [1-2] рассмотрены вопросы синтеза многоканальных систем робастного управления при непрерывном управлении. Современные системы управления реализуются на цифровой элементной базе. В работах [3-4] рассмотрены вопросы синтеза многоканальных систем цифрового робастного управления при последовательном синтезе отдельных каналов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью данной работы является синтез цифрового нелинейного робастного управления многоканальными системами, позволяющего обеспечивать работоспособность системы при изменении моделей объектов управления и внешних воздействий и высокой точности многоканальной системы.
ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛА
ИССЛЕДОВАНИЯ, ПОЛУЧЕННЫХ
НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
При работе многоканальных систем в реальных условиях отработки задающих и компенсации возмущающих воздействий, требующих движения исполнительных механизмов многоканальных систем на малых скоростях, нередко возникают скачкообразные движения, остановки, автоколебания и т. д., хотя при синтезе линеаризованной системы условия устойчивости заведомо выполнялись [5-6]. Это связано с тем, что при синтезе системы использовались линейные модели каналов и идеализированная характеристика модели трения в виде знаковой характеристики от скорости движения. Однако при движении на низких и сверхнизких - ползучих скоростях наблюдается падающий участок в характеристике внешнего трения так, что с увеличением скорости движения момент сопротивления уменьшается. Наличие такого падающего участка в характеристике внешнего трения характерно при движении на низких скоростях, как при вращательном, так и при поступательном движении. При увеличении скорости движения падающий участок переходит в горизонтальный.
Для многих механизмов работа на падающем участке может приводить к возникновению автоколебаний и такой режим является аварийным [7-9]. Для других механизмов такой режим является нормальным [10], хотя и приводит к повышенному износу. В системах стабилизации и промышленных следящих системах неплавное движение вызывает ухудшение качества выпускаемой продукции. Так, например, в процессе прокатки многоканальная система регулирования геометрических параметров проката определяет точность поддержания толщины, профиля и формы готового проката. Однако в режиме захвата полосы при заправочной скорости проскальзывание валков относительно прокатываемой полосы может привести к серьезным авариям.
Таким образом, при синтезе многоканальных систем необходимо при работе на малых скоростях учитывать наличие падающего участка в характеристике внешнего трения, что обуславливает положительную обратную связь в системе [11-13]. Однако при работе на больших скоростях целесообразно учитывать горизонтальный и восходящий участки в характеристике
внешнего трения, так как системы, синтезированные с учетом падающего участка в линейном приближении при работе с большой скоростью на горизонтальном и восходящем участках обладают излишней инерционностью. С этой целью аппроксимируем нелинейную зависимость момента сопротивления от скорости проскальзывания аналитическим выражением в виде степенного ряда от скорости проскальзывания и при этом исходная система становится нелинейной [2-3].
В настоящее время наиболее широкое распространение получило решение задачи нелинейного цифрового робастного управления во временной области. Нахождение нелинейного робастного управления сводится к решению уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для нелинейных моделей задающего и возмущающего воздействий и модели объекта управления многоканальной системы. В данной работе используется итеративное решение уравнения Гамильтона - Якоби -Беллмана в соответствии с разложением аналитических нелинейностей исходной системы в степенной ряд по переменным состояния системы. В частности, для нелинейной характеристики внешнего трения с учетом падающего, горизонтального и восходящего участков с достаточной для практики точностью необходим третий порядок аппроксимирующего полинома.
Рассмотрим многоканальную систему, состоящую из m автономных каналов, каждый ]-й канал которой описывается разностным уравнением состояния
xj(к + 1) = Ф}(Х](к), и](к)), у](к) = Х](к), и](к)),
в которой векторные функции Ф](Х](к), иДк)),
Х](к), ]к)) могут быть представлены в следующем виде:
Ф,( Х]( к), и,( к )) = Л]Х]( к ) +
в которой векторные функции Ф]Г(Х]Г( к)), <$]Г(Х]Г( к)) могут быть представлены в следующем виде:
+ Б]и] (к) + Х,-( к), и,-( к)),
г = 2
xj( к )и]( к)) = Cjxj( к) +
+ Б]к) + П^Х](к), и(к)),
i = 2
где символ г указывает порядок формы от векторов состояния Х](к) и управления и](к).
Рассмотрим модель задающего воздействия ]-го канала, которая описывается уравнением состояния
Х]г( к + 1) = Ф]г( Х]г( к)) ,
] к ) = У]г(. Х]г(к )) ,
Ф]г( Х]г( к)) = Л]] к) + Х]г(к)),
г = 2
%Г(Х]г(к)) = С]гХ]г(к) + £ кг]г(Х]Г(к)),
г = 2
где символ г указывает порядок формы от векторов состояния Х](к) и управления и]г(к).
Рассмотрим модель задающего воздействия ]-го канала, которая описывается уравнением состояния
Х]г(к + 1 ) = Ф]г(Х]г(к)) ,
] к ) = У]г(. ] к )) ,
в которой векторные функции Ф]г( Х]г( к)), ф]г( Х]г( к)) могут быть представлены в следующем виде
Ф]г( Х]г( к)) = Л]] к) + Х,г(к)),
г = 2
У]г(Х]Г(к)) = С]гХ]г(к) + £ к]г(Х]Г(к)),
г = 2
где символ г указывает порядок формы от векторов состояния Х](к) и управления и]г(к).
Рассмотрим также модель возмущающего воздействия ]-го канала, которая описывается уравнением состояния
Х]а( к + 1) = Ф]а( ХЫ( к)), ]к) = к)),
в которой векторные функции к)), к))
могут быть представлены в следующем виде:
Ф]а( Х,( к), и,( к)) = л] к) +
+ Б]и](к) + Х](к), и](к)),
г = 2
Хjd(k)) = С]йХ]^(к) + ^ Хjd(к)),
г = 2
где символ г указывает порядок формы от вектора состояния к).
Введем согласно [2] вектор Х(к) состояния многоканальной системы, компонентами которого являются
вектора Х](к) состояния всех каналов, входящих в систему, а также вектора состояний Х]г(к), к) задающих и возмущающих воздействий этих каналов и за-
пишем уравнения состояния многоканальной системы в следующем виде:
X(£ + 1) = Ф(X(£), и(£)), у(£) = ф(х(£), и(£)),
в которой векторные функции Ф(х(£), и(£)), ф(X(£), и(£)) могут быть представлены в следующем виде:
Ф(х(£), и(£)) = Ах(£) + Ви(£) + £ /г(X(£), и(£)),
! = 2
ф(X(£)и(£)) = сХ(£) + бП(£) + £ Аг(X(£), и(£)),
! = 2
где символ г указывает порядок формы от векторов
состояния X (£) и управления и (£).
Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления и (£), минимизирующего функционал
1 = £ у^(£), и(£)).
£ = 1
Предполагается, что функция у(X(£), и(£)) является аналитической и разлагается в степенной ряд
у^(£), и(£)) = £ уг(X(£)и(£)).
г = 2
Будем искать оптимальное управление ^ £) в форме обратных связей по полному вектору состояния
и(£) = £ щф(£)).
г=1
Введем функцию Ляпунова
и + 1
£1
г=2
п + 1
Уф(£)) = £ ¥г(X(£)).
Тогда на основании достаточного условия оптимальности минимум критерию обеспечивает оптимальное управление, образующее систему уравнений, эквивалентную уравнению Гамильтона - Якоби - Беллмана
[5],
ФТ(X(£), и(£))д У(^ ( £)) + у(X(£), ^£)) = 0, ^ (£)
дФ Г (X ( £ ), и ( £ ) ) д У^ ( £) ) + ду (X ( £), и ( £ ) ) = 0 йи(£) dX(£) ди(£)
Решение многих задач оптимизации нелинейных систем приводит к необходимости решения уравнения
Гамильтона - Якоби [2]. Решение уравнения Гамильтона - Якоби в теории оптимизации нелинейных систем является таким же важным, как и решение уравнения Риккати в теории линейных оптимальных систем. В настоящее время к решению уравнения Гамильтона - Якоби проявляется повышенный интерес в связи с разработкой нелинейной теории Н - нелинейного робаст-ного управления. Это происходит аналогично тому, как решение линейной теории Н - линейного робас-тного управления сводится к итеративной процедуре решения уравнения Риккати при заданном уровне толерантности. С практической точки зрения целесообразно рассматривать приближенное решение нелинейной теории Н как приближенное решение уравнения Гамильтона - Якоби в виде итеративной процедуры. При этом робастное управление первым линеаризованным приближением решения уравнения Гамильтона - Якоби нелинейного робастного управления является решение уравнения Риккати в линейном робас-тном управлении. Такое представление имеет место для исходной нелинейной системы с аналитическими нелинейностями.
Ограничимся сначала в рядах членами низшего порядка относительно векторов состояния Xl( Ь) и управления ПкЬ) первого канала. Тогда исходная система будет линейной, для которой может быть синтезировано линейное робастное управление. Запишем для исходной линейной дискретной системы разностное уравнение состояния, вектор контролируемых параметров
I (£) и вектор измеряемых переменных у (£) с помощью А оператора в стандартной форме, принятой в Нш теории [14-15].
В этом случае уравнение состояния дискретной системы примет следующий вид:
5X (£) = А¡¡X (£) + В15ж1( £) + В25 ^ £),
I (£) = С^ (£) + Оц®1( £) + £),
у (£) = С^ (£) + &21 а>1(£) + 022п (£).
Для нахождения цифрового робастного регулятора необходимо решить уравнение Риккати по управлению
0=
где
д + АТХ + ХА + ААТХА - [Г + ВТХ(АА +1)] -1
Я + АВТХВ] [Г + ВТХ(АА +1)],
Я + АВТ ХВ = / А,
А
Г + ВХ(АА + /) = Ья / А,
- А _ Т _
д=сТ1с / а.
При этом замкнутая таким регулятором система
А - BIR + AB XB) (L + BX(ДА + I)
является устоичивои.
Для нахождения цифрового робастного наблюдателя необходимо решить уравнение Риккати по наблюдению
0 = Q + AZ + ZAT + дАгАТ-[Г + (Да + l)ZCT] X
х [R + дczcT] [Г + (ДА + i)ZCt] ,
где
R + ДCZmC1 = ^q,
L +
(дА +1).
)C = Lq,
0 = в]вт / д.
При этом цифровой робастный наблюдатель может быть представлен в виде А В С П реализации
А B
C D
A - B1RdLd BV- 0
V12R31 (2 - R2Rd1Ld) V12R—1V11 I
C2 —1 - D21Rd Ld D21V2-11 0
где
T
Rd = R1 - R2 R3 2, T -1
Ld = L1 - R2R3 L2' T
V12 V12 = R3> ^21 = -Y-2iR1 - R2TR31R2
Естественно, что наблюдатель в замкнутом виде А -[Г + (дА + i)ZCC^| R + д CZC
C
U (£) = СрХр (£) + Dj (k),
где
Ap = A -B2V12'C 1 + B2V^R2R?31'C2-L2R31C2, -1 ~ ~-1 ~ ~-1 Bр = - B2^R2RR3 + L2R3 ,
Ср = - 1 + VtR2R3C2,
1 ~ »-1 Dр = -V12R2R3 .
В этих выражениях
R1 R 2
~ T ~
R 2 R 3
= R+дCZC ,
[L1 L 2]
= L + I дA + IIZC
Решение уравнения Риккати по управлению может быть сведено к нахождению спектра матрицы Гамильтона по управлению
M =
где
--1 t( ТЛ /^-1 T -1
Аш+ дBR B (l+ да;) Qm -BR B(I+ )
-(1 + дАm Qm
-(1+дАт) Am
Am = A - BR 1L, Qm = Q - LTRiL.
Решение уравнения Риккати по наблюдению также может быть сведено к нахождению спектра матрицы Гамильтона по наблюдению
M =
где
Am + дc R CIi + дат) Q
I + дA ml Qm
^.T^-1) T
C R C (I + дА2
i + д Am) Am
"Am = A-LR , QQm = q-LR 1RLt.
Подставим синтезированное таким образом линеиное
также является асимптотически устойчивой системой.
Тогда цифровой робастный регулятор и цифровой
робастный наблюдатель представляют собой цифровой
, „ управление и квадратичную функцию Ляпунова в вы-
робастный компенсатор, входом которого является из- ^
^ ражение для исходного нелинейного оптимального уп-
меряемый вектор исходной системы у (к), а выходом равления и добавим пока с неизвестными коэффициентами члены второго порядка в оптимальное управление
является вектор управления исходной системы и (к). Робастный компенсатор с матрицами Ар, Вр, Ср, Пр описывается следующим уравнением состояния:
Хр( к + 1) = АрХр( к) + Вр у (к),
и члены третьего порядка х (к)) в функцию Ляпунова. Добавим также в исходную нелинейную систему члены второго порядка X(к), и(к)) и X(к), и(к)) и добавим к интегральному квадратичному функционалу
члены третьего порядка Х(к), и(к)). Откуда найдем исходные уравнения для неизвестных коэффициентов второго порядка и2(Х(к)) оптимального управления и третьего порядка ^3(Х(к)) функции Ляпунова. Аналогично находятся последующие приближения.
РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В качестве примера рассмотрим синтез робастных регуляторов двухканальной системы с раздельной нагрузкой [1], у которой каждый канал представляет собой трехмассовую электромеханическую систему, схема которой показана на рис. 1. Система предназначена
аппаратный контур прямого управления моментом (ПУМ) [4-7].
Скорости вращения платформ тп1, тп2, измеряются с помощью гироскопических датчиков угловых скоростей (ГДУС), а скорости вращения роторов двигателей юд1, юд2 измеряются с помощью датчиков скорости (ДС).
В системе учтены нелинейные характеристики моментов внутреннего трения на валах двигателей Мд1, Мд2 и платформ Мп1, Мп2.
Составим уравнения динамики основных элементов двухканальной системы с раздельной нагрузкой следуя работе [3].
Уравнение равновесия моментов для платформы второго канала с моментом инерции Jп2
-п2^ = МЕ2 - Мс2 - Ми2(«п2),
где Мс2 - момент внешнего сопротивления, действующий на вторую платформу; М^ - суммарный момент, приведенный ко второй платформе
М2 = Му2 + Р2(®д2 - ®п2),
где юд2, юп2 - скорости вращения соответственно ротора второго двигателя и второй платформы; Р2 - коэффициент вязкого трения трансмиссии: Му2 - упругий момент трансмиссии второй платформы, уравнение состояния которого примет следующий вид:
¡Му2
—¡Х = С2(тд2 - тп2),
где С2 - жесткость вала, соединяющего вторую платформу с двигателем.
Уравнение равновесия моментов для ротора второго двигателя с моментом инерции J д2
Рисунок 1 - Схема двухканальной системы с раздельной нагрузкой
¡т
-д2-¡Т = Мд2 - М2 - Мд2.
для отработки заданных значений скоростей вращения т 31, Ю32 первой и второй платформ. На первую и вторую платформы действуют внешние моменты сопротивления Мс1, Мс2, которые являются возмущающими моментами.
Платформы приводятся во вращение с помощью асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором. В системе используется векторное управление асинхронными двигателями с помощью преобразователей частоты (ПЧ). Каждый канал содержит программно-
Уравнение равновесия моментов первой платформы с моментом инерции —п1
-п1 ¡¡Л1 = МЕ1 - Мс1 - Мд2 - Мп1 (®И1 X
где Мс1 - момент внешнего сопротивления, действующий на первую платформу; М^ - суммарный момент, приведенный к первой платформе,
М1 = Му1 + М®д1 - ®п1),
где юд1, юп1 - скорости вращения соответственно ротора первого двигателя и первой платформы; Р1 - коэффициент вязкого трения трансмиссии: Ыу1 - упругий момент трансмиссии первой платформы, уравнение состояния которого примет следующий вид:
йЫ.
^ = С1(Ид1 - ип1),
йЬ
где С1 - жесткость вала, соединяющего первую платформу с двигателем.
Уравнение равновесия моментов для ротора первого двигателя с моментом инерции /д1
/
д1 ^ = Ыд1 - Ы 1 - Ыд1(»д1 ) .
Нелинейные характеристики моментов внутреннего трения на валах двигателей Мд1, Мд2 и платформ Мп1, Мп2 являются нелинейными функциями скоростей движения соответствующих подвижных частей объекта управления и могут быть аппроксимированы степенными рядами:
п
ЫсКк) = I вс1<к.
I = 0
и(Ь) = {Ыд1, Ыд2, Ыс1, Ыс2}Т.
Тогда матрицы состояния и управления линеаризованной системы примут следующий вид:
- Р1 - Рд1 /д1 -Ё1_ /д1 1 /д1
/п1 - в1 - Рп1 /п1 1 /п1
с4 -с1
-в2 - Рд2 /д2 М. /д2 -1 /д2
м. 3п2 - Р2 - Рп2 3п2 1 3п2
С2 -с2
В=
1 3д1
1 /п1 1 /п1
1 /д2
-1 3п2
Для практического использования обычно достаточно третьего порядка этого степенного ряда. При этом обычно линейный член имеет отрицательное значение, квадратичный член имеет практически нулевое значение, а кубический член имеет положительное значение.
Для построения математической модели двухканаль-ной системы с раздельной нагрузкой при цифровом управлении рассмотрим вспомогательную непрерывную динамическую систему.
Введем вектор состояния этой системы, компонентами которой являются скорость вращения первого двигателя юд1, скорость вращения первой платформы юп1, момент упругости первой платформы Ыу1, скорость вращения второго двигателя юд2, скорость вращения второй платформы юп2, момент упругости второй платформы Ыу2, так что вектор состояния примет следующий вид:
В матрице состояния линеаризованной системы учтены лишь линейные составляющие нелинейных характеристик моментов внутреннего трения на валах двигателей Ыд1, Мд2 и платформ Ып1, Мп2 в виде соответствующих линейных коэффициентов Рд1, Рд2, Рп1, Рп2.
Для этого непрерывного объекта управления построим его дискретный аналог
хд( к + 1) = Адх( к) + В и (к),
где Ад = I +
АоА , А0А2
аЦап
1! 2! п! '
Для полученной исходной дискретной системы представим матрицы состояния Ад и управления Вд этой вспомогательной системы в виде следующих блочных матриц:
Х(Ь) = {Юд1,Юп1, Ыу1,Шд2,Шп2, Ыу2}Т.
Введем вектор внешних воздействий и (Ь), компонентами которого являются моменты первого и второго двигателей Ыд1, Ыд2, моменты внешних сопротивлений, действующих на первую и вторую платформы ЫС1 и ЫС2, так что вектор внешних воздействий примет следующий вид:
В„
Ад = А11
А22
В11 В12 1В 3
В22 В24
При векторном управлении асинхронным двигателем с короткозамкнутым ротором обычно реализуется
А
контур регулирования момента двигателя с помощью программно-аппаратных средств - так называемое прямое управление моментом асинхронного двигателя [13]. При этом время нарастания момента составляет около 5 миллисекунд. Примем математическую модель изменения момента двигателя в виде звена чистого запаздывания со временем запаздывания, равным периоду дискретности работы управляющего контроллера. Тогда разностные уравнения динамики, описывающие изменение моментов двигателей в двухканальной системе с раздельной нагрузкой примут следующий вид:
МД1( к + 1) = Мз1( к),
мд2( к + 1) = Мз2( к),
гости второй платформы Му2, момент второго двигателя Мд2, вспомогательные переменные состояния ¿2 цифровых интеграторов первого и второго каналов для реализации астатического управления, так что
X(Ь) = {Юд1,Юп1, МУ1, Мд1,Шд2,®п2, МУ2, Мд2, ¿1, ¿2}.
Тогда с учетом введенных обозначений блоков матриц состояния и управления исходной вспомогательной дискретной системы матрицы состояния, управления В по моментам двигателей, управления В3 по вектору задающих воздействий и матрицы возмущения Г по вектору внешних моментов сопротивления примут следующий вид:
А =
А11 В11 В12
А22 В22
В =
1
1
Г =
1В 3
В24
Для реализации астатизма введем два цифровых интегратора, на вход которых подадим разности между заданными значениями скоростей вращения платформ и их фактическими значениями с учетом того, что скорость вращения второй платформы равна сумме скоростей вращения первой платформы и относительной скорости вращения второй платформы относительно первой платформы. При этом разностные уравнения состояния, описывающие динамику этих цифровых интеграторов примут следующий вид:
г^к + 1) = ¿1 (к)-юд1(к) + Ю31 (к), г2( к + 1) = г2(к )-юд2( к)-<д1 (к) + ®32( к).
Введем в рассмотрение вектор состояния исходной дискретной системы, компонентами которого является скорость вращения первого двигателя <вд1, скорость вращения первой платформы <вп1, момент упругости первой платформы Му1, момент первого двигателя Мд1, скорость вращения второго двигателя <вд2, скорость вращения второй платформы < п2, момент упру-
А =
А11 В11 В12
А22 В22
- С1 1
- С1 - С1 1
В =
1
1
В3 =
Г =
В13
В24
Следует заметить, что при синтезе робастного управления системой используется матрица управления В, когда компонентами вектора управления являются задания на регуляторы моментов первого и второго двигателей. После синтеза робастных регуляторов для исследования динамических характеристик синтезированной системы используется матрица управления В3, у которой компонентами вектора управления являются задающие воздействия на регуляторы скоростей вращения первой и второй платформ. Для исследования динамических характеристик синтезированной системы по возмущающим воздействиям используется матрица возмущения Г, у которой компонентами вектора возмущения являются моменты внешних сопротивлений, действующих на первую и вторую платформы.
Введем компоненты вектора внешних воздействий а>1(к) в следующем виде: момент сопротивления Мс1 действующий на первую платформу, заданное значение скорости вращения первой платформы < з1, момент сопротивления Мс2, действующий на вторую платформу, заданное значение скорости вращения второй платформы <вз2, помеха /Ш1 измерения скорости вращения <вд1 первого двигателя, помеха /21 измерения выходно-
1
1
го напряжения первого интегратора ¿1, помеха /<2 измерения скорости вращения < д2 второго двигателя, помеха /¿2 измерения выходного напряжения второго интегратора так что
= {Мс1,И31, Мс2,И32, /< 1, /21, /<2, /г2 }Т.
Компонентами вектора управления и являются заданные значения Мз1, Мз2 моментов двигателей Мд1, Мд2, которые подаются на регуляторы моментов при прямом управлении моментом асинхронного двигателя
-> Т
при векторном управлении так, что и = {Мз1, Мз2} .
Компонентами вектора контролируемых переменных * (к) примем ошибку 81 отработки заданной скорости вращения < з1 с помощью двигателя первой платформы <вд1 так, что 81 = Ю31 -®д11 переменную состояния первого интегратора ¿1; управляющее воздействие первого канала и1, ошибку 82 отработки заданной скорости вращения < з2 с помощью двигателя второй платформы юд2 так, что 82 = Ю32- <вд2; переменную состо-
яния второго интегратора х2 и управляющее воздействие второго канала и2. При этом вектор контролируемых переменных имеет следующий вид:
> Т
х(к) = {81 (к), ¿1(к), и1(к), 82(к), ¿2(к), и2(к)} .
Компонентами вектора измеряемых переменных у (к) примем измеренные 81 и(к), 82и(к) с помехами /^(к), /<2(к) ошибки 81(к), 82(к) регулирования скоростей вращения двигателей первой и второй платформ так, что
81и(к) = 81(к)+ /<1(к), 82и(к) = 82(к)+ /<2(к),
а также измеренные ¿1и( к), ¿2 и( к) с помехами /1( к), /г2( к) вспомогательные переменные состояния ^(к), ^(к) интеграторов так, что
¿1и( к ) = ¿1( к ) + / 1( к),
^ (к) = ¿2 (к) + /¿2( к),
-10
п
1-
ц
О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
(sec) (sec)
а) б) -,-,-,-,-,--1-4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
(sec) (sec)
в) г)
Рисунок 2 - Переходные процессы: а - скорости вращения второго двигателя юд2; б - скорости вращения второй платформы юп2; в - момента упругости второй платформы Му2; г - момента второго двигателя Мд2 синтезированной системы по возмущению на второй канал
и, следовательно, вектор у(к) измеряемых переменных примет следующий вид:
у(к) = {б1„(к), 21и(к),е2и(к), г2и(к)}Т.
В качестве примера на рис. 2 показаны переходные процессы: а - скорости вращения второго двигателя юд2; б - скорости вращения второй платформы юп2; в - момента упругости второй платформы Ыу2; г - момента второго двигателя Ыд2 синтезированной системы по возмущению на второй канал. Как видно из этих графиков, в системе имеется астатизм по моменту сопротивления, а переходные процессы заканчиваются примерно за 0,25 с.
ВЫВОДЫ ИЗ ПРИВЕДЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ, ПЕРСПЕКТИВЫ ЭТОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Рассматривается достаточно широкий класс многоканальных систем, работающих по принципу грубого и точного управления, у которых нелинейные эффекты могут быть аппроксимированы аналитическими нели-нейностями в виде степенных рядов по векторам состояния и управления. Наличие нелинейных элементов и упругих звеньев в кинематических звеньях многоканальных систем сдерживают получение высокой точности, потенциально присущей таким системам. Рассмотрены вопросы приближенного синтеза многоканальных систем цифрового нелинейного робастного управления. Нахождение робастного нелинейного управления каждого канала сводится к решению уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана для нелинейных моделей задающего и возмущающего воздействий и модели объекта управления канала.
Приводится пример синтеза робастного регулятора двухканальной электромеханической системы с раздельной нагрузкой, у которой каждый канал является двухмассовой электромеханической системой с векторным управлением асинхронными приводами.
Показано, что с помощью синтезированного нелинейного робастного регулятора удалось достаточно эффективно демпфировать собственные механические колебания, обусловленные наличием упругих элементов, и уменьшить негативное влияние нелинейных элементов на динамические характеристики системы.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Никитина Т. Б. Робастное управление многоканальными итерационными электроприводами по Н2 и Н критериям // Електромашинобудування та електрооблад-нання. М1жв1домчий науково-техшчний зб1рник. -Випуск № 67. - Одеса, 2006. - С. 13-17.
2. Никитина Т. Б. Синтез робастных регуляторов многоканальных итерационных систем // Радиоэлектроника
и информатика. Научно-технический журнал. -Харьков: ХНУР, 2007. - № 4(35). - С. 24-30.
3. Никитина Т. Б. Синтез цифровых робастных регуляторов многоканальных электромеханических систем // Зб1рник наукових праць Дшпродзержинського державного техшчного ушверситету (техшчш науки). Тема-тичний випуск «Проблеми автоматизованого елект-ропривода. Теор1я i практика». - Дшпродзержинськ: ДГТУ, 2007. - С. 391-392.
4. Никитина Т. Б. Синтез цифровых нелинейных робаст-ных регуляторов каналов многоканальных систем при последовательном синтезе. // Автоматизашя вироб-ничих процеав. - КиТв, 2006. - № 2 (23). - С. 109-114.
5. Никитина Т. Б. Синтез приближенно-оптимальных нелинейных систем цифрового управления технологическими процессами с аналитическими нелинейностями / / Автоматизашя виробничих процеав. - КиТв, 2003. -№ 2(17). - С. 62-65.
6. Кузнецов Б. И., Никитина Т. Б., Коломиец В. В. Синтез электромеханических систем со сложными кинематическими цепями. - Харьков: УИПА, 2005. - 511с.
7. Никитина Т. Б. Стабилизация динамических характеристик двухканальной системы управления обмоточной машиной с помощью робастного управления // Вестник НТУ «ХПИ»: Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Системный анализ, управление и информационные технологии». - 2006. - № 39. -С. 38-45.
8. Никитина Т. Б. Робастное управление двухмассовой электромеханической системой в режиме буксования // Вестник НТУ «ХПИ»: Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Информатика и моделирование». -
2006. - № 40. - С. 138-144.
9. Никитина Т. Б. Исследование динамических характеристик цифрового робастного управления блюмингом в режиме пробуксовки валков // Вестник НТУ «ХПИ». Сборник научных трудов. Тематический выпуск «Автоматика и приборостроение». - 2006. - № 31. - С. 93-101.
10. Никитина Т. Б. Ограничение нагрузок в нелинейных многоканальных электромеханических системах при управлении по состоянию // Мехашка та машинобуду-вання. - Харюв: 2006. - №1. - С. 259-264.
11. Никитина Т. Б. Робастная система управления двухмассовой обмоточной машиной // Вюник Хмельниць-кого нацюнального ушверситету (техшчш науки). -Хмельницький: Хмельницький нацюнальний ушверси-тет, 2007. - № 5(96). - С. 182-187.
12. Никитина Т. Б. Цифрове робастне управлшня двома-совою обмотувальною машиною // Вюник Нацюнального ушверситету «Львiвська полтехшка». Електро-енергетичш та електромехашчш системи. - Львiв,
2007. - № 587. - С. 70-75.
13. Никитина Т. Б. Робастное управление трехопорной управляемой платформой // Вестник НТУ «ХПИ»: Сб. науч. раб. Тематический выпуск «Системный анализ -управление и информационные технологии». -Харьков: НТУ «ХПИ». - 2007. - № 18. - С. 29-36.
14. Никитина Т. Б. Робастная стабилизация дискретно-континуального объекта // Техшчна електродинамта. Тематичний випуск. Силова електрошка та енерго-ефектившсть. - КиТв.: 2007. - Ч. 1. - С. 56-61.
15. Никитина Т. Б. Цифровая робастная стабилизация танкового вооружения // Електромашинобудування та електрообладнання. Мiжвiдомчий науково-техшчний збiрник. - Одеса.: 2007. - Випуск № 68. -С. 16-21.
Надшшла 27.11.07
Розроблено метод синтезу нелтшного робастного управлтня багатоканальними системами, що працюють за принципом грубого i точного управлтня в1дпов1дно до 1терацшного алгоритму. Наведено приклад динамiчниx характеристик синтезованоЧ двоканальноЧ електроме-хатчноЧ системи.
A method of synthesis for robust control multichannel systems, workings on rough and exact control principle in accordance with iteration algorithm is developed. The example of dynamic descriptions for synthesized twochannel electromechanical system is resulted.
