CC BY
8
УДК 539.3 Доц. О.М. Римар1, канд. техн. наук;
проф. 1.С. Керницький2, д-р техн. наук
ЗАСТОСУВАННЯ НОВОГО РОЗВ'ЯЗКУ ПРОСТОРОВО1 КОНТАКТНО! ЗАДАЧ1 ДЛЯ Т1Л З РЕАЛЬНИМИ РОЗМ1РАМИ
Застосування нового розв'язку задачi Герца, задовольняе Bci Heo5xiflpi вимоги теорЙ пружностi та дозволяе визначити параметри напруженого стану тш з реальни-ми pозмipами.
О.М. Rymar, I.S. Kernytskyy Application of solving the newest Hertzian contact problem for real bodies
The argumentation for application of solving the newest Hertzian contact problem are shown in this article. The solving of this problem is based on a system of displacement that satisfies the elastic theory conditions for real bodies.
Теорiя Герца i сьогоднг e основою розв'язку ряду прикладних задач те-орГ! пружностг. Вгдомий розв'язок задачi Герца [1] мае особливостг [2], як суттево звужують його застосування та викликають сумнiви щодо точностi визначення паpаметpiв напруженого стану контактуючих деталей [3]. З метою усунення вказаних особливостей запропоновано новий [4] розв'язок за-дачi, який задовольняе всг вимоги теорг! пpужностi, граничну умову безмеж-ностi щодо перемгщень вздовж осг z дг! зовнгшнього зусилляР^
wz о (1)
та умову про статичну еквгвалентнгсть суми нормальних напружень sz величинг зусилля Pz=0 для довгльного перергзу пгвпростору площиною z=const [5], тобто
Pz=0 = Pz=const =-М S Zrrdr, (2)
о
де szr -функцгя розподглу нормальних напружень в радгальному напрямку.
1 Львiвський шститут пожежно! безпеки
2 Нащональний yнiверситет мЛьвiвська полггехшка"
Новий розв'язок показуе наявнкть, для точок площадки, контакту до-тичних напружень txz, tyz [5] та меншу, в 1/ (l + 2v) раз, суму нормальних нап-ружень ox, oy, oz [6] ropiB^ro з вiдомим, тобто обидва розв'язки суттево ввд-piзняються.
Метою роботи е пошук та шдтвердження тако!' iдеí нового розв'язку, яка забезпечить його застосування для тал з реальними pозмipaми у повному дiaпaзонi значень ексцентриситета елiпсa площадки контакту 0 < k < 1. Такою iдеею е метод, який дозволяе перейти вiд необмежених до обмежених тiл в рамках просторово!' контактно!' зaдaчi.
Розглянемо необхщнкть виконання умови (1). Автори робгг [1], (ст. 46, 47, 57), [7], (ст. 22, 24, 38), неодноразово стверджуючи про ц виконання пере-мiщеннями u, v, w вздовж осей x, y, z вщповщно та про виконання умови
Vhz®¥ ®0, VH ° w (3)
для ньютонового потенцiaлу простого шару VH [1], (с. 46), не наводили ре-зультaтiв дослщжень цього питания.
В основу ввдомого розв'язку [1] покладена система перемщень зaдaчi Буссiнескa з потенцiaлом V0=1/r, при цьому потенцiaл VH розглядуеться як
VH °Va, де r = yj(x-X)2 +(y-h)2 + z2.
1з теоpií потенцiaлу вiдомо ([8], 15.6), що для необмеженог областа V розв'язок Ф (r) диференщальних piвиянь Лапласа iснуе та е единим, якщо ви-конуеться асимптотична поведiнкa цього розв'язку та його похвдно!' на без-межностi r ® ¥
ф(г) = 0(1 r), — = 0(1/r2) (4)
dn
для зaдaчi Неймана
V 2ф(г) = 0 (r eV), — = b(r) (r e S), (5)
dn
де b(r) - неперервна функцiя на окраЫ S облaстi V.
Якщо для зaдaчi Герца говориться про кнування на окpaíнi S зaдaчi Неймана, то вимога у виглядi (4), яка поpiвияно з умовою (1) вказуе i на порядок малоста, повинна iснувaти для перемщень (3)
Wz ®¥= o(1 r ), (6)
оскiльки потенщал VH ° Ф(г) (r e V).
Для вщомого розв'язку зaдaчi Герца умови (1), (3), (4), (6) щодо порядку малоста не виконуються [3], тобто область V потенщалу VH е обмеженою.
Це пiдтвеpджують результати обчислень параметров V та ^^ для точок осi z,
dz
близьких до безмежностi (табл. 1). Обчислення виконaнi iз застосуванням програми Mathcad (Quick Sheets - Special Functions) з необхiдною високою
точнiстю. Позначення 4(9) для параметрiв к i q означають кiлькiсть дев'яток шсля коми, де ф = агсзт q, при цьому
2
ф = атег^ —,
де: г - координата точки, Ь - мала шввкь елiпса площадки контакту.
Для обмеженоИ областа V розв'язок задачi Неймана Ф(т) единий з точ-нiстю до адитивно! постiйноí. Але, в такому випадку, виникае шша проблема. За вимогами класично! мехашки для обмежених тал ми повинш розглядати не тiльки навантаження тала на окраíнi (2=0) зусиллям Р2=0, але i конкретизува-ти споаб реалiзацií до вектора ршноддачо!' Р2=сот1 та враховувати вплив цьо-го способу на напружений стан тала, в тому чи^ i для точок окра'ни 5, тобто точок площадки контакту. Такий шлях може привести до надшрного усклад-нення та змiни самого означення просторово! контактно! задачi, а тому нами не розглядуеться.
Тода легко показати, що область V iснування гармонiчного потенциалу VH не може бути обмеженим. Потенщал Ф (т) е розв'язком лшшних рiвнянь з частковими похвдними Лапласа У2ф(т) = 0 та Пуассона V 2ф(т) = -4го2(т), де Ф (т), Q (т) - функцл точки в трьохвишрному евклiдовому просторi (т)°(х, у, г). Цей потенщал для задачi Герца знайдений у виглядi потенцiалу елштич-ного диска змiнноí густини iз масою Р[1]
^ 2 2 2^ X у 2
1 --
2 + 5 Ь2 + 5
йъ
У 3Р J V а -г ъ Ь ^ ^ у (7)
4 г д/(а2 + 5)ь2 + 5)5
де: Ь, а - пiвосi елшса площадки контакту, г - найбшьший корiнь рiвняння
2 2 2
1 ---у— - = 0.
а + г Ь + г г
Табл. 1. Порядок малосmi потенцiалiв Ун i "V та Их похiдних для точок оа г на безмежностi г ® ¥
к Ч 0(1/72) 0(1/7) *V /рЬр0 - 0Г(-) 02 рр0 Уи/рЬр0 - Тя<1) 02 Яр0
0,8 15(9) 210-15 4,510-8 7,4.10-8 4,610-15 - 0,263 2,410-8
10(9) 210-10 1,410-5 2,410-5 3,310-1и - 610-4 1,710-8
8(9) 210-8 1,4.10-4 2,4.10-4 3,310-8 1. 10-4 410-8
0,9 15(9) 210-15 4,510-8 110-' 6,310-15 - 0,671 610-8
10(9) 210-10 1,410-5 3,210-5 4,610-1и - 1,410-3 410-8
2(9) 15(9) 210-15 4,510-8 3,210-' 1,910-14 13,69 - 1,210-6
10(9) 210-10 1,410-5 110-4 1,410-9 4,210-3 - 1,210-6
4(9) 15(9) 210-15 4,510-8 3,210-6 1,910-13 1,1105 - 9,610-3
10(9) 210-10 1,410-5 110-3 1,410-8 339 - 9,610-3
6(9) 15(9) 210-15 4,510-8 3,210-5 1,910-12 3105 - 2,810-2
10(9) 210-10 1,410-5 110-2 1,410-' 956 - 2,810-2
1нтервали параметра
0 < t < ж, 0 < г < ¥ (8)
визначають необмежену область V для конкретно!' величини зусилля Р, тому просте обмеження областа V неможливе як таке, що змшюе умови одержання потенщалу (7) 1з в1домо1 формули для потенщалу однорщного елшсо'да оди-нично!' густини [1], (ст. 54, 55). Зменшення областа V за рахунок змши штер-валш (8) нам видаеться практично нездайсненим для тал з реальними та р1зни-ми розм1рами, але постайною величиною зусилля Р. Спрощене представления перемщень w за формулою (3) утотожнюеться з штегралом (7). Цей штеграл своши межами визначае найбшьше перемщення як перемщення точки на окраЫ (г=0) в1дносно нерухомо!' точки на безмежноста, тобто враховуе де-формащю необмеженого швпростору.
За ф1зичною сутнктю виконання умови (1) г=жв точках фжсуе необ-межене, навантажене на окраМ 5 (г=0) областа V, контактуюче тало так, як це робить статично зр1вноважена система сил у класичнш мехашщ для обмеже-них тал, не конкретизуючи при цьому спос1б реал1зацп статично зршноваже-но1 системи сил.
Наведеш в таблиц 1 результати обчислень потенщалу VH показують, що для близьких до безмежноста точок ос ъ вш приймае значення сшвроз-м1рш (к=0,8) або на порядок вишд (к=0,9999) поршняно 1з його ж значеннями для точки ъ=0, для яко1 вс1 деформацп е максимальними. Така особливкть спостер1гаеться для вс1х значень ексцентриситета к>0.
Особливоста вщомого розв'язку, розкрита в роботах [2, 3], та вище наведен! аргументи дозволяють однозначно класифжувати цей розв'язок як на-ближений. Тому виникае питания про ощнку його точноста при ввдсутноста строгих теоретичних метод1в здшснення тако1 ощнки. За таких умов результати експериментальних дослщжень стають визначальними, але 1 вони дозволяють ощнити тальки порядок величин деяких параметр1в.
У такому випадку точний розв'язок задач1 необх1дно шукати на основ1 часткових випадюв, в яких можна задовольнити вс1 необх1дш вимоги теорц пружноста та крайов1 1 граничш умови. Для нашо1 задач1 таким частковим ви-падком е виб1р одного 1з контактуючих тал - необмеженим, тобто у вигляд1 швпростору, для котрого новий розв'язок [4] задовольняе умови (1), (2) та вимоги теорц пружноста.
Але для контактно!' задачу на стльнш окраМ 5 областей першого V] та другого V2 тал, нам видаеться неможливим виконати одночасно лопчно несумкш вимоги для необмеженог, наприклад, областа V2 та обмеженог областа V;. Адже для точок окра'ни 5 обмеженог V1 (вщомий розв'язок [1]) та необмеженог (новий розв'язок[4]) V2 областей в1др1зняються вс параметри напруженого стану, при цьому нормальш напруження - суттево, а дотичш напруження тхъ=тъу=0 розв'язок [1] визначае апрюр!
Тепер стае очевидним, що з точки зору узагальнення розв'язку задач1 необхщно розглядати таю два контактуюч1 тала:
• перше, необмежене вздовж ои 2 та обмежене вздовж осей х, у в околиц окраши 5;
• друге, необмежене - швпросир -, яке в частковому випадку може обмежува-
тися вздовж осей х, у.
Зауважимо, що умова (2) виконуеться обома, вщомим [1] та запропоно-ваним [4], розв'язками тальки для необмежених тш, тобто для площин z=const твпростору [5]. Обмеження одше! областа V1 (або обох областей V1 1 V2) вздовж осей х, у, з одночасним необмеженням цих областей вздовж ос г, вводиться для одержання обмеженог ел1птично1 областа 5, тобто як передумова само!' задач! Ось чому ми розглядуемо областа V1 та V2 необмеженими вздовж ос ъ та вимагаемо виконання умови (1) для обох тал.
Такий шлях дае точний розв'язок [4] для необмежено! областа (шв-простар), але вимагае додаткових дай стосовно виконання умови (2) для тал, обмежених вздовж осей х, у, г. Нам вдалося його реал1зувати для деяких ви-падюв, наприклад, для тм, обмежених поверхнями обертання [5].
У загальному, для обмежених тал, суть методу полягае в тому, що для площини Z=const такого тма досягаеться виконання умови (2) за допомогою застосування системи-аналога [5]. Системи-аналоги дозволяють, при вико-нанш умов (1), (2), вводити додаткову шформащю про конфкуращю тал та !х розм1ри у площиш Z=const.
Це надае можливкть розраховувати напруження в точках ще! площини з необидною для практики точнктю. Замшивши в точках площини Z=const напруження !х реакщями, можна ввдкинути перифершну стосовно окра'ни 5 частину тала. 1ншими словами, метод дозволяе перейти вщ необмежених до обмежених тал в рамках просторово! контактно!' задач! При цьому з'являеться вагома можливкть ощнити (юльккно) розб1жнкть при визначен-ш параметр1в напруженого стану за розв'язком [4] та 1з застосуванням сис-тем-аналопв.
У робота [5] показано, що при навантаженш тал обертання в межах пружноста розв'язок [4] визначае нормальш напруження ох, оу з точнктю до декшькох ввдсоткш для точок площадки контакту. Точшсть розв'язку зростае 1з збшьшенням коефщента деформацп елшса площадки контакту к' = Ь/а та стае максимальною для к'=1. Найважлившими особливостями розв'язку е плавний перехвд вщ елштичного контакту до часткових випадюв к'=1 та к'=0 для значень вс1х параметр1в напруженого стану, а також "втрата" лога-рифмiчноi особливоста при визначенш перемщень wz=0 точок областа 8 в частковому випадку значення коефщента к'=0 (лшйний контакт), оскшьки метод дозволяе для /-го тала розглядувати ввдносш перемщення
wi = wiz=0 — wiz=const
як перемщення точок областа 8 в1дносно точок площин z=const. Сума таких перемщень буде визначати наближення 5 точок з координатами z1 та z2 вщ-поввдно першого та другого тм.
Новий розв'язок задач1 [4], таким чином, позбавлений вс1х, без винят-ку, особливостей вщомого розв'язку [1] 1 може бути застосований для обмежених та необмежених тал.
Система перемщень точок тала мае узагальнений вигляд
и = -В2—— - С Г—Н й2, V = -&—Н - С Г—Н й2, V = -В2—Н + 2AVН, (9)
Эх 2 0х Эу 2 0у О2
де:
• для ведомого розв'язку [1]
ВГ = ^, Аг , С г ,
Г 2яЕ 2яЕ 2яЕ
• для запропонованого нового розв'язку [4]
А = В =л. л= 1 + V С = 1 (1 + VХ4У-1)
5 5 2я Е(1 + 2v)' 5 2я Е(1 + 2v) '
VН - ньютонiв потенцiал простого шару; Е, V - модуль пружносп та коефь цiент Пуассона матерiалу тiла.
У роботi [3] показано, що причиною невиконання умов (4),(6) для вь домого розв'язку е особливосп першо! складово! перемiщень V (9)
- В^, (10)
Э2
яка входить i у другу складову 2А VН, оскiльки
V„ =* V +
z
dVf
Н
Н ' '2 dz '
де функцiя
( 2 2 Л
1 --Х---U
*V = — f Л J
22 ^ а + s b + s
4 t л](а2 + s)(b2 + s)s
названа нами неповним бiгармонiйним потенщалом, V 4 (*V )= 0.
Легко показати, що для нового розв'язку у формулi (9) перемiщення
w = 2 AS *V, (11)
тобто однозначно забезпечуеться виконання умови (1) (табл. 1).
Вдаутшсть у формулi (11) складово! (10) знижуе вимоги до порядку малосп за формулами (4). Тепер, для нового розв'язку, може бути сформуль-ована шша крайова задача:
• для необмежено! обласп V розв'язок *V як бтармоншний потенцiал icHye та е единим, якщо у повному iнтервалi ексцентриситета 0<к<1 виконуеться асимптотична поведiнка цього розв'язку та його похщно! на безмежноси r —> ¥
V—¥— 0, ddV = 0(1 /Г) dn
для задачi
V 4 (*V )= 0 (reV); — = b(r) (res), dn
де b (r) - неперервна функцiя на окра!ш S областi V, r =(x, y, z).
Для обчислення параметрiв в таблицi 1 (x=y=0) використано TaKi фор-мули [3,4,6]:
d*V cos2 j V = Pbpo (K - F(j,k)), - = -ppo-^
dz .Jl - k2 sin2 j
V=V + -tgj0 (1/z)= —, 0 (1/z2)=
2 dz tgj tg j
dV
= -pp0 ■ 2 к/1 - k 2 sin2 j-[E - E( j,k)] tgj}, dz
де: K, F (j,k), E,E( j,k)- елштичш штеграли,p0- тиск в точц x=y=z=0.
Висновки
Запропоновано метод, який дозволяе перейти вiд необмежених до об-межених тiл в рамках просторово!' контактно!' задач!
Метод дозволяе визначити, Í3 необхщною для практики точнiстю, вс параметри напруженого стану тiл з реальними розмiрами та тш, обмежених напiвпростором, у повному дiапазонi значень ексцентриситета 0<k<1 елiпса площадки контакту.
Лггература
1. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. - М.: Гостехиздат, 1957.
- 632 с.
2. Римар О.М. Аншпз задачi Герца// Автоматизация виробничих процес1в у машино-будуваннi та приладобудуванн// - Льв1в: Льв1вська полггехнжа, 2000. - В. 35. - C. 82-87.
3. Римар О.М. Виконання граничних умов для ведомого розв'язку задачi Герца// Зб. наук. пр. - Львш: Асощащя "Автобус", 1999, вип. 2. - C. 84-87.
4. Римар О.М. Система перемщень точного розв'язку просторово!' контактно! зада-4Í// Зб. наук. пр. - Львш: Асощацк "Автобус", 2000, вип. 4. С. 96-100.
5. Римар О.М., Штангрет Б. С., Ренкас А.Г. Точшсть розв'язку просторово! контактно! задачi стосовно напружень для тш з реальними розмiрами// Зб. наук. пр. - Львгв: Асощацк "Автобус", 2001, вип. 6. С.
6. Римар О.М., Римар М.О. Зв'язок мiж нормальними напруженнями для задачi Герца/ Вкник НУ "ЛП". - Льв1в, 2001, вип. 422. - C. 80-86.
7. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел// Изд-во УН УССР. - Киев, 1952. - Т1. - 151 с.
8. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. - М.: Наука, 1973. - 832 с.
УДК621.01:621-868 Доц. О.В. Гаврильченко", канд. техн. наук;
доц. Р.В. Юревич, канд. техн. наук - УкрДЛТУ; студ. О.В. ШумШна"
МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ НА ЖОРСТК1СТЬ ТА М1ЦН1СТЬ КОМПЛЕКСНО! ПЛОСКО1 ПРУЖНО1 СИСТЕМИ, ЯКА ВИКОРИСТОВУеТЬСЯ У БАГАТОМАСНИХ В1БРОМАШИНАХ ОБ'еМНО1 ОБРОБКИ
Розглядаються плосю пружш системи, що використовуються у вiбрацiйних машинах об'емно! обробки з електромагнiтними вiброзбудниками. Подаеться розраху-нок на жорстюсть та мiцнiсть плоско! пружно! системи.
* НУ " Львгвська полггехнка"
