CC BY
17
Радиотехника, антенны, СВЧ-устройства
УДК 62 1.3 7
A.B. Ненашев, В. А. Охотников
РАЗРАБОТКА МЕТОДА АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
При создании современных средств радиосвязи широко используются системы автоматизированного проектирования (САПР). Они позволяю! моделировать работу разрабатываемых устройств и оптимизировать их параметры. Увеличение интенсивности использования радиочастотных диапазонов и повышение требований к электромагнитной совместимости заставляют уделять значительное внимание нелинейным свойствам радиотехнических устройств. Задача создания методов анализа и моделирования в этом случае делится на две части: построение адекватных математических моделей нелинейных элементов, в частности полупроводниковых приборов, и разработка методов исследования указанных устройств с использованием таких моделей. Способы решения первой части задачи постоянно развиваются вместе с совершенствованием полупроводниковых технологий. В то же время вторая часть задачи, т. е. моделирование всего устройства с учётом нелинейных свойств, решается методами, основы которых разработаны несколько десятилетий назад.
Широко применявшийся в течение длительного времени метод численного решения дифференциальных уравнений, реализованный в пакете программ PSpice и других, подобных ему, выходит из употребления. Это связано с тем, что для устройств, работающих в диапазонах сверхвысоких частот, имеющих большой разброс постоянных времени, сложно получить решение в установившемся режиме. В популярном сегодня пакете Microwave Office применяется два метода нелинейного анализа: метод рядов Вольтерра (РВ) и метод гармонического баланса (ГБ). Первый является математически строгим, но применим лишь при малой нелинейности, когда нели-
нейные зависимости достаточно точно описываются степенным рядом не выше 3—5-го порядков. Метод ГБ — приближенный, так как основан на укороченных рядах Фурье с небольшим числом гармоник и строится в виде итерационной процедуры, сходимость которой не всегда можно оценить заранее. Кроме того, считается, что метод ГБ из-за необходимости многократных обращений матриц большого размера вносит ошибки, не позволяющие использовать его в режиме малой нелинейности. В [ 1) был предложен новый метод нелинейного моделирования, названный методом параметрических характеристик (ПХ), при котором нелинейные элементы рассматриваются как параметрические, их параметры изменяются поддействием напряжений и токов. Описание метода приведено на примере типовой схемы диодного преобразователя частоты с одним нелинейным элементом — диодом, причём основные звенья схемы соединены в замкнутую цепь.
Постановка задачи: разработать метод, аналогичный методу ПХ для радиотехнических устройств произвольной конфигурации и степени сложности. Задача будет решаться на примере моделирования усилительного каскада СВЧ, выполненного на полевом транзисторе с барьером Шоттки (ПТШ). Такие усилительные каскады широко применяются в современных радиорелейных и спутниковых системах связи, например в качестве входных малошумящих усилителей. Как упоминалось выше, весьма важен вопрос выбора адекватной математической модели нелинейного элемента, в данном случае ПТШ. Ввиду сложности физических процессов, протекающих в структуре такого транзистора в диапазоне СВЧ, существует достаточно большое
7В
число схем замещения, используемых в качестве математических моделей. Так, в пакете Microwave Office имеется четыре-пять таких моделей. Все они характеризуются наборами числовых параметров и могут быть использованы при моделировании. Среди разработчиков популярна модель Materka [2], поскольку она во многих случаях обеспечивает хорошее совпадение результатов расчёта и эксперимента. Схема замещения ПТШ, соответствующая этой модели, изображена на рис. 1.
Нелинейные свойства транзистора здесь отражены диодом, отображающим барьер Шоттки между затвором и каналом, нелинейными ёмкостями Ср и Cgd, объёмным сопротивлением Ri, зависимыми источниками токов и igd. Также присутствуют активные сопротивления истока RSи стока RD, которые считаются линейными. Активная составляющая тока затвор-исток зависит от "внутреннего" напряжения v^, затвор—исток. Ток стока /Л зависит от двух напряжений: v^ и внутреннего напряжения v^ сток—исток. Активная составляющая тока промежутка затвор-сток igd зависит от напряжения на нём vgdj, равного разности напряжений vl и vda. Свойства модели Materka задаются с помощью более двадцати численных параметров, которые программными средствами Microwave Office могут быть найдены по экспериментальным характеристикам.
В настоящей статье использованы параметры транзистора NE713 фирмы NEC, приведенные в [2]. Выражения, описывающие нелинейные зависимости, имеются в материалах пакета Microwave Office и здесь не приводятся. Эквивалентная схема каскада, необходимая для расчётов, получается из рис. 1 подключением источника сигнала и нагрузки. Их сопротивления
Рис. I. Схема замещения ПТШ в соответствии с моделью Materka
будем считать в общем случае комплексными. При рассмотрении конкретных реализаций каскада это позволит учитывать в их составе блокировочные и развязывающие ёмкости и элементы цепей питания и смещения.
В большинстве случаев интересен анализ работы радиотехнических устройств в установившемся режиме. При этом используются методы анализа и моделирования, относящиеся к спектральным, например метод ГБ. Эквивалентная схема устройства представляется в виде одной из универсальных нелинейных моделей [3], в которых разделены линейная и нелинейная части. Для анализа линейной части применяют обычные методы теории цепей, а способ определения токов и напряжений в нелинейных элементах зависит от применяемого метода моделирования. В методе ГБ их записывают в виде укороченных рядов Фурье и решают систему алгебраических уравнений для коэффициентов. Решение получают путём итерационной процедуры, т. е. в виде последовательных приближений. В методе РВ нелинейные зависимости записывают в виде степенного ряда, при этом решение представляется как сумма нескольких членов функционального ряда Вольтерра. Ядра ряда при увеличении их порядка быстро становятся громоздкими, что ограничивает применимость метода случаями малой нелинейности, хотя принципиально ничто не препятствует применению ряда из сколь угодно большого числа слагаемых.
В [4] показано, что возможно решение уравнения нелинейной системы при произвольном функциональном представлении нелинейных зависимостей. Решению способствует метод последовательных приближений в виде функционального ряда. Условием сходимости такого ряда к точному решению является выполнение принципа сжимающих отображений, о котором будет сказано ниже. Подобный подход принципиально реализован в методе параметрических характеристик [1). Для схемы, включающей толькоодин нелинейный элемент, метод реализуется путём составления уравнения относительно напряжения на этом элементе, а решение получается методом последовательных приближений. Если схема более сложная, с несколькими нелинейными элементами, требуется составитьсис-тему уравнений относительно соответствующих напряжений. Для этого следует выработать до-
статочно общий алгоритм и использовать его при анализе устройств произвольной сложности. В методе ПХ нелинейные элементы представляются как параметрические, у которых параметры изменяются во времени под действием приложенных напряжений и протекающих токов. На каждом шаге устройство считается параметрическим, т. е. линейным. Поэтому в более общем случае логично перейти от исходной схемы, содержащей нелинейные резисторы, ёмкости и индуктивности, к линейной схеме, в которой нелинейные двухполюсники заменены согласно известной теореме компенсации источниками тока или ЭДС. В частности, нелинейные резисторы и конденсаторы заменяются источниками тока.
Применим указанный подход к моделированию усилителя на ПТШ. Подставив вместо ре-зистивных и емкостных нелинейных элементов источники тока и добавив к схеме рис. 1 источник сигнала и нагрузку, получим эквивалентную схему рис. 2. На схеме использованы следующие обозначения, которых не было на рис. 1: ег(г) — ЭДС источника сигнала, Zг — сопротивление источника, Zн - сопротивление нагрузки, '¿з! и - полные токи промежутков затвор-исток и затвор—сток, каждый из которых равен сумме активной и емкостной составляющих. На каждом шаге вычислений они, как и ток считаются известными.
С целью сокращения выражений введём обозначения: RG, = + RD. Для анализа схемы можно использовать любой из методов теории линейных цепей. Часто отдают предпочтение методу контурных токов. Опустив для краткости уравнения, составленные по этому методу, приведём полученные из них выражения напряжений в операторной форме в области преобразования Лапласа (ПЛ):
П(р) = Ег(р) - [¡^(р) + -
~[ГК*(Р)+ (1)
УМ = - -
- [/«*(/>) + (2) =У\(р)- УМ. (3)
Чтобы найти напряжения У^(р), нужно составить ещё одно уравнение, выразив его через напряжение У\(р), равное сумме У„,{р) и падения напряжения на нелинейном резисторе Ш. Здесь нельзя применить теорему компенсации, поэтому возьмем методику, использованную в [ 11 для случая последовательного включения элементов схемы. Уравнение — основные правила действий с такими уравнениями описаны в [ 1 ] — записывается в области многомерного преобразования Лапласа (МПЛ):
1 +
+ 1<Уа)Я</>з) +Р1Ср(р2)Ю(р3)}), (4)
где Ор(р) — изображение активной проводимости ggs(t) = /^(О/^/С) промежутка загвор-сток, которая при нулевом напряжении равна
Рис. 2. Эквивалентная схема усилительного каскада на П'ГШ
Взаимное соответствие оригинала и изображения обозначим символом ggs(t)< >Gg,ip). Ёмкость Cxs(t) = emplit)] и резистор Ri(t) = = /?/[ v <г)] также зависят от времени, их изображения
СкЛ0<г-^Ск,(р), Ri(t)<—-—>Ri(p)■
Произведения изображений некоторых величин в (4), записанных с различными аргументами, соответствуют, по правилам действий с МПЛ, перемножению временных функций. Для удобства введём обозначения
a(t)=ggs(t)Ri(t), bit) = C^t)Ri{t)
и представим каждую из этих функций в виде начального значения и переменной части
a(t) = g&Rio + МО. b(t) = C^Rio + МО-
Их изображения
Л(р) = ggs0Ri0 + А(р), Bip) = + В Ар).
Заметим, что слагаемые gg^Rio и C^RÏq играют ролыюсгоянных коэффициентов, поэтому в изображениях их не нужно записыватьс множителем 1 /р. Тогда уравнение (4) можно переписать:
>Р2>Л» •••){ 1 + (ЯрО + о)Л'0 + + [Л-(/>3) + +/>,Я-(/>2)]}=П(/>|). (5) На основе уравнений (1)—(5) можно построить процедуру последовательных приближений. В условиях, когда имеется неопределённость выбора начального приближения, целесообразно начинать с линеаризованной схемы. Нужно задать постоянные напряжения сток—исток ^ и внешнее смещение на затворе у^, затем, пользуясь любым доступным методом, определить "внутренние" напряжения в состоянии покоя уЛ(0,
Далее следует найти значения нелинейных параметров и токов в точке покоя:
'р0 ~ '^(УрЛ))' 'цМ =
а также проводимости
G,j0 = <Mvir">/dv<
=
Зависимости С^у^,), у у^),
ул/), Ri(vgs¡) берутся из описания модели Ма1егка.
Переменная составляющая тока стока в линеаризованном варианте выражается через крутизну и выходную проводимость:
•So = diJ,(vgít,vllsl )/dv.
G220 =diJs(vgsl,vdil )/5v,
</i/
= [ V, (0 - + [V,. (/) - у</„о]^220.
Методы анализа линейных цепей хорошо известны, поэтому не конкретизируем способ нахождения начального (нулевого) приближения, которое получается для линеаризованной схемы. Полагаем, что оно получено в виде выражений основных напряжений во временной области и их изображений в области ПЛ:
Нижний индекс в скобках означает номер приближения к напряжениям или номер версии законов, по которым изменяются нелинейные
параметры схемы и зависимые токи. Напряжение получается из (5) приравниванием слагаемых первого порядка в правой и левой частях:
где К(р) = l/igg^RÍQ + pCgtfRio).
По напряжениям находим начальные версии изменения параметров нелинейных элементов и зависимых токов схемы рис. 2:
= Qil^O)^)]» cgd(0)(0 = Ri(0)(t) = Л/[уда/(0)(/)];
'¿я 0)О = W> + <^0)(/)d[yM0)(0]/d/,
где = У'^0)О1;
W( 0)W = Wo)C) + v^,(0)(/>]/dí,
где /МО)(0 = '^[v?í/,(o)(r)];
'W> = 'AI"pK0)W' vái<(0)(0b
Переменным параметрам и токам ставятся в соответствие изображения Cgsi0){p), Cgd(0)(p), Ri(0 )(/>)> Ids(0)(P)' а для первых двух токов они записываются в области МПЛ:
W)(P) = <W*> + />i ^/(o^i)^)^)}*;
IgdZ(0)(P) = U^(0)(P|) + />1 ^/(0)^1 ^^(О)^) Г-
Символом {«}* обозначен переход от МПЛ к одномерному ПЛ. Затем на основе (1)—(3) могут быть найдены первые приближения к напряжениям, состоящие из слагаемых первог о и второго порядков:
И(|)<р) = {£&>,) - [ W/>,> + />, V^oM^oM) +
+ + ¿I ^/(0)(P|)Cj¡J(0)0'2)]Zrl(/'l + />2> "
*&í<i>(p) = II^i) + />i Vgdm(P\)Cgdm(P2) -
- 'ds(P\)]ZHl(P\ + P2) - \Igs(0)(Pl) +
+ P^gsmWCgsioM) + |)]Л5}*;
*Wd0>) = -Для получения первого приближения к напряжению Vpi в соответствии с приведёнными выше формулами находятся начальные версии переменных a.(0)(t) и b.{0)(t) и их изображения. Затем из (5) берётся сумма слагаемых первого и второго порядков:
WP) = {И(1)<Р|№|> - +
+ Р^0)(р2))]К{р{ +р2)}*.
Далее, перейдя во временную область, на основе полученных напряжений вычисляются первые версии законов изменения параметров нелинейных элементов и зависимыхтоков, после чего аналогично первому получается второе приближение к напряжениям. При этом следует иметь в виду, что анализ ведётся в установившемся режиме, поэтому переход из временной области в частотную и обратно должен производиться с помощью пары преобразований Фурье, а не Лапласа.
Производя дальнейшие операции подобным образом, можно прийти к выражениям для произвольного ¿-го приближения:
^(*>(/>) = ~ п<Р|) + Р\ «* *(/>|)с*1<а 1>(/>з) + + + Р\ Уя!цк-\№)СрНк-\)Х
*(р2)]гг1(рх +р2) - и^к-П(Р|) +
(Рг) + |М>]Л5}*;(6)
х (Рг) - 1*(Р\)\ х Да(Р, + />2) - >0>|) + + Р\ У/р/(к1)
*и«</»>= ^ (*,(?)- ^,0»); (8)
х [(Л-(*-1)(Рг) + Р|Л(*-,)0»2))№, + />2)}ф. (9)
Для наглядности перейдём во временную область:
I
о
хгг1(/-т)<1т-
-{'„ Ь,,(*-,)(')]+<Ч«» „(0/<1'-с:в1[»Ж1((1.|)(/)]+
Ч, [*,,«*-!> Ю. о (О]}**
I
о
Ч, [V,„„.„(О,„(/)]}Л5,
где zrI(/) и zMl(/) — импульсные характеристики комплексных сопротивлений Zr2 и ZHl;
vW')= vl <*>(') - vW>; (12) i
v*,i(k№= J{vl(*)W - [ W^W1) +
0 (13)
где h(t) — импульсная характеристика, являющаяся оригиналом К(р).
Если произвести подстановку (10) в (12) и
(13), а также (11) в (13), получим три уравнения, которые обобщенно можно представить следующим образом:
V(*)C)= Ф1 [V*- i)W. vusi(k-1)(0, vgdnk-i)(0J; (14) = ф2[^*-1)(0, vds,ik- 1)C), Vw-!)(')];(15) VgdKkp) = ФЗ[^*-1)0, vMk_,)(/), ,)(/)]. (16)
Левые части равенств представляют собой основные напряжения в эквивалентной схеме рис. 2, а правые части имеют вид функционалов Ф1, Ф2. ФЗ, в составе которых имеются как линейные, так и нелинейные операции над этими напряжениями. И левые и правые части можно представить как векторы, состоящие из трёх компонент каждый. Уравнение примет вид V = Ф[У]. Согласно теории функционального анализа [4] вектор функционалов отображает векгор напряжений втоже пространство, в котором он определен. Решение уравнения может быть найдено методом последовательных приближений, если выполняется принцип сжимающих отображений [4]. Упрощенно этот принцип можно толковать следующим образом: он выполняется, если малому приращению вектора напряжений V соответствует меньшее (по абсолютному значению) приращение вектора функционалов Ф[У]. Практически последовательные приближения компонент вектора V могут быть вычислены в соответствии с выражениями (14)—(16).
Вопрос проверки выполнения принципа сжимающих отображений, а следовательно, сходимости алгоритма последовательных приближений достаточно сложен и требует отдельного рассмотрения в каждом случае. Однако существует простой приём, известный из теории итерационных вычислений, позволяющий обеспечитьсходимосгь. Он сводится к искусственному уменьшению приращения отображения. Для этого выражения
(14)—(16) следует изменить следующим образом:
V(*)(0 = Д' ,)(/), vgdKk_,)(/)] +
+ (1-D)vgs„,_1)(0; (17)
W>= D • ф21^<*- 1)W. vMk-1)0. +
+ (1-D)VAW_1)(0; (18)
VgdmW =д' 1)0> vdsnk-1)(0, „(/)] +
+ (l-D)v^t_I)(/), (19)
где, выбирая коэффициент Д < 1, можно обеспечить сходимость в большинстве практических случаев. Выбор величины А может производиться различными методами. В данной статье эта задача не рассматривалась, а выбор А производился посредством проб.
Были сделаны расчёты характеристик усилительного каскада на ПТШ предложенным методом. Для сравнения велись вычисления в пакете Microwave Office методами ГБ и РВ. Расчёты проводились для частоты сигнала 10 ГГц при напряжении питания уЛ0 = 3 В и смещении зат-вор-исток v^o = 0,4 В. На рис. 3 показана передаточная характеристика, т. е. зависимость уровня выходной мощности от уровня мощности входного сигнала. На рис. 4 изображена зависимость уровня продукта интермодуляции третьего порядка от уровня сигнала на входе.
После расчётов можно сделать следующие выводы:
результаты расчётов передаточной характеристики (см. рис. 3) методами ГБ и РВ практически повторяют приведённые в [2]. Отличие наблюдается для метода РВ в области входной мощности больше 9 лБм, что объясняется применением для этого метода в [2] другой модели;
результаты расчётов передаточной характеристики предложенным методом практически совпадают до уровня входной мощности 9 дБм с ре-
Лшх'ДБм
Рис. 3. Передаточная характеристика но мощности Методы: ГБ ( /), РВ (2) и предложенный (3)
Рис. 4. Уровень интермодуляции третьего порядка Методы: ГБ (/), РВ (2) и предложенный (У)
зулыатами метода ГБ. При большей входной мощности имеется отличие результатов на (0,5—0,6) дБ;
результаты расчётов уровня интермодуляционной помехи третьего порядка ИМЗ (см. рис. 4) всеми тремя методами оченьблизкидо уровня входной мощности примерно—6дБм. При большей мощности метод РВ даёт явно нереальные результаты, характеризующиеся линейной зависимостью;
результаты расчётов помехи ИМЗ предложенным методом и методом ГБ практически совпадают до уровня входной мощности ОдБм, после чего появляется отличие до (1,5— 1,6) дБ.
Таким образом, результаты, полученные предложенным методом моделирования, практически совпадают с результатами метода ГБ при входной мощности, соответствующей небольшой и средней степени нелинейности. Различие появляется в области значительной нелинейности. При этом есть основания полагать, что менее точные результаты даёт метод ГБ, поскольку он построен на заведомо приближенном алгоритме. Следует заметить, что в рассмотренном примере не проявилось приписываемое методу ГБ увеличение погрешности вычисления нелинейных продуктов при малых уровнях входной мощности. Так, результаты вычисления продукта интермодуляции третьего порядка всеми тремя рассмотренными методами практически совпадают для входных уровней, не превышающих —6 дБм.
Итак, предложен метод анализа и моделирования нелинейных устройств, основанный на решении уравнения системы по принципу последовательных приближений. Для разделения действий над линейной и нелинейной частями схемы применена теорема компенсации из теории цепей. Приведённые результаты расчётов для схемы усилительного каскада на ПТШ показывают хорошее совпадение с результатами существующих методов.
ШЗ.дБм
' Р,,, дБм
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ненашев А.В. Разработка метода параметрических характеристик для моделирования нелинейных радиотехнических устройств // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика, телекоммуникации, управление. 2008. № 6 (69). С. 156-163.
2. Аверина Л.И., Усков Г.К. Определение параметров нелинейных моделей полевого транзистора в системе схемотехнического СВЧ проектирования Microwave Office // Радиолокация,
навигация, связь: Труды ГХ междунар. науч,-техн. конф. / ООО "Саквоее". Т. 1. Воронеж, 2003. С. 457-465.
3. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьёв A.A. Спектральные методы анализа нелинейных радиоустройств с помощью ЭВМ. М.: Радио и связь, 1985. 152 с.
4. Пупков К.А., Капалин В.И., Юшенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.
УДК 004.421.4
В.А. Карелин, И.В. Карелин
ПОЛУЧЕНИЕ МАКСИМАЛЬНО ПРАВДОПОДОБНЫХ ОЦЕНОК МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ЧАСТОТ ВЫСОКОСТАБИЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Показатели качества различных радиотехнических систем, таких, как точность действия, разрешающая и пропускная способность, помехозащищенность, в значительной степени определяются метрологическими характеристиками задающих генераторов (хрони-заторов), роль которых выполняют меры частоты [1]. Метрологические параметры частоты сигналов задающих генераторов определяются путем сравнения с частотой сигнала эталонной меры. В связи с достаточно малой относительной нестабильностью частоты мер (~ 10-|0-Ю"14) предъявляются чрезвычайно высокие требования к измерительным устройствам, которые должны быть прецизионными, с характеристиками, близкими к потенциальным пределам, зависящими от эффективности алгоритмов обработки сигналов и достигаемой минимизации погрешностей оценок разности фаз и частот сличаемых сигналов. Теоретически оптимальными являются оценки, полученные на основе марковской теории нелинейной фильтрации с помощью ММП, но их реализация приводит к сложным корреляционным и многоканальным устройствам [2, 3]. Поэтому на практике широкое распространение получили упрошенные алгоритмы, использующие малоэффективные
среднеинтегральные оценки. При этом для повышения разрешающей способности осуществляется аналоговое умножение разности сличаемых частот и перенос ее с помощью гетеродинирования на низкую частоту — подставку [1], что искажает информацию об измеряемом параметре.
Для синтеза измерителей, обеспечивающих оптимальные характеристики в установившемся режиме при стационарных помехах, возможен выбор дискриминатора и синтез весовой функции усредняющего фильтра, обеспечивающего максимально правдоподобную оценку частоты, методами линейной фильтрации Винера. Правомерность такого подхода подтверждается еще и тем, что нелинейная зависимость входного сигнала от оцениваемого параметра разрушается именно вдискриминаторе. При этом возможен синтез алгоритма сличения частот — несложного для реализации и обладающего максимальным правдоподобием.
Цель исследования - решение задачи синтеза оптимальной по критерию максимального правдоподобия весовой функции усредняющего фильтра для оценки средней разности частот сигналов задающих генераторов при квадратичной функции потерь.
