Сферические функции на однополостном гиперболоиде, комплексные оболочки и формула Планшереля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Сферические функции на однополостном гиперболоиде, комплексные оболочки и формула

Планшереля 1

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: однополостный гиперболоид, комплексные оболочки, сферические функции

Для однополостного гипербололида в трехмерном вещественном пространстве построены 4 комплексные оболочки, указаны сферические функции на гиперболоиде, которые могут быть продолжены аналитически на эти оболочки (каждой оболочке отвечают сферические функции какой-нибудь одной серии), найдены операторы проектирования на подпространства, в которых действуют представления какой-нибудь одной из серий, и написаны соответствующие ядра Коши-Сеге

Настоящая работа продолжает нашу работу [3] о сферических функциях и комплексных оболочках на однополостном гиперболоиде X в трехмерном вещественном пространстве К3, В разложение квазирегулярного представления псевдо-ортогональной группы О = ЯО0(1, 2) на X входят неприводимые унитарные представления непрерывной серии с кратностью два и голоморфной и антиголоморфной дискретных серий с кратностью один. Само разложение эквивалентно разложению дельта-функции па X по сферическим функциям этих серий.

Мы строим четыре комплексные оболочки гиперболоида, X и указываем сферические функции на гиперболоиде, которые могут быть продолжены аналитически на эти оболочки; каждой оболочке отвечают сферические функции какой-нибудь одной серии. Мы находим операторы проектирования на подпространства, в которых действуют представления какой-нибудь одной из серий, и пишем соответствующие ядра Коши-Сеге, В частности, это решает задачу характеризации серий с помощью комплексных оболочек (программа Гельфанда—Гиндикина),

Аналитическое продолжение сферических функций дискретных серий было получено в нашей работе [2].

§ 1. Однополостный гиперболоид и комплексные оболочки

1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349

Введем в К3 билинейную форму

[х,у] = -Ж1У1 + Ж2У2 + ХзУз, (1.1)

где х = (х^х2,х3), у = (уьу2,у3). Пусть X - однополоетный гиперболоид [х, х] = 1 в К3. Пусть О = ЯО0(1, 2) - связная группа линейных преобразований пространства К3, сохраняющих форму [х, у]. Мы будем ечитать, что О действует справа: х ^ х$, в соответствии с этим записываем вектор в виде строки. На гиперболоиде X группа О действует транзитивно. Инвариантная мера есть ^х = |х3|-1 ^х1 ^х2, Скалярное произведение в пространстве Ь2^, ^х) по этой мере дается формулой

(/ъ/2)х = / /1(х) /2(х)

,/х

Стационарная подгруппа Н точки х0 = (0, 0,1) Е X состоит из матриц

/ еЬ Ь вЬ Ь 0 \

к = I вЬ Ь еЬ Ь 0 I ,

V 0 0 ч

она изоморфна ЯО0(1,1) Следовательно, X = О/Н,

Приведем некоторый материал из [3] о комплексных оболочках гиперболоида,

X.

Распространим билинейную форму [х, у] на пространство С3 формулой (1.1). Уравнение [х, х] = 1 в С3 задает комплексный гиперболоид Xе, Комплексные оболочки У± гиперболоида X - это следующие четыре комплексные подмногообразия в Xе:

П+ : —1 < [х, х] < 1, 1тх1 > 0,

П- : —1 < [х, х] < 1, 1тх1 < 0,

У + : [х, х] > 1, 1т — < 0,

х2

У- : [х, х] > 1, 1т — > 0,

х2

Сопоставим каждой точке х многообразий У± ее третью координату

х3. Тогда образом многообразия служит вся комплексная плоскость С с

разрезами (—то, —1] и [1, +то), а образом многообразия У± - вся плоскость С с разрезом [—1,1].

Пусть ^(и) и О(у) - аналитические функции па и У± зависящие только от третьей координаты: ^ (и) = / (и3) и О (у) = ^(у3). Пусть точ ки и Е и у Е У± стремятся к точке х Е X. Тогда

Пт ^(и) = /(х3 ± *0 ■ х1х3),

Пт О(у) = д(х3 ^ *0 ■ х2).

2. Представления группы G = SOo(1, 2)

Напомним некоторый материал о представлениях Т, группы G, см,, например,

[4]. Мы используем компактную картину. Для многообразия M через D(M) обозначается пространство функций класса со значениям и в С на Me компактным носителем и через D'(M) обозначается пространство обобщенных функций на M - антилинейных непрерывных функционалов на D(M),

Пусть S - сечение конvca [x,x] = 0 плоскостью x1 = 1, это - окружность, состоящая из точек s = (1, sin a, cos а), где а £ R Эвклидова мер а па S есть ds = da Представление Т,, а £ С, группы G действует в D(S) следующим образом:

(Т,(g)f) (s) = f ( (sg), ,

где g £ G. индекс 1 указывает первую координату. Если а - не целое, то Т, неприводимо и эквивалентно Т-0-—1, Возьмем в D(S) базис, состоящий из функций

фт(s) = eima, m £ Z.

Если а - целое, то подпространства V,,+ и V,,—, порождаемые функциями фт с m ^ — а и m ^ а, соответственно, инвариантны.

Эрмитова форма

(ф,^Ь = / ф(^ <£(s) ds (2.1)

Js

инвариантна относительно пары T,, Т-,-1, то есть

(т,^)s = (ф T-,-1(g-1)^S. (2.2)

Имеется четыре серии неприводимых унитаризуемых представлений: непрерывная серия, состоящая из Т,, а = —1/2 + ip, р £ R со скалярным произведением (2,1); дополнительная серия, состоящая из Т,, —1 < а < 1; и две дискретные

серии - голоморфная и антиголоморфная: Т+ и Т“, n £ N = {0,1,2,...},

соответственно; представление Т± есть фактор-представление представления Тп, действующее bD(S)/Vn,т, оно эквивалентно представленпю T±n_ь действующему в подпространстве V—n-1,±.

Т,

V(S) формулой (2,2), где (ф, ^)s означает значение обобщенной функции ф на основной функции <£.

3. Сферические функции

Сначала укажем обобщенные функции 9ъ Р'($), инвариантные относительно Н в представлениях То и их подфакторах, см,, например, [4]. Мы используем стандартные обозначения для обобщенных функций на прямой: (г ± *0)°, а

также

= |г|о = г+ + (-1)£ г-,

где а € С е € фактически эта функция зависит только от е по модулю два, так что можно брать е = 0, 1,

Пространство Н-ннвариантов для То имеет размерность 2 для а = — п — 1 и размерность 3 для а = —п — 1 (здесь п € М),

Для а € ^ возьмем базис

(«) = («э ± *0)°

= ([ж0, «] ± *0)°. (3.1)

Н

до множителя, В частности, для Т±„_1 инвариантом является

ⱄ-1(«) = («э Т *0 ■ 82)-"-1. (3.2)

Для а € ^ мы определяем 4 сферические функции Фо,±,±(ж), знаки берутся в произвольных сочетаниях, а для а = п € N мы определяем 2 сферические функции Ф„,±(ж). Эти функции оказываются локально интегрируемыми функциями на X, инвариантными относительно Н, А именно, мы полагаем

Фа,±,±(ж) = (0-ст-1,± ,Т0 (д-1) 6>о,±)я ,

Ф„,±(ж) = (0±га-1, Т„ (д-1) ^„,„+1)5 ,

где д - такой элемент из С, что ж0д = ж. Подставляя (3,1) и (3,2), получим Фа,±,±(ж) = / («э ± *0)-о-1([ж, в] Т *0)° ^,

Л Я

Ф„,±(ж) = [ (вэ ± *0 ■ 52)-„-1 [ж,з]„’”+1 ^.

ЛЯ

Эти функции выражаются через функции Лежандра Ро (±жэ) и (жэ), Функции

Лежандра (г) и ^ (г) определены в плоскости комплексного переменного г с разрезами [—1,1] и (—то, —1], [1, +то), соответственно, см, [1], На разрезах мы

определяем эти функции как полусумму предельных значений сверху и снизу.

Введем следующие функции на X:

А,±(ж) = Г Ро(жэ), Жэ > —1, \ Р<т (жэ) Т * 81п ап ■ sgп ж1 ■ Ро (—жэ), жэ < —1, (3.3)

В,±(ж) = Г Ро(—жэ) Т *81п ап ■ sgпж1 ■ Ро(жэ), жэ > 1, \ Ро(—Жэ), Жэ < 1, (3.4)

3? Г ф„(жэ), |жэ| > 1, 1 ^„(жэ) ± (*п/2) ■ sgпЖ2 ■ Р„(жэ), |жэ| < 1, (3.5)

Эти функции являются предельными значениями на X аналитических функций на П±, а именно,

Аст,±(ж) = Иш(и3), и € П±, и ^ х,

Вст,±(ж) = Иш(—и3), и € П±, и ^ ж,

С„,±(ж) = Иш^„(уз), У € У±, У ^ х.

Сферические функции выражаются через функции (3,3), (3,4), (3,5) следующим образом:

Фст,ъ±(х) = ± 2П ■ Аст,± (ж),

Фст,±,±(х) = ^ 2пг ■ етгстп Вст,±(ж),

Ф„,±(х) = 4 С„,±(ж),

±

Из (3,3), (3,4), (3,5) получаем, что функции Лежандра (±ж3), ^„(ж3) -

полусуммы функций А, В, С:

Р<г (ж3) = 2 У у Аст,±(ж),

2 ±

(-Х3) = 2 у вст,±(х), (з.б)

2 ±

^„(х3) = 1 У Сст,±(ж). (3.7)

4. Формула Планшереля

В разложение квазирегулярного представления на однополостном гиперболоиде X входят представления непрерывной серии с кратностью два и обеих дискретных серий (голоморфной и антиголоморфной) с кратностью один.

Обозначим через £(ж) дельта-функцию на X, сосредоточенную в точке ж0:

(£,/ )х = /(ж0)

Формула Планшереля для X равносильна разложению этой дельта-функции по сферическим функциям, см., [4]. Отметим, что в [4] мы использовали другой базис для сферических функций непрерывной серии. Запишем формулу Планшереля из [4], заменяя сферические функции их выражениями через функции Лежандра:

СЮ

где а = -(1/2) + гр.

Заменим здесь функции Лежандра их выражениями через Вст,±(ж) и Сст,±(ж), см,, (3,6) и (3,7), Мы получим разложение дельта-функции в сумму четырех обобщенных функций:

^(ж) = (ж) + Е-(ж) + Е+(ж) + (ж) (41)

где

_1± 1 р вЬ рп

Ес(ж) = 8п у (сЬрп)2 р<7(—х3) а = -(1/2) +

1 ^

Е±(ж) = 4П2 У (2п +1) ^„(х3).

„=0

Разложение (4,1) отвечает разложению пространства Ь2(Х, йж) па подпространства, в которых действуют отдельные серии представлений:

Ь'2(Х, йж) = Я+ + Я- + Я+ + Я-, (4.2)

- непрерывная, непрерывная, голоморфная дискретная, антиголоморфная дискретная, соответственно,

Удается вычислить явно обобщенные функции из (4,1), а именно,

1 1 г

= 4«- 4п (х3 - Ц-1 ± 4п (г + + г-), (4.з)

1 1 г

= 4+ 4п (х3 - Г1 ± 4п (г + - г-), (4.4)

где г± - следующие обобщенные функции на X:

Г ^ _________ й/

(г±,/)х = /(/, ±/, 1) -, / € ©(X).

о — ^ ^

Это - интегралы по прямолинейным образующим на X. прптпятпим через ж0,

Я

Обобщенные функции из (4,1) являются предельными значениями функций на комплексных оболочках:

Е±(ж) = 11ш4п2 (1 - и3)—1 (4.5)

Е±(ж) = 11ш4Л2 (У3 - 1) —1, (4.6)

пределы берутся при и ^ ж и € П±, и при у ^ ж У € У±, соответственно. Предельные соотношения (4.5), (4.6) понимаются в следующем смысле. Сначала мы продолжаем па X с комплексных оболочек такие же функции с показателем А вмест о -1, а затем пола гаем А = -1:

" 1

Е±(ж) = Е±(ж) =

Иш4Л2(1 - и3)Л 11ш412 (У3 - 1)Л

Л= 1

Л= —1

5. Проекторы на серии, ядра Коши^Сеге

Обозначим через П± П± операторы в Ь2(Х, ^ж), проектирующие па подпространства соответственно. Их явные выражения получаются из (4,3), (4,4) с помощью сдвига, А именно, для / € Р(Х) мы имеем

векторы е± € Б получаются из век торов (1, ±1, 0) сдвигом на эле мент д € О такой, что ж = ж0д, а именно,

Значение операторов Ш± от функции /в точке ж - это интегралы от функции / по прямолинейным образующим на X, проходящим через ж, по мере, инвариантной

ж

Отметим любопытное обстоятельство: разности П+-П- и П+-П- операторов проектирования выражаются только через операторы Ш±

Подпространства (4,2) являются собственными для этих разностей с собственными

1, -1, 0, 0 0, 0, 1, -1 Наконец, из (4,5) и (4,6) с помощью сдвига мы получаем ядра Коши-Сеге, отвечающие подпространствам и

±

^ [(ШV)(ж) + (Ш-/)(ж)]

±

в;

'X

±

Е±(у,ж) = 4П ([у,ж] - 1) 1, у €^± ж €х.

Литература

1, Г, Бейтмен, А, Эрдейн, Высшие трансцендентные функции, Гипергеометрическая функция, функции Лежандра, М.: Наука, 1965,

2, В, Ф, Молчанов, Квантование на мнимой плоскости Лобачевского, Функц, анализ и его прил,, 1980, том 14, вып. 2, 73-74,

3, В, Ф, Молчанов, Аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии для однополостного гиперболоида,. Вестник Тамбовского унии. Серия: Естественные и технические науки, 2008, том 13, вып. 6, 586-597,

4, V, F, Molchanov, Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet, Acta Appl, Math,, 2004, vol. 81, Nos, 1-3, 191-204,

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года

V. F. Molchanov. Spherical functions on the hyperboloid of one sheet, complex hulls and Plancherel fofmula

For the hyperboloid of one sheet in the three-dimensional real space, we construct 4 complex hulls, determine spherical functions on the hyperboloid that can be continued analytically on these hulls (there is a correspondence between hulls and series of spherical functions), find projectors on subspaces where representations of separate series act, and write corresponding Cauchv-Szego kernels

Keywords: hyperboloid of one sheet, complex hulls, spherical functions