Синтез оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

применения предложенного метода и разработанных на его основе алгоритмов и инженерной методики получения искомых решений и особенно приближенных решений возрастает с ростом порядка цепи.

3. Получение при этом замкнутого приближенного периодического решения в виде двух составляющих позволяет также легко определять основные энергетические и спектральные характеристики исследуемых электрических и радиотехнических цепей (коэффициенты гармоник и искажения, а также коэффициент мощности), что является, однако, самостоятельной задачей.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Заездный A.M. Гармонический синтез в радиотехнике и электросвязи. - M. - Л.: Госэнергоиздат, 1961. - 535 с.

2. Зевеке Г. В., Ионкин П.А., Нетушил A.B., Страхов C.B. Основы теории цепей. Изд. 2-е. - M.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 440 с.

3. Толстов Г. П. Ряды Фурье.- M.: Наука, 1980. - 348 с.

4. Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. - M.: Гос. изд-во физ. -мат. литер., 1959. - 307 с.

5. Ханзел Г. Е. Справочник по расчету фильтров. США, Нью-Йорк, 1969. Пер. с англ. под ред. А. Е. Знаменского. - M.: Советское радио, 1974. - 288 с.

УДК 62-55:681.515

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ С ЧИСТЫМ

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В.И.Гостев, В.В.Крайнев, С.Н.Скуртов

Викладеш особливостг синтезу оптимальних по швидкодИ цифровых регуляторгв для об'ектгв з чистим затзнюванням. Надат результати дослгдження процесгв в системг автоматичного керування температурою електропечг при викорис-таннг оптимальних по швидкодИ цифрових регуляторгв.

Изложены особенности синтеза оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием. Представлены результаты исследования процессов в системе автоматического управления температурой электропечи при использовании оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов.

The features of synthesis optimal on speed of digital regulators for objects of control with a dead time are explained. The results of research of processes in the system of automatic control of temperature of the electric furnace at usage optimal on speed of digital regulators are represented.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математические модели многих промышленных объектов, рассматриваемых как объекты управления, могут быть представлены структурными схемами, содержащими звено чистого запаздывания. В частности, к таким объектам относятся парогенераторы, водяные котлы, электрические и газовые печи. Значительное место среди мероприятий по экономии топлива и электроэнергии занимает автоматизация процесса получения и потребления тепловой и электрической энергии и актуальной проблемой является разработка автоматов и систем автоматического управления параметрами этих промышленных объектов [1]. При разработке систем управления объектами с чистым запаздыванием одной из важных задач является синтез регуляторов, учитывающий указанную особенность объектов управления [2]. В известных работах [1,2] эта задача решалась на основе применения

робастных регуляторов. В данной работе решение этой задачи выполнено на основе синтеза оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов.

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Синтез оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием рассмотрен на примере конкретного объекта -электропечи большой мощности, передаточная функция линейной модели которой определена в работе [2] в виде

G ( * ) =

a

( s + a )( s + b )

(1)

1 и 1

где a = — ; b = — ; a =

K

0

t,

T1T 2

. Полученные в резуль-

1 12

тате экспериментальных измерений значения постоянных времени и коэффициента усиления следующие: Т2 = 122с , Т2 = 14, 5с, х = 3, 9с , К0 = 7, 2 С/% (управляющее воздействие на объект управления задается в процентах перемещения регулирующего органа). В качестве исполнительных устройств обычно используются устройства типа "электродвигатель + регулируемый вентиль". Поскольку постоянная времени электродвигателя намного меньше постоянных времени в передаточной функции (1), то исполнительное устройство можно представить интегрирующим звеном с передаточной функцией 1

(5) = - . Тогда передаточная функция общего объекта

1 5

управления для регулятора определяется в виде

G о ( s ) =

a

s ( s + a )( s + b )

При проектировании систем управления с оптимальными по быстродействию цифровыми регуляторами и объектами управления с чистым запаздыванием так, чтобы система "аппроксимировала" произвольное входное воздействие сигналом, который линейно изменяется на интервалах регулирования, необходимо определять оптимальные управляющие воздействия на объект управления. Эти воздействия для объекта с передаточной

функцией О (5) е -т,? можно найти, модифицируя полученные в работе [3] формулы для оптимальных управляющих воздействий на объект управления с передаточной функцией О (5) [4]. Так, на вход объекта управления с передаточной функцией О ( 5 ) = а е -т 5 [ 5 ( 5 + а )( 5 + Ь )]-1 необходимо на каждом интервале регулирования , начиная с момента пгр , п = 0,1,2,..., подавать воздействия ш0 =Ко(Аи + 5"оДо) + Яоп _ 1 при пгр < г < пгр + И ; ту =Ко[<?1 (Аи+^оДо) +ИАо]+Яоп _ 1 при Мр+Н <г < пг^+2И ; т2 = К0 [ д2 (Аи + До) + ИАо( 1 + д1)] + Я о п _ 1 при пгр + 2И < г < пгр + 3И ;

т3 = Я = — при пгр + 3И < г < пг + 3И + т

а

гр = 3 И + т ;

где К0 =

аЬ

0 аИ( 1 - А)( 1 - В) а + Ь И (2 +

5=3 И + а—Ь--1—

0 аЬ (1 - А)(1 - В)

т ; д1 = -(А + В) ; д2 = АВ

подынтервале пгр < г < пгр + 3И интервала регулирования пгр < г < (п + 1)гр можно описать передаточной функцией

(3)

т 0 + т 1 г 1 + т 2 г 2

Аи0 + Аи^-1 + Аи22

или разностным уравнением

г) = =

9(г)

(6)

^ 2 2 = ткАП1 _к- £ Шктг \ /А

1

к = 0

к = 1

(7)

где И - шаг квантования. На (п - 1) -м интервале

регулирования (п - 1)гр < г < пгр входное воздействие

характеризуется первой разностью (средней на интервале скоростью) оп _ 1, на п -м интервале регулирования

пгр < г < (п + 1)гр - первой разностью (средней на интервале скоростью) о ; приращение средней скорости на интервале регулирования пгр < г < (п + 1)гр можно определить как До = оп - оп_ 1 , п = 0,1,2,... .

Текущее значение скорости входного воздействия можно определить по формуле

о = { и(кИгЛ - и [(к - 1) И0 ]} / И0 ,

(8)

где И 0 - шаг моделирования, и использовать приближенное значение первой разности

л — -а и г, _ -

А = е ; В = е

Цифровой регулятор на каждом подынтервале пгр<г <пгр+3И интервала регулирования пгр < г <(п + 1)гр

можно описать передаточной функцией

оп = о( пгр)

(9)

Первая разность (средняя скорость) входного воздействия на предыдущем интервале регулирования (п - 1)гр < г < пгр определяется как

) = МЛ = т 0 + т1 г -1 + т 2 г - 2 9 (г) А и( 1 + г-1 + г-2)

(4)

или разностным уравнением

оп-1 = о[(п - 1)гр]

(10)

Тогда приращение скорости на интервале регулиро-

^2 2 ^ тг = ткЪг к - Аи £ тг /Ш, (5) \ = 0 к = 1 ^

где 9 = А и при индексе I - к > 0 и 9 = 0, т = 0 при индексе I - к < 0 .

Если обозначить через Аил ошибку в соответствующем контуре управления в моменты 1И , I = 0,1,2,... на интервале регулирования гр (А ^ - ошибка в момент

пгр , А и л - ошибка в момент, пгр + И , А и2 - ошибка в р 1 р 2

момент пгр + 2И ), то цифровой регулятор на каждом

вания пгр < г < (п + 1)гр определяется как

Ао = {о(пгр) - о[(п - 1)гр]}/гр .

(11)

3 ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ РЕГУЛЯТОРОВ

Для математических моделей объектов управления с чистым запаздыванием (см. формулу (2)) можно предложить общую структурную схему оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов, из которой можно получить несколько вариантов структурных схем, которые отличаются только блоками, реализующими различные соотношения времени запаздывания т и шага квантования в цифровом регуляторе И . Для объекта с

передаточной функцией (2) рассмотрим три варианта:

1 .Оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа А, для которого примем х = к = 4 с (х в реальном объекте равно 3, 9с ); 2.Оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа Б , для которого примем х = 2к = 4с ; 3. Оптимальный по быстро-действию цифровой регулятор типа В , для которого примем х = 4к = 4с . Регуляторы, названные условно типами А,Б и В , имеют одни и те же передаточные функции, но отличаются только шагом квантования (для типа А к = 4 с , для типа Б к = 2 с , для типа В к = 1с ).

Ниже рассмотрена цифровая система управления температурой электропечи, в которой используются: 1 - оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа А ;

2 - оптимальный по быстродействию цифровой регулятор

типа Б и 3 - оптимальный по быстродействию цифровой регулятор типа В . Исследование процессов в системе с указанными регуляторами при различных входных воздействиях проведено с использованием интерактивной системы МАТЬАБ. Структурная схема системы приведена на рис.1.

Общая структурная схема оптимального по быстродействию цифрового регулятора состоит из двух субблоков (на рис.1 эти субблоки обозначены SubSystem1 и SubSystem2).

Субблок SubSystem1 представляет собой оптимальный по быстродействию цифровой регулятор, проектируемый для объекта управления без учета звена запаздывания. Структурная схема этого цифрового регулятора (приведена на рис.2) выполняется непосредственно на основании формул (3), (8)-(11).

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Субблок SubSystem2, структурная схема которого приведена на рис.3, представляет дополнительную схему, которая проектируется специально для учета запаздывания в объекте управления. Для оптимального по быстродействию цифрового регулятора типа А , у которого h = t = 4c , в этом субблоке используется только одно звено запаздывания Unit Delayl (остальные звенья запаздывания отключены). Для оптимального по быстродействию цифрового регулятора типа Б, у которого h = t/2 = 2c , в этом субблоке используются два звена запаздывания Unit Delayl и Unit Delay2 (остальные звенья запаздывания отключены). Для оптимального по быстродействию цифрового регулятора типа В , у которого h = t/ 4 = lc , в этом субблоке используются все четыре звена запаздывания Unit Delayl - Unit Delay4.

4 РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На рис.4 показаны переходные процессы (реакции системы на единичное ступенчатое воздействие) при наличии в системе оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов типа А, для которого t = h = 4 c (кривая 1), типа Б, для которого t = 2h = 4c (кривая 2) и типа В , для которого t = 4h = 4c (кривая 3).

Для системы с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором типа А время регулирования Tp = 16c ; для системы с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором типа Б время регулирования Tp = 10 c ; для системы с оптимальным по быстродействию цифровым регулятором типа В время регулирования Tp = 7c . Таким образом, быстродействие

системы с регуляторами типа Б и В превышает быстродействие системы с регулятором типа А соответственно 1,6 раза и примерно в 2,3 раза. Оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы обеспечивают апе-

риодические переходные процессы (без перерегулирования).

Можно еще больше уменьшить время регулирования Тр для системы с оптимальными по быстродействию цифровыми регуляторами, уменьшая шаг квантования (например, приняв т = 8И = 4с , И = 0,5с ), но при этом несколько усложняется схема субблока 8иЬ8у81еш2 и, главное, значительно возрастают управляющие импульсы на выходе регулятора, что требует применения дополнительного усиления сигналов. 1.2

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Рисунок 4

При произвольном входном воздействии и (г) , которое изменяется с максимальной скоростью Юшах и максимальным ускорением £шах , удобно рассматривать эквивалентное гармоническое воздействие

иэ(г) = Ц^тюэг, (12)

параметры которого определяются из соотношений [4] ,,2 е

иэ =

w

w э =

w

(13)

Процессы в системе с оптимальным по быстродействию регулятором типа А

Процессы в системе с оптимальным по быстродействию регулятором типа Б

1 5 1 0 5 0 -5 -1 0 -1 5

2

0 1 20 240 360 480 600 720

а )

1 .5 1

0.5 0

-0.5

1 ^ллЛЛЛЛЛЛЛЛЛАллл^

С

0 1 20 240 360 480 600 720

1 5 1 0 5 0 -5 -10 -15

1 .2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0

-0.2

0 120 240 360 480 600 720

а )

б)

0 120 240 360 480 600 720

б )

В свою очередь, если заданы параметры эквивалентного гармонического воздействия, то максимальная скорость Ютах и максимальное ускорение £тах произвольного входного воздействия находятся из соотношений

Рисунок 5

ВЫВОДЫ

= иэ®э ; етах = иэ^э

(14)

Процессы в системе (см. рис.1) с оптимальными по быстродействию цифровыми регуляторами типа А и В при поступлении на вход системы эквивалентного гармонического воздействия

иэ(I) = Шт(Я//360),

(15)

где Пэ =10; Юэ=Р/360 » 8, 72х10 рад/с , приведены

на рис.5, где и (/) - вход системы, х (/) - выход системы, 9( /) - ошибка рассогласования.

Отслеживание входного эквивалентного гармонического воздействия в системах с указанными регуляторами (без учета большого выброса при захвате входного сигнала) достаточно точное: максимальная текущая ошибка в системе с оптимальным по быстродействию регулятором типа А достигает примерно 7% от амплитуды входного воздействия, а максимальная текущая ошибка в системе с оптимальным по быстродействию регулятором типа В составляет примерно 3%.

Проведенные исследования процессов в системе автоматического управления температурой электропечи показывают, что оптимальные по быстродействию цифровые регуляторы можно эффективно использовать не только при ступенчатых входных сигналах, но и при произвольных воздействиях с ограниченными скоростью изменения и ускорением. Следует считать, что применение оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для стационарных объектов управления целесообразно и дальнейшая разработка таких регуляторов для различных объектов с чистым запаздыванием перспективна.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 296 с.

2. Ротач В.Я. Расчёт робастной настройки автоматических регуляторов // Теплоэнергетика. - 1994. - №10. - С.7-12.

3. Гостев В.И., Стеклов В.К. Системы автоматического управления с цифровыми регуляторами: Справочник. - К.: "Радюаматор", 1998. - 704 с.

4. Гостев В.И., Лесовой И.П., Чуприн А.Е. Применение оптимальных по быстродействию цифровых регуляторов для объектов управления с чистым запаздыванием // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2000. -N2. - С.6-11.

5. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1970. - 576с.