CC BY
34
УДК 621.77
Т.Б. НИКИТИНА, канд. техн. наук, НТУ "ХПИ"
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ЦИФРОВОЙ РОБАСТНОЙ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ ТРЕХОПОРНОЙ ПЛАТФОРМОЙ
Исследована чувствительность цифрового робастного управления трехопорной платформой как трехмассовой электромеханической системы для стабилизации динамических характеристик системы управления. Приведен пример динамических характеристик синтезированной цифровой робастной системы управления трехопорной платформой.
Ключевые слова: робастная система управления, трехопорная платформа, стабилизация динамических характеристик системы управления.
Постановка проблемы. В последнее время наиболее широкое распространение получили трехопорные платформы, управляемые двумя исполнительными двигателями по двум углам поворота относительно третьей неподвижной опоры [1]. В трехопорных управляемых платформах используются следящие приводы с исполнительными механизмами линейного перемещения. Характер динамических процессов в трехопорных управляемых платформах в значительной степени определяется наличием упругих элементов в кинематической цепи электромеханической системы от приводного двигателя до рабочего органа. Возникновение колебаний в режиме буксования в основном обусловлено наличием падающего участка в характеристике внешнего трения. Причем, такой падающий участок особенно характерен при работе электромеханических систем на низких скоростях движения рабочего органа, что часто сопровождается его неплавным движением.
Анализ литературы Синтез таких систем по квадратичным критериям качества рассмотрен в [2 - 4]. Однако синтезированные таким образом системы обладают различными динамическими характеристиками при работе на восходящем и падающем участках характеристики внешнего трения.
Целью данной статьи является исследование чувствительности цифрового робастного управления трехопорной управляемой платформой как трехмассовой электромеханической системой для стабилизации динамических характеристик при изменении рабочих точек на характеристиках внешнего трения.
Изложение материала исследования, полученных научных
результатов. Основу трехопорной управляемой платформы составляет рама, на которой расположена нагрузка. Две неподвижные опоры с помощью сферических шарниров соединены с приводными винтами исполнительных двигателей, за счет чего осуществляется перемещение двух подвижных опор
относительно третьей неподвижной. Приводы соединены с основанием через шарниры, обеспечивающие поворот исполнительных двигателей относительно основания.
Рассмотренная система фактически является трехмассовой электромеханической системой. При этом роль первой массы играет ротор электродвигателя, роль второй массы играет ходовая гайка совместно с ходовым винтом, а роль третьей массы - неуравновешенная нагрузка. При этом жесткость зубчатого редуктора, штока с опорным устройством привода является эквивалентной жесткостью между первой и второй массой, а жесткостью между второй и третьей массой является жесткость винта, соединяющего привод с управляемой платформой. Заметим, что между первой массой и неподвижным основанием и между третьей массой и подвижной платформой имеются силы трения, препятствующие движению этих масс. Эквивалентная вторая масса представляет собой объединение массы ходовой гайки и ходового винта, так что при движении ходовой гайки относительно ходового винта возникает сила трения, и, кроме того, возникают силы трения между вращающейся ходовой гайкой и неподвижным основанием и вращающимся ходовым винтом и основанием привода. Приведем эту схему к вращательному движению обозначив моменты инерции первой, второй и третьей масс соответственно ^.
При векторном управлении асинхронными приводами в большинстве систем управления реализован алгоритм прямого управления моментом двигателя. Поэтому будем предполагать, что в системе используется частотное управление приводным двигателем, и реализовано прямое управление моментом, а математическую модель контура управления моментом примем в виде апериодического звена первого порядка.
Уравнения динамики такой системы имеют следующий вид:
Лю
J 3 ^ — Му23 +Р 23(ю2 _ю3) _Рс3ю3 _ М с ;
ЛМу23 , Л .
- С23(®2 ю3)’
аХ
Лю 2
2 ^ — Му12 + Р12(ю1 _ю2) _Му23 _Р23 (ю 2 _ю3) _Рс2ю2 ;
у12
1 — ^12(ю1 _ю2) ;
аХ
^ 1 — М _ ^^12 _ в12(Ю1 _ Ю 2 ) _ Р с1Ю1;
dМJ.
т* ~Мт=-Мд+ ^
В этих уравнениях: ю, Ю , газ - скорости вращения двигателя, ходовой гайки и ходового винта; а также скорости вращения нагрузки; Му12, Му23 -моменты упругости в валах; С12, С23, и р12, р23 - жесткости и коэффициенты внутреннего вязкого трения в валах на скручивание; Тц - постоянная времени
частотного преобразователя, характеризующая время нарастания момента двигателя; К - коэффициент усиления частотного преобразователя. В этих уравнениях также учтено наличие падающих участков в зависимостях моментов внешнего трения от скорости вращения двигателя ю1 с жесткостью Рс1, от скорости вращения ходовой гайки и ходового винта ю2 с жесткостью Рс2 и от скорости вращения нагрузки ю3 с жесткостью Рс3.
Введем следующие компоненты вектора внешних воздействий $(Г) : задающее воздействие скорости вращения ю г (?), помеху /х измерения скорости вращения двигателя ю, фиктивную помеху /2 измерения
переменной состояния интегратора 2(?) так, что й(?) — {юз (/), /ДО, /2(?)}Т .
Введем в вектор контролируемых переменных 2 (?) ошибку е(/) между заданным юг (?) и фактическим ю (?) значениями скорости вращения двигателя е(/) — юз(/)-юд(/), выходное напряжение интегратора 2(?) и управляющее напряжение на входе частотного преобразователя и (?) в
следующем виде 2(?) — {е(0, 2(?), и(?)}т .
Компонентами вектора измеряемых переменных у({) примем измеренные скорости вращения двигателя ю 1и — 2(?) + /1 (?) и измеренную переменную состояния интегратора 2и (?) — 2(?) + /2 (?) так, что
У(0 — {ю1и (?), 2И (?)}Т . При таком подходе можно получить приемлемые показатели качества переходного процесса по задающему воздействию, однако переходные процессы по моменту сопротивления Мс являются сильно колебательными. Для уменьшения колебательности переходных процессов по моменту сопротивления введем в вектор возмущений исходной системы $(Г) первую компоненту Мс (?), действующую на исходную систему в виде момента сопротивления, так что вектор $(Г) будет иметь следующий вид: й(0 — Мс(0, юз (?), /[(?), /2(?)}. Подадим теперь это возмущение от момента сопротивления Мс (?) на вход исходной системы, задав ненулевую компоненту первого элемента в первый столбец матрицы Б1. Введем также это возмущение в вектор контролируемых параметров 2(?), задав ненулевой компонентой первый элемент матрицы £>и .
z
1 1
Метод решения. Современные системы управления реализуются на микропроцессорной элементной базе и, следовательно, рассматриваемая система становится дискретной. Решение задачи дискретной Hш оптимизации первоначально было получено в [5 - 6] в частотной области и связано с операциями факторизации соответствующих матриц передаточных функций. Физический смысл критерия Hш есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. Для системы с одним входом и одним выходом - Hш норма представляет максимальное значение амплитудночастотной характеристики системы по всему частотному диапазону.
Рассмотрим исходный дискретный объект управления, заданный матрицей передаточных функций P(z), связывающей вектора внешних воздействий w и управляющих воздействий и с векторами контролируемых параметров z и измеряемых переменных у соотношением
Pll( z) Pl2( z) w P2l(z) P22 (z) .
в котором Pj (z) - блоки матрицы P( z).
Тогда матрица передаточных функций Gzw (P(z), K(z)), связывающая вектор внешних воздействий w(k) с вектором контролируемых параметров z(k) в системе замкнутой робастным регулятором с матрицей передаточных функций K (z) может быть записана в следующем виде
Gzw(P(z), K(z)) = Pu(z) + Pi2(z) K(z)X (/ + P22(z)K(z))-1 P2i(z) .
Задача синтеза цифрового робастного регулятора формулируется как задача определения матрицы передаточной функции регулятора K(z) , обеспечивающая нижнюю грань максимального собственного значения матрицы замкнутой системы Gzw (P(z), K(z)) так, что
Nz)L = SUP nCTmax (G(e j6 )).
6e[0,2mJ
Эта задача решается итеративно заданием уровня толерантности робастного регулятора у и решением задачи нахождения такого регулятора K(z) , который обеспечивает выполнение следующего неравенства
\\Gzw (P( z), K (z))| ш<у .
В настоящее время наиболее широкое распространение получило решение задачи цифрового робастного управления во временной области.
Для нахождения цифрового робастного регулятора необходимо решить уравнение Риккати по управлению
X = CTJC + ATXA -LTR-1! ,
где Я = БТЗП + BTХВ, Ь = БТЗС + ВТХА.
Здесь С =
С' , О = О11 О12 , З =
0 _ 11 0 _
0 - у 21г
Для нахождения цифрового робастного наблюдателя необходимо решить уравнение Риккати по наблюдению
= ВЗВТ + А2Ат -ЬЯ - ЬТ ,
где Я = ЪЗЬТ + С2СТ; Ь = В7дт + А2СТ; З =
0 -У 2 !„
Результаты моделирования. Рассмотрим задачу цифрового робастного управления трехопорной платформой. Для построения цифрового астатического робастного регулятора [1] введем цифровой интегратор с переменной состояния 2(к), на вход которого подадим разность между заданным значением скорости вращения ю3(к) и фактическим значением скорости вращения двигателя ^(к). Построим робастный астатический
регулятор для расширенного объекта управления. Как показали экспериментальные исследования, наибольшее влияние на динамические характеристики оказывают падающие участки характеристик внешнего трения
- ротора приводного двигателя, силы трения между третьей массой и подвижной платформой и, особенно, в червячном редукторе при вращении ходовой гайки. Поэтому в данной работе были проведены исследования влияния наклонов этих трех характеристик внешнего трения на динамические характеристики синтезируемой робастной системы управления. В соответствии с введенным вектором состояния, эти три характеристики внешнего трения влияют на первый, третий и пятый диагональные элементы матрицы состояния системы. При исследовании цифровой системы управления выбирались такие наклоны падающих участков этих характеристик внешнего трения, при которых исходная непрерывная система становилась неустойчивой. При таких значениях коэффициентов внешнего трения цифровая система робастного управления трехопорной платформой остается устойчивой, однако при этом существенно увеличивается колебательность переходных процессов. Причем, наибольшую колебательность имеют переходные процессы именно той массы, в которой характеристика внешнего трения имеет наибольший наклон падающего участка. В качестве примера на рис. 1 показаны переходные процессы скоростей вращения а) платформы ю3, б) редуктора ю2 ив) приводного
двигателя ю1 по заданию на регулятор скорости. Установившиеся значения скоростей двигателя, редуктора и платформы равны заданному значению скорости. На рис. 2 показаны переходные процессы тех же переменных состояния по моменту сопротивления.
I
I
0
Time (sec)
в)
Рис. 1. Переходные процессы скоростей вращения по задающему воздействию
Пше (Бес)
а)
Т1ше (б ес)
б)
'Г"
в)
Рис. 2. Переходные процессы скоростей вращения по моменту сопротивления
0.2
О 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Тоте (Бес)
Установившиеся значения скоростей вращения приводного двигателя, редуктора и платформы равны нулю, что подтверждает астатизм системы по моменту сопротивления. Как видно из этих графиков, для формирования переходного процесса требуется восьмикратная форсировка по скорости приводного двигателя.
Выводы. Taким образом, в данной работе для стабилизации динамических характеристик трехопорной управляемой платформы как трехмассовой электромеханической системы в режиме буксования при ее работе на различных участках характеристики внешнего трения предложено использовать цифровое робастное управление. Для синтеза цифрового робастного управления необходимо решать два уравнения Риккати по управлению и по наблюдению. С помощью цифрового робастного регулятора удалось получить удовлетворительные переходные процессы при работе системы на различных участках характеристик внешнего трения.
Список литературы: 1. Кузнецов Б.И., Никитина Т.Б., Коломиец В.В. Синтез
электромеханических систем со сложными кинематическими цепями. - X.: УИПА, 2005. - 511 с.
2. Никитина Т.Б. Синтез многоканальных нелинейных электромеханических систем // Вестник НГУ ’^ПИ". Сб. научных трудов. - X.: НTУ '^ПИ". - 2005. - № 45. - С. 130-131.
3. Никитина Т.Б. Синтез приближенно-оптимальных нелинейных систем цифрового управления технологическими процессами с аналитическими нелинейностями // Автоматизація виробничих процесів. - Київ. - 2003. - № 2 (17). - С. 62-65. 4. Никитина Т.Б. Приближенно оптимальное цифровое управление электроприводами с аналитическими нелинейностями // Вестник НTУ '^ПИ". Сб. научных трудов. X.: ШУ ’^ПИ". - 2003. - № 10. - T. 1. - С. 321-322. 5. KhargonekarP., Petersen I., Rotea M. Hоptimal control with state feedback // IEEE Trans. Automat. Contr., AC - 1988. - 33. - P. 783-786, б. Doyle J., Glover K., Khargonekar P., Francis B., State - space solutions to standard H2 and Hw control problems // IEEE Trans. Automat. Contr., AC -34. - 1989. - № 8. - P. 831 - 847.
УДК 621.77
Чутливість цифрової робастної системи управління трьохопорною платформою I Нікітіна Т.Б. // Вісник HTY '^Ш". Teмaтичний випуск: Інформатика і моделювання. - Xapків: HTY "Xm", 2008. - № 24. - С. 99 - 106.
Досліджено чутливість цифрового робастного управління трехопорной платформою як три масовою електромеханічною системою для стабілізації динамічних характеристик системи управління. Приведений приклад динамічних характеристик синтезованої цифрової робастної системи управління трьохопорною платформою. Іл.: 2. Бібліогр.: 6 назв.
Ключові слова: робастна система управління, трьохопорні платформи, стабілізація динамічних характеристик системи управління.
UDC 621.77
Sensitivity of digital robust control systems of a three-basic platform I Nikitina T.B. // Herald of the National State University "KhPI". Subject issue: Information science and modelling. - Kharkov: NSU "KhPI", 2008. - № 24. - P. 99 - 106.
This article deals with the digital mathematical model, digital robust control, digital robust observe for three-point guided platform as electrical mechanical systems. There is example of the digital robust control for three-point guided platform. Figs: 2. Refs: 6 titles.
Key words: robast control system, three-point platform, stabilization dynamic characteristics of a control system.
Поступила в редакцию 10.04.2008
