Разработка математической модели оптимизации параметров проекта плана опытно-конструкторских работ группы однородных аналогов технологического оборудования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.58

РАЗРАБОТКА

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ПРОЕКТА ПЛАНА ОПЫТНО-КОНСТРУКТОРСКИХ РАБОТ ГРУППЫ ОДНОРОДНЫХ АНАЛОГОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Ю.В. ЛИСИН, д.т.н. генеральный директор

О.В. АРАЛОВ, к.т.н. директор центра оценки соответствия продукции, метрологии и автоматизации производственных процессов

ООО «НИИ Транснефть» (Россия, 117186, Москва, Севастопольский проспект, д. 47а). Б.Н. МАСТОБАЕВ, д.т.н., проф., зав кафедрой транспорта и хранения нефти и газа Н.В. БЕРЕЖАНСКИЙ, магистрант кафедры транспорта и хранения нефти и газа Д.В. БЫЛИНКИН, магистрант кафедры транспорта и хранения нефти и газа ФГБОУ ВО Уфимский государственный нефтяной технический университет (Россия, 450062, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Космонавтов, д. 1). E-mail: mastoba@mail.ru

В статье рассмотрены принципы планирования и оптимизации основных параметров плана опытно-конструкторских работ по разработке однородных аналогов технологического оборудования. Разработана специализированная математическая модель оптимизации параметров проекта плана опытно-конструкторских работ (ОКР), которая позволит оценивать необходимость замены существующих модификаций оборудования на перспективные аналоги, а также прогнозировать необходимые параметры вышеуказанного плана, соблюдение которых в процессе реализации ОКР приведет к наиболее эффективному, экономичному и безопасному перевооружению производств на объектах трубопроводного транспорта углеводородного сырья. Предложена система индексации основных показателей надежности, которая позволяет отобразить необходимый ресурс используемой модификации оборудования с точки зрения не только физического старения, но также и морального износа.

Ключевые слова: сложная техническая система, план опытно-конструкторских работ, линейно-динамическое программирование, оптимизационная задача, технический прогресс, моральный износ, математическая модель.

Выбор и обоснование математического метода решения задачи оптимизации параметров проекта плана ОКР по разработке однородных аналогов технологического оборудования

В [1] приведена общая развернутая постановка задачи оптимизации параметров проекта плана ОКР группы однородных аналогов технологического оборудования. Для ее решения предлагается использовать метод динамического программирования.

Для формализации оптимизационной задачи с использованием метода динамического программирования необходимо выполнение следующих условий [2]:

1) задача может интерпретироваться как п-шаговый процесс управления, а показатель эффективности процесса может быть представлен в аддитивной форме, то есть как сумма показателей эффективности на каждом шаге;

2) структура задачи инвариантна относительно числа шагов п, то есть должна быть определена для любого п и не зависеть от этого числа;

3) на каждом шаге состояние системы определяется конечным числом э параметров состояния и управляется

конечным числом г переменных управления, причем э и г не зависят от числа шагов п;

4) выбор управления на к-м шаге не влияет на п - количество предшествующих шагов, а состояние в начале этого шага есть функция только предшествующего состояния и выбранного на нем управления (отсутствие последействия, или марковость рассматриваемого процесса).

Таким образом, динамическое программирование это метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми.

Приведенные в [3] формализованные постановки задачи удовлетворяют перечисленным условиям и позволяют ее интерпретировать как задачу о замене оборудования и решать ее с помощью моделей и методов динамического программирования (ДП).

В основу предлагаемой оптимизации положен принцип Беллмана, заключающийся в следующем [1]: оптимальное управление обладает таким свойством, что каково бы ни было начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления

должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага.

Использование этого принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, является не локально лучшим, а лучшим с точки зрения процесса в целом.

Этот принцип и идея включения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных многошаговых задач приводят к рекуррентным соотношениям - функциональным уравнениям - относительно оптимального значения целевой функции. Их решение позволяет последовательно получить оптимальное управление для исходной задачи оптимизации.

Управлением в данном случае называется совокупность решений, применяемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении ресурсов (временных, материальных, трудовых) на каждом этапе.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения об окончании разработки нового аналога технологического оборудования и начала его серийного производства или о продолжении производства и эксплуатации существующей модификации оборудования.

Особенностью применения динамического программирования является то, что при принятии решения на отдельном этапе всегда имеется в виду конечная цель всего оптимизационного процесса.

Таким образом, выбор динамического программирования в качестве математического метода решения задачи оптимизации параметров проекта плана ОКР по разработке перспективных аналогов технологического оборудования обусловлен важными для решаемой задачи преимуществами этого метода по сравнению с другими методами математического программирования, а также классическими методами анализа:

1. Основным достоинством ДП является применимость его методологии при любом способе задания целевой функции (аналитическом или табличном) и любом допустимом множестве значений состояния системы £, и значений параметров управления системой ик (непрерывном или дискретном). Этого преимущества лишены классические методы оптимизации и другие вычислительные методы математического программирования.

2. Хотя вычислительные методы ДП в дискретном случае и связаны с табулированием функций условных показателей эффективности Z*k(í) и условных оптимальных управлений системой и*Д) для всех возможных значений параметра £,, но объем расчетов для этих методов значительно меньше, чем при прямом переборе вариантов. Это связано с тем,что на этапе условной оптимизации неудачные варианты сразу отбрасываются и сохраняются лишь условно оптимальные на данном шаге.

3. Большим достоинством ДП является возможность анализа чувствительности к изменению исходных данных £, и п. В [1] отмечается, что при реализации идеи ДП фактически решается не одна задача, а множество задач для различных £, и п. Поэтому при изменении этих данных можно не решать задачу заново, а сделать лишь несложные добавления к уже выполненным расчетам.

Разработка математической модели оптимизации параметров проекта плана ОКР по разработке однородных аналогов технологического оборудования

При разработке математической модели оптимизации параметров проекта плана ОКР по разработке перспективных аналогов технологического оборудования с применением метода динамического программирования используются следующие исходные данные:

Рк - цена нового образца технологического оборудования на к-м году планового периода, включающая в себя стоимость его разработки и производства. В общем случае зависимость затрат на разработку перспективных аналогов технологического оборудования и техническое перевооружение производства от времени нелинейная и может описываться функциями вида:

С=а-еы (экспонента);

С=еа? ¡Ь (комбинированная экспоненциально-степенная); С=к-аы (функция Гомперца).

Применительно к модификациям технологического оборудования Рк апроксимируется зависимостью вида:

Рк = а-еЬк, (1)

где: а - цена существующей модификации, Ь - параметр, характеризующий положение кривой в плоскости, к -порядковый номер года программного периода.

Как известно, ликвидационная стоимость единицы технологического оборудования ф (?) функционально связана с ее ценой Рк, продолжительностью ее эксплуатации ? и выражается зависимостью вида

ф(?) = Рк'24

(2)

Вид данной зависимости получен на основе анализа и обработки статистических данных по эксплуатации основных видов продукции (далее ОВП), эксплуатируемых ОАО «АК Транснефть» [2, 3].

гк(1) - затраты на эксплуатацию существующей модификации оборудования в течение к-го года:

гк (¡)=т-рк(1+1) = т-а-еЬк-(1+1), т = 0,1...0,3

(3)

С помощью формируемой модели необходимо определить оптимальное количество разрабатываемых модификации, время их окончания, продолжительность, а также затраты на их проведение на заданном интервале Т при условии минимизации суммарных затрат Zi(t) на разработку, производство и эксплуатацию /-й модификации оборудования.

Таким образом, с учетом введенных выше обозначений, а также (3), целевая функция модели примет следующий вид:

Z = аеЬк (1 + т(? + 1)-2-0^тт

(4)

при ограничениях:

Рк - а • еьк < Ркак () к () = т• рк-(1 +1)< к ((), т - 0.1...0.3 Ф()= рк • 2- <ф* ()

(5)

N < N Т - Т, к - t.

В приведенном выше виде модель позволяет рассчитывать оптимальное время замены существующей модификации оборудования на перспективный аналог и соответствующие этому времени затраты на создание перспективного аналога в рамках одного вида продукции, входящей в реестр ОВП.

Для формирования политики технического перевооружения по всем объектам ОАО «АК Транснефть» необходимо решить оптимизационную задачу (оптимизировать жизненные циклы) для каждого вида эксплуатируемого оборудования. При этом для каждого типа техники показатели затрат на разработку и производство будут описываться своими уравнениями, входящими в модель динамического программирования.

Физический смысл величин, входящих в (3) и (4), рассмотрен выше.

Входящая в (4) величина а^) - коэффициент дисконтирования затрат на разработку и производство перспективного аналога технологического оборудования, определяемый в соответствии с [3].

Последовательность формирования модели ДП можно представить в следующем виде [1]:

1) выбирается способ деления процесса на шаги;

2) вводятся параметры состояния

^ ч^.....^

(6)

и переменные управления

ик

Ц^Ц2)

-Ц)

(7)

на каждом шаге процесса;

3) записывается уравнение состояния

4к = р йк-1,ик); (8)

4) вводятся показатели эффективности на к-м шаге

{к (4к-1, Цк)

и суммарный показатель - целевая функция

г = ^/к(5к Ц);

(9)

(10)

5) вводятся для рассмотрения условные максимумы гк' (^к-1) показателя эффективности от к-го шага (включительно) до конца процесса и условные оптимальные управления на к-м шаге ик (^к-1);

6) из ограничений задачи определяются для каждого шага множества йк допустимых управлений на этом шаге;

7) записываются основные для вычислительной схемы ДП функциональные уравнения Беллмана:

4(к-1)- иктах0к {/к(к-1,Цк) + г*)}, (11)

гл (-1) - и„тахй„ {к (п-1,Цп)}' (12)

При формировании модели динамического программирования мы рассматриваем процесс замены как к-шаго-вый, разбив весь плановый период на к промежутков. Так как в начале каждого из этих промежутков принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, то управление на к-м шаге (к = 1,..., п) содержит всего две альтернативные переменные.

Обозначим через ис решение, состоящее в сохранении существующей модификации оборудования, а через и -решение, состоящее в ее замене наперспективный аналог.

Функциональные уравнения, благодаря наличию двух альтернативных управлений на каждом шаге, содержат лишь две величины: одна выражает эффективность при управлении ис, другая - тот же показатель при управлении Цз. Показателем эффективности в данной задаче являются суммарные затраты на разработку, производство и эксплуатацию перспективного аналога технологического оборудования.

При управлении Ц = ис эти затраты равны гск = гк(?), а при управлении Ц = из составляют = Рк + гк(0).

Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наименьшей. Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и сокращает время решения задачи о замене с большим числом шагов.

Из приведенной последовательности процедур используемых при формировании модели ДП, следует, что для решения поставленной задачи с применением метода динамического программирования необходимо сформировать уравнение состояния и функциональные уравнения многошагового процесса.

Рассмотрим п-шаговый процесс, считая к-м шагом номер к-го года от начала эксплуатации (к = 1, 2,..., п). Выше отмечалось, что управление на к-м шаге выбирается из двух возможных решений: ис - сохранить и продолжать использование существующей модификации оборудования или и - заменить существующую модификацию на перспективный аналог.

Будем считать, что в начале планового периода продолжительность эксплуатации модификации равна Состояние ^к-1, единицы технологического оборудования в начале к-го шага характеризуется одним параметром = t - временем, прошедшим с начала ее эксплуатации. Для к-го шага параметр состояния ! может принимать значения 0, 1,2,..., к-1, то есть t < к-1.

Если к началу к-го шага система находилась в состоянии £,/(-1 = t, то под влиянием управления ис в конце к-го шага она перейдет в состояние = t + 1; продолжительность эксплуатации единицы технологического оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления, и принятого на к-м шаге, система перейдет в состояние £,к = 1 (замену произвели в начале к-го года; в конце к-го года продолжительность эксплуатации перспективного аналога равна одному году).

Таким образом, основное уравнение состояния моделируемого процесса имеет вид

%к-1 +1 приик - ис

^ -

приЦк - Цз

В рассматриваемом процессе время эксплуатации единицы технологического оборудования отсчитывается в прямом направлении, а этапы на которые разбит весь процесс - в обратном.

Если продолжать производство и эксплуатацию существующей модификации оборудования, то затраты на ее эксплуатацию будут выражаться следующей функциональной зависимостью [3]:

гк(1) = &Рк (I + 1),

(14)

= Гк (О + ?(к+1р + 1)

(15)

I

Рис. 1. Определение оптимального времени ввода в эксплуатацию новой единицы технологического оборудования

0 1 2 3 4 5

4 3 2 1 0

Если на к-м этапе модификацию технологического оборудования, продолжительность эксплуатации которой составляет I лет, прекратить производить и начать выпускать вновь разработанный аналог данной модификации, то эффективность в результате такой замены будет определяться как сумма величин

Г2 = Рк + Гк(0) - ф(0 + 2к+1 (1).

(16)

Эта зависимость, а также значение коэффициента d получены на основании анализа результатов расчета затрат на эксплуатацию различных модификаций оборудования по специально разработанной для этих целей методике [2], а также на основании анализа целого ряда работ, в которых авторы предлагают различные методы и методики расчета затрат на эксплуатацию технических систем разного рода [2, 3].

В качестве исходных данных для подстановки в рекуррентное соотношение модели динамического программирования, необходимы численные значения определенных выше коэффициентов. Для каждой отдельной модификации оборудования они будут различны.

Таким образом, для того чтобы найти оптимальное соотношение для суммарных затрат на разработку, производство и эксплуатацию Zk^p), необходимо сформировать систему рекуррентных соотношений.

Поскольку в рассматриваемом процессе возраст эксплуатируемой единицы технологического оборудования отсчитывается в прямом направлении, а этапы, на которые разбит процесс эксплуатации, - в обратном, возраст I = 0 соответствует началу использования нового оборудования (рис. 1).

Для того чтобы составить функциональное уравнение, включающее в себя рекуррентные соотношения, необходимо найти зависимость между величинами, входящими в исходные данные на двух смежных этапах.

Если продолжать производить существующую модификацию технологического оборудования, возраст которой I лет, то эффективность от ее использования будет состоять из общих затрат на Ы-м этапе, полученным как сумма:

Здесь: ^+.,(1) - условные минимальные затраты, полученные за (п-к) шагов, если к началу (к+1)-го шага система находилась в состоянии Ь,к = 1 (время эксплуатации модификации - один год); гк(0) - приведенные затраты, приходящиеся на эксплуатацию вновь разработанной модификации оборудования, продолжительность эксплуатации которой - 0 лет; ф(?) - ликвидационная стоимость единицы технологического оборудования, модификация которой подверглась моральному износу по прошествии I лет.

Для АО «АК Транснефть» она может быть интерпретирована как доход, поэтому в уравнение затрат (16) входит со знаком минус.

Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с п-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (15) и (16) и выбору наименьшей из них.

Таким образом, если величина суммарных затрат (15) меньшеили равна величине суммарных затрат (16), то целесообразно продолжать производство существующей модификации технологического оборудования. В противном случае необходимо начинать производство перспективного аналога, при этом его разработка к этому моменту должна быть завершена.

Объединяя рекуррентные соотношения (15) и (16), запишем основное функциональное уравнение всего многошагового процесса: для к п-го шага:

г'к(г) = т1п

к (0 + А+1),

При ик = ис (что соответствует управлению при сохранении существующей модификации

Рк + к(0)-ф(0 + Zk+1(1), при ик = из (что соответствует управлению при замене существующей модификации.

17

где затраты на эксплуатацию существующей модификации в момент времени I; + 1) - условные минимальные затраты, приходящиеся на разработку и эксплуатацию существующей модификации оборудования и получаемые за к + 1 оставшихся этапов при эксплуатации единиц технологического оборудования данной модификации, продолжительность эксплуатации которого равна I +1 году.

Здесь Z*k(f) - условные минимальные затраты за (п-к+1) шагов с к-го по п-й включительно, если к началу к-го шага возраст /-й единицы технологического оборудования \ модификации составлял I лет.

Верхняя строка в (17) определяет эффективность, которая может быть получена при использовании существующей модификации, а нижняя эффективность при ее замене. При этом предполагается, что переход к производству перспективного аналога происходит за один этап (один год).

Полагая в (17) п = 1, что получаем функциональное уравнение одноэтапного процесса, для которого слагаемые ^'к+1({+1) и ^*к+1(1) не имеют смысла, и поэтому из уравнения (16) получаем рекуррентное соотношение для 7п(?) (для п-го шага):

г'п (Г) = т/п

Гп (I), при ип = ис

Рп + Гп (0)-ф(), при ип = из.

(18)

>

Рис. 2. Процедура решения задачи оптимизации плана ОКРпо ОВП

1. Вербальное описание задачи оптимизации параметров плана ОКР по _ОВП_

У

2. Формализация задачи оптимизации параметров плана ОКР по ОВП

Е

3. Формирование математической модели оптимизации параметров плана ОКР по ОВП

3.1. Формирование массива исходных данных 3.2. Формирование системы ограничений модели 3.3. Формирование целевой функции модели

Е

4. Выбор и обоснование динамического программирования в качестве математического метода решения задачи

Е

Е

5. Постановка задачи в терминах динамического программирования

5.1. Формализация исходных данных задачи применительно к модели динамического программирования 5.2. Формирование основного уравнения состояния многошагового процесса 5.3. Формирование функциональных уравнений модели

6. Решение поставленной задачи в два этапа

6.1. Условная оптимизация : Получение последовательности оптимальных управлений на каждом шаге:

_Я (0 и и * (у_

6.2. Безусловная оптимизация :

Определение безусловного оптимального управления всего процесса:

Ц*=(Ц*, и2*.....и*)

7. Основные результаты

7.1. Результаты условной оптимизации

7.2. Результаты безусловной оптимизации

ЛПР

I

Проект плана ОКР по ОВП

Таким образом, уравнения (17) и (18) позволяют определить величину гк($) в зависимости от г*к+1^+1), где при переходе от одного этапа к другому продолжительность эксплуатации единицы технологического оборудования увеличивается от t до t+1, а число оставшихся этапов (шагов) уменьшается до п-к+1.

Этап условной оптимизации завершается получением последовательностей функций г"к({) и и\(().

На этапе безусловной оптимизации £,*0 = t0 (время эксплуатации единицы технологического оборудо-

вания в начале процесса) получаем гт

гп^ 0)

откуда и 2 = и 2(^) и т.д. Оптимальное управление и* = (Ц*1, и*2,..,и*п) представляет собой набор управлений ис и из.

Введение в условие задачи функций, оценивающих суммарные затраты, которые зависят не только от продолжительности эксплуатации единицы технологического оборудования t, но и непосредственно от к, то есть от времени, прошедшего с начала моделируемого процесса, является не чем иным, как одним из способов учета технического прогресса и, как следствие, моральногостаре-ния оборудования.

При линеаризации зависимостей, характеризующих изменение стоимости технологического оборудования с течением времени, более высоким темпам научно-технического прогресса и, как следствие, ускорению морального старения данного оборудования будет соответствовать большее значение тангенса угла наклона прямых увеличения стоимости создания новых единиц технологического оборудования.

Таким образом, сформированные целевая функция (4), система ограничений (5), функциональные уравнения (16), (17) и уравнение состояния (15) составляют математическую модель задачи оптимизации плана ОКР Необходимо решить оптимизационную задачу в два этапа: 1-й этап (условная оптимизация): в результате решения (16), (17) на каждом шаге получить последовательность функций г" и и*^).

2-й этап (безусловная оптимизация): по заданному начальному состоянию £,*0 = t0 (15) и рассчитанному на 1-м этапе гтП = г"^) определить безусловное оптимальное управление:

и' = (и*1, ц*2,.., и*п). На основании вышеизложенного разработана процедура решения задачи оптимизации плана ОКР. Эта процедура представлена на рис. 2. Основное содержание

далее по цепочке и 1 = и ^0), из (2.15) находим £, 1 = блоков 1-6 было подробно изложено выше.

а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аралов О.В. Методика оптимизации плана опытно-конструкторских работ по средствам, комплексам связи и автоматизации при программном планировании: Дис. канд. тех. наук. - СПб., ВАС. 1999. 285 с.

2. Аралов О.В., Бабкин А.В. Обоснование задачи оптимизации плана ОКР по технике связи. СПб., 1997. 20 с.

3. Аралов О.В., Бабкин А.В. Анализ методов и современное состояние решения задачи оптимизации плана ОКР по технике связи. СПб., 1997. 28 с.

DEVELOPMENT OF MATHEMATICAL MODEL FOR PARAMETERS OPTIMIZATION OF R&D PLAN AT HOMOGENEOUS GROUPS OF TECHNOLOGICAL EQUIPMENT

LISIN Yu.V., Dr. Sci. (Tech.), General Director

ARALOV O.V., Cand. Sci. (Tech.), Director of the Center of Products Conformity, Assessment, Metrology and Automation of Production

Transneft Research Institute for Oil and Oil Products Transportation (Transneft R&D, LLC) (47a , Sevastopolskiy avenue, 117186, Moscow, Russia)

MASTOBAEV B.N., Dr. Sci. (Tech.), Prof., Head of Department of Transport and Storage of Oil and Gas BEREZHANSKY N.V., Graduate student of the Department of Transport and Storage of Oil and Gas BYLINKIN D.V., Graduate student of the Department of Transport and Storage of Oil and Gas

Ufa State Petroleum Technological University (USPTU) (1, Kosmonavtov St., 450062, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia). E-mail: mastoba@mail.ru

ABSTRACT

The paper considers the creation and use of a controlled layer of asphaltene deposits helping to protect the pipes from corrosion, as well as illustrated its application as insulation material.Technology of layer formation of deposits is suggested layer formation of deposits with the effect of the temperature factor, heat-insulating properties of sediments and the use of special cleaning devices.

Keywords: complex technical systems, R&D plan, linearly - dynamic programming, optimization task, technical progress, depreciation ,mathematical model.

REFERENCES

1. Aralov O.V. Metodika optimizatsiiplana opytno-konstruktorskikh rabotpo sredstvam, kompleksam svyaziiavtomatizatsii priprogrammnom planirovanii. Diss. cand. tekh. nauk [Methods of plan optimization on development work within our means, complexes of communication and automation in program planning. Cand. tech. sci. diss.]. St. Petersburg, 1999. 285 p.

2. Aralov O.V., Babkin A.V. Obosnovaniye zadachi optimizatsii plana OKR po tekhnike svyazi [The rationale of the plan optimization for R & d on communication technology]. St. Petersburg, 1997. 20 p.

3. Aralov O.V., Babkin A.V. Analiz metodov i sovremennoye sostoyaniye resheniya zadachi optimizatsii plana OKR po tekhnike svyazi [Analysis of methods and current state of solving the problem of optimizing the R & D plan for the communication technology]. St. Petersburg, 1997. 28 p.