Розв’язок крайової задачі оптимального керування в критичному випадку Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлiння. 2013. № 2

УДК 517.9

Панасенко G. В.

Канд. фiз.-мат. наук, ст. викладач, Запорзький нацональний унверситет, Украна, E-mail: panasenko.yevgeniy@gmail.com

РОЗВ'ЯЗОК КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ _В КРИТИЧНОМУ ВИПАДКУ_

У статп розглянуто крайову задачу в критичному випадку, яка виникае в теорй оптимального керування для матричних диференщальних рiвнянь. Знайдено умову розв'язност таких задач. Запропоновано тдхщ до знаходження й розв'язку за допомогою теорй псевдообернених матриць.

Ключовi слова: керуючий процес, крайова задача, псевдообернена матриця, нормальна фундаментальна матриця.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ

Всюди в навколишньому свiтi протiкають рiзнi про-цеси, характер яких залежить вiд багатьох умов i фак-торiв. Змiнюючи умови протiкання процесiв, людина може впливати на !х характер, змiнювати !х, пристосову-вати до сво!х цiлей. Це втручання в природний хщ проце-су i являе собою сутнiсть керування в широкому сена слова. Можна сказати, що керування представляе собою таку оргашзащю того чи iншого процесу, яке забезпе-чуе досягнення певних цшей.

При розгляданнi реальних керованих об'екпв перш за все виникае задача керування рухом [1], яка зводиться до розв'язку крайово! задачi для системи звичайних дифе-ренцiальних рiвнянь першого порядку, розмiрностi п х п. Розв 'язання таких задач приводить до певних труднощiв, що характерно для випадов керування системами, в яких шльшсть процесiв перевищуе к1льк1сть вiдомостей про початковий стан. На практищ розв'язнiсть таких приклад-них задач грунту еться на <^зичних мiркувaннях» та немае строгого теоретичного тдгрунтя.

Важливим частинним випадком е лшшш звичайнi системи матричних диференщальних рiвнянь, як1 моде-люють лшшт технологiчнi та економiчнi процеси [2]. Це системи наступного вигляду:

dx dt

= A(t)x(t) + B(t)u, t0 < t < T,

(1)

де x(t) e Rn - фазовий вектор, u(t) e Rm - вектор керування. Матрищ A(t) i B(t) припускаються неперервни-ми, розм1рносп n х n i n x m в1дпов1дно. Допустимим керуванням вважаеться довшьне кусково-неперервне керування u = u (t ), причому ва точки розриву функцп u = u(t ) - першого роду (якщо так1 е). Кожному такому допустимому керуванню в1дпов1дае единий розв'язок крайово! задача

dx dt

= A(t)x(t) + B(t)u(t), t0 < t < T,

(2)

Mx(t0 ) = a,

(3)

де М - матриця розмiрностi т х п, а е Ят. Зокрема, цiкавлять умови юнування розв'язку крайово! задачi (2)-(3) i визначення функцп х(?), яка задовольняе крайовiй умовi (3) при вщомому вхвдному процесi и (?). Якщо процес х(?) отриманий, то визначення виходу системи у(?) не представляеться складним i виконуеться безпосеред-ньо по рiвнянню виходу у(?) = С (?) х(?) + Б^иЦ) [3,4].

АНАЛ1З ОСТАНН1Х ДОСЛДЖЕНЬ I ПУБЛЖАЦШ

Сьогоднi у теорп керування при аналiзi лiнiйних систем традицшно використовують щдходи, як1 е досить вщо-мими в теорп диференщальних рiвнянь [5, 6, 7].

В залежносп вщ вигляду крайово! умови (3) отримуе-мо рiзнi крайовi задачi. Наприклад, в робой [3] побудова-но розв'язок для задачi Кошi, коли М = 1п, де 1п - оди-нична матриця (визначено функцiю х(?) по заданому початковому стану хд при вiдомому вхiдному процесi и(?)), використовуючи поняття фундаментально! (пере-х1дно! або iмпульсно!) матрицi [2, 3] у вигляд

x(t ) = ф((, t0 )x0 + |ф((, x)B(x)u(x)dx

(4)

де Ф(/, ) = X (/ )Х-1(?о).

В роботi [4] розглянута крайова задача при ? е [0; Т ] i крайовою умовою загального вигляду £х() = а, ае я п, де I: Бп[0;Т] ^ Яп - лiнiйний обмежений вектор-фун-кц1онал. Для розв'язностi задачi вимагаеться, щоб

ёефХ0. (5)

Таким чином розв'язтсть крайово! задачi не залежить вщ неоднорщностей диференцiального рiвняння (2) i ввд а е Яп. 1з вигляду (5), очевидно, що розв'язнiсть зaдaчi залежить тшьки вщ фундаментально! матрищ X ) та век-тор-функцiонaлa I. При виконанш умови (5) розв'язок

© Панасенко е. В., 2013

t

0

МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

задачi даеться через матрицю rpiHa

т

x(t) = X(()[X]-1а + JG(t,x)B(x)u(x)dx . (6) 0

В данш робоп розглядаеться випадок, коли не вимагаеть-ся виконання умови (5). Бiльш того, не вимагаеться, нaвiть,

щоб матриця [(X] була квадратною. В цьому випадку от-римаемо крайову задачу, в якш к1льк1сть крайових умов не ствпадае з к1льк1стю невщомих у систем [6, 7].

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛДЖЕННЯ

Наряду з неоднорiдною крайовою задачею (2)-(3), розглянемо однорiдну крайову задачу

dx dt

= A(t)x(t), t0 < t < T,

Mx(t0) = 0 . Розв'язок x(t) рiвняння (2)

(7)

(8)

x(t) = x0 + J (A(s) x(s) + B(s)u(s))ds,

(9)

неперервно-диференцшований в кожнш точц1 t e ] i задовольняе рiвнянню (2) всюди на вiдрiзку [t0; T ]. Отже розв'язок x(t) рiвняння (2) будемо шукати в просторi C1([t0;T]) неперервно-диференцiйовaних на [t0;T] функц1й.

Знайдемо умови юнування та структуру розв'язк1в неоднорщно! сшнченновишрно! крайово! зaдaчi (2), (3).

Використовуючи апарат теорп псевдообернених мат-риць [6, 7], знайдемо необхщт та достатт умови розв'яз-ностi крайово! зaдaчi (2), (3) в прост^ неперервно-ди-

ференцiйовaних на вiдрiзку [t0; T] функцiй. Позначимо через X (t, т) - нормальну фундаментальну матрицю, яка задовольняе матричному рiвнянню:

dX (t, т) dt

= A(t) X (t, т);

X(т, т) = I - одинична матриця. Загальний розв'язок матричного рiвняння мае вигляд [8]

x(t) = X (t) x0 + x(t), X (t) = X (t, t0),

(10)

де x0 = x(t0) - елемент простору Rn, x(t) - частинний розв'язок неоднорiдного рiвняння (2), який може бути записаний у виглядi

_ t

x(t) = X (t) J X _1(x) B(x)M(x)dx.

П1дставимо (10) в крайову умову (3) та отримаемо на-ступне алгебра1чне рiвняння ввдносно елемента x0 e R n:

Qx0 = а,

(11)

де Q = MX (t0) - матриця, отримана пгдстановкою в крайову умову (3) нормально! фундаментально! матрищ X (t) однорщно! системи (7).

Ведомо [5], що алгебра!чна система (11) розв'язна тода i тальки тодi, коли права частина належить ортогональному доповненню ^N(Q*) = R(Q) пiдпростору N(Q*), тобто виконуеться умова

P * а = 0. (12)

N(Q ) (12)

При цьому загальний розв'язок системи (11) мае виг-

ляд

x0 = Q+а + PN (Q)c,

(13)

де Q + - псевдообернена матриця по Пенроузу [9] до мaтрицi Q; c - довiльний елемент з простору r n.

Пiдстaвимо x0 у вираз (10), отримаемо загальний розв'язок крайово! зaдaчi (2), (3) у вигляда

x(t) = X (t)PN(Q)C + X (t)Q+а + K[f](t), (14)

де K[ f ](t) - оператор Грша зaдaчi (2), (3), який дiе на функцiю f (t) e C ([t0; T ]) наступним чином:

t

K[f ](t) := X(t) JX_1(x)B(x)w(x)dx. (15)

t0

Випадки крайових задач, для яких виконана одна з умов rank Q = n або rank Q < n, е ввдповвдно некритичними i

критичними, де Q = MX (t0) - (m х n) - вимiрнa матриця, отримана пiдстaновкою у крайову умову нормально!

фундаментально! матрищ X (() однородно! системи (7). Таким чином, доведено наступне твердження. Теорема. Якщо rank Q = nb то однорiднa крайова задача (7)-(8) мае r = n - n1 i тiльки r лiнiйно незалежних розв'язшв. Неоднородна крайова задача (2)-(3) розв'язна

тода i тiльки тодi, коли виконана умова Pn (q* )а = 0 i при цьому мае r -параметричну родину розв'язшв

x(t, Cr) = X (t )Pn (Q)Cr + X (t)Q+а +

t

+ X(t) JX_1(т)B(x)u(x)dx, (16)

де Pn(Q) = I - Q+Q, PN(Q*) = I - QQ - ортопроектори

на ядро N (Q) i коядро N (Q*) матрищ Q ввдповвдно, Q + -псевдообернена матриця до матрищ Q.

0

t

0

ISSN 1607-3274. Радюелектронжа, шформатика, управлшня. 2013. № 2

Приклад

Нехай керуючий процес описуеться крайовою задачею (2)-(3), де x(t) e R3 - фазовий вектор,

t0 = л/з<t<3 = T, u(t) = (1 +12)eR1 - вектор керуван-

ня та зaдaнi мaтрицi A(t) =

2t 0

1 +12

0 2t

1+t

0 0

B(t) =

(1 ^ [ 1

1 , M = 2

0 0

а =

Нормальна фундаментальна матриця для задано! за-

'1 +12 0 0 ^ 3

дaчi мае вигляд X (t) = 0 1 +12 0

0 0 1

Рiвняння (11) представляе собою систему алгебра!ч-них рiвнянь

[ 2 -2 -11 [18 9

0 - 2 1

3

ввдносно елемента x0 e R . P *

0 N (Q*)

x0

(17)

00 00

тому умо-

ва розв'язностi (12) для дано! крайово! зaдaчi виконана нaспрaвдi для довiльних а e R2 у тому чи^ i для

(181 2

а = I 9 I e R . Система (17) е недовизначеною, розв'язок яко! знаходиться за формулою (13), де

Q+ =

5 -1

18 6

1 -1

2 1

9 3

PN (Q)

4 2 4

9 9 9

2 1 2

9 9 9

4 2 4

9 9 9

У достовiрностi отриманого результату можна пере-конатися елементарною перевiркою, а саме, пiдстaвити (18) в крайову задачу (2)-(3).

ВИСНОВКИ

Робота присвячена знаходженню умов розв'язносп та побудови розв'язку критичних крайових задач, як ви-никають в задачах теори керування руху, в яких к1льк1сть крайових умов не ствпадае з шльшстю неввдомих у система Крiм того, даний тдхвд можна застосувати до задач про аналггичне конструювання регуляторiв i про опти-мальну стaбiлiзaцiю [2, 6], при розв'язку яких виникають матричт рiвняння Рiккaтi.

СПИСОК ЛГГЕРАТУРИ

1. Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / В. И. Ванько, О. В. Ермо-шина, Г. Н. Кувыркин. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. - 488 с.

2. Егоров, А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. / А. И. Егоров. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 384 с.

Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. - С.Пб. : Наука, 2000. -475 с.

4. Максимов, В. П. Теория оптимального управления. Часть 2 элементы теории линейных операторов и операторных уравнений / В. П. Максимов, П. М. Симонов. - Пермь : Перм. гос. ун-т, 2010. - 80 с.

5. Бойчук, А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач / А. А. Бойчук. - К. : Наукова думка, 1990. - 96 с.

6. Бойчук, А. А. Обобщенно-обратные операторы и нетеро-вы краевые задачи / А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко. - К. : Институт математики НАНУ, 1995. - 320 с.

7. Boichuk, A. A. Generalized inverse operators and fredholm boundary-value problems / A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko. -VSP, Utrecht-Boston, 2004. - 317 p.

8. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далец-кий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1970. - 536 с.

9. Penrose, R. Generalized Inverse for Matrices / R. Penrose // Proc. Cambriadge Philos. Soc. - 1955. - Vol. 51, № 3. -P. 406-413.

Статгя надшшла до редакци 14.03.2013.

Неоднорщна крайова задача мае 3-параметричну родину розв'язшв (формула (16)):

x(t ) =

(+,2)-Гз)+2+212 +(9+9,2 |c, +

2 2 2 1 [4 4 2

- + —t2 |c2 +1 —+—t2 |c3 9 9 I 2 I 9 9 13

19 9

99

99

4 2 4

-1 +--ci +— c2 +— c3

9 9 9

Л

(1+12)-vj)- 5 - 5t2+f 2+212 V+[ 1+112 c+(2+212 c3

e RJ

(18)

2

0

1

1

МАТЕМАТИЧНЕ ТА КОМП'ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Панасенко Е. В.

Канд. физ.-мат. наук, доцент, Запорожский национальный университет, Украина

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

В статье рассмотрена краевая задача в критическом случае, которая возникает в теории оптимального управления для матричных дифференциальных уравнений. Найдено условие разрешимости таких задач. Предложен подход к нахождению решения задачи с помощью теории псевдообратных матриц. Такие задачи могут возникать при моделировании линейных технологических и экономических процессов. Кроме того, данный подход применим к задачам об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальной стабилизации.

Ключевые слова: управляемый процесс, краевая задача, псевдодбратная матрица, нормальная фундаментальная матрица.

Panasenko Y. V.

Ph.D. Candidate (Candidate of Physico-mathematical Sciences), Associate Professor, Zaporizhzhya National University, Ukraine SOLUTION OF THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL IN THE CRITICAL CASE

The article describes the boundary-value problem of the theory of optimal control for matrix differential equations in the critical case. This problem is urgent for wide range of applications like modeling of linear technological and economic processes. A problem of

controlling movement is reduced to solutions of boundary-value problems of n x n systems of ordinary differential equations of the first

order. Solution of these tasks is very complex in case of control of systems in which the number of processes exceeds the amount of information about the initial state.

The paper is devoted to finding conditions for solvability and construction solutions of boundary-value problems in critical case of the theory of motion control, in which the number of boundary conditions does not coincide with the number of unknowns in the system. The condition of solvability of such problems is found. Author describes the approach for solution to the problem with the help of theory of pseudoinverse matrices.

In addition this approach is applicable to the problem of analytic construction of regulators and the optimal stabilization. Keywords: controlled process, boundary-value problem, pseudoinverse matrix, normal fundamental matrix.

REFERENCES 5. Boichuk A. A. Konstruktivnye metody analiza kraevykh

zadach. Kiev, Naukova dumka, 1990, 96 p.

1. Vanko V L, Yermoshina О. V, Kuvyrkin G. N. Variatsionnoye 6. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F., Samoilenko A. M. ischisleniye i optimalnoye upravleniye: Ucheb. dlya vuzov. Obobshchenno-obratnye operatory i neterovy kraevye Moscow, Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 2°°6, 488 p. zadachi. Kiev, Institut matematiki NANU, 1995, 320 p.

2. Egorov A. L Obyknovennye differentsialnye uravneniya s 7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse 3nlozheniyami. 2-e izd., ispr. Moscow, FIZMATLIT, 2°°5, operators and fredholm boundary-value problems. VSP, 384 p. Utrecht-Boston, 2004, 317 p.

3. Andrievskii B. R., Fradkov A. L. Izbrannye glavy teorii 8. Daletskii Yu. L., Krein M. G. Ustoichivost reshenii

avtomaticheskogo upravleniya s primerami na yazyke differentsialnykh uravnenii v banakhovom prostranstve.

MATLAB, Sankt-Peterburg, Ma, 2000, 475 p. Moscow, Nauka, 1970, 536 p.

4. Maksimov V. P., Simonov P. M. Teoriya optimalnogo 9. Penrose R. Generalized Inverse for Matrices, Proc.

upravleniya. Chast 2 elementy teorii lineinykh operatorov i CambriadgePhilos. Soc, 1955, Vol. 51, No. 3 , pp. 406-413.

operatornykh uravnenii. Perm, Perm. gos. un-t, 2010, 80 p.